北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 1.4数学归纳法
北师大版数学高二选修2-2素材 例题与探究 第一章4数学归纳法
高手支招3综合探究1.不完全归纳法与数学归纳方法的异同以及在“归纳——猜想——证明”中的组合应用我们在研究问题时,还常常用到一般归纳法,即从特殊到一般的思维方法,举例如下:1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,我们由此发现并得出如下结论：1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1=n2(n∈N),这就是考察具有1+2+3+…+（n-1）+n+(n-1)+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论.这种思维方法(或推理方法)我们称之为不完全归纳法.因此由不完全归纳法得到的结论未必正确,接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性.确认的方法是什么呢？或许结论不正确,那么可寻找一反例推翻该结论;或许结论正确,那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？注意到1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n＋(n-1)＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N),实际上是n＝1,2,3,…的无穷多个等式的概括写法,因此要证明上述等式,就需要对n＝1,2,3,…的无穷多个等式逐一证明.事实上,这是做不到的.而数学归纳法不需要全部验证.他只需,从首项开始即验证n=1时等式成立.然后再假设n=k时成立,证明n=k+1时成立,从而使得所有的项都适合了.显然数学归纳法是归纳法的一种,并且是一种完全归纳法.它得出的结论是正确的.它的优点是可以解决无限项的问题,但是不足是只能解决与自然数n相关的问题.这样,不完全归纳法与完全归纳法组合起来就可以解决很多问题.我们一般先通过不完全归纳法猜想到一个命题,然后用数学归纳法证明这个问题的正确性.从而使得他们完美地结合在一起.2.用数学归纳法证明不等式的优缺点我们在前面学习证明不等式时,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这就需要数学归纳法.由于与自然数有关的不等式多是以数列和函数为载体,所以数列和函数的相关知识,如数列通项的递推公式、定义、函数的单调性等都应该及时巩固.在证明过程中,我们还会用到作差比较法、等价转化、分析法、反证法、放缩法等作为辅助手段,所以这些方法和技巧我们要熟悉.数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.高手支招4典例精析【例1】用数学归纳法证明:tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(n-1)αtannα=(tannα-ntanα)cotα(n∈N+).思路分析：按照数学归纳法的思路,我们首先验证n=1时,然后假设当n=k时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立.还要结合分析法来证明.证明：(1)当n=1时,左边=0=右边,命题成立;(2)假设n=k时,tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k-1)αtankα=(tankα-ktanα)cotα∴当n=k+1时，tanαtan2α+tan2αtan3α+…+tan(k -1)αtankα+tankαtan(k+1)α=(tankα-ktanα)cotα+tankαtan(k+1)α=cotα［tankα-ktanα+tankαtan(k+1)αtanα］.若能证明上式＝［tan(k+1)α-(k+1)tanα］cotα即可,为此只需证明tankα-ktanα+tankαtan(k+1)αtanα＝tan(k+1)α-(k+1)·tanα,即证tankα［1+tan(k+1)αtanα］=tan(k+1)α-tanα,上式显然成立,即n=k+1时,等式成立.综上,由(1)(2)知，对n ∈N +原等式都成立.【例2】利用数学归纳法证明:(3n+1)·7n -1(n ∈N *)能被9整除.思路分析：第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7n -1的值,从而验证它是9的倍数.第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明：(1)当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时命题成立,即(3k+1)·7k -1能被9整除.那么当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+4)·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=[(3k+1)·7k -1]+3·7k+1+6·(3k+1)·7k=[(3k+1)·7k -1]+7k (21+6×3k+6)=[(3k+1)·7k -1]+9·7k (2k+3).由归纳假设知,(3k+1)·7k -1能被9整除,而9·7k (2k+3)也能被9整除,故[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切n ∈N *,(3n+1)·7n -1能被9整除.【例3】已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145.(1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和,试比较S n 与31log a b n+1的大小,并证明你的结论. 思路分析：本题是考查数列的基础知识和数学归纳法运用以及归纳猜想,分类讨论思想的一道综合题目,能充分展现我们的创新思维.解：(1)设数列{b n }的公差为d,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,3,11452)110(1010,1111d b d b b ∴b n =3n-2. (2)证明:由b n =3n-2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+2-31n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+2-31n )］, 而31log a b n+1=log a 313+n ,于是,比较S n 与31log a b n+1的大小⇔比较(1+1)·(1+41)…(1+2-31n )与313+n 的大小.