高三教学质量检测(一)理科数学试题定稿

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2020-2021学年高三数学（理科）高三教学质量检测一及答案解析

2020-2021学年高三数学（理科）高三教学质量检测一及答案解析最新高三教学质量监测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 为虚数单位，则复数21i-所对应的点在（） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =，集合{}|lg A x y x==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（）A ．}{1A B =-I B ．()(,0)A B =-∞R U e C ．(0,)A B =+∞U D ．}{()1A B =-R I e 3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A ．2x y =B ．2xy =C ．22xxy -=- D ．22xxy -=+4. 已知两个非零向量b a ,满足()0a a b ?-=r r r，且2a b =r r ，则>=<b a="" ,（="" ）<="" p="" bdsfid="125">。

高三教学质量测评(一)理科数学

汕头市普通高中高三教学质量测评（一）理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1．若复数341iz i-=+，复数z 的共轭复数z 等于（） A ．1722i -- B ．1722i - C ．1722i -+ D ．1722i + 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（） A ．68 B ．72 C ．54 D ．903．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A B C D 4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（）A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰ C ．120()S y y dy =-⎰ D ．1(S y dy =⎰5．已知3cos()25πα+=，且3ππα∈（，）22，则tan α=（）A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6．如果命题“()p q ⌝或为假命题，则（） A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题 D ．p 、q 中至多有一个为真命题7．从2-、1-、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数2y ax bx c =++的系数a b c 、、，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（） A ．6 B ．20 C ．100 D ． 1208．已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与OAC ∆的面积之比是（） A ．32 B ．53C ．2D ．5 第二部分非选择题二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须作答． 10．如右图所示为某一函数的求值程序框图。

高三教学质量检测(一)数学理

高三教学质量检测（一）数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分：共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前：考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后：用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号对应填在答题卷上的表格内：答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答：答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上：如需改动：先划掉原来的答案：然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后：将答题卷交回. 参考公式：事件A 、B 互斥：则()()()P A B P A P B +=+. 事件A 、B 独立：则)()()(B P A P AB P =.如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ：那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k k n kk n P C P P -=-.台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 31++=：其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积：h 是台体的高.球的表面积公式24S R π=、体积公式334R V π=：其中R 表示球的半径. 处理相关变量x 、y 的公式：相关系数21211)()())((∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr ：回归直线的方程是：a bx y+=ˆ：其中x b y a x xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==,)())((211：相关指数21122)()ˆ(1∑∑==---=n i ini i iy yyyR ：其中i yˆ是与i x 对应的回归估计值. 第一部分选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题：每小题5分：共40分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知R 为实数集：2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥：则=)(N C M R ( )．A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅2．若复数iiz -=1：则=|z |( )． A ．21B ．22C ．1D ．23．设(,)P x y 是图中的四边形内的点或四边形边界上的点：则z x y =+2的最大值是( )．A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图：一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形：则其体积是( )．A ．324 B . 334 C. 63 D . 385．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长：则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是( )．A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直6．如图：圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播. 若D 是DFE 弧与x 轴的交点：设OD= x a x ≤≤0()：圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)：则函数)(x f y =的图象大致是( )．7．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x ya b+=的左、右焦点：过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点：若△ABF 2为正三角形：则该椭圆的离心率e 是( )．A ．21B . 22C . 31D . 33 8．已知函数|lg |||,(0)()0,(0)x x f x x ≠⎧=⎨=⎩：则方程0)()(2=-x f x f 的实根共有( )．A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题：每小题5分：共30分。

2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线平行可得或其补角是异面直线与所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 , ，
由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而 ,
又因为是的中点，所以 ,所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人交谈时的声强为，从而得到，求出火箭发射时的声强为，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，
则，解得：，
则火箭发射时的声强为，将其代入中，得：
，故火箭发射时的声强级约为 .
故选：B
6.如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）
【详解】对②：由，可得，则（与为常数），
令，则，所以，则，
故关于直线对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则，
∴ ，则为奇函数，
故，即，则是以4为周期的周期函数，
由，令，则，可得，
故，①正确；
由，令，则，即，
令，则，即，
故，则，
对③：由，即，则，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形CDNM为平行四边形，进而可得CM//DN，又中位线定理得GF//DN，则GF//CM，再由线面平行的判定定理即可证结论.
（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知，为的中点，从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A BE D的正弦值.

佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题定稿.doc

201X 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 圆台侧面积公式：()S r r l π'=+.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．{}1D ．(1,)+∞2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为AB． C．2 D．2- 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =A ．22B ．23C ．24D ．254．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于 A ．6 B ．6π C． D．5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第4题图6．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π7．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是A. 12()()0f x f x +<B. 12()()0f x f x +>C. 12()()0f x f x ->D. 12()()0f x f x -<8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 10. 如果1()nx x+展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 . 11. 已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为__________. 12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是． 13．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为__________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，点P的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是．第12题图第9题图15．（几何证明选讲）如图，在ABC ∆中， DE //BC ， EF //CD ，若3,2,1BC DE DF ===，则AB 的长为___________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. (Ⅰ)求cos C 的值；(Ⅱ)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.17．（本题满分14分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .18．（本题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S，且.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T .第15题图19．（本题满分14分）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ， PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==， 2NC =，M 是线段PA 上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值． 20．（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP OMλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 21．（本题满分14分）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式.第19题图。

高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题理(含解析)

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.2. 设是复数的共轭复数，且，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】，故.3. 若满足约束条件则的最小值为（）A. -3B. 0C. -4D. 1【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.6. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，由于角为第三象限角，故，.7. 已知，则（）A. 18B. 24C. 36D. 56【答案】B【解析】，故，.8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“”中应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵点，关于直线对称，，又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，∴，化简整理得，即，，解得，（舍去），故选C.11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．【答案】【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．【答案】【解析】依题意有，，，故.15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.16. 已知满足，，，则__________．（用表示）【答案】【解析】依题意，与已知条件相加可得.....................三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角的对边分别为，且，（1）求的面积；（2）若，求的周长.【答案】(1) （2）的周长为【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为. 【试题解析】（1）∵，∴，即，∴；（2）∵，∴由题意，∴，∵，∴，∴∵，∴．∴的周长为．18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，. （1）求证：平面平面；（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）90°【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.【试题解析】（1）∵，且是等边三角形∴，，均为直角三角形，即，，∴平面∵平面∴平面平面（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．令，，∴，，，．设，则，．∵直线与所成角大小为60°，所以，即，解得或（舍），∴，设平面的一个法向量为．∵，，则即令，则，所以．∵平面的一个法向量为，∵，，则即令，则，，∴．∴，故二面角的大小为90°．19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.【答案】(1) （2）①②生产线异常，需要进一步调试【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.【试题解析】（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．20. 已知椭圆经过点，离心率.（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】(1) （2）见解析【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. 【试题解析】（1）因为椭圆，经过点，所以．又，所以，解得．故而可得椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线的方程为，即，联立，得．设，，则所以为定值，且定值为-1．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1) ，（2）【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.【试题解析】（1），．（过程略）（2）令，则，当时，单调递增，而，∴时，不合题意当时，令，则，∵为减函数，∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．故（△）式成立只能即．【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若与相交于两点，求.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（2）将的参数方程代入的方程，得，得：解得，∴．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】(1) （2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围.【试题解析】（1）当时，，由得，；（2），该二次函数在处取得最小值，因为函数，在处取得最大值故要使函数与的图象恒有公共点，只需要，即．。

