向量和向量范数
第五章--向量范数和矩阵范数
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
数值计算方法-范数
0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2
Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n
x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0
范数
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：（1），有，当且仅当时，（非负性）（2），，有（齐次性）（3.37）（3），，有（三角不等式）那么称该实数为向量的范数。
几个常用向量范数向量的范数定义为其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成例3.5 计算向量的三种范数。
向量范数的等价性有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。
若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有或（证明略）向量的极限有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。
由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。
向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。
若，则就是向量序列的极限。
例3.6 求向量序列极限向量。
解：算出每个向量分量的极限后得在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取为极限向量。
3.3.2 矩阵范数矩阵范数定义定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：（1）当且仅当时，（非负性）（2）（齐次性）（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）则称为矩阵范数。
矩阵的算子范数常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：设，记方阵的范数为，那么或（3.38）称为矩阵的算子范数或从属范数。
3-1,2,3向量范数
主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数与算子范数 三、范数的应用
第一节 向量范数
主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2·向量范数的等价性
一、向量范数的定义
对于向量空间 C上n 的任意向量 x,
如果函数 Cn R 满足：
对应一个实值函数 x
1）正定性 x 0 且 x 0 x 0
d(x, y) x y
实例1 在向量空间C n中, 向量的长度是一种向量范数，
称为2-范数或欧氏范数。
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
x (x1, x2 , , xn )T C n
证明 易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也成立。 下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。
2）齐次性 x x , C
3）三角不等式 x y x y
则称 x为向量x的范数。
范数的性质： (1) x x
(2) x y x y
性质（1）利用范数的齐次性即可证明。 下面证明（2）。根据三角不等式，有
x xyy xy y
x y xy 对任意的 x , y C，n 可以利用范数定义向量间的距离如下：
n
x 1
xi
i 1
n
1
x ( 2
xi 2 ) 2
i 1
1－范数， 2－范数(或Euclid范数)
x
max
1in
xi
它们均构成范数。
∞－范数(或最大值范数)。
说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x 1,2,3T
x 6 1
x 14 2
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
线性代数中的基础概念常见符号表示,向量范数与矩阵范数
线性代数中的基础概念常见符号表示，向量范数与矩阵范数常见的符号表示\mathbb{R} : 实数集\mathbb{C} : 复数集\mathbb{R}^n : n维实数空间\mathbb{C}^n : n维复数空间\mathbb{R}^{m\times n} : 所有m \times n的实矩阵构成的集合\mathbb{C}^{m\times n} : 所有m \times n的复矩阵构成的集合\mathbf{x} : 列向量[\mathbf{x}]_i, x_i : 向量\mathbf{x}的第i个元素\mathbf{A} :矩阵a_{ij}, [\mathbf{A}]_{ij}:矩阵第i行的第j个元素向量：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n即\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, x_i \in \mathbb{R}, i \in \{1, 2, \cdots, n\}\\向量的转置：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{x}^T = [x_1, x_2, \cdots, x_n] (列向量转置成为了行向量)向量的共轭转置：\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n,\mathbf{x}^H = [x_1^*, x_2^*, \cdots, x_n^*]（x_i与x_i^*互为共轭）矩阵:\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}即\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 &\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix},a_{ij} \in \mathbb{R}, \mathbf{a}_j \in \mathbb{R}^m, i \in \{1, 2, \cdots, m\}, j \in \{1, 2, \cdots, n\}\\矩阵的转置：\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} &\cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2m} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \Leftrightarrow b_{ij} =a_{ij}\\性质：•\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T•(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T矩阵的共轭转置：\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}\mathbf{A}^H = \begin{bmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* & \cdots & a_{m1}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^* & \cdots &a_{m2}^* \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n}^* & a_{2m}^*& \cdots & a_{mn}^* \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^H \Leftrightarrowb_{ij} = a_{ij}^*\\性质：•\mathbf{(AB)}^H = \mathbf{B}^H \mathbf{A}^H•(\mathbf{A}^H)^H = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^H = \mathbf{A}^H + \mathbf{B}^H矩阵的迹（trace）： \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}, tr(\mathbf{A}) = \sum_i^n a_{ii}性质：•tr(\mathbf{A}^T) = \mathbf{A}•tr(\mathbf{A+B}) = tr(\mathbf{A}) + tr(\mathbf{B})•tr(\mathbf{AB}) = tr(\mathbf{BA})\mathbf{0} 表示一个元素全为0的向量或矩阵\mathbf{1} 表示一个元素全为1的向量或矩阵单位向量：\mathbf{e}_i = [0, \cdots, 0, 1, 0 \cdots, 0]^T，\mathbf{e}_i只有一个位置为1，其余是0单位矩阵（identity matrix）：\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}\\对角矩阵（diagonal matrx）：\text{diag}(a_1, \cdots, a_n) = \begin{bmatrix} a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_n \end{bmatrix}\\上三角矩阵（upper triangle matrix）\mathbf{L} = \begin{bmatrix} l_{11} & l_{12} & \cdots & l_{ln} \\ & l_{22} & \cdots & l_{2n} \\ & & \ddots & \vdots\\ & & & l_{nn} \end{bmatrix}\\关于上三角矩阵：•上三角矩阵的逆是上三角矩阵•上三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是上三角矩阵下三角矩阵（lower triangle matrix）\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{11} & & & \\ u_{12} & u_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ u_{1n} &u_{2n} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}\\关于下三角矩阵：•下三角矩阵的逆是上三角矩阵•下三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是下三角矩阵向量乘法与数乘如\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T \in\mathbb{R}^n, \mathbf{y} = [y_1, y_2, \cdots, y_n]^T \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R},•向量数乘：\alpha \mathbf{x} = [\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n]^T•向量乘法（内积）：<\mathbf{x}, \mathbf{y}> =\mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i•如果\mathbf{x}^T \mathbf{y} = 0, 则说\mathbf{x}和\mathbf{y}是正交的。
范数的运算方法
范数的运算方法在数学领域中，范数是衡量向量大小的一种工具，广泛应用于线性代数、数值分析等领域。
范数的运算方法不仅涉及基础的数学理论，还与实际应用紧密相关。
本文将详细介绍几种常见的范数运算方法。
一、向量范数的定义设向量( mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) )，其范数定义为：1.向量的1-范数（Manhattan范数）：[ ||mathbf{a}||_1 = sum_{i=1}^{n} |a_i| ]2.向量的2-范数（Euclidean范数，即欧几里得范数）：[ ||mathbf{a}||_2 = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2} ]3.向量的∞-范数（最大范数）：[ ||mathbf{a}||_{infty} = max_{1leq ileq n} |a_i| ]二、范数的运算方法1.范数的加法：对于向量( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )，其1-范数、2-范数和∞-范数的加法满足以下性质：[ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_1 leq ||mathbf{a}||_1 + ||mathbf{b}||_1 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_2 leq ||mathbf{a}||_2 + ||mathbf{b}||_2 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_{infty} leq ||mathbf{a}||_{infty} +||mathbf{b}||_{infty} ]2.范数的乘法：对于向量( mathbf{a} ) 和标量( alpha )，其1-范数、2-范数和∞-范数的乘法满足以下性质：[ ||alpha mathbf{a}||_1 = |alpha| ||mathbf{a}||_1 ][ ||alpha mathbf{a}||_2 = |alpha| ||mathbf{a}||_2 ][ ||alpha mathbf{a}||_{infty} = |alpha| ||mathbf{a}||_{infty} ]3.范数的三角不等式：对于向量( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )，其1-范数、2-范数和∞-范数满足以下三角不等式：[ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_1 leq ||mathbf{a}||_1 + ||mathbf{b}||_1 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_2 leq ||mathbf{a}||_2 + ||mathbf{b}||_2 ] [ ||mathbf{a} + mathbf{b}||_{infty} leq ||mathbf{a}||_{infty} +||mathbf{b}||_{infty} ]三、总结范数的运算方法在实际应用中具有重要作用，如优化问题、数值分析等领域。
第3章 线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
将实数
n
(x, y) yT x xi yi
i 1
n
（或复数 (x, y) y H x ） xi yi
i1
称为向量 x,的y 数量积.