取n=1,有(1+1)= 38＞34=3113+•,取n=2,有(1+1)(1+41)＞38＞37=3123+⨯， 推测:(1+1)(1+41)…(1+2-31n )＞313+n （*） ①当n=1时,已验证(*)式成立.②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k , 则当n=k+1时,(1+1)(1+41)…(1+231-k )(1+2)1(31-+k )＞313+k ·(1+1k 31+), =1323++k k 313+k ∵(1323++k k 313+k )3-(343+k )3 =2223)13(49)13()13)(43()23(++=+++-+k k k k k k ＞0, ∴3331)1(343)23(1313++=+>+++k k k k k , 从而(1+1)(1+41)…(1+2-k 31)(1+1-k 31)＞31)1(3++k ,即当n=k+1时,(*)式成立, 由①②知,(*)式对任意正整数n 都成立. 于是,当a ＞1时,S n ＞31log a b n+1,当0＜a ＜1时,S n ＜31log a b n+1. 【例4】设数列{a n }满足:a n+1=a n 2-na n +1,n=1,2,3,…(1)当a 1=2时,求a 2,a 3,a 4,并由此猜测a n 的一个通项公式;(2)当a 1≥3时,证明对所有的n≥1,有(i)a n ≥n+2; (ii)111a ++211a ++311a ++…+n a +11≤21. 思路分析：首先我们先猜想一下数列的通项公式,然后再运用数学归纳法,注意要用n=k 时的假设.(1)解:由a 1=2,得a 2=a 12-a 1+1=3,由a 2=3,得a 3=a 22-2a 2+1=4,由a 3=4,得a 4=a 32-3a 3+1=5,由此猜想a n 的一个通项公式:a n =n+1(n≥1).(2)证明:(i)用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1≥3=1+2,不等式成立.②假设当n=k 时不等式成立,即a k ≥k+2,那么a k+1=a k (a k -k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5≥k+3.也就是说,当n=k+1时,a k+1≥(k+1)+2,据①和②,对于所有n≥1,有a n ≥2.(ii)由a n+1=a n (a n -n)+1及(i),对k≥2,有 a k =a k -1(a k-1-k+1)+1≥a k-1(k-1+2-k+1)+1=2a k-1+1,……a k ≥2k-1a 1+2k-2+…+2+1=2k-1(a 1+1)-1,于是k a +11≤111a +·121-k ,k≥2. ∑=n k 1k a +11≤111a ++111a +∑=n k 2121-k =111a +∑=n k 11-k 21≤312121+≤+a =21. 【例5】求证：1n C +22n C +33n C +…+n n n C =n·2n-1.思路分析：这是一个有关组合数的问题,它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同,同时它又是一个正整数命题,这就决定了它的证明方法的多样性.证法一:（1）当n=1时,左边=C 11=1=20=右边,等式成立;（2）假设n=k 时等式成立,即1k C +22k C +33k C +…+k k k C =k·2k-1,∴当n=k+1时,左边=11+k C +221+k C +…+k k k C 1++(k+1)11++k k C=0k C +1k C +2(1k C +2k C )+…+k(1-k kC +k k C )+(k+1)k k C =(0k C +1k C +…+k k C )+2(1k C +22k C +…+k k k C )=2k +2·k·2k-1=(k+1)·2k =右边,等式也成立;由(1)(2)知等式对n ∈N *都成立.证法二:f(n)=00n C +1n C +22n C +33n C +…+n n n C ,①f(n)=n n n C +(n-1)1-n n C +…+1n C +00n C ,②由①+②得:2f(n)=n(0n C +1n C +22n C +33n C +…+n n n C )=n·2n ,∴f(n)=n·2n-1.【例6】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量,n ∈N *,且x 1＞0.不考虑其他因素,设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比,死亡量与2n x 成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.(1)求x n+1与x n 的关系式;(2)猜测:当且仅当x 1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)(3)设a ＝2,b ＝1,为保证对任意x 1∈(0,2),都有x n ＞0,n ∈N *,则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论.思路分析：实际应用问题要建模,本题的模型为数列模型.然后研究前几项来猜想结论什么时候成立,再运用数学归纳法证明.解:(1)从第n 年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为ax n ,被捕捞量为bx n ,死亡量为cx n 2,因此x n+1-x n =ax n -bx n -cx n 2,n ∈N *.(*)即x n+1=x n (a-b+1-cx n ),n ∈N *(**)(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则x n 恒等于x 1,n ∈N *,从而由(*)式得x n (a-b-cx n )恒等于0，n ∈N *,所以a-b-cx 1=0.即x 1=c b a -. 因为x 1＞0,所以a ＞b.猜测:当且仅当a ＞b,且x 1=cb a -时,每年年初鱼群的总量保持不变. (3)若b 的值使得x n ＞0,n ∈N *由x n+1=x n (3-b-x n ),n ∈N *,知0＜x n ＜3-b,n ∈N *,特别地,有0＜x 1＜3-b.即0＜b ＜3-x 1.而x 1∈(0,2),所以b ∈(0,1］由此猜测b 的最大允许值是1.下证当x 1∈(0,2),b=1时,都有x n ∈(0,2),n ∈N *①当n=1时,结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立,即x k ∈(0,2),则当n=k+1时,x k+1=x k (2-x k )＞0.又因为x k+1=x k (2-x k )=-(x k -1)2+1≤1＜2,所以x k+1∈(0,2),故当n=k+1时结论也成立.