高斯定理的证明
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
麦克斯韦方程组中高斯定理的证明
麦克斯韦方程组中高斯定理的证明麦克斯韦方程组是数学分析中重要的概念之一，它可以将复杂的问题转化成一组更容易处理的方程组，其中的高斯定理是用来解决含有无限变量的复杂系统的一种方法。
下面我们来证明麦克斯韦方程组中的高斯定理。
首先我们需要明确的是，我们正在证明的是一个非常常见的形式的麦克斯韦方程组，即： $F(x)=A\cdot x + b$其中，A是一个n阶方阵，x是未知的n维向量，b是未知的n维向量。
现在，我们来进行高斯定理的证明。
根据高斯定理，给定一个非奇异n阶矩阵A，有以下性质：$Ax=b$其中，b是未知的n维向量。
其次，我们来将方程组化为下面的矩阵形式：$\begin{bmatrix} A & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b \\ c \end{bmatrix}$其中，b是未知的n维向量，c是未知常数。
再根据矩阵乘法分配律，我们有：$\begin{bmatrix} A & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A\cdot x+b \\ t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b \\ c\end{bmatrix}$由此，我们可以得到：$A\cdot x+b=b$即，Ax = b，也就是高斯定理的条件。
因此，我们证明了麦克斯韦方程组中的高斯定理的存在，最终证明完毕。
总之，本文主要证明了麦克斯韦方程组中的高斯定理的存在。
由于高斯定理简化了大量复杂的运算，它为我们解决许多复杂问题提供了一种高效的方法。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
高斯定理数学
高斯定理数学高斯定理，又称为高斯-奥斯特罗格雷定理（Gauss-Ostrogradsky theorem），是描述向量场通过曲面的流量密度与该曲面边界上环绕该曲面沿法向量方向的一圈线积分之间的关系的定理，是矢量分析的重要内容之一，也是工程中常用的理论。
$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \textbf{F} dV$$$\textbf{F}$ 表示某个向量场，$S$ 表示一个逐片光顺的曲面，$V$ 为该曲面所包围的立体。
$\textbf{n}$ 表示曲面上某一点的法向量，$\nabla \cdot \textbf{F}$ 为向量场 $\textbf{F}$ 的散度。
该式中左边表示 $\textbf{F}$ 向外通过曲面 $S$ 的流量密度。
左侧积分的意思是，对于曲面 $S$ 的每一点，对由该点到曲面外侧的垂直方向的投影所围成的小面积$dS$ 进行积分，得到整个曲面通过的总流量密度。
右边表示 $\textbf{F}$ 在立体$V$ 中的散度。
右侧积分的意思是，对于立体 $V$ 中的每一点，计算该点的散度，然后对整个立体进行积分，得到散度在整个立体中的总量。
高斯定理适用于任意的向量场，包括电场、磁场等。
它可以用来推导一些物理方程，并在基础数学领域中起到重要作用。
对于电场，高斯定理可以用来计算电通量，即电场向外通过一个立体的总电量。
对于静电场和恒定电场来说，高斯定理可以推导出库仑定律。
对于磁场，高斯定理可以用来推导出安培环路定理。
高斯定理在物理学和工程学中有非常广泛的应用，是理解和解决问题的重要工具之一。
高斯定理的证明可以通过追踪微小体积元素上的向外流量来完成。
假设该体积元素为$\Delta V$，体积元素表面上带有一小片面积为 $\Delta S$，该片面积的法向量表示为$\textbf{n}$。
向量场 $\textbf{F}$ 在该面积上的流量为 $\textbf{F} \cdot\textbf{n} \Delta S$，如果对所有该体积元素上的面积进行累计，则构成了整个曲面的流量，并得到了高斯定理的左侧积分：$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS$$接下来，可以通过施加散度定理来将该定理转化为该向量场的散度在这个立方体中的积分：证明中还需要使用到一些高等数学的知识，如积分中值定理等，具体证明过程相对复杂。
《高斯定理例》课件
磁场计算