高三数学第一次教学质量检查考试试题理含解析试题

2021届高三第一次教学质量检查考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题〕2，3，，集合，集合，那么〔〕A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】由补集的定义求得得，进而由交集的定义可得结果．【详解】因为全集，集合，那么，又因为集合，所以；应选B．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.，其中i是虚数单位，那么复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数，从而得答案．【详解】,,那么在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．应选A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色局部的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，据此可估计黑色局部的面积为A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色局部的有484个点，那么其中落入黑色局部的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，应选B．【点睛】此题主要考察几何概型概率公式以及模拟实验的根本应用，属于简单题，求不规那么图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与面积之间的方程求解.，一个焦点，那么该双曲线的虚轴长为A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，所以，，联立、可得：，，，该双曲线的虚轴长2，应选C．【点睛】此题考察双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.，，，那么a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的范围和指数函数性质，估算出的范围，从而可判断大小.【详解】解：，，，，．应选：D．【点睛】此题主要考察了对数函数与指数函数性质的应用，属于中档题．，，且，那么m等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】分别求出关于的表达式，解方程即可得结果.【详解】由题意，可知：，．，．，，解得：．应选B．【点睛】此题主要考察向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考察对根底知识的掌握与应用，属根底题．的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解．【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得图象向左平移个单位，得到，应选：A．【点睛】此题主要考察了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题．8.某电商为某次活动设计了“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，假设集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖那么他获得奖次的不同情形种数为A. 9B. 12C. 18D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得甲第4次获得的红包有3种情况，进而可得前三次获得的红包为其余的2种，分析前三次获得红包的情况，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，假设员工甲直到第4次才获奖，那么其第4次才集全“和谐〞、“爱国〞、“敬业〞三种红包，那么甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有种情况，那么他获得奖次的不同情形种数为种；应选：C．【点睛】此题主要考察了排列、组合的实际应用，注意“直到第4次才获奖〞的含义．还考察了分类思想，属于中档题.9.，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，当时，〔b为常数〕，那么A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质可得：，对赋值为0即可求得，再对赋值为1即可求得，再对赋值为即可解决问题。

高三数学教学质量监测试题一理含解析试题

2021届高三数学教学质量监测试题〔一〕理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，集合，，那么如下图阴影区域表示的集合为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如下图阴影区域表示的集合为：．应选：B．【点睛】此题考察集合的求法，考察并集、补集、维恩图等根底知识，考察运算求解才能，考察集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于〔〕.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．应选：A．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．，那么〔〕.A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．应选：A．【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．..那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否认为特称命题，即可直接写出结果.【详解】因为全称命题的否认是特称命题，所以，命题.的否认为：，.应选C【点睛】此题主要考察含有一个量词的命题的否认，只需改写量词和结论即可，属于根底题型.中，，，那么〔〕.A. 4B. -4C. ±4D. 5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，那么，等比数列中间隔两项的符号一样，．应选：A．【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，考察了等比数列的性质，是根底的计算题．的图象大致为〔〕.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由函数解析式，判断函数奇偶性，排除A,B；再由特殊值验证，排除D，进而可得出结果. 【详解】因为，所以，因此为偶函数，所以排除选项A,B，又，所以排除D.应选C【点睛】此题主要考察函数图像的识别，一般先考虑函数奇偶性，再特殊值验证，属于常考题型.7.某英语初学者在拼写单词“steak〞时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a〞、“e〞、“k〞三个字母组成并且“k〞只可能在最后两个位置，假如他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．应选：B．【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型、排列组合、列举法等根底知识，考察运算求解才能，是中等题．到双曲线的渐近线的间隔为，那么双曲线的离心率为〔〕.A. B.C. 或者D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线间隔公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的间隔为，，即，又，故，整理可得：，，应选：A．【点睛】此题考察双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的间隔公式，考察运算才能，属于中等题．，那么以下结论正确的选项是〔〕.A. 函数的递减区间为B. 函数的图象可由的图象向左平移得到；C. 函数的图象的一条对称轴方程为；D. 假设，那么的取值范围是【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数的解析式，分别考察函数的单调区间、函数的平移变换、函数的对称轴和函数的值域，然后看所给的选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，应选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，应选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，应选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，应选项D正确．应选：D．【点睛】此题主要考察正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作?圆锥曲线论?中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、间隔之比是常数的点、的间隔为3，动点满足，那么点的轨迹围成区域的面积为〔〕.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，那么设，依题意有，，化简整理得，，即，那么圆的面积为．应选：D．【点睛】此题考察轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，且球的外表积为，点在球面上，那么四棱锥体积的最大值为〔〕A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可. 【详解】因为球O的外表积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，那么，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，那么四棱锥体积的最大值为．应选：D．【点睛】此题考察四棱锥的体积的最大值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．，假设不等式在上恒成立，那么实数的取值范围是〔〕.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进展恒等变形，那么原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题.把答案填在答题卡上.，，且与垂直，那么的值是______.【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进展数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于根底题．的前项和为，假设，，，那么_______.【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，那么，又由，，那么，，那么，解可得；故答案为：1010．【点睛】此题考察等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．上一点到其焦点的间隔为，那么点到坐标原点的间隔为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间间隔公式求解点M到坐标原点的间隔即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点间隔等于到准线间隔，得，那么，，可得，故答案为：．【点睛】此题考察抛物线的简单性质，考察抛物线定义的应用，是中档题．中，下面结论中正确的选项是________.〔写出所有正确命题的序号〕.①平面：②平面：③异面直线与成60°角；④与底面所成角的正切值是.【答案】【解析】【分析】由线面平行的断定定理可知①正确；由线面垂直的断定定理可知②正确，平移直线可求得③中异面直线所称的角，由几何关系可确定与底面ABCD所成角的正切值.【详解】逐一考察所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，那么异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案为：．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察空间中线线、线面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.中，角，，的对边分别为，，，.〔1〕求角的大小；〔2〕假设，试判断的形状并给出证明.【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】此题主要考察了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于中档题．18.随着挪动互联网的开展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的效劳情况，统计了10次订餐“送达时间是〞，得到茎叶图如下：〔时间是：分钟〕〔1〕请计算“送达时间是〞的平均数与方差：〔2〕根据茎叶图填写上下表：送达时间是35分组以内〔包括35分钟〕超过35分钟频数 A B频率 C D在答题卡上写出，，，的值；〔3〕在〔2〕的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内〔包括35分钟〕收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间是〞的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X 0 1 2 3PX服从二项分布，．【点睛】此题主要考察茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.19.如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,,，，.〔1〕求证：//平面；〔2〕当的长为何值时，二面角的大小为.【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长.【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，那么0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，那么，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】此题主要考察空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕点为椭圆上一动点，连接，.设的角平分线交椭圆的长轴于点，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的间隔相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可. 【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或者．假设，那么直线的方程为．由题意得，，．假设，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】此题主要考察椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，.〔1〕当时，求函数图象在点处的切线方程：〔2〕假设函数有两个极值点高，，且，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考察都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展： (1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考察数形结合思想的应用．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数，〕，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. 〔1〕求的直角坐标方程：〔2〕动点，分别在曲线，上运动，求，间的最短间隔 .【答案】〔1〕．〔2〕.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线间隔公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的间隔为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短间隔为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.选修4-5：不等式选讲设，且，记的最小值为.〔1〕求的值，并写出此时，的值；〔2〕解关于的不等式：.【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值是当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