由①②可知,对于任意的n ∈N *,都有x n ∈(0,2).综上所述,为保证对任意x 1∈(0,2),都有x n ＞0,n ∈N *,则捕捞强度b 的最大允许值是1.【例7】已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61,又当x ∈［41，21］时，f(x)≥81. (1)求a 的值;(2)设0＜a 1＜21,a n+1=f(a n ),n ∈N *.证明a n ＜11+n . 思路分析：本题主要考查函数和不等式的概念,考查数学归纳法,以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力.在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=-23a n 2+a n 的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解:由于f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.① 又x ∈［41,21］时f(x)≥81,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥,81)41(,81)21(f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-813234,81832a a .解得a≥1.② 由①②得a=1. (2)证明:(i)当n=1时,0＜a 1＜21,不等式0＜a n ＜11+n 成立; 因f(x)＞0,x ∈(0,32),所以0＜a 2=f(a 1)≤61＜31,故n=2时不等式也成立.(ii)假设n=k(k≥2)时,不等式0＜a k ＜11+k 成立, 因为f(x)=x-23x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0, 31］为增函数,所以由0＜a k ＜11+k ≤31得0＜f(a k )＜f(11+k ),于是有 0＜a k+1＜11+k -23·2)1(1+k +21+k -21+k =21+k -)2()1(242+++k k k ＜21+k , 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(i)(ii)可知,对任何n ∈N *,不等式a n ＜11+n 成立. 【例8】(2006湖南高考,理19)已知函数f(x)=x-sinx,数列{a n }满足:0＜a 1＜1,a n+1=f(a n ),n=1,2,3,….求证：（1）0＜a n+1＜a n ＜1;(2)a n+1＜61a n 3. 思路分析：本题结合函数的单调性,来证明不等式.然后,利用数学归纳法来证明.证明：(1)先用数学归纳法证明0＜a n ＜1,ｎ＝1,2,3,…(i)当n=1时,由已知显然结论成立.(ii)假设当n=k 时结论成立,即0＜a k ＜1.因为0＜x ＜1时,f′(x)=1-cosx ＞0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而f(0)＜f(a k )＜f(1),即0＜a k+1＜1-sin1＜1.故n=k+1时,结论成立.由(i)(ii)可知,0＜a n ＜1对一切正整数都成立.又因为0＜a n ＜1时,a n+1-a n =a n -sina n -a n =-sina n ＜0,所以a n+1＜a n ,综上所述0＜a n+1＜a n ＜1.(2)设函数g(x)=sinx-x+61x 3,0＜x ＜1.由(1)知,当0＜x ＜1时,sinx ＜x, 从而g′(x)=cosx -1+22x =-2sin 22x +22x ＞-2(2x )2+22x =0. 所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当0＜x ＜1时,g(x)＞0成立.于是g(a n )＞0,即sina n -a n +61a n 3＞0. 故a n+1＜61a n 3. 【例9】(2007天津高考，理21)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=λa n +λn+1+(2-λ)2n (n ∈N *),其中λ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n ;(3)证明存在k ∈N *,使得kk n n a a a a 11++≤对任意n ∈N *均成立.思路分析：本题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前n 项和公式\,数列求和\,不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳\,推理\,运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.(1)解法一:a 2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,a 3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,a 4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24,由此可猜想出数列{a n }的通项公式为a n =(n-1)λn +2n ,以下用数学归纳法证明.①当n=1时,a 1=2,等式成立.②假设当n=k 时等式成立,即a k =(k-1)λk +2k ,那么,a k+1=λa k +λk+1+(2-λ)·2k=λ(k -1)λk +λ·2k +λk+1+2k+1-λ·2k=［(k+1)-1］λk+1+2k+1.这就是说,当n=k+1时等式也成立,根据①和②可知,等式a n =(n-1)λn +2n 对任何n ∈N *都成立. 解法二:由a n+1=λa n +λn+1+(2-λ)·2n (n ∈N *),λ＞0,可得1)2()2(111+-=-+++n n n n n n a a λλλλ, 所以{n n na )2(λλ-}为等差数列,其公差为1,首项为0,故n n a λ-(λ2)n =n-1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =(n-1)λn +2n .(2)解:设T n =λ2+2λ3+3λ4+…+(n -2)λn-1+(n-1)λn ,①λT n =λ3+2λ4+3λ5+…+(n -2)λn +(n-1)λn+1.②当λ≠1时,①式减去②式,得(1-λ)T n =λ2+λ3+…+λn -(n-1)λn+1=λλλ--+112n -(n-1)λn+1, T n =λλλλλ-----++1)1()1(1212n n n =2211)1()1(λλλλ-+--++n n n n . 则S n =2212)1()1(λλλλ-+--++n n n n +2n+1-2. 