对应线段成比例

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4.平行线分线段成比例.详解

相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是真的吗？

相似中考复习平行线分线段成比例定理

F
D
E
A
C B
3.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF 的延长线交AB于点G，则AG:GD等于（）
A、2:1
B、3:1
C、3:2
D、4:3
A
G三、简答题：
1.如图所示，D是AB的中点，CF∥AB，G、F、 E、D在一条直线上，求证 DE DG
【变式1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.
D梯形ABCD中，AB∥DC,E、F分别在AD、BC上，且BF:FC=2：3，EF∥AB，交AC与点G，则 EG:DC=
.
【例2】如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，且 AD ，AE求证 DE∥BC .
DB EC
【例3】如图，已知L1∥L2∥L3，直线AB、CD分别与它们相交，如果AB=8cm,BN=5cm， CM=4cm，求CD的长.
（D）BD＝2，AB＝6，CE＝1，AE＝3．
（A）AD＝6，BD＝4，AE＝，CE＝；
格式：如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图3
B C 如图，四边形ABCD中，取AD边上一点E，连结BE并延长交CD的延长线于F，由以下比例式能判定FC//AB的是（）
说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况. E、D在一条直线上，求证
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，
EF∥AD，那么DF=FC，如图2
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
格式：如果△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC，那么AE＝EC，如图3

相似及对应线段成比例

线段的比（一）基础知识：1．两条线段的比就是两条线段的比.线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为2. 在地图或工程图纸上，与的比通常称为比例尺A 、B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比为3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段，简称已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm课堂学习：1.两条线段的比的概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 【例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？巩固练习：在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?归纳与小结：1、（1）度量两条线段的必须统一（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是2. 比例线段的概念四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b =c ∶d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.【例2】（杭州市）已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式．分析：这是一道多种答案的开放性创新题巩固练习1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？归纳与小结：（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按列出 .（2）线段又叫做a ，b ，c 的第四比例项（3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.小结：1.两条线段的比的概念2.比例线段的概念练习：1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．5. 下列各组线段长度成比例的是（）A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝作业：1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际距离是（）A、60000米B、6000米C、600米D、60千米2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）A、2∶1B、3∶2C、1∶2D、3∶13、等边三角形的边与高的比是 _________．4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长是，角的实际是5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电线杆高等于 _________．6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学校的周长及面积.9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC= 成立吗？10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3线段的比（二）基础 1、若x x y -＝2，则x y= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是课堂学习：1. 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么d c b a =吗？与同伴交流. 【例1 】（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？（3）如果dc b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？巩固练习:1、已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴yx ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（）A 、a cb d = B 、1111ac bd ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质【例2】（1）如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？（2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则求①222x y z xy xz yz+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)小结：1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.当堂检测：1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；2、如果y y x + = 47，那么yx 的值是 3、若3x －4y = 0，则y y x +的值是；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________．作业：1、如果53=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .3、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（）cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．285、已知dc b c =,则下列式子中正确的是（） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是（）A 、n x =y mB 、m y =x nC 、m x =n yD 、m x =yn 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．35 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么ac bd bd ac 743--的值应等于（） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．32- 4.4 相似多边形基础1．各角，各边的两个多边形叫做相似多边形。

如何证明线段相等或成倍数关系

如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。

在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。

下面将详细介绍一些常用的证明方法。

一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。

如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。

2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。

如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。

3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。

4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。

5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。

二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。

如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。

3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。

4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。

此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。

总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。

只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。

对应线段成比例的三种形式

对应线段成比例的三种情形
要说对应线段成比例，咱们四川人讲起来也是头头是道，不
外乎就是那么几种情况嘛。

第一种嘛，就是平行线截割定理。

你想象一下，有两条平行线，中间被几条横七竖八的线给截了，那这些被截的线段，只要
它们在同一条直线上头，对头对的，那就是成比例的。

就好比说
你吃串串，两根签子串的肉大小一样，那就是成比例的噻。

第二种情况呢，就是相似三角形的对应边成比例。

你看嘛，
两个三角形要是长得像，那它们的对应边肯定就是成比例的。

就
像你跟你爸或者你妈长得像，那你们的一些特征，比如说眼睛大小、鼻子高低，那肯定就是成比例的。

最后一种，就是圆里面的弦的比例关系。

你画一个圆，然后
在圆里面画几条弦，只要这些弦满足一定的条件，那它们的长度
也是成比例的。

这个就跟咱们打麻将一样，有时候摸到的牌，要
是组合得好，那也是能打出好胡子的，这就叫“比例搭配得好”。

所以说嘛，对应线段成比例，其实就是要看它们是不是满足
上面这三种情况。

只要满足了，那它们就是成比例的。

这就像咱
们四川人吃火锅，只要火候、食材、调料都搭配得好，那吃起来
肯定就是美滋滋的。

所以说，数学也是跟生活息息相关的，只要
你用心去发现，就能找到其中的乐趣。

平行线分线段成比例定理课件

求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.

