构造函数法

如果θθθθcos )cos 1(sin )sin 1(22+>+，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是

x x x f +=3)(

12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝

2n n c a +，c n ＋1＝2

n n

b a +，则( )． A ．{S n }为递减数列

B ．{S n }为递增数列

C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案：B

知识的产生过程

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.

答案：25

5

-

解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝125sin cos 55x x ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

，令cos α＝15，sin α＝25-， 则f (x )＝5sin(α＋x )，当x ＝2k π＋π

2

－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，

即θ＝2k π＋π

2

－α(k ∈Z )，

所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫

- ⎪⎝⎭

＝sin α＝22555-=-

.三次方程的解法 16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，

则f (x )的最大值为__________．

答案：16

解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，

即15164,

0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨

=-(-+)⎩

解得8,15.a b =⎧⎨=⎩

∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0， 得x 1＝－2－5，x 2＝－2，x 3＝－2＋5.

易知，f (x )在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．

∴f (－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15] ＝(－8－45)(8－45) ＝80－64＝16.

f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.

f (－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15] ＝(－8＋45)(8＋45)＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.

方法二：∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.)158)(1()(22++-=x x x x f

)

5)(3)(1)(1(++-+=x x x x )

54)(34(22-+++-=x x x x ，

44)2(422-≥-+=+=x x x t ，16)1()5)(3()(2+--=-+-=t t t t f

方法三：)2

5

434(

)1)(5)(1)(3(22+--++≤-+++x x x x x x x x 16= 52,5)2(2±-==+x x （太谷中学刘文武）

设12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a

b a b

-=的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若

2

21

PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）

A 、[2，3]

B 、（1，3]

C 、[)3,+∞

D 、(]1,2

（提示：

2

2

22111

11

(2)448PF a PF a PF a a PF PF PF +=

=++≥，当且仅当2

11

4a PF PF =，即12PF a =，24PF a =时取等于号，又1212PF PF F F +≥，得

62a c ≥，∴13e ≤，选B ）

【练习8】、（2001广东河南10）对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足

PQ a ≥，则a 的取值范围是（ ）

A 、(),0-∞

B 、(,2]-∞

C 、[0,2]

D 、(0,2)

（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a ＜0符合条件，则排除C 、D ；又取1a =，则P 是

焦点，记点Q 到准线的距离为d ，则由抛物线定义知道，此时a ＜d ＜|PQ|,即表明1a =符合条件，排除A ，选B 。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

设点Q 的坐标为200(,)4y y ，由P Q a ≥，得22

2200(

)4y y a a +-≥，整理得2

200(168)0y y a +-≥，∵ 200y ≥，∴20

1680y a +-≥，即2028y a ≤+恒成立，而2

28

y +的