当λ=1时,T n =2)1(-n n ,这时数列{a n }的前n 项和S n =2)1(-n n +2n+1-2. (3)证明:通过分析,推测数列{n n a a 1+}的第一项12a a 最大.下面证明:n n a a 1+＜12a a =242+λ,n≥2,③ 由λ＞0,知a n ＞0,要使③式成立,只要2a n+1＜(λ2+4)a n (n≥2),因为(λ2+4)a n =(λ2+4)(n-1)λn +(λ2+4)2n ＞4λ·(n -1)λn +4×2n =4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1,n≥2, 所以③式成立.因此,存在k=1,使得n n a a 1+≤k k a a 1+=12a a 对任意n ∈N *均成立. 高手支招5思考发现1.数学归纳法是不完全归纳法,它的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学的方法,使我们认识到由繁到简,由特殊到一般,由有限到无穷.2.用数学归纳法证明不等式的命题,在把n=k 的不等式转化为n=k+1的不等式成立的命题时,证明不等式的基本方法如:比较法、分析法、综合法、放缩法等,仍然是证题的常用方法.3.在证明整除性问题和几何问题时,当n=k+1时,要与n=k 比较,尝试n 增加1时,代数式或元素(如点、线、圆)增加了多少,做到有目标的变形.。
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典例透析
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1 2 3 4 56
1用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证 ( ) A.当n=1时不等式成立 B.当n=2时不等式成立 C.当n=3时不等式成立 D.当n=4时不等式成立 解析:由题知n的最小值为3,所以第一步验证当n=3时不等式成立,选C. 答案:C
题型一 题型二 题型三
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反思应用数学归纳法证明整除问题时,关键是“凑项”,采用增项、 减项、拆项和因式分解等方法,也可以说将式子“硬提公因式”,即将 n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”,后面的式子相应变形,使 之与n=k+1时的项相同,从而达到利用归纳假设的目的.
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4 对于不等式 ������2 + ������ < ������ + 1(������∈N+),某同学的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 + 1 < 1 + 1, 不等式成立; (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 ������2 + ������ < ������ + 1(������∈
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北师大选修2-2 1.4 数学归纳法
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。
k ( k 1) (2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)(2k 2 7 k 6) 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) 6 ( k 1)[( k 1) 1][ 2( k 1) 1] 6
(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用 此假设证明n＝k＋1时结论也正确．
练习1
用数学归纳法证明：
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d n N 对一切 都成立． 递推基础
左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是a k a1 ( k 1)d , 那么当n=k+1时，
ak 1 a k d [a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d 递推依据
n N 由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立．
目标：ak 1 a1 [(k 1) 1]d
1.4
数学归纳法
问题情境
1 2 3 1 , 6 2 3 5 2 2 1 2 , 6 3 4 7 2 2 2 1 2 3 , 6 4 5 9 2 2 2 2 1 2 3 4 , 6 . 归纳
2
情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 思考：你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗？若 不正确，请举一个反例; 若正确，如何证明呢？
2
用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
n0 1或2等）时结论正确； （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.4 数学归纳法
【证明】(1)当n=1时，左边=12，
右边= 1 ×1×(4×12-1)=1，
3
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥1)时，等式成立， 即12+32+52+…+(2k-1)12= k(4k2-1)，
3
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
= 1 k(4k2-1)+(2k+1)2=1 k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
【解析】1.观察可知等式的左端是n个和式的积，当n=k时为
(k+1)·(k+2)·…·(k+k)，那么当n=k+1时，等式的左端应为
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]，
和(k+1)·(k+2)·…·(k+k)比较会发现，
左端增乘的代数式为［
k
1
k
1］［k
1
k］
【典例】用数学归纳法证明对一切n∈N+，
1＋
1 22
＋1 32
＋＋
1 n2
增加了一项. ( )
(3)用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+n2= n4＋n2 (n∈N*)时，从n=k到n=k+1
2
左边应添加的项为(k+1)2.