高三上学期教学质量监测(一)数学(理)试题 Word版含答案

高三教学质量监测（一）数学（理）试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1、已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 .A 2i .B 2i - .C 2i + .D 2i -+2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q ,那么Q P -等于{}{}{}{}32211010<≤<≤<<≤<x x D.x x C.x x B.x x A. 3、下列命题是真命题的是.A 若sin cos x y =，则2x y π+=.B 1,20x x R -∀∈> .C 若向量,//+=0a b a b a b 满足，则 .D 若x y <,则 22x y <4、已知向量为单位向量，且21-=⋅b a ，向量与+的最小值为...A B C D 131245、若函数)12(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是2211-==-== D. x C. x B. xA. x 6、设等比数列{}n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“{}n a 是递减数列”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件7、已知函数x x g x x f lg )(,)(2==，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围是.A [0，＋∞） .B （0，＋∞） .C [1，＋∞） .D （1，＋∞）8、如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且y x +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为.A )3,1( .B )3,31( .C )1,21( .D )2,21(9、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 .A ,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭10、已知数列{}n a 满足：*)(2,111N n a a a a n n n ∈+==+,若,),11)((11λλ-=+-=+b a n b nn 且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是3232<<>>λλλλ D. C. B. A.11、已知函数()cos x f x x πλ=，存在()f x 的零点)0(,00≠x x ，满足[]222200'()()f x x πλ<-，则λ的取值范围是 A．((0,3) B．3((0,)33-C.(,(3,)-∞+∞ D ．3(,(,)-∞+∞ 12、已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13、已知向量b 为单位向量，向量(1,1)a =，且|2|6a b -=，则向量,a b 的夹角为 .14、若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .15、已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________．16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 . 三．解答题（共6小题，计70分）第14题图17、（本题12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2cos cos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（Ⅰ）求ω的值；(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.18、（本题12分）已知数列}{},{n n b a 分别是等差数列与等比数列，满足11=a ，公差0>d ，且22b a =，36b a =，422b a =.(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n c 对任意正整数n 均有12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b cb c 成立，设}{n c 的前n 项和为n S ，求证：20172017e S ≥（e 是自然对数的底）.19、（本题12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程； (Ⅱ)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．21、（本题12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.ABCDEF G H请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin :2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．河北省“名校联盟”2018届高三教学质量监测（一）数学（理）试卷答案BABDA DCDBC DC 7-16. ]1,2.[15 231.14 3213.---π 17.解：（1）1()1cos cos 1)23f x wx wx wx wx π=++--=-…3分由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ………5分（2）3()),sin(2)3232f A A A ππ=-=-∴-=又ABC 是锐角三角形222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A=，…………8分由13sin 22ABC b S bc A ===b=4 ……………………10分由余弦定理得2222212cos 43243132a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即……… 12分18、（1）解：由题意可知)211)(1()51(2d d d ++=+，结合0>d ，解得3=d ，所以23-=n a n . 14-=n n b ……… 5分（2）证明：因为12211+=+⋅⋅⋅++n n n a b c b c b c ，所以)2(112211≥=+⋅⋅⋅++--n a b c b cb c n n n ，两式作差可得，31=-=+n n nn a a b c，所以)2(4331≥⋅==-n b c n n n ………8分当1=n 时，4211==a b c ，所以⎩⎨⎧≥⋅==-)2(43)1(41n n c n n ………10分于是2016220174343434⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=S.441)41(434)444(34201720172016201621e ≥=--⨯+=+⋅⋅⋅+++=…………12分19、（Ⅰ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF .设ACBD O =，连接OH ，因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 4分又因为OHGH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF . ………………5分（Ⅱ）解：取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥平面ABCD ，所以ON ⊥平面ABCD ，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直. 所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，3BF =，所以(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()22H . ………………………………………………7分 A所以13(,,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为(,,)n x y z =r ，⎩⎨⎧==++-⎪⎩⎪⎨⎧⇒=⋅=⋅0203300x z y x DB n 令1z =，得(0,3,1)n =-. ……………9分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)DE =，则00(0131cos ,232n DE n DE n DE⋅⨯+⨯+⨯<>===⨯ .……………11分所以二面角H BD C --的大小为60︒. ………………12分20、 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.………3分在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.………5分(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，………8分又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.………10分所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. ……………12分21、2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ---------2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ---------3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ---------4分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ---------5分②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a+∞，单调递减区间是1(2,)a. --------6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ---------7分④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ---------8分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.---------9分由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ---------10分②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ---------11分综上所述，ln 21a >-. ---------12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23、解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.故不等式的解集为{x|－1≤x ≤2}． ……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分。

陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)

（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）

福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查测试理科数学试题(解析版)

福建省漳州市2018-2019学年高三毕业班第一次教学质量检查测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由集合，求出的补集，最后和集合求交集即可.【详解】，因为，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记定义即可求解，属于基础题型.2.设复数，的共轭复数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简，再由复数的模求解即可.【详解】因为，则，所以，所以.故选C【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，需要熟记复数的运算法则以及复数的几何意义，属于基础题型.3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，，焦点在轴负半轴上，准线方程为．考点：抛物线的性质．4.已知角的终边过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三角函数的定义表示出，再由，得到关于的方程，解方程即可求出结果.【详解】因为角的终边过点，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义列方程求解，即可得参数的值，但要注意范围，属于基础题型.5.若满足约束条件，则的最大值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，再将化为，求直线截距的最小值，即可得到目标函数的最大值。