在计算磁场分布时，高斯定理也发挥了重要 作用。它可以用来确定磁场线穿过任意封闭 曲面的通量，进而推导出磁场分布。
在工程学科中的应用
电力工程
在电力工程中，高斯定理被广泛应用于电磁 场分析和计算。例如，在输电线路和变压器 设计中，需要利用高斯定理来评估电磁场对 周围环境的影响。
电子工程
在电子工程领域，高斯定理用于分析集成电 路和电子元件中的电磁场。通过高斯定理， 工程师可以更好地理解电子元件的工作原理
要点二
量子计算
随着新型材料科学的发展，高斯定理在研究材料电磁性质 、导电性能等方面将发挥更大的作用。
量子计算领域的发展为高斯定理提供了新的应用场景，有 助于更深入地理解量子力学中的相关概念。
高斯定理在数学领域的发展趋势
数学物理
随着数学物理的不断发展，高斯定理在数学物理中的地 位将更加重要，有助于推动数学物理理论的发展。
总结词
均匀带电圆环产生的电场分布可以通过高斯定理求解。
详细描述
首先，我们需要将均匀带电圆环分割成许多小的带电圆环，然后利用高斯定理计算每个小圆环产生的 电场强度。最后，将所有小圆环的电场强度进行叠加，得到均匀带电圆环的总电场分布。
例题三：求无限长均匀带电直线的电场分布
总结词
无限长均匀带电直线产生的电场分布也 可以通过高斯定理求解。
《高斯定理例》ppt课件
目录
• 高斯定理简介 • 高斯定理的数学推导 • 高斯定理的例题解析 • 高斯定理的实践应用 • 高斯定理的未来发展
01
高斯定理简介
高斯定理的定义
总结词
高斯定理是描述闭合曲面电场分 布的定理。
详细描述
高斯定理表述为通过任意闭合曲 面的电场通量等于该闭合曲面所 包围的电量的代数和除以真空中 的介电常数。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
guass定理证明-概述说明以及解释
guass定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述Gauss定理是数学中的一项重要定理，也被称为高斯散度定理或高斯-奥斯特罗格拉斯定理。
该定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的，它描述了一个封闭曲面的向外和向内流动的物理量之间的关系。
具体而言，高斯定理表明，如果我们考虑一个封闭曲面，曲面内部存在一个标量场（例如电场、磁场或流体的密度场），那么通过曲面内外的物质流量与曲面内部标量场的分布密切相关。
这个定理的几何直观可以通过想象在封闭曲面上放置一个容器来理解。
如果容器内的某种物质以流量的形式通过容器壁流入或流出，那么高斯定理告诉我们这个物质的总流入量等于物质内部的变化量。
高斯定理的一种常见应用是计算电场的通量，即电场穿过某个封闭曲面的总电场量。
根据高斯定理，我们只需要知道曲面内的电荷分布情况，就可以通过计算电场在曲面上的值来得到总的电场通量。
除了电场，高斯定理还适用于其他领域，如流体力学、磁学和热力学等。
无论在哪个领域，高斯定理的核心思想都是通过将物质的流动与场的分布联系起来，从而提供了一种便于计算和理解的方法。
在本文中，我们将通过详细的数学推导和实例应用来证明高斯定理的正确性，并探讨其在不同领域中的实际应用。
通过深入研究高斯定理，我们可以更好地理解物质流动和场的相互作用，从而为解决实际问题提供有力的数学工具。
1.2文章结构文章结构部分描述了本文的整体框架和组织形式。
本文按照引言、正文和结论三个部分来组织。
在正文部分，将重点讨论关于Gauss定理的证明。
首先，我们将介绍第一个要点，即Gauss定理的基本原理和相关概念。
然后，我们将深入探讨第二个要点，给出Gauss定理的详细证明过程，并附上相关的数学推导和符号说明。
最后，我们将着重讨论第三个要点，探讨Gauss定理的应用和实际意义。
在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，回顾Gauss定理的重要性和证明过程。
高斯定理证明 (3)
高斯定理证明导言高斯定理是电磁学中的重要定理之一，在电场和电荷分布之间建立了联系。
它可以用来计算电场通过一个封闭曲面的总电通量。
在本文中，我们将给出高斯定理的证明。
高斯定理的表述高斯定理表述如下：若$\\vec{E}$ 是一个连续分布的电场，$d\\vec{A}$ 是曲面元素的法向量，并且 $\\rho$ 是该曲面元素上的电荷密度，那么通过曲面S的总电通量 $\\Phi$ 可以表示为：$$ \\Phi = \\oint_{S} \\vec{E} \\cdot d\\vec{A} =\\frac{1}{\\varepsilon_0}\\iiint_V \\rho dV $$其中，$\\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