()
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应
北师大版数学高二课时作业 1.4 数学归纳法
1.4 数学归纳法1．在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0＝( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．72．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －24．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( ) A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋15．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)，推证当n ＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．参考答案1．【答案】C【解析】n 的取值与2n ，n 2的取值如下表：由于2n 2n >n 2. 2．【答案】B【解析】因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确． 3．【答案】C【解析】凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条． 4．【答案】C【解析】当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1.5．【答案】没有用上归纳假设进行递推 【解析】当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．6．【答案】k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)【解析】当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)，故只需证明k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可．7．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1， 取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝⎛⎭⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k .整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立． 8．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．。
高中数学北师大版选修2-2+1.4数学归纳法+第二课时+教案+
1.4数学归纳法教学目标:1、知识与技能(1)了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
(2)会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感态度价值观通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
教学重点、难点:教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
教学难点:(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
第2课时一、复习巩固数学归纳法的两个步骤二、实例应用例1、平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无3个圆交于一点。
求证：这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。
解析：当1n =时，一个圆将平面分成2个部分，()12f =，结论成立；假设当n k =时，结论成立，即n 个圆将平面分成()22f k k k =-+个部分， 当1n k =+时，第（k+1）个圆与前面k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将第（k+1）个圆分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以k+1个圆将平面分成了()()12f k f k k +=+个部分，()()22212221(1)2f k k k k k k k k +=-++=++=+-++； 所以，当1n k =+时，结论成立。
综上所述，这n 个圆将平面分成()22f n n n =-+个部分。
【一线教师精品】高二数学北师大版选修2-2同步精练：1.4数学归纳法 Word版含答案
1.设f (n )＝＋…＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )．111123n n n +++++12nA ．B ．C ．D ．121n +122n +112122n n +++112122n n -++2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数有( )．A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,43．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”的过程中，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( )．A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．证明＜1＋＋…＋＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，中间式等于( 22n +111234++12n )．A ．1B ．1＋C ．1＋D ．1＋121123+111234++5．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )．A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －26．若命题A (n )(n ∈N ＋)，当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，则有n ＝k ＋1时，命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时，命题成立，则有( )．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都错7．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．8．用数学归纳法证明“当n 为正偶数时，x n －y n 能被x ＋y 整除”，第一步应验证n ＝__________时，命题成立；第二步归纳假设成立，应写成______________．9．用数学归纳法证明凸n 边形的对角线的条数：f (n )＝n (n －3)(n ≥3且n ∈N ＋)．1210．已知n ≥2，n ∈N ＋，求证：·…·111111357⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1121n ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭参考答案1.答案：D 解析：f (n )＝1111,1232n n n n+++⋅⋅⋅++++f (n ＋1)＝，111112322122n n n n n ++⋯+++++++∴f (n ＋1)－f (n )＝.11111212212122n n n n n +-=-+++++2.答案：B 解析：当n ＝1时，左边＝1×2＝2，右边＝3－3＋2＝2，等式成立．当n ＝2时，左边＝1×2＋2×3＝8，右边＝3×22－3×2＋2＝8，等式成立．当n ＝3时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＝20，右边＝3×32－3×3＋2＝20，等式成立．当n ＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38，等式不成立．3.答案：A 解析：当n ＝k 时，k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3－k 3，只需展开(k ＋3)3即可．4.答案：D 解析：当n ＝2时，分母从1依次到4，则中间式为1＋.111234++5.答案：B 解析：增加的对角线条数为n －1.6.答案：B 解析：只能对大于或等于n 0的所有正整数成立，而小于n 0的正整数不确定．7.答案：k 3＋5k ＋3k (k ＋1)＋6 解析：采用配凑法，必须利用归纳假设．8.答案：2 x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除 解析：因为n 为正偶数，故第一个值应为n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数，即n ＝2k 时成立，故应假设x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除．9.答案：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时命题成立，即f (k )＝k (k －3)．12则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1.∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝k (k －3)＋k －1＝ (k ＋1)[(k ＋1)－3]．1212∴当n ＝k ＋1时，命题成立．∴对于任意的n ∈N ＋且n ≥3，凸n 边形对角线的条数为f (n )＝n (n －3)．1210.证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋1433=43>(2)假设n ＝k 时，原不等式成立．即.那么当n ＝k ＋1时，11111111352121k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋯⋯+⋅+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭要使n ＝k ＋1时，原不等式成立，只需证明1121k ⎛⎫⋅+ ⎪+⎝⎭1.2=，12>，只需证2k ＋1＋＋2＞2k ＋3，即＞0.>121k +121k +∵k ≥2，∴＞0.121k +显然成立，即当n ＝k ＋1时，原不等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋(n ≥2)，原不等式均成立．。
