高斯定理的证明

高斯定理的证明： 高斯定理的证明：
1. 通过包围点电荷 q 的同心球面 S 的电 等于？ 通量 Φ e 等于？ 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。 v
v v dΦ e = E ⋅ dS = EdS =
q dS 2 4πε 0 r
2
1
v E r q
q
0
Φe = ∫∫ dΦe = ∫∫
S
q 4πε0r
S
dS =
பைடு நூலகம்
q 4πε0r
2
∫∫dS = ε
S
2. 通过包围点电荷 q 的任一闭合曲面 S 的电 等于？ 通量 Φ e 等于？
v v dΦ e = E ⋅ dS =
q 4πε 0 r
2
dS cosθ
q S'
v E
dS ''
ε0
v 1. 高斯定律中的场强 E 是由S面内和S面外全部电荷 是由S面内和S 产生的总场强，并非仅由S面内的电荷产生。 产生的总场强，并非仅由S面内的电荷产生 2.通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 2.通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。 3. ∑ q 是代数和。当∑ q = 0 时，表示两种含义：的确无 是代数和。 表示两种含义： 电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。 电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。
S
补充立体角的知识： 补充立体角的知识 球面上ds对球心张的立体角 对球心张的立体角为 ①.球面上 对球心张的立体角
dS dΩ = 2 r
②.整个球面对球心张的立体角
4πr Ω = 2 = 4π r
2
任一面元ds对一点所张立体角 ③.任一面元 对一点所张立体角 任一面元
dS ⊥ dS cos θ dΩ = = 2 r r2
3. 通过不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的电通量恒等于？ 的电通量恒等于？ 由于电力线的连续性可知， 由于电力线的连续性可知，穿 入与穿出任一闭合曲面的电通 dS ' 量应该相等。 量应该相等。所以当闭合曲面 q 无电荷时，电通量为零。 无电荷时，电通量为零。 4. 多个点电荷的电通量等于它们单独存在 时的电通量的代数和。 时的电通量的代数和。 v v v v v v Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ ( E1 + E 2 + E3 + L) dS S S v v 1 ∴Φe = ∫∫S E ⋅ dS = Φe1 + Φe2 + L+ Φen = ∑ qi i
θ
v E
dS
dS⊥
④.一闭合曲面对面内一点所 一闭合曲面对面内一点所 dΩ 张的立体角：Ω = 4π 张的立体角： Ω 对面外一点所张的立体角： 对面外一点所张的立体角： = 0
ˆ r
∴ dΦ e =
q 4πε 0
dΩ
∴ Φ e = ∫∫
s
q 4πε 0
dΩ =
q
ε0
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 实际上因为电力线不会中断（连续性），所以 ）， 的电力线数目是相等的。 通过闭合曲面 S 和 S '的电力线数目是相等的。
i
i
理解： 理解
i
i
Φ =0 4. 只有当S面内外均无电荷时，才能使S面上的电场强 只有当S面内外均无电荷时，才能使S 度处处为零。 度处处为零。
∑ qi = 0
i
e
r E =0
静电场是有源场。 ５.静电场是有源场