证明为了证明高斯定理，我们首先考虑一个封闭曲面S，其中包含一个被均匀分布的电荷量S的点电荷。
我们将证明通过曲面S的总电通量等于 $Q / \\varepsilon_0$。
我们可以将曲面S划分为无数个小面元素SS S。
假设我们选择中心在电荷的球形曲面，这样每个小面元素都与电荷距离相等。
假设每个小面元素的面积为SS，那么总的面积为S。
考虑到电场是由点电荷在每个面元素上产生的，每个面元素SS上的电场强度为：$$ dE = \\frac{kQ}{r^2} $$其中，S是电场常数，S是对称中心到面元素的距离。
我们可以计算通过小面元素SS S的电通量：$$ d\\Phi_i = \\vec{E} \\cdot d\\vec{A_i} = E \\cdot dA_i \\cdot \\cos(\\theta_i) $$其中，S是点电荷在曲面上产生的电场强度，$\\theta_i$ 是电场和法向量 $d\\vec{A_i}$ 之间的夹角。
由于每个小面元素都相同，我们可以用S和$\\cos(\\theta_i)$ 的平均值来近似计算总电通量 $\\Phi$。
因此，通过曲面S的总电通量可表示为：$$ \\Phi = \\sum_i \\vec{E} \\cdot d\\vec{A_i} \\approx E \\cdot \\sum_i dA_i \\cdot \\cos(\\theta_i) $$而总的面积S可以表示为小面元素的累加：$$ A = \\sum_i dA_i $$因此，上述公式可以简化为：$$ \\Phi \\approx E \\cdot A \\cdot \\langle \\cos(\\theta) \\rangle $$其中，$\\langle \\cos(\\theta) \\rangle$ 表示所有小面元素的 $\\cos(\\theta_i)$ 的平均值。
高斯定理的证明
1. 通过包围点电荷 q 的同心球面 S 的电 通量 e 等于？ 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
1 q d e E dS EdS dS 2 4 0 r
q
E r
q q q e d e dS dS 2 2 S S 4 r S 4 r 0 0 0
dS dS cos d 2 2 r r
E
dS
dS
④.一闭合曲面对面内一点所 d 张的立体角： 4 0 对面外一点所张的立体角：
ˆ r
d e
q 40
d
e
s
q 40
d
q
0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 通过闭合曲面 S 和S '的电力线数目是相等的。
E
dS ''
e E dS ( E1 E2 E3 )dS
S
1. 高斯定律中的场强 E 是由S面内和S面外全部电荷 产生的总场强，并非仅由S面内的电荷产生。 2.通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 3. q 是代数和。当 q 0 时，表示两种含义：的确无 电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。
3. 通过不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的电通量恒等于？ 由于电力线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 dS ' 量应该相等。所以当闭合曲面 q 无电荷时，电通量为零。
4. 多个点电荷的电通量等于它们单独存在 时的电通量的代数和。
S 1 e S E dS e1 e 2 en qi 0 i
高斯定理的证明方法和应用
同理可得
dB dS
0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
2 S
S
dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为
S
E dS q q
1 4 0
S
q r dS r3
（2）
1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
高斯定理证明
高斯定理证明
高斯定理是电磁学中的一个重要定理，也称为高斯第一定理、高斯-奥波尔兹定理或高斯-斯托克斯定理。