北师大版高中数学选修2-2课件1.4归纳法
1 解： 由a ，a 可得 0 n 1 1 2 a n 1 2 1 1 a3 a 2 1 3 2 0 2 22
3 a4 2 4 23
……
1
4 a5 3 5 24
1
n
( , , )
（1）当 n1时，左
k 1 k时， ak （2）假设 n 成立。 k
n ( 1 ) 1 n ∴
练习
等比数列中
n a ( 1 q ) 1 S n 1 q
这些与正整数 n 有关的命题，是否对于任何一 个正整数 n 都成立呢？怎样证明呢？
我们来学习一种特殊的证明方法----数学归纳法， 它主要用于研究与正整数 n 有关的数学问题。其基本 步骤为： （1）验证 n1 时，命题成立； （2）在假设时命题成立的前提下， n k ( k 1 ) 推出 n 时，命题成立。 k 1 根据（1）（2）可以断定命题对于一切正整数n 都成立。 那么，数学归纳法为什么能够保证命题对所有的 正整数都成立呢？ 多米诺骨牌演示
使得多米诺游戏可以连续运行的条件： （1）第一张骨牌必须能倒下； （1）是游戏基础 （2）假若第 k 张能倒下，必能 压倒其后的第k+1 张牌。 （2）是游戏继续的条件 数学归纳法 第一步 第二步
体现了
两 步 缺 一 不 可
递推思想 递推的基础 递推的依据，是关键
例1 证明：首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 { a n }
当n 时， a k 1 k1
a 0 右，等式成立； 1
1 1 2ak 2 k 1 k k (k 1) 1 k 1 k 1
n 1 所以通项公式 an 对于任意正整数 n 都成立。 n
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件1.4.2 数学归纳法(2)精选ppt课件
课后提升训练
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再见
选修2-2 章 推理与证§明4 数学归纳法
课时作业6 数学归纳法(2)
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1．能用数学归纳法证明一些简单的命题， 体会数学归纳法在等式、不等式、数列、整除以 及几何等方面的用途．
2．体会由有限个特殊事例进行归纳、猜想， 从而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究 的重要思想方法．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
知识点二
归纳——猜想——证明
2.[2014·湖南常an)，n∈N*.
(1)写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a；a3＝f(a2)＝ 2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a.
课堂对点训练
知识点一
用数学归纳法证明整除问题
1.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能 被x＋y整除．
证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， 能被x＋y整除，所以命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－ y2k能被x＋y整除，
那么，当n＝k＋1时， x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋ x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)， 因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以 x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除， 即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任意n∈N*都成 立．
猜想 an＝n－a1＋a(n∈N*)．
(2)证明：(ⅰ)易知，n＝1 时，猜想正确． (ⅱ)假设 n＝k 时猜想正确， 即 ak＝k－1a＋a，
2020-2021学年数学高中北师大版选修2-2课后习题：1.4 数学归纳法 含解析
§4数学归纳法课后训练案巩固提升A组1。
如果f（n）=1+12+13+…+13n-1(n∈N+)，那么f（n+1)-f(n)等于（)A.13n+2B.13n+13n+1C.13n+1+13n+2D.13n+13n+1+13n+2解析：∵f(n+1）=1+12+13+…+13n-1+13n+13(n+1)-2+13(n+1)-1,f(n)=1+12+13 +…+13n-1,∴f（n+1）-f(n)=13n +13(n+1)-2+13(n+1)-1=1 3n +13n+1+13n+2.答案：D2。
观察下列式子：1+122<32,1+122+132<53，1+122+132+142<74，…，则可归纳出1+122+132+…+1(n+1)2小于(）A.nn+1B.2n-1n+1C。
2n+1n+1D。
2nn+1解析:所猜测的分式的分母为n+1，而分子3,5,7,…,恰好是第（n+1）个正奇数，即2n+1。
答案:C3。
设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f（x）满足“当f(k）≥k2成立时总可推出f(k+1）≥（k+1)2成立.”则下列命题总成立的是（）A。
若f（3）≥9成立，则当k≥1时,均有f（k）≥k2成立B。
若f(5）≥25成立，则当k≤5时,均有f（k）≥k2成立C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f（k)<k2成立D。
若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k）≥k2成立解析:由数学归纳法原理可得，若f(3)≥9成立,则当k≥3时,均有f（k)≥k2成立,即A不正确.若f(5）≥25成立，则当k≥5时，均有f(k）≥k2成立，即B不正确。
若f(7）<49成立，则当k≤6时,均有f（k)〈k2成立,即C不正确.若f(4)=25>42成立，则当k≥4时,均有f（k)≥k2成立.答案：D4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1—12+13−14+…+1n-1=2(1n+2+1n+4+…+12n)时,若已假设n=k（k≥2,k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A。
高中数学北师大版选修2-2学案：1.4 数学归纳法 Word版含解析
§4数学归纳法1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理数学归纳法阅读教材P16～P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.()【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](n＋3)＝（n＋3）（n＋4）2(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【导学号：94210022】【自主解答】(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以f（k＋1）f（k）＝（2k＋1）（2k＋2）k＋1＝2(2k＋1).【答案】(1)D(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.[再练一题]1.下面四个判断中，正确的是()A.式子1＋k＋k2＋…＋k n(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B.式子1＋k＋k2＋…＋k n－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC.式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13D.设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4【解析】A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；D中，f(k＋1)＝f(k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C. 【答案】 C(1)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________. (2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋). 【精彩点拨】 (1)写出当n ＝k 时左边的式子，和当n ＝k ＋1时左边的式子，比较即可.(2)在由n ＝k 到n ＝k ＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】 (1)当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1（2k ＋1）（2k ＋2）.【答案】1（2k ＋1）（2k ＋2）(2)证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立. ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<（k ）2＋（k ＋1）2＋1k ＋1＝2（k ＋1）k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立. [再练一题]2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式.【证明】 ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12（k ＋1） ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 >1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋12（2k ＋1）（k ＋1）>1324.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n （2n －1）且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明.【精彩点拨】 (1)令n ＝2，3可分别求a 2，a 3.(2)根据a 1，a 2，a 3的值，找出规律，猜想a n ，再用数学归纳法证明. 