18
将非负实数
1
x
2
1
(x, x) 2
n i 1
xi2 2
或
1
x 2
1
(x, x) 2
n i1
xi 2 2
称为向量 x的欧氏范数 .
，x *
记为
lim x(k ) x*.
k
25
定理7
( N (的x)连续性) 设非负函数 N (x) x
为 R上n 任一向量范数， 则 N (是x) 的x分量
的连续函数.
xi2 ) 2 .
i 1
也称为向量 x的欧氏范数.
4. 向量的 -范p数：
n
x ( p
xi p )1/ p ,
i 1
其中 p [1., )
可以证明向量函数 N (x)是 x上p 向量R的n 范数, 且容易说明上述三种范数是 p-范数的特殊情况.
24
例 计算向量 x (1,的2,3各)T种范数.
关于范数，成立如下定理.
定理6
设 x, yR（ n 或Cn ), 则
1. (x,x)0, 当且仅当x 0 时成立；
19
2. (x, y) (x, y), 为实数, (或(x, y) (x, y), 为复数）；
3. (x, y) ( y,x)(或(x, y) ( y,x));
4. (x1 x2, y) (x1, y) (x2, y);
证明 设 是 的A 任一特征值， 为x相应的特征向量，
线性方程组解法 第2节 向量范数等价性证明
1 2 n 0.
为A对T 称A矩阵，设
为 的u相1,应u于2 ,(5.9), un A
的特征向量且
，又设 为任一非零向量，
(ui , u j ) ij
xRn
于是有
n
x ciui , i 1
（5.9）
12
其中 为c组i 合系数，则
n
Ax 2 2 x2
( AT Ax, x) ( x, x)
向量范数
1. 向量范数的定义
函数 （（（123N定）））义正齐三x9定次角（性 性 不向等量x式范，数若）xx满x足0对 ,：yxx于，向其 0量 x中x yRx,nR或 (x或 0,x或 y记 CRCn为n)的；或某 ；个C实n值。非负
称N
(
x)
||
x
||
是R
n
上
或C n
一个向量范数或模。
设
x (x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2 , , yn )T R（n 或 ）C.n
将实数
（或复数 称为向量
n
(x, y) yT x xi yi i 1
( x, y) ）y H x n xi yi i1
的x数, 量y 积.
18
将非负实数
1
x
2
1
(x, x) 2
aij x j
j1
max i
aij
j1
xj
n
t max i
j1
aij .
10
这说明对任何非零 ， x R n 有
Ax
.
x
（5.8）
接下来说明有一向量 ,
x0 0
使
Ax0 .
x0
机器学习中的数学基础(1)——向量和范数
从今天开始，我将开设一个机器学习数学基础的系列。
主要介绍机器学习中经常用到的那些数学知识，方便大家入门。
一说起数学，有人会觉得很难。
其实在这个系列中，我将会以最直白的语言来向你解释这些数学名词，大家不用担心，即使你是零基础，一样可以看得懂。
∙向量我们从向量开始说起，什么是向量？它其实就是用括号括起来的一堆数，只不过这些数都是竖着写的。
比如：它们就分别是1维、2维和3维的向量。
我们一般用小写粗体来表示向量，如x。
如果我们写它代表什么含义呢？“∈”这个符号读作属于，R表示实数集，而n表示维度。
也就是说向量有几个元素，就是几维的向量。
整个式子表示：向量x有n个维度，每个元素的取值都在实数集中。
∙范数范数，又叫做L-p范数。