【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，由化为，由图像易知，直线经过直线与直线的交点时，截距最小，即最大；由解得，即.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划，需要根据约束条件，作出对应的平面区域，再将目标函数转化为直线方程，从而可将求目标函数范围的问题转化为求直线截距范围的问题，属于基础题型.6.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由辅助角公式化简，再根据三角函数图像的平移变化求得，最后根据三角函数对称轴方程即可求得解。

高三总复习质量检测 (一)数学(理)试题 Word版含答案

河北区—高三年级总复习质量检测（一）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|lg(3)},{|2,}xA x y xB y y x R ==-==∈，则A B 等于A ．φB ．RC ．{|1}x x >D ．{|0}x x >2、若变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数22z x y =+的最大值等于A ．9B ．36C ．41D ．813、已知非零向量,m n ，满足143,cos ,3m n m n ==，若()n m n ⊥+，则实数t 的值为 A ．94-B ．94C ．4-D ．4 4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．98 B ．99 C ．100 D ．1015、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π6、已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，111sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为 A ．2 B ．32 C ．3 D ．2 7、函数()1()cos (f x x x x xππ=--≤≤且0x ≠）的图象可能为8、已知函数()21(,f x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上，存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知121,1,(z i z i i =+=-是虚数单位），则1221z z z z += 10、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知2,4b c C π===，则ABC ∆的面积为11、在51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是12、已知函数，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称轴为 13、在平面直角坐标系下，曲线122:(x t a C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），曲线22sin :(12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数）若曲线12,C C 有公共点，则实数a 的取值范围是14、已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()3()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-为奇函数，给出以下四个命题：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称；③函数()f x 为R 上的偶函数； ④函数()f x 为R 上的单调函数. 其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0)6f x A wx A w π=+>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=.（1）求()f x 的表达式；（2）若()()2g x f x =+，求()g x 的单调区间及最大值.16、（本小题满分12分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19、（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线AF ⊥平面,//,2,ABCD EF AB AD =21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上.（1）求证：AD BF ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（3）若12FP FD =，求二面角D AP C --的余弦值.20、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，右焦点到直线2a x c=的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点（点P 不在轴上），过点O 作OP 的垂线交直线2y =于点Q ，求2211OPOQ+的值.19、（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230,n n T b n N +-+=∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P .20、（本小题满分14分）设函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数()f x 在2[1,]e 上的最大值为1(ae e -为自然底数的底数），求实数a 的值.第11页共11页。