它是电场、磁场和流体动力学中的基本方程之一，描述电场、磁场和流体速度的场在一个闭合曲面上的性质。
高斯定理可以用来计算电场通过一个任意形状的闭合曲面的总通量，它的数学表达式为：
∮E · dA = 1/ε₀ · ∫∫∫ρ dV
其中：
- ∮E · dA表示电场E与曲面元dA的点乘积（即电场E沿曲面法向量方向的分量与曲面元面积的乘积）之和。
- ε₀为电场中的真空介电常数，其值为8.854×10⁻¹²
C²/(N·m²)。
- ∫∫∫ρ dV表示在闭合曲面内的电荷密度ρ乘以体积元dV 之和。
高斯定理的证明分为两个步骤：
1. 假设电场E是有限个点电荷的叠加，可以根据库仑定律得到电场E与闭合曲面上各点的点乘积之和等于电荷与外部点产生的共同电势的梯度在该点上的点乘积之和。
2. 利用极限的思想，将点电荷的数量无限逼近，使得点电荷产生的电场可以看作一个连续的场，通过对电场的积分可以得到闭合曲面上的总通量。
综上所述，高斯定理的证明基于库仑定律和极限的思想，将点电荷的叠加近似为连续的电场场源，通过对电场的积分计算闭合曲面上的总通量。
牛顿壳层定理高斯定理证明
一、引言牛顿壳层定理（Newton's Shell Theorem）和高斯定理（Gauss's Theorem）是电磁学中的两个重要定理。
牛顿壳层定理指出，在静电场中，一个带电体的外部电场与该带电体的形状和大小无关，只与带电体的总电荷有关。
高斯定理则表明，闭合曲面的电通量等于闭合曲面所包围的电荷总量除以真空介电常数。
本文将对这两个定理进行证明。
二、牛顿壳层定理的证明假设有一个带电体，其电荷为Q，形状为任意形状。
为了证明牛顿壳层定理，我们将考虑一个半径为r的球壳，其厚度为dr，且与带电体相切。
根据库仑定律，球壳内外的电场强度分别为：E1 = kQ/(4πε0r^2) （球壳内部）E2 = kQ/(4πε0(r+dr)^2) （球壳外部）其中，k为库仑常数，ε0为真空介电常数。
现在，我们计算球壳内外电场的差异：ΔE = E2 - E1 = kQ[1/(4πε0(r+dr)^2) - 1/(4πε0r^2)]将上式化简得：ΔE = kQdr/(4πε0r^2(r+dr)^2)为了证明牛顿壳层定理，我们需要证明球壳内外电场差异ΔE与r无关。
为此，我们考虑以下极限：lim (ΔE/dr) = lim [kQ/(4πε0r^2(r+dr)^2) dr/dr]由于dr是无穷小量，我们可以将其与dr相消，得到：lim (ΔE/dr) = lim [kQ/(4πε0r^2(r+dr)^2)] = kQ/(4πε0r^4)由此可见，ΔE与r无关，因此牛顿壳层定理得证。
三、高斯定理的证明高斯定理的数学表达式为：∮E·dS = Q_enclosed/ε0其中，E为电场强度，dS为闭合曲面上的面积元素，Q_enclosed为闭合曲面所包围的电荷总量。
为了证明高斯定理，我们考虑一个带电体，其电荷为Q，形状为任意形状。
现在，我们构造一个以带电体为中心，半径为r的闭合曲面S。
根据库仑定律，闭合曲面S上的电场强度E可以表示为：E = kQ/(4πε0r^2) r^2/|r|^3 n其中，r为带电体到闭合曲面S上某点的位置矢量，n为闭合曲面S上该点的单位法向量。
高斯定理[1]
![高斯定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/b6daebb54afe04a1b071deea.png)
三、高斯定理1、高斯定理的内容通过任意一个闭合曲面的电通量等于包围在该闭合面内所有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。
用公式表示，得这个闭合面习惯上叫高斯面。
闭合面内的电荷可能有正有负，电量的代数和指的是正负电荷电量的代数和。
2、高斯定理的证明（1）单个点电荷包围在同心球面内设空间有一点电荷，其周围激发电场。
以为球心，为半径作一球面为高斯面。
则高斯面上各点场强的大小相等，方向沿矢径方向向外。
在高斯面上取一面元，则通过的电通量为通过整个高斯面的电通量为（2）单个点电荷包围在任意闭合曲面内在闭合曲面内以为球心，为半径作一任意球面为高斯面。
在面上取一面元，则通过的电通量为通过整个闭合曲面的电通量为（3）单个点电荷在任意闭合曲面外以为顶点作一锥面，立体角为。
锥面在闭合曲面上截取了两个面元,，它们到顶点的距离分别为，则通过和的电通量为即和的数值相等，符号相反，它们的代数和为零。
而通过整个闭合曲面的电通量是通过这样一对对面元的电通量之和，因而也等于零。