【自主解答】 (1)a 2＝S 22（2×2－1）＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜得： a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝1（2k－1）（2k＋1），那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝S nn（2n－1），得a k＝S kk（2k－1），a k＋1＝S k＋1（k＋1）（2k＋1），所以S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1（2k－1）（2k＋1）＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，所以a k＋1＝1（2k＋1）（2k＋3）＝1[2（k＋1）－1][2（k＋1）＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立.由①②可知命题对任何n∈N＋都成立.1.“归纳—猜想—证明”的一般环节2.“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.[再练一题]3.数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明.【解】 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32； 由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k －12k －1＝2k ＋1－12（k ＋1）－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立.[探究共研型]【提示】 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值为n 0＝3.探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N).＋【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑.【自主解答】(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立.由(1)(2)知命题对一切n∈N成立.＋与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.[再练一题]4.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【导学号：94210023】【解析】由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【答案】(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6[构建·体系]数学归纳法—⎪⎪⎪⎪⎪—定义—应用—⎪⎪⎪⎪—证明等式—证明不等式—证明整除性问题1.用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3. 【答案】 C2.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为( )A.1B.1＋a ＋a 2C.1＋aD.1＋a ＋a 2＋a 3【解析】 当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2. 【答案】 B3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为________.【导学号：94210024】【解析】 当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2中的k 更换为k ＋1.【答案】 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2 4.以下是用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N ＋不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2（n －1）（n ＋1）4.【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×（1－1）×（1＋1）4＝0，所以等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2（k －1）（k ＋1）4.那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k ) ＝k 2（k －1）（k ＋1）4＋(2k ＋1)k （k ＋1）2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2)＝（k ＋1）2[（k ＋1）－1][（k ＋1）＋1]4.所以当n ＝k ＋1时等式成立. 由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( )A.n ＝1B.n ＝2C.n ＝3D.n ＝4【解析】 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立.【答案】 C2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A.f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B.f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C.f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D.f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14【解析】 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.【答案】 D3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )【导学号：94210025】A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2【解析】 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.【答案】 D4.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A.若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B.若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C.若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D.若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立【解析】 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立.”【答案】 D5.已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立.判断以上评述( )A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】 B二、填空题6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.【解析】∵f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27.用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1（n＋1）2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________.【解析】当n＝k＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1（k＋1）2＋1（k＋2）2>12－1k＋3.【答案】122＋132＋…＋1（k＋1）2＋1（k＋2）2>12－1k＋38.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________.【解析】当n＝k时，左边＝12＋22＋...＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋ (22)12.当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.【答案】(k＋1)2＋k2三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).【证明】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立.10.用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1). 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1<k ，则当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1×2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立. 由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n ，不等式均成立.[能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A.假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B.假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D.假设n ＝k (k ∈N ＋)时正确，再推n ＝k ＋2时正确【解析】 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确.故选B.【答案】 B2.对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()【导学号：94210026】A.过程全都正确B.n＝1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求.故选D.【答案】 D3.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)假设当n＝k(k∈N＋＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。
北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
n∈N+).