它是这么定义的：看上去很复杂，其实也容易理解，我们一点点来看。
上面的式子是说，对于给定的一个n维向量w，它的范数就是向量w中的各个元素的绝对值的p次方之和，再开p次的根号（1/p 就相当于开p次根号）。
根据p的取值不同，范数的结果也就不同。
我们常用的p值为12，∞等等。
1. L1范数我们先来看p值为1时的范数，我们称之为L1范数。
把p=1代入上面的式子，得到：可能上面的式子还不够直观，我们再举个例子来看。
假设我们有二维向量w=（x，y），那么w的L1范数就是|x|+|y|。
当范数值固定时，我们还可以画出由所有的点（x，y）构成的图像。
这里不妨假设|x|+|y|=1（当然你可以假设为任意值k，这里假设为1只是为了画图方便），我们大概用手画一下它的图像：图1那么图像为什么是这样子的呢？我们可以研究下公式|x|+|y|=1，其中x和y的正负性是未知的，我们就可以分情况来讨论：① x>0，y>0。
公式化简为x+y=1，它原本的图像是过图1中A、B两点的直线，但现在约束条件是x、y均大于0.所以它最后的图像就是AB线段。
② x>0，y<0。
公式化简为x-y=1，它原本的图像是过图1中A、D两点的直线。
向量范数平方
向量范数平方引言向量范数是对向量进行度量的一种方式，它在很多应用领域都起到了关键的作用。
本文将详细介绍向量范数平方的概念及其重要性，并探讨其在数学、物理和计算机科学等领域的应用。
二级标题1：向量范数的定义向量范数是对向量空间中的向量进行度量的一种方式，它将向量映射到非负的实数集合。
向量范数通常满足以下四个性质：1.非负性：对于任意向量 x，范数的值必须大于等于零，即 ||x|| >= 0。
2.齐次性：对于任意标量 a 和向量 x，有 ||ax|| = |a| ||x||。
3.三角不等式：对于任意向量 x 和 y，有 ||x+y|| <= ||x|| + ||y||。
4.正定性：只有当向量 x 的所有分量都为零时，范数的值才等于零，即||x|| = 0 当且仅当 x = 0。
常见的向量范数有 L1 范数、L2 范数和无穷范数等。
其中，L1 范数定义为向量中所有分量的绝对值之和，即||x||1 = |x1| + |x2| + … + |xn|。
L2 范数定义为向量中所有分量的平方和的平方根，即||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + … + xn^2)。
无穷范数定义为向量中所有分量的绝对值的最大值，即||x||∞ = max(|x1|,|x2|, …, |xn|)。
二级标题2：向量范数平方的定义向量范数平方是指将向量范数的值进行平方操作，得到的结果仍为非负实数。
向量范数平方可以通过对向量中每个分量进行平方操作得到，常见的向量范数平方有L1 范数平方、L2 范数平方和无穷范数平方等。
例如，L2 范数平方定义为向量中所有分量的平方和，即||x||2^2 = x1^2 + x2^2 + … + xn^2。
三级标题1：向量范数平方的性质向量范数平方具有一些特殊的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。
1.非负性：向量范数平方的结果是非负的，即 ||x||^2 >= 0。
2.齐次性：对于任意标量 a 和向量 x，有 ||ax||^2 = |a|^2 ||x||^2。
第5章-3向量、范数、欧式范数等
(x, y) ≤ x 2 ⋅ y 2,
等号当且仅当 x与 y 线性相关时成立； 6. 三角不等式
x + y 2 ≤ x 2 + y 2.