（4）多个点电荷的情形设空间同时存在个点电荷，其中在高斯面之内，在高斯面之外。
设面上任一点的场强为，由场强叠加原理，得式中是各点电荷单独存在时的场强。
穿过面的电通量为高斯定理是静电场的两条基本定理之一，它反映了静电场的基本性质：静电场是有源场，"源"即电荷。
此外高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电场也适用，它是电磁场理论的基本方程之一。
四、应用高斯定理求场强1、均匀带电球壳的场强设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场强度。
解：（1）、球壳外的场强通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。
由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。
应用高斯定理，得所以（2）、球壳内的场强通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。
由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。
应用高斯定理，得所以2、均匀带电球体的场强设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为，求球体内外的电场强度。
1.3 高斯定理
291212
习题 20
厚度为d的无限大平板，均匀带电，体密度为
求板内、外的场强分布。
301212
§3 高斯定理
3.3 高斯定理的表述及证明 证明： （1）通过包围点电荷 q 的任意闭合曲面的电通量都等于 q /ε0 任取面元 dS ，通过 dS 的电通量为：
§3 高斯定理
3.3 高斯定理的表述及证明 证明：
（2）通过不包围点电荷的任意闭合曲面 S 的电通量恒为0
§3 高斯定理
3.3 高斯定理的表述及证明 （3）多个点电荷的电通量等于它们单独存在时 的电通量的代数和 任取面元 dS ，通过 dS 的电通量为： 由电场强度叠加原理：
面元矢量 dS ：大小dS，方向法线方向。
§3 高斯定理
3.1 立体角 立体角的正负：
21212
§3 高斯定理
3.1 立体角 如图球面，dS对球心 O 所张的立体角是dΩ，它
对O’点所长的立体角dΩ’ ？ dΩ= dΩ’ 答： 不等
整个球面对O’张的立体角是否等于对O的？ 答： 相等，4π 如图任意闭合曲面，它对所包围的点 O 所张的 立体角是多少？ 答：4π
S内 S外 所以：
§3 高斯定理
3.3 高斯定理的表述及证明
表述 通过任一闭合曲面 S 的电通量ΦE 等 于该面所包围的所有电量的代数和Σq 除 以ε0 , 与闭合面外的电荷无关。（闭合曲 面称为高斯面）
数学表达：
§3 高斯定理
3.4 球对称的场强 （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 解题步骤为 ： 1、对称性分析； 2、根据对称性选择合适的高斯面； 3、应用高斯定理计算. 例6 利用高斯定理求电荷面密度均匀的带电球 壳产生的场强分布。 对称性分析：在球面外距球心 r 处取一点 P，P点的场强只有 r 分量。 P点在球面内时，场强方向也只能沿 r 方向。 过 P 点的球面上，各点场强大小相等
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
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高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
高数同济11.6高斯(Gauss)公式
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
P Q R )dV ( x y z
Pdydz Qdzdx Rdxdy
R x y,
P ( y z )x ,
Q
0
P y x
z,
Q R 0, z y
R( x , y , z )dxdy
R dV 只证 z
类似的可证：
Pdzdy
Q dV Qdzdx y
P dV x
设区域 具有特点 : 穿过 的内部且平行于坐标 轴的直线与 的边界曲面 恰好交于两点 , 即 : z 1 2 3
2
补充 1 : z h ( x y h ) 1取上侧，之间的部分取下侧,
2 2
Dxy
o
y
1构成封闭曲面， 1围成空间区域 .