高三教学质量检测试题(一)理数试题+Word版含答案

e 高三教学质量检测试题（一）数学（理）第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 A { x | x29 0} ， B { x | x N} ，则 A I B 中元素的个数（）A ． 0B． 1C． 2D． 32. 欧拉公式 eixcos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里非常重要，被誉为 “数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 2i表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限 C．第三象限 D ．第四象限3. 已知命题 p : 对任意 x R ，总有 2x0 ； q :“ x 1 ”是“ x 2 ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A ． p qB． p qC． p qD． pq4. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 3 ga 512 ， a 20 . 若 a 10 ，则 S 20（）A ． 420B ．340 C.-420 D． -3401,x 05. 设 x R ，定义符号函数 sgn x0, x 0 ，则函数 f (x) | x | sgn x 的图像大致是（）1,x 0A ．B ． C. D ．6. 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有（） A ． 12 种B． 10 种C.9种D． 8 种7. 若变量 x, y 满足约束条件 y 1x y 0 ，则 z x2 y 的最大值为（） x y 2 0A ． 4B ． 3 C.2D． 18. 已知 ABC 与 BCD 均为正三角形，且 AB 4 . 若平面 ABC 与平面 BCD 垂直，且异面直线 AB 和 CD 所成角为，则 cos（）A ．15 4B ．15 C.144D ． 149. 运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合 A 中任取一个元素 a ，则函数 y x a， x [0,) 是增函数的概率为（）A ． 47 B ． 45C.35D ． 34u u u r uu u r u uu ruu u r uu u r uu u r10. 已知 P 为 ABC 所在平面内一点， AB PB PC 0 ，| AB | | PB | | PC | 2 ，则 ABC 的面积等于（）A ． 3B． 2 3C. 3 3 D ． 4 311. 过双曲线 xa2y 1(ab20,b 0) 的右焦点 F 作圆 x2y2a 2的切线 FM （切点为 M ），交 y 轴于点 P . 若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是（）A ． 2B ． 3C.2 D． 512. 若函数 f ( x) ax x2ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4 ln2 ，则 a 的取值范围为（）A ． [2, )B． [2 2, )C.[2 3, )D． [4,)第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题，每小题5 分，共 20 分）13. 若直线 2x y c 0 是抛物线 x24y 的一条切线，则 c．14. 若函数 f ( x) ax b ， x [ a 4, a] 的图像关于原点对称，则函数g ( x ) bxa， x [ 4, 1] 的值域为．x15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）. 已知在鳖臑 M ABC 中， MA 平面 ABC ， MAAB BC 2 ，则该鳖臑的外接球的表面积为．16. 已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，且 ( a2b2c 2) ( a cosB b cos A)abc ，若 a b 2 ，则 c 的取值范围为．三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）2 2（一）必考题（共 5 小题，每小题12 分，共60 分）17. 已知在递增等差数列{ an } 中，a12 ，a3 是a1 和a9 的等比中项.（1）求数列{ a n} 的通项公式；（2）若b 1，S 为数列{ b } 的前n 项和，求S 的值.n (n 1) an10018. 如图，四棱柱ABCD A1B1C1 D1 的底面ABCD 是菱形，AC I BD O ，A1O 底面ABCD ，AB 2 ，AA1 3 .（Ⅰ）证明：平面A1CO 平面BB1D1D ；（Ⅱ）若BAD 60 ，求二面角 B OB1C 的余弦值.19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷. 为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200 人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30 岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10 人，然后，再从这10 人中随机选出 3 人赠送优惠券，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用共享单车的概率.②将频率视为概率，从 A 市所有参与调查的网民中随机抽取10 人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：Kn( ad bc) 2(a b)(c d )( a c)(b d)，其中n a b c d .参考数据：nn220. 已知椭圆xa2 y2b21(a b 0) 的左右焦点分别为F1 和F2 ，由4 个点M (a, b) ，N ( a, b) ，F2 和F1 组成了一个高为3 ，面积为 3 3 的等腰梯形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F1的直线和椭圆交于两点A, B ，求F2 AB 面积的最大值.21. 设函数 f ( x) ln x k，k R . x（Ⅰ）若曲线y f ( x) 在点( e, f (e)) 处的切线与直线x 2 0 垂直，求 f (x) 的单调递减区间和极小值（其中 e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）若对任何x1x2 0 ，f ( x1 ) f (x2 ) x1 x2 恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为x t cosy sin，（t 0, 为参数）. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 sin() 3 .4 （Ⅰ）当t 1时，求曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线 C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23. 选修4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) | 2x 1| | x 1| .（Ⅰ）解不等式 f ( x) 3 .（Ⅱ）记函数g( x) f ( x) | x 1| 的值域为M ，若t M ，证明t 2 133t . t试卷答案一、选择题1-5:DBDDC 6-10:ABDCB 11 、12：AC二、填空题13.-4 14. [ 2, 1]215. 12 16. [1,2)211 三、解答题17. 解：（Ⅰ）由 { a n } 为等差数列，设公差为 d ，则 a na 1 ( n 1)d .∵ a 3 是 a 1 和 a 9 的等比中项，∴ a2 a a ，即 (2 2d )22(2 8d) ，解之，得 d 0 （舍），或 d 2 .31 9∴ a na 1 ( n 1)d 2n .（Ⅱ） b n1 11 ( 1 1 ). ( n 1)a n2n(n 1) 2 n n 11 1 1 1 111 1 50 S nb 1 b 2 Lb 100(1 L )(1 ) . 2 2 2 3100 101 2 101 10118. （Ⅰ）证明：∵ A 1O平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，∴ A 1OBD .∵ ABCD 是菱形，∴ COBD . ∵ A 1O I CO O ，∴ BD 平面 A 1CO .∵ BD 平面 BB 1 D 1D ，∴平面 A 1CO 平面 BB 1 D 1D .u u u r u u u ruuu r（Ⅱ）∵ A 1O平面 ABCD ， COBD ，以 O 为原点， OB ，OC ， OA 1 方向为 x, y, z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 .∵ AB 2 ， AA 13， BAD 60 ，∴ OB OD 1， OA OC3 ， OA AA 2OA 26 .则 B(1,0,0) ， C (0, 3,0) ， A(0,3,0) ， A 1 (0,0, 6) ，u uu ru uu r uu u u r uu u r uu u r∴ BB 1 AA 1 (0, 3, 6) ， OB 1 OB BB 1 (1, 3, 6) .r设平面 OBB 1 的法向量为 n ( x, y, z) ， u uu r uu u u r ∵ OB (1,0,0) ， OB 1 (1, 3, 6) ，x 0 ∴x3 y.6z 0r令 y2 ，得 n (0, 2, 1) .同理可求得平面 ur OCB 1 的法向量为 m( 6,0, 1) .∴ cos r urn, m1 21 .732119. 解：（Ⅰ）由列联表可知，200 (70 40 60 30) 2K2130 70 100 100∵ 2.198 2.072 ，2.198 .∴能在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情况与年龄有关.（Ⅱ）①依题意，可知所抽取的10 名 30 岁以上网民中，经常使用共享单车的有 1060 1006 （人），偶尔或不用共享单车的有 10 401004 （人） .C2C 1C 32则选出的 3 人中至少 2 人经常使用共享单车的概率为P 6 46. C 3 C 331010 ②由 2 2 列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为 130 13，20020将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为 13.20由题意得 13X : B(10, ) ，∴ 20 E( X ) 1013 13； D( X ) 10.20220. 解：（Ⅰ）由条件，得 b 3 ，且 2a 2c 23 3 3 ，∴ a c 3.又 a2c23 ，解得 a 2 ， c 1 . x2y2∴椭圆的方程1 .43（Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为 x my 1，直线与椭圆交于 A(x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，x2y12 2联立方程∵直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交 .∴ y 1 y 26m，3m 24y 1 y 29 .3m241∴ S| F F || y y | | yy |( yy ) 4 y y F 2 AB1 2 1212121 2m 21 m21 1 1222 4 1 4 21.(3m 4)(m21 )23m213 9(m 21)22 213 7 9120 20 40 4 3，消去 x 得， (3m 4) y 6my 9 0 . x my 122令 t m 21 1 ，设 f (t) t1，易知 t 9t 1 (0, ) 时，函数 3 f (t) 单调递减， t 1( , ) 函数单调递增，3∴当 t m 2 1 1 ，设 m 0 时， f (t )min10 ， S F AB 的最大值为 3. 921. 解：（Ⅰ）由条件得 1 f '( x) k( x 0) ，∵曲线 x x 2yf (x) 在点 (e, f ( e)) 处的切线与直线 x2 0 垂直，∴此切线的斜率为 0，即 f '(e) 0 ，有1k0 ，得 k e .∴ f '(x)1ex e ( x 220) ，由 e x2f '( x) 0 得 0 x e ，由f '( x ) 0 得 x e .x xx∴ f (x) 在 (0,e) 上单调递减，在 (e,) 上单调递增 .当 x e 时， f (x) 取得极小值 f (e ) ln ee 2 .e故 f (x) 的单调递减区间 (0, e) ，极小值为 2.（Ⅱ）条件等价于对任意x 1 x 2 0 ， f (x 1 ) x 1 f ( x 2 ) x 2 恒成立，设 h ( x )f (x ) x ln xk x (x x0) ，则 h( x) 在 (0,) 上单调递减 .∴ h'( x)1k1 0 在 (0, ) 上恒成立 .得 kx 2x x2x (x 1 )21(x 0) 恒成立 .∴ k 1（对 k4 2 4 1 ， h '( x) 0 仅在 x 41 时成立） .2 故 k 的取值范围是 1[ , ) .422. 解：（Ⅰ）直线 l 的直角坐标方程为 x y 3 0 ，曲线 C : x2y21 .∴曲线 C 为圆，且圆心 O 到直线 l 的距离 d| 0 0 3|3 2 .22∴曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 13 2 .2（Ⅱ）∵曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方，∴对R ，有 t cossin 3 0 恒成立 .即 t1cos( ) 3 （其中∴ t21 3 .tan1 t）恒成立 .又 t 0 ，∴解得 0 t 2 2 .∴实数 t 的取值范围为 (0,2, 2) .23. 解：（Ⅰ）依题意，得f ( x)2 3x, x 1x, 1 x 1 ，2于是得f ( x) 33x, xx11 x ，或1 21 x12 ，或 2 ， 3x 32 x 33x 3解得 1即不等式 x 1 .f ( x) 3的解集为 { x | 1x 1} .（Ⅱ） g ( x)f ( x) | x 1| | 2x 1| | 2x 2| | 2 x 1 2x 2| 3 ，当且仅当 (2 x 1)(2 x 2) 0 时，取等号，∴ M[3,) .原不等式等价于 t 233t 1tt23t2t 3 (t3)( t 2 1) .tt∵ t M ，∴ t3 0 ， t 21 0 .∴(t 3)(t21)0 .t∴ t21 3t3t .。