3
向量的欧式范数可以看成是对 Rn中向量“大小”的一 种度量. 也可以用其他办法来度量向量的“大小”. 例如，对于 x = (x1, x2 )T ∈R2 , 可以用一个 x的函数
Rn 或 n 设 x, y∈ （ C ), 则
1. (x,x)=0,
当 仅 x=0 时 立 且 当 成 ；
2
2. (αx, y)=α(x, y), α为 数 实 , (或(αx, y)=α (x, y), α为 数 ； 复 ）
3. (x, y) =( y,x)(或(x, y) =( y,x));
4. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
f (x′) = m f (x) = c1, in
x∈ S
′ f (x′ ) = m f (x) = c2. ax
x∈ S
设 x ∈R 且 x ≠ 0, 则
n
x ∈S, 从而有 x∞
x ≤ c2 , c ≤ f 1 x ∞
（5.3）
显然 c1, c2 > 0, 上式为
12
1. x ≥0 ( x =0 当 仅 x=0 ) ( 正 条 ） 且 当 定 件 ，
2. αx = α ⋅ x , ∀ ∈Rn (或 ∈ n ), α α C
3. x+ y ≤ x + y (三 不 式 ， 角 等 ）
（5.1）
则称 N(x)是 Rn (或 Cn )上的一个向量范数(或模). 由(3)
范数
注:
cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A 1‖1 cond (A) cond (A)2 =‖A‖ ‖ A 1‖
max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
max | | cond ( A)2 min | |
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
定理1.4.6 对任意算子范数 || ·|| 有: ( A) || A ||
证明：由算子范数的相容性，得到 || Ax || || A || || x ||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 u 代入 | | || u || || u || || Au || || A || || u ||
定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有
①. I A 可逆； ②.
I A
1
1 1 || A ||
证明：① 若不然，则 ( I A) x 0 有非零解，即存在非零向
x0 使得 量
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性） 2 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1 成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pi x 11)(∑= = αp x 知性质2 成立。
3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数p tptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得： q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pi i ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i i i ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piippq111 左右两边同时除以()∑+y x iipq1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
向量与矩阵范数
9
算子范数性质
算子范数的性质
定理：设 || ·|| 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的 算子范数也记为 || ·|| ，则有
Ax A x
定理：设 || ·|| 是任一算子范数，则 ( A) A
定理：对任意 >0, 总存在一算子范数 || ·|| ，使得
1 n
3
范数性质
范数的性质
(1) 连续性 设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分
量是连续的
(2) 等价性 设 || · ||s 和 || ·||t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在 常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有
c1 x s x t c2 x
p xi , p [1, ) ，是 Rn 上向量范数 i 1
n 1 p
p
2
向量范数
常见的向量范数 ① 1-范数 ② 2-范数
x 1 xi
i 1 n
n 2 x 2 xi i 1
1 2
③ 无穷范数（最大范数）
x
max xi
8
矩阵范数性质
矩阵范数的性质
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A
的每个分量是连续的
(2) 等价性：设 || ·||s 和 || ·||t 是 Rnn 上的任意两个矩阵 范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有
c1 A s A t c2 A s
本讲内容
向量范数
向量范数的定义 常见的向量范数
向量范数的性质
第三章 向量的范数
(2) 当X 0时，有
1
x
X
1 。
(3) 对任意的 X V,有 - X X 。
(4)对任意的X，Y V,有 X Y X Y 。
距离定义
在赋范数向量空间中， 向量X与Y之间的距离 可定义为X - Y的范数，即
d ( X ,Y ) X Y
三、 常用向量范数
记R n X (1, 2 ,, n ) i C
T
① X 10， X 1 17， X 2 11, 4 4 2 n ②X , X1 2 n, n 1 n 1 n e 16 4 n X2 2 4 2n (n 1) n e ③ X 12, X 1 19, X 2 13, ④ X 17, X 1 2 3 17, X 2 32
(2) kX d 1 kX a 2 kX b k (1 X a 2 X b ) k X d
(3) X Y d 1 X Y a 2 X Y b 1 X a 1 Y a 2 X b 2 Y b 1 X d 2 Y d