1
2
= 的应用,通过作平行线,证明

= ,

证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2

1
又 ∵DH∥AF,∴

+
+
=
.

= (其中b+d+…+n≠0),那么

②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+

(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.

平行线分线段成比例及证明

A
D
l1
AB BC DE EF
因为
BC AC
EF DF
（平行线分线段成比例定理）。
BE FC
l2
l3
BC AC EF DF
AB BC AC DE EF DF
！
上下全上下全
已知：如图， l1 //l2 //l3 ，AC=8，DE=2，EF=3，
求AB。
方法一解：因为 l1 //l2 //l3
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中，有 AB S ABM
BC S BCM
AM S ABM MN S BMN
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴ AB AM
BC MN
亦即 A B B E BC EF
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
三练习
已知：如图，l1
//l2
//l3
，
求证：
AB DE
BC。AC EF DF
证明：因为 l1 //l2 //l3
AB BC
DE EF
（平行线分线段成比例定理）。
平行线分线段成比例及证明
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的
A
线段对应成比例如图
B
已知l1∥l2∥l3
求证 AB DE
Hale Waihona Puke CBC EF或 AB DE
AC DF
或

初数学平行线分线段成比例定理

极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则
∵ BD 2 DC 3
∴ DB= 2 DC 2 7x 14 x
3
3
3
∴ BD
14 3
x
14
EG 3x 9
又 ∵EG∥BC， ∴ BF BD 14 FE EG 9
例 2 、如图 6 ， DE ∥ AB ， EF ∥ BC ， AF=5cm,
∴△ABF≌△ANF ∴BF=NF ∵BF⊥AF AM⊥AF
∴BF//AM
∴ ， BF FC
EN FC
EM EC AE CE
∴ BF FN 又∵BF=FN ∴EM=AE EM AE
点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造
等腰三角形，利用等腰三角形性质证题
8 / 12
（2）利用比例证明线段相等主要有以下形式
线段，
A
由题中图形可知，应证明 OA OF ，而由O ABB图/7F/EDD ， OC OD
BC//FE，容易得到此关系。
证明：∵AB//ED ∴ OA OB ① ∵BC//FE ∴ ② OB OC
OE OD
OF OE
由①得由②得 ∴ OAOD OB OE
OC OF OB OE
OAOD OC OF
C
E 为 AC 的中点，
（（第13题（2）—②）
A
D
E
F
M（N）
B
C
（第13题（2）—①）
D 为 BC 上的点，且 BD=AB，求证： BC AG AB GD
11．已知，C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC
为边，在 AB 的同侧作两个等边 N
E
F
M

初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习

平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评（1（3 例5 求证分析例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8．图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。

平行线分线段成比例八大题型

【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上上上下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为下下，全全，全全．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意；故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的是（）