高三数学上学期第一次教学质量监测试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校彬州2021届高三第一次教学质量监测试卷理科数学一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.假设全集U=R ，{|12}M x x =-<≤，{1,3,5}N =，那么()U M C N ⋂=〔〕A.(1,1)(1,2)-⋃B.(1,2)-C.(1,1)(1,2]-⋃D.(1,2]-【答案】C 【解析】【分析】利用交集与补集运算即可得到结果【详解】∵全集U R =，{|12}M x x =-<≤，{}1,3,5N =，∴()()(] 1,11,2U MC N ⋂=-⋃应选C【点睛】此题考察了集合的交并补运算，属于根底题. 2.设3122iz i i+=--，那么z 的虚部是〔〕 A.-1 B.45-C.2i -D.-2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z ，结合虚部的定义即可得出．【详解】()()()()312212522225i i ii zi i i i i i i +++=-=--=--=---+，∴z 的虚部是-2 应选D【点睛】此题考察了复数的运算法那么、虚部的定义，属于根底题． 3.sin20α>，那么〔〕A.tan 0α>B.sin 0α> C.cos 0α>D.cos20α>【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角正弦公式可知sin cos 与αα同号，又sin tan cos ααα=，从而得到结果.【详解】由sin20α>可得2sin 0cos αα>，即sin cos 与αα同号，又sin tan cos ααα=，∴tan 0α>应选A【点睛】此题考察二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于根底题.4.如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是〔〕A.10B.9C.8D.7【答案】A 【解析】该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个此题选择A 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5.函数()f x 在区间[,]a b p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =q ：假设函数()f x 在区间(,)a b 上有()()0f a f b <，那么p 是q 的〔〕A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】p比方：()2f x x =，区间为[]3,2-，p ，但()()320f f -＞，应选C【点睛】此题考察充分必要条件，考察零点存在性定理，属于根底题.6.一个几何体的三视图如以下图，其中主视图中ABC ∆是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为〔〕A.38B.34C.1D.32【答案】A 【解析】【分析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为12，侧棱为1，从而可得该几何体的侧视图的面积．【详解】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥〔如图〕，依题意，底面边长为12，侧棱为1=该几何体的侧视图的面积为1328= 应选A ．【点睛】考虑三视图复原空间几何体首先应深入理解三视图之间的关系，遵循“长对正，齐，宽相等〞的根本原那么，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.函数()12sin sin )222x x xf x =+-，将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，假设()g x 为偶函数，那么ϕ的一个值为〔〕A.2πB.3π C.4π D.6π【解析】【分析】化简函数可得()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经图象变换可得()2226g x sin x πϕ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，结合对称性求出ϕ的值.【详解】()()12sin sin 1122226x x x f x cosx sin x π⎫⎛⎫=+-=+--=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移ϕ个单位得到()g x 的图像，即()()2222266gx sin x sin x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭又()gx 为偶函数，∴2k Z 62k ππϕπ-=+∈，，即k 13πϕ=-=当时，应选B【点睛】解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点〔1〕结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．〔2〕解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．〔3〕解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．8.如以下图，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔阴影〕，设直角三角形有一内角为030，假设向弦图内随机抛掷500颗米粒1.732≈〕，那么落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为〔〕 A.134 B.67C.200D.250【答案】B 【解析】设大正方形的边长为2x -x ，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕，落在小正方形〔阴影〕内的米粒数个数．【详解】设大正方形的边长为2x -x ，向弦图内随机抛掷500颗米粒〔大小忽略不计〕，设落在小正方形〔阴影〕内的米粒数大约为a ，那么()22)5002a x x -=，解得a ＝500 应选B ．【点睛】此题考察概率的求法，考察几何概型概率计算公式等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是根底题．9.的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，那么三棱锥C ABD -的外接球体积为〔〕A.323πB.163π C.43πD.4π【答案】C 【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径，从而求出外接球的体积．的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ﹣ABD ，如以下图：那么BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ，三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD ＝2，外接球的体积为43π3R ＝43π．应选C ．【点睛】此题考察了平面图形的折叠问题，也考察了空间想象才能的应用问题，是根底题目．10.在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +-=，2bc =，那么角C 的大小是〔〕 A.6π或者23π B.3πC.23π D.6π 【答案】A 【解析】【分析】由222b c a +=可得cosA 2=，进而利用2bc =可得2A 4=结合内角和定理可得C 值.【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===，由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc=2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<<∴2C=3π或者43π，即C=6π或者23π应选A【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，同时考察两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．11.椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，假设直线OP 的斜率为14-，那么b 的值是〔〕 A.2C.32【答案】D 【解析】【分析】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，根据点差法和中点坐标公式和斜率公式可得1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，结合条件可得结果.【详解】设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，那么2211214x y b +=，222224x y b+=1，两式相减可得14〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕21b+〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕＝0，∵P 为线段AB 的中点， ∴2x p ＝x 1+x 2，2y p ＝y 1+y 2，∴1212y y x x --•212124y y b x x +=-+，又1212y y x x -=-k AB ＝2，121214y y x x +=-+∴2124b -=-，即22b =，∴b=应选D【点睛】此题考察了椭圆的简单性质，点差法，直线的斜率，考察了运算才能和转化才能，属于中档题.12.假设函数2322ln ,0()4,0x x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩的图像和直线y ax =有四个不同的公一共点，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.2(,4)e- B.(0,4) C.2(,0)e-D.2(,0)(0,4)e-⋃ 【答案】D 【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公一共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnx x g x x x x >⎧=⎨--⎩＜和直线y a =有三个不同的公一共点，如以下图：由图易得：()2a ,00,4e ⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭应选D【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，那么24z x y =-的最小值是__________．【答案】-22【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．【详解】由约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，化24zx y =-为y 12=x 4z -．由图可知，当直线y 12=-x 4z+过C 〔1，6〕时z 有最小值，等于2×14-×6＝﹣22．故答案为﹣22．【点睛】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.假设(3n x -的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中21x的系数是__________．【答案】252 【解析】【分析】令x ＝1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n 的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中21x 的系数．【详解】3nx ⎛⎫⎝的展开式中，令x ＝1可得各项系数之和为〔3﹣1〕n＝256，求得n ＝8，那么3nx ⎛⎫⎝＝83x ⎛⎫ ⎝的通项是18rr T C +=•()83r x -•r⎛⎫ ⎝，8rC=•83r-•()5831r rx--，令5823r -=-，解得6r = 故展开式中21x 的系数是68C •23252=故答案为252．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．15.如以下图，点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，那么3x y +的最小值为__________．【答案】43+ 【解析】【分析】由条件通过三角形的重心与三点一共线推出∴1133y x+=1，然后根据根本不等式即可求出x +y 的最小值．【详解】根据条件：1AC AN y =，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+； ∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点一共线；∴1133y x+=1； ∵x ＞0，y ＞0；∴3x +y ＝〔3x +y 〕〔1133x y +〕44333x y y x =++≥+43+=；3x +y 的最小值为43+．当且仅当3x y y x =时“=〞成立．【点睛】此题考察了平面向量的线性运算与一共线定理的应用问题，也考察了根本不等式在求最值中的应用问题．16.点12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两焦点，过点1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于,P Q 两点，假设2PQF ∆是以2PQF ∠为顶角的等腰三角形，其中2[,)3PQF ππ∠∈，那么双曲线离心率e 的取值范围为______.【答案】【解析】分析：根据双曲线的定义，可求得122,4PF a PF a ==，设12F PF θ∠=，由余弦定理可得，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，进而可得结果. 详解：如图，2PQ QF =，又11212QF Q F a PF -==，那么有122,4PF a PF a ==，不妨假设12F PF θ∠=，那么有()122,3FQF πππθπ⎡⎫∠=--∈⎪⎢⎣⎭，可得2,3πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，12F PF ∆中余弦定理，222216441cos 1,162a a c a θ+-⎛⎤=∈-- ⎥⎝⎦，22279a c a≤<，即)c e a=∈，故答案为).