证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)
=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即2���1���-1 − 21������; 在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.
(������ + 1) + 1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.
故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
=������+1 1 + ������+1 2+…+21������.
那么,当 n=k+1 时,
左边=1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道
高中数学北师大版选修2-2课时作业：1.4.2 数学归纳法(2) Word版含解析
选修2-2 第一章 §4 课时作业61．证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．2．[2014·吉安检测]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13， a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n. 下面用数学归纳法进行证明①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k，那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 解：(1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．4．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S 1＝1，S 2＝2＋3＝5，S 3＝4＋5＋6＝15，S 4＝7＋8＋9＋10＝34，S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S 6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解：分别计算n ＝1,2,3,4时，S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值，并将结果改写为统一形式，猜测出一般结果，然后用数学归纳法证明即可．由题意知，当n ＝1时，S 1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．。
北师大版高中数学选修2-2第一章4数学归纳法
§4 数学归纳法 课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法．2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324 (n >2)”时的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1二、填空题。
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1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步应验证( ) A ．1＋12
<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14
<3 解析：∵n >1，且n ∈N ＋，∴n 的第一个取值n 0＝2.
此时12n －1＝13
. 答案：B
2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )
A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确
B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确
C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确
D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)
解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．
答案： B
3．已知数列{a n }的前n 项之和为S n 且S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)，若已经算出a 1＝1，a 2＝32
，则猜想a n ＝( )
A.2n －1n
B.n ＋1n
C.2n －12n －1
D.2n －12
n －1 解析：∵a 1＝1，a 2＝32
， 又S 3＝1＋32
＋a 3＝6－a 3， ∴a 3＝74
. 同理，可求a 4＝158，观察1，32，74，158
，…，
容易猜想出a n ＝2n －12n －1⎝
⎛⎭⎪⎫或a n ＝2－12n －1. 答案：D
4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324
的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )
A ．增加
12(k ＋1) B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)
C ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1
D ．增加
12(k ＋1)，减少1k ＋1 解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k
，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－⎝
⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋12(k ＋1)，减少1k ＋1
. 答案：C
5．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：凸k ＋1边形在凸k 边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.
答案：π
6．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下：
①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，
则当n ＝k ＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋
11－2＝2k ＋1－1，
所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________．
解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是[] 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．
答案：没有用上归纳假设进行递推
7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n 1＋a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12
， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14
. (2)由(1)的计算猜想知a n ＝1n .
下面用数学归纳法进行证明． ①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝1k
， 那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k
＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
根据①②可知，对任意n ∈N ＋都有a n ＝1n .
8．已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a 1＝1，a n ＋1＝12
a n (4－a n )，n ∈N ＋.证明a n <a n ＋1<2(n ∈N ＋)．
证明：①当n ＝1时，a 1＝1，a 2＝12a 1(4－a 1)＝32
， ∴a 1<a 2<2，命题正确．
②假设n ＝k 时，有a k <a k ＋1<2，则n ＝k ＋1时，
a k＋1－a k＋2＝1
2a k(4－a k)－
1
2a k＋1(4－a k＋1)
＝2(a k－a k＋1)－1
2(a k－a k＋1)·(a k＋a k＋1)
＝1
2(a k－a k＋1)(4－a k－a k＋1)．
而a k－a k＋1<0,4－a k－a k＋1>0，
∴a k＋1－a k＋2<0.
又a k＋2＝1
2a k＋1(4－a k＋1)＝1
2[4－(a k＋1－2)
2]<2，
∴n＝k＋1时命题正确．
由①②知，对一切n∈N＋有a k<a k＋1<2.。