人教版新高一初升高数学《平行线分线段成比例定理)》专题知识衔接过关讲义

衔接教材09 平行线分线段成比例定理知识点讲解在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.经典例题解析例1如图，123////l l l ，且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证法（二）：如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴==.AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.解假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G . //,EG AC EF FC =，∴EGF CDF ≅，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BD AC DC. 证明过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AE AC 即AB BD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.实时训练一、单选题1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）A ．AD CE BC DF =B ．AD BC BE AF = C ．AB CD CD EF = D ．AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF =BCCE，即ADBC=DFCE，所以A选项错误，D选项正确；AD AF =BCBE，所以B选项错误；同理C选项也错误．故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．【详解】①这两个图形能够完全重合，此选项错误；②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；④对称点的连线相交于一点，此选项正确；⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．故正确的有3个．故选：A．【点睛】此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．二、填空题3．在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm；【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∠A的平分线交BC于E点，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．所以▱ABCD的周长为22cm或20cm．故答案为22cm或20cm．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三、解答题4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l ∥2l ∥3l ，求证：AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．【详解】证明：如图，过点E 作直线MN ∥AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，∵1l ∥2l ∥3l ，MN ∥AC ，∴四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∴AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∴△DGE ∽△FHE ， ∴DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证．【点睛】本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）过点C 作CF ∥AB ，根据∠B =50°，∠C =85°，∠D =35°，即可得CF ∥ED ，进而可以判断AB 平行于ED ；（2）根据题意作AB ∥CD ，即可∠B =∠C =35°；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B 的度数．【详解】解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：如图2，过点C 作CF ∥AB ，∴∠BCF =∠B =50°，∵∠BCD =85°，∴∠FCD =85°-50°=35°，∵∠D =35°，∴∠FCD =∠D ，∴CF ∥ED ，∵CF ∥AB ，（2）如图，即为所求作的图形．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=35°，∴∠B的度数为：35°；∵A′B∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∴∠B的度数为：145°；∴∠B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∴∠B=∠BCF=50°．答：∠B的度数为50°．如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=130°；如图6，∵∠C=85°，∠D=35°，∴∠CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=60°，如图7，同理得：∠B=35°+85°=120°，综上所述，∠B 的度数为50°或130°或60°或120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用．6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．()1求直线AB 的函数表达式．()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）3y x 34=-+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，作OG ⊥BC 于G ，OH ⊥OB 于H ．只要证明△OCG ≌△CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；【详解】解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+．()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．四边形BCDE 是正方形，BC//ED ∴，OCG CPD ∠∠∴=，CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴≌CPD ，OG CD ∴=，AB 5∴=，OA OB 12OG AB 5⋅∴==，CH m =，4cos BCH cos BAO 5∠∠==，5BC m 4∴=，5CD m 4∴=，512m 45∴=，48m 25∴=．()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=，56m 45∴=，24m 25∴=，∴C （2425，5725）②当点C 中第一象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=，524m 45∴=，96m 25∴=，∴C （9625，325）③当点C 中第二象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=-，524m 45∴-=，96m 25∴=-，∴C （9625-，14725）.④当点C 中第二象限，OC 2PC =时，OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=-， 56m 45∴-=， 24m 25∴=-， ∴C （2425-，9325）综上所述，满足条件的点C 坐标为2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点P 是边BC 上由B 向C 运动（不与点B 、C 重合）的一动点，P 点的速度是1cm/s ，设点P 的运动时间为t ，过P 点作AC 的平行线交AB 与点N ，连接AP ，（1）请用含有t 的代数式表示线段AN 和线段PN 的长，（2）当t 为何值时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一？（3）在点P 的运动过程中，是否存在某一时刻的t 的值，使得△APN 的面积有最大值，若存在请求出t 的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） PN=34t ，AN =5﹣54t ；（2）当t 为43s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一；（3）t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN 、BN 即可解决问题；（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，∴AB=（cm ），∵PN ∥AC ，PB=t ， ∴PB BC =BN BA =PN AC， ∴4t =5BN =3PN ， ∴BN=54t ，PN=34t ， ∴AN=AB ﹣BN=5﹣54t ．（2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∴AC=3PN ，∴3=334⨯t ， ∴t=43， ∴当t 为2s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一．（3）由题意：S △APN =12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38＜0， ∴t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32．【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过“滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米【详解】解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。

平行线分线段成比例定理

A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
QR PQ 则 . KN HK
？
H
. .
K N P Q
.
R
l1 l2
. . .
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=3，DE=2， EF=4，求BC.
A
D
l1
l2
B
3
2E 4 F
6 ?
C
l3
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=6，BC=2， EF=1，求DE.
A 6 B 2 C
A
D
集中地分析这些比例式：
AB AC 上全是 ; DE DF 上全 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
AB AC 上全是 ; DE DF 上全 B BC AC 下全是 ;C EF DF 下全
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:

平行线分线段成比例及相似多边形—知识讲解

平行线分线段成比例及相似多边形责编：常春芳【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等.右全左全右上左上全上全上下上下上===,,（2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= EF 的值是__________.AB=BC【答案】2.【解析】2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==举一反三【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，的长是（）AD AB =A ．4.5B ．8C ．10.5D ．144、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（）A B C 6 D 233216【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（）A．5：8 B．3：8C．3：5D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求112BP AB ==，得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．。

八年级第九讲平行线分线段成比例定理

若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一参阅例3的分析一．的分析一．分析二如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。