点睛：此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.此题是利用点到直线的间隔等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 17.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n b 满足11nn n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 【答案】〔1〕21n a n =-，*n N ∈〔2〕1132n T ≤<【解析】【分析】〔1〕由2b ac =，1S =，解得b ，从而得到数列{}n a 的通项公式；〔2〕由〔1〕可得11122121nb n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法得到前n 项和，从而得到n T 的取值范围.【详解】解：〔1〕∵2b ac =，21111224Sac b =⨯==，2b =， ∴21na n =-，*n N ∈.〔2〕∵11122121nb n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴111111111123352121221nT n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∵n T 是关于n 的增函数*n N ∈，， ∴1132n T ≤<. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔21k=；〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.18.我正在创立全国文明城，某高中为理解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社〞、“演讲社〞、“围棋社〞三个活动小组中随机抽取了6人进展问卷调查，各活动小组人数统计如以下图：〔1〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；〔2〕从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社〞小组的学生人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】〔1〕415〔2〕详见解析【解析】【分析】〔1〕由题意按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.利用古典概型计算公式得到这2名学生来自同一小组的概率；〔2〕X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．【详解】解：〔1〕由条件可知，表演社、演讲社、围棋社分别有45人、30人、15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，那么三个小组分别抽取3人，2人，1人.从中抽取2名，那么这2名学生来自同一小组的概率为223226415C C P C +==. 〔2〕X的所有可能取值为0,1,2,3，()33361020C P X C ===，()1233369120C C P X C +===， ()1233369220C C P X C ===，()33361320C P X C ===，所以X的分布列为()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考察古典概型、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．19.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F分别为AC ，PC 的中点.〔1〕求证：平面BEF⊥平面PAC ；〔2〕在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 确定点C 的位置；假设不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】〔1〕先证明BEAC ⊥，PA BE ⊥，可得BE ⊥平面PAC ，从而平面BEF ⊥平面PAC ；〔2〕由题意可知,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系，求出平面PBC 的法向量及AG ，代入公式可得未知量的方程，解之即可.【详解】〔1〕证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BEAC ⊥又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥ ∵PA AC A ⋂=∴BE⊥平面PAC∵BE ⊂平面BEF ∴平面BEF⊥平面PAC〔2〕解：如图，由〔1〕知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为,AC PC 的中点，∴//EFPA ，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥，又BE AC ⊥，∴,,EB EC EF 两两垂直，分别以,,EB EC EF 方向为,,x y z 轴建立坐标系.那么()0,2,0A -，()0,2,2P -，()B ，()0,2,0C ，设(),2,2BG BP λλλ==--，[]0,1λ∈ 所以)()()21,21,2AGAB BG λλλ=+=--()BC =-，()0,4,2PC =-，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =，那么·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，20420y y z ⎧-+=⎪⇒⎨-=⎪⎩，令1x =，那么y =z =，∴(1,3,2n=?·AG n AG n=⇒=12λ⇒=或者1110〔舍去〕故12λ= 故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBC此时G 为线段PB 的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破〞：第一，破“建系关〞，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关〞，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关〞，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关〞. 20.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上存在一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，使PMF ∆是等边三角形且面积为〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕假设点H 是圆222:()0O xy r r +=>与抛物线C 的一个交点，点(1,0)A -，当HF HA获得最小值时，求此时圆O 的方程.【答案】〔1〕24y x =〔2〕225x y +=【解析】【分析】〔1〕利用等边三角形可得p 值，从而得到抛物线C 的方程；〔2〕设H的坐标为(0,x ，易得()()2222000|1|14HF x HA x x =+=++，，所以()()22022001||||14x HF HA x x +=++，结合最值即可得到圆O 的方程.【详解】解：〔1〕如以下图， ∵等边PMF ∆的面积为设边长为a ，2=，∴4a =，∴4MF = ∵060MFO∠=，∴01cos60422p MF ==⨯= 所以抛物线C 的方程是24y x =.〔2〕法一：设H的坐标为(0,x ，因为抛物线C ：24yx =的焦点()1,0F ，()1,0A -()(()222200||11HF x x =-+=+，()(()2222000||114HA x x x =++=++，所以()()()2202200201||114||21411x HF x HA x x x +==≥++++当且仅当01x =时取等号，即当HFHA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225x y +=.法二：设H 的坐标为()24,4t t ，因为抛物线C ：24yx =的焦点()1,0F ，()1,0A -()()222222||411641HF t t t =-+=+，()2222||4116HA t t =++，所以()()22222222224116||16121||41168t t HF t HA t t t++==+≤+++，当且仅当12t =时取等号，即当HF HA取最小值时，H 点坐标为()1,2把H 点坐标代入圆的方程可得225xy +=.【点睛】求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的间隔，利用它的几何意义来解决问题． 21设函数()(ln )f x x x a =-.〔1〕假设()1f x >-恒成立，求a 的取值范围；〔2〕对函数'()y f x =图像上任意两个点1122(,),(,)A x y B x y ，12(0)x x <<，设直线AB 的斜率为k 〔其中'()f x 为函数()f x 的导函数〕，证明：12()2x x k +>.【答案】〔1〕1a <〔2〕证明过程详见解析【解析】【分析】〔1〕()1f x >-恒成立即()1min f x >-，利用导函数研究函数的单调性与极值即可；〔2〕由1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，令12x t x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+.【详解】〔1〕解法一：()'ln 1f x x a =+-()10'01a x f x x e lnx a ->⎧>⇔⇔>⎨>-⎩，()1'00a f x x e -<⇔<<，()f x 在()10,a e -为减函数，在()1,a e -+∞为增函数.∴()()11min a a f x f e e --==-，由()1min11a f x e a -=->-⇔<，所以所求范围为1a <. 解法二：由()1f x >-，有()ln 1x x a -<-，∵0x>，∴11ln ln x aa x x x ->-⇔<+恒成立，()1ln g x x x=+，()22111'x g x x x x-=-=，易知()gx 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，()()min 11g x g ==，∴1a < 〔2〕证明：∵()'ln 1f x x a =+-，∴1212ln ln x x k x x -=-，要证()122x x k +>，即证()121212ln ln 2x x x x x x -+>-∵120x x -<，只要证121212ln ln 2x x x x x x --<+，即证1121221ln 21x x x x x x -<+令12x t x =，()0,1t ∈，即证()21ln 1t t t ->+，也即证()21ln 01t t t -->+设()()21ln 1t Ft t t -=-+，()0,1t ∈，∵()()()()222141'011t F t t t t t --=-=<++ ∴()Ft 在()0,1为减函数故()()10Ft F >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()122x x k +>成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hx f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.〔2〕根据条件，寻找目的函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或者利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为23cos 4sin ρθθ=+，两直线1l 和2l 相交于点P .〔1〕求点P 的直角坐标；〔2〕假设Q 为圆2cos :22sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕上任意一点，试求PQ 的范围.【答案】〔1〕(2,2)-〔2〕2]PQ ∈【解析】【分析】(1)把直线1l 的参数方程与直线2l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点P 的直角坐标；(2)依题意知，圆C 的普通方程为()2224xy ++=，max min ||PQ PC r PQ PC r =+=-，. 【详解】解：〔1〕依题意知，直线1l 的直角坐标方程为220x y ++=直线2l 的直角坐标方程为3420x y +-=联立方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩22x y =-⎧⇒⎨=⎩，所以点P 的坐标为()2,2-〔2〕依题意知，圆C 的普通方程为()2224xy ++= 所以圆心为()0,2C -，其半径2r =∴max ||2PQ PC r =+=∴min ||2PQ PC r =-=故2PQ ⎡⎤∈⎣⎦.【点睛】此题考察直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．23.函数()32f x x x =--+〔1〕求函数()f x 的值域；〔2〕假设[]2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕[5,5]-〔2〕(,2]a ∈-∞【解析】【分析】(1)利用零点分段法可得()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩进而可得函数()f x 的值域；(2)[] 2,1x ∃∈-，使()2f x x a ≥+成立即[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：〔1〕依题意可得：()5,321,235,2x f x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪≤-⎩当23x -<<时，5215x -<-+< 所以()f x 的值域为[]5,5-〔2〕因为21x -≤≤，所以()2f x x a ≥+，化为221x x a -+≥+得[]2,1x ∃∈-使得221a x x ≤--+成立令()221g x x x =--+，[]2,1x ∃∈-，得()()212g x x =-++所以，当1x =-时，()max 2gx =，所以(],2a ∈-∞.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个根本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用．。