x
在 上使用高斯公式 ,
( x
2
cos y cos z cos )dS
2 2
z
1
其中Σ为锥面 x 介于平面 z 0 及 z 之间的部分的下侧,
2 2 2
:z
x y
2
2
2
(0 z h) 外侧
2 2
P246.4.(2)
补充 1 : z h ( x y h )
1取上侧，
1围成空间区域 . 在 上使用高斯公式 , z 2 2 2 ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
§6. 高斯(Gauss)公式 一、高斯公式
定理1(高斯定理 ) : 设空间有界闭区域 , 其边界 为光滑或者分片光滑闭 曲面 , P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), P Q R , , 在上连续 , 则 R( x , y , z )及其一阶偏导数 x y z P Q R ( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 其中 取外侧 .
高斯定理的证明
高斯定理的证明
高斯定理指出，在任何多边形中，连接其定点间的边之和等于它的顶点数与减去二。
高斯定理的证明非常简单，并可通过平面地图绘图法来证明。
首先，我们以一个正三角形或圆周形多边形为例。
正三角形有三个顶点和三条边，而圆周形多边形有无限顶点，但由于它的形状是圆的，所以可以认为它也只有三条边。
如下图所示：
从上图可以看出，任何多边形的每一条边和其顶点数都是相等的，即多边形的边数和顶点数是相等的。
再来看任意多边形，如下图所示：
从图上可以看出，任意多边形中的任意两个相邻边组成的角落可以合并成一个角，用一条直线就可以把它们连接起来。
也就是说，任何多边形由其顶点数减去二再减去角落数（用一条直线就可以把它们连接起来）得出它的边数。
也就是说，即使是任意形状的多边形，情况也与正三角形和圆周形多边形一样，边数加上角落数（用一条直线就可以把它们连接起来）等于它的顶点数，减去两个。
9-3高斯定理
二、电场强度通量(electric flucx) 1.定义 通过任一面积元的电场线的条数称为通过这 一面积元的电场强度通量。（简称电通量） 如果垂直于电场强度的面积为dS，穿过的 电场线条数为de，那么
S
E
de E dS
若选择比例系数为1，则有de = E d S . 如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电 场强度E 相垂直，则 e = E S .