14初中数学“成比例线段”知识点全解析

初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。

理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。

2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。

三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。

这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。

2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。

这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。

3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。

这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。

4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。

这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。

四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。

2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。

即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。

3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。

因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。

五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。

2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。

例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。

关于“平行线分线段对应成比例”的证明

关于“平行线分线段对应成比例”的证明作者：刘琴来源：《读与写·下旬刊》2017年第02期摘要：平行线分线段对应成比例定理是推导三角形相似的性质和判定的预备定理。

本文通过面积法将平行线分线段对应成比例的结论由直角三角形到一般三角形，进而再推广到一般的情形。

关键词：平行线；面积；成比例中图分类号：G648 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）02-0144-01正文：人教版九年级下在讲解平行线分线段对应成比例定理部分用的是度量法，此方法对于线段为整数时，容易测量出，但对于线段不为整数，特别是无理数时，不便测量，而且度量有时可能会有误差。

本文用面积法来证明其结论。

（一）预备知识：比例性质已知ba=dc可得性质①b+aa=d+cc，性质②b-aa=d-cc，性质③b+da+c=ba=dc。

（二）命题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，求证：ADAB=AEAC=DEBC。

证明：用面积法证明，连接DC，BE，如图2.由DE∥BC，△BDE和△BCE等底等高因而SVBDE=SVDCE，则SVABE=SVADC。

过点E作EF⊥AB于F。

由面积公式可得12·AB·EF=12·DE·AC，即EFDE=ACAB⑴且SVADE=12·AD·EF=12·AE·DE，即EFDE=AEAD⑵由⑴⑵可得ACAB=AEAD，即ACAE=ABAD，由比例性质②，可得AC-AEAE=AB-ADAD即ECAE=BDAD，也有ECAC=BDAB.过D点作DG⊥BC于G，四边形DGCE为矩形，因而DE=GC，由于DG∥AC，由前面的证明可得GCBC=ADAB，因而有DEBC=ADAB，综上可得ADAB=AEAC=DEBC。

（三）命题2：如图3，在△ABD中，EF∥BD，交AB于E，交AD于F，求证：AEAB=AFAD=EFBD。

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27.2.1相似三角形--平行线分线段成比例定理
一.基础题
1.如下左图⊿ABC 中,MN ∥BC,则BM:CN=AM: ;AB:AM= :AN; MN: =AN:AC.
2.如下中图已知DE ∥BC ，EF ∥AB;AD:DB=2:3,BC=20cm 则BF= .
3.如上右图平行四边行 ABCD ，E 为BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交B 于F 点，则____=AD
BE ，____=FD
BF . 4、如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AF:HE ＝________。

5、如图，AB∥BE∥CF，BC ＝3，，则AC ＝________。

6、如图，DE 是△ABC 的中位线，且DE ＋BC ＝6，则BC 长为________。

7、如图，△ABC 中，点P 在BC 上，四边形ADPE 为平行四边形，则＝________。

8、如图，△ABC 中，X 是AB 上一点，且AX ＝2XB ，XY∥BC，XZ∥BY，则AZ:ZC ＝________。

二.选择题
9.如下左图⊿ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（）
A. AD ：AB=AE ：AC
B. AD ：DB=AE ：EC
C. AD ：DB=DE ：BC
D. AD ：AB=DE ：BC
10.如下中图DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：FC BF EC AE =，BC AB BF AD =，BC DE AB EF =，BF
EA CF CE =，其中正确的比例式的个数有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11.如下右图AB 是斜靠在墙上的长梯，梯角B 距墙1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为（）
B M A N
C E
F B C D A A E D
B C F
A. 3.85m
B. 4.00m
C. 4.40m
D. 4.50m
三.解答题
12.如下左图在ΔABC 中，AB=AC ，AG ：GD=AF ：FB ，EG ∥CD 求证：AF=AE.
13.如下中图DF ∥BC ，E 是BC 延长线上的一点，CE=BC 求证：GE
DG AB AD .
14.如下右图平行四边形ABCD 中，F 是BC 延长线上一点，连AF 交DC 于E 点，若AB=a ，AD=b ，CE=m ，求BF 的长.
15.已知：在平行四边形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ∥AC 交CD 于F ，BF 的延长
线交AD 的延长线于G ，求证：AD 2=AE ·AG ( 自画图形)
16.已知：如图，E 为正方形ABCD 的BC 边延长线上一点，AE 交CD 于F ，FN ∥AD 交DE 于N ，
求证：CF=NF.
B C
C
F C B。