第2讲偶然误差的统计规律

偶然误差的统计规律
提纲： 一、偶然误差分布的三种描述方法 二、偶然误差的统计规律 三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
通过前面的学习我们发现，采用一定观测程序或模型改正 的方法可以将系统误差消除或减弱，使偶然误差起主导作 用，而偶然误差没有规律性可言，而且很难采用上述方法 予以减弱。但是研究发现根据统计学的相关理论，偶然误 差有较强的统计规律。
、
L1
L


L2

n1

Ln

L~
n1


L~1 L~2
..L~n

1



2

则有：
L~
L
n1 .
n1
n1

n

注意：在下面的学习过程中若不加说明，即没有下标说明的向量都
是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：LT、AT、BT
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
3、密度函数法
（1）当样本个数无限增加，区间无限缩小，直方图中折线就 变成光滑曲线，如图所示。该曲线被称为概率密度曲线或者误
差分布密度曲线，它接近于正态分布。
（2）可用如下函数表示，其中 为
f( )
数学期望， 为2 方差。
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
在相同的观测条件下，对测区781个三角形的内角进行观 测，并按照下式求出三角形内角和的真误差为：
i 180 (L1 L2 L3)i , (i 1,2,,781)
式中：180°为三角形内角和的真值，三角形内角和的观 测值为L1+L2+L3，角标i表示第i个三角形，假设各个三角 形的偶然误差相互独立（即不存在相关性，大小和符号等 不相互影响）。
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三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 （有界性） 判断系统误差（粗差）的依据 （对称性和抵偿性） 偶然误差的数学期望等于真值，若误差的理论平均值不
为0且值较大，可以判断包含系统误差或者粗差。
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谢 谢！
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测绘工程系
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
为研究其统计规律，假设对n个量进行了观测，观测值为
、 L1、L2、其、相Ln 应的真值分别为 L~1、令L~2、、L~n i L~i Li i 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶 然误差，所以真误差就是偶然误差。用向量形式表述为：
0.092
74
0.095
1.5~2.0
51
2.0~2.5
22
2.5~3.0
16
3.0~3.5
10
3.5以上
0
和
393
0.065 0.028 0.020 0.013
0 0.503
48
0.061
27
0.035
16
0.020
9
0.012
0
0
388
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0.497
d△表示误差区间为0.5″，统计各个区间个数μi，及各区间出现的频率μi/n。绝 对值较小的个数多，绝对值相等的正负误差个数接近，误差在3.5″以内
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一、偶然误差分布的三种描述方法
2、绘图法
（1）以误差△的数值为横坐 标，(μ/n)/d△为纵坐标
（2）误差较小的长方形较高 ，面积较大，即出现的相 对个数较多；反之，误差 较大的长方形其面积较小 ，即出现误差的相对个数 较少。正负误差的个数基
△
本相同。
f (x)
1
( xa)2
e 2 2
2
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0
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二、偶然误差的统计规律
通过上述分析可以发现偶然误差有以下4点统计规律: 有界性：在一定条件下，超过一定限值的误差出现的概率
为0 聚中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等 抵偿性：偶然误差的数学期望等于0
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一、偶然误差分布的三种描述方法
1、列表法
误差区间单位 （″）
0.0~0.5 0.5~1.0
为负的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
123
0.158
99
0.127
为正的真误差 △
个数 μi
相对个数μi/n
116
0.149
98
0.125
1.0~1.5
72