14
qi e E dS
S
0
qi E dS
S
0
E
0 dS
S
qi
15
续28
16
续29
续28
17
例题2 求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度 解： 电荷及场分布特点: 球对称,设球半径R,电荷 量为q。
高斯面:半径为r的球面。 由高斯定律:
23
4 3 r Q 3 rQ 2 3 e E 4πr 3 4 3 0 ( R ) 0R 3 3 R Q E r r rR 3 3 3 0 r1 4π 0 r1
半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。 设球体电荷密度为 ，总电量为Q 。 因为电荷分布具有球对称性。 1 4πr 3 固选取同心的球面为高斯面。
1 E dS
S
0 inside,i
q
i
证明：1. 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量
球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
1 q d e E dS EdS dS 2 4π 0 r
r
q
E
S
8
1 q d e E dS EdS dS 2 4π 0 r q q e d e dS 2 2 S S 4 π r 4π 0 r 0
证明高斯定理几种方法的对比
高斯定理指出，非零多项式的根的总数等于多项式的次数，即$n$次多项式的根的个数为$n$。
有几种方法可以证明高斯定理：
（1）反证法：假设$n$次多项式的根的个数不等于$n$，那么存在$n+1$个不同的根，则$n+1$次多项式的根的个数不等于$n+1$，这与高斯定理矛盾，因此$n$次多项式的根的个数等于$n$。
（2）数学归纳法：假设$n$次多项式的根的个数等于$n$，则$n+1$次多项式的根的个数也等于$n+1$。
假设$n+1$次多项式的根的个数等于$n+1$，则$n+2$次多项式的根的个数也等于$n+2$。
以此类推，可以证明$n$次多项式的根的个数等于$n$。
（3）埃尔米特法：假设$n$次多项式$P(x)$的根的个数不等于$n$，则存在$n+1$个不同的根$x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$。
将$P(x)$分解为$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n+1})$，则$P(x)$的系数乘积等于$0$，这与高斯定理矛盾，因此$n$次多项式的根的个数等于$n$。
上述三种方法都可以证明高斯定理，但反证法和数学归纳法更容易理解，埃尔米特法更加精确。
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v E
dS ''
ε0
v 1. 高斯定律中的场强 E 是由S面内和S面外全部电荷 是由S面内和S 产生的总场强，并非仅由S面内的电荷产生。 产生的总场强，并非仅由S面内的电荷产生 2.通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 2.通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 3. ∑ q 是代数和。当∑ q = 0 时，表示两种含义：的确无 是代数和。 表示两种含义： 电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。 电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。
高斯定理的证明： 高斯定理的证明：
1. 通过包围点电荷 q 的同心球面 S 的电 等于？ 通量 Φ e 等于？ 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 v
v v dΦ e = E ⋅ dS = EdS =
i
i
理解： 理解
i
i
Φ =0 4. 只有当S面内外均无电荷时，才能使S面上的电场强 只有当S面内外均无电荷时，才能使S 度处处为零。 度处处为零。
∑ qi = 0
i
e
r E =0
静电场是有源场。 ５.静电场是有源场
S
补充立体角的知识： 补充立体角的知识 球面上ds对球心张的立体角 对球心张的立体角为 ①.球面上 对球心张的立体角
dS dΩ = 2 r
②.整个球面对球心张的立体角
4πr Ω = 2 = 4π r
2
任一面元ds对一点所张立体角 ③.任一面元 对一点所张立体角 任一面元
dS ⊥ dS cos θ dΩ = = 2 r r2
q dS 2 4πε 0 r
2
1
v E r q
q
0
Φe = ∫∫ dΦe = ∫∫
S
q 4πε0r
S
dS =
q 4πε0r
2
∫∫dS = ε
S
2. 通过包围点电荷 q 的任一闭合曲面 S 的电 等于？ 通量 Φ e 等于？
v v dΦ e = E ⋅ dS =
q 4πε 0 r
2
dS cosθ
q S'
θ
v E
dS
dS⊥
④.一闭合曲面对面内一点所 一闭合曲面对面内一点所 dΩ 张的立体角：Ω = 4π 张的立体角： Ω 对面外一点所张的立体角： 对面外一点所张的立体角： = 0
ˆ r
∴ dΦ e =
q 4πε 0
dΩ
∴ Φ e = ∫∫
s
q 4πε 0
dΩ =
q
ε0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 ）， 的电力线数目是相等的。 通过闭合曲面 S 和 S '的电力线数目是相等的。
3. 通过不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的电通量恒等于？ 的电通量恒等于？ 由于电力线的连续性可知， 由于电力线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 dS ' 量应该相等。 量应该相等。所以当闭合曲面 q 无电荷时，电通量为零。 无电荷时，电通量为零。 4. 多个点电荷的电通量等于它们单独存在 时的电通量的代数和。 时的电通量的代数和。 v v v v v v Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ ( E1 + E 2 + E3 + L) dS S S v v 1 ∴Φe = ∫∫S E ⋅ dS = Φe1 + Φe2 + L+ Φen = ∑ qi i