b
maxX
a
a
Y a, X
b
Yb
b
max X a , X
maxY
,Y
b
X
a
X
②证明： (1) 当X 0时， X a 0, X b 0, X d 0,
当X 0时， X a 0, X b 0,又1，2 0, 1 X 2 X b 0 X d 0
（1
2
2
2
2
2
n
2
范数与向量长度
范数与向量长度
一、范数的概念
在数学中，范数是一种衡量向量或矩阵大小的方法。
它的定义具有以下性质：
1. 非负性：对于任意的向量或矩阵x，其范数大于等于0。
2. 齐次性：对于任意的标量α和向量或矩阵x，有αx的范数等于|α|乘以x的范数。
3. 三角不等式：对于任意的向量或矩阵x和y，有x+y的范数小于等于x的范数加上y的范数。
二、向量长度与向量范数的关系
向量长度是向量的一个特殊范数，即L2范数。
向量的L2范数定义为其元素的平方和的平方根。
具体而言，对于一个n维的向量x，其L2范数为√(x₁² + x₂² + ... + xn²)。
向量长度表示了从原点到向量所代表的点的距离。
值得注意的是，除了L2范数外，还有其他的范数可以用来衡
量向量的大小。
常用的范数还包括L1范数、无穷范数等。
三、范数的应用
范数在数学、工程和机器研究等领域具有广泛的应用。
以下是
范数的一些典型应用场景：
1. 向量正则化：在机器研究中，通过对权重向量添加范数约束，可以控制模型的复杂度，避免过拟合。
2. 特征选择：通过计算特征向量的范数，可以评估其对目标变
量的贡献，从而选择出重要的特征。
3. 图像处理：范数可以用来度量图像之间的相似性，并用于图
像去噪、图像压缩等领域。
四、结论
范数是衡量向量或矩阵大小的一种方法，向量的长度是其中一
种常见的范数，表示了向量所代表点的距离。
范数在数学和多个应
用领域中发挥着重要作用，帮助解决各种问题。
线性代数向量正交公式
线性代数向量正交公式线性代数向量正交公式是一个常见的数学概念，它表示两个向量在三维空间中被定义为正交，也就是说，它们夹角为90°。
它也可以用来解决具有特定方向的物理问题，比如从一个物体到另一个物体的力。
下面会简要介绍一些线性代数向量正交公式：一：向量范数向量范数是一个向量的标准值，它表示向量的长度。
向量正交公式依赖于向量范数而定义，下面的公式表示的是向量的范数：$$ \lvert v \rvert = \sqrt {v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 }$$二：两向量正交当两个向量彼此正交时，两个向量之间的内积就会为0，下面的式子表示的就是两向量彼此正交的公式：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$三：任何两向量正交任何两个向量正交，都可以用下面的公式来表示：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。
$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。
$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。
四：锐角锐角就是两个向量之间的夹角是小于90°的，而当两个向量之间的夹角之小于90°的时候，它们的正交的公式就会变成：$$(\vec{a}, \vec{b}) = \cos \theta _{ab} \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert$$其中：$\theta_{ab}$ 表示两向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$之间的夹角。
$|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的范数。
$|\vec{b}|$ 表示向量 $\vec{b}$ 的范数。
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3.4 向量和矩阵范数
3.4.1 内积与向量范数
为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的"大小"引进一
种度量，就要定义范数，它是向量"长度"概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间.
定义4.1设(或)，，，实数或
复数，称为向量x与y的数量积也称内积.
非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数.
定理4.1设设(或)则内积有以下性质：
(1) ，当且仅当x=0时等号成立；
(2) ,或；
(3) ,或；
(4) ；
(5) (3.4.1)
称为Cauch-Schwarz不等式.
(6) ，称为三角不等式.
定义4.2向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件：
(1) ‖x‖≥0,当且仅当x=0时等号成立(正定性)；
(2) (齐次性)；
(3) (三角不等式)；
则称是上的一个向量范数.
对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数.
(称为∞-范数)
(称为1-范数)
容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义
但只有p=1,2,∞时的三种范数是常用的向量范数.
例如给定,则可求出
定理4.2设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数.
定理4.3设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使
(3.4.2)
不等式称为向量范数等价性.
以上两定理证明可见［2］，［3］.
讲解：
在向量得内积（x,y）的性质中，定理4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当x＝0或y＝0时（3.4.1）成立，现设，考察
若取
则上式为
于是
两边开方则得（3.4.1）
利用（3.4.1）直接可证三角不等式，从而可证明向量2一范数，满足定义中的三个条件。
及是三种最常用的范数。
实际上可以给出很多不同的向量范数，只要证明它们满足定义4.2中的三个条件，定理4.3表明任意的两种向量范数及，它们都是等价的，对于的等价性在习题10中给出，可自己证明。