2020-2021学年高三数学(理科)高三教学质量检测一及答案解析

最新高三教学质量监测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 为虚数单位，则复数21i-所对应的点在（） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =，集合{}|lg A x y x==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（）A ．}{1A B =-I B ．()(,0)A B =-∞R U ð C ．(0,)A B =+∞U D ．}{()1A B =-R I ð 3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A ．2x y =B ．2xy =C ．22xxy -=- D ．22xxy -=+4. 已知两个非零向量b a ,满足()0a a b ⋅-=r r r，且2a b =r r ，则>=<b a ,（）A.30oB. 60oC. 120oD. 150o5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）6.设等差数列{}n a 满足27a =，43a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 0>最大的自然数n 是（）A ．9 B.10 C.11 D.127. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（）A ．)5365sin(π+-=x yB ．)5256sin(π-=x yC ．)5356sin(π+=x y D ．)5365cos(π+-=x y 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A ．3-B ．0C ．3D ．33369．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最大值是（）A ．2B ．4C ．6D ．810.已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是（）A ．38-B ．316C ．3-D ．不能确定11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种 12.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0 B ．012x <<1 xy3 A B41- 第7题图C ．2220<<x D0x << 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13.已知1sin cos 5αα-=，则sin 2α=____________. 14.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA l ⊥于点A ，当30AFO ∠=o （O 为坐标原点）时, PF =____________.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，123n n a S +=+，则4S =____________.16.已知函数()()2(),2,12x f x x ⎧≥⎪=⎨≤<⎪⎩ 若方程()1f x ax =+恰有一个解时，则实数a 的取值范围. 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ， 43π=C ，且)cos(sin 2sin B A A B +⋅=. (Ⅰ)证明：222b a =；(Ⅱ)若ABC ∆的面积是1，求边c .18. (本小题满分12分)已知长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，E 为11C D 的中点，如图所示.(Ⅰ)在所给图中画出平面1ABD 与平面EC B 1的交线（不必说明理由）； (Ⅱ)证明：//1BD 平面EC B 1；(Ⅲ)求平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小.19. (本小题满分12分)某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m 、31、n ，已知三个社团他都能进入的概率为241，至少进入一个社团的概率为43，且n m . (Ⅰ)求m 与n 的值；(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点1F 、2F 分别在x 轴上,离心率为21，在其上有一动点A ，A 到点1F 距离的最小值是1.过A 、1F 作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，如图所示. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)判断ABCD Y 能否为菱形，并说明理由. (Ⅲ)当ABCD Y 的面积取到最大值时，x y 1F 2FC判断ABCD Y 的形状，并求出其最大值.21.（本小题满分12分）已知函数a x x a x x x f +--=22ln )(（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点. (Ⅰ)求a 的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为1x ，2x ，且21x x <.已知0>λ,若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ； (Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.N23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一．选择题1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.C8.B9.B 10.A 11.B 12.D题1A21i-1i =+，其对应的点为(1,1)，故选A. 题2D 化简集合A {}|0x x =>，从而A 、C 错，{}|0R C A x x =≤，故选D.题3C A 虽增却非奇非偶，B 、D 是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数（或'2ln 22ln 20xxy -=+>），故选C .题4B 由题2a a b =⋅r r r ，而>=<b a ,cos 22122a a b a b a⋅==⋅u u r r rr r r ，故选B.题5B题6A 解出{}n a 的公差37242d -==--，于是{}n a 的通项为)3(25--=n a n 112+-=n ，可见{}n a 是减数列，且650a a >>，065=+a a ，于是092259>⋅=a S ， 01026510=⋅+=a a S ，01122611<⋅=a S ，从而该题选A. 题7C 不妨令该函数解析式为)sin(ϕω+=x A y ，由图知1=A ，3434ππ-=T 125π=，于是352πωπ=，即56=ω，3π是函数减时经过的零点，于是ππϕπ+=+⋅k 2356，k ∈Z ，所以ϕ可以是53π，选C. 题8B 由框图知输出的结果32016sin32sin3sin πππ+++=Λs ，因为函数x y 3sin π=的周期是6，所以)36sin 32sin 3(sin336πππ+++=Λs 00336=⨯=，故选B. 题9B 依题画出可行域如图，可见ABC ∆令x y m -=，则m 为直线:l m x y +=在y 轴上的截距，由图知在点)6,2(A 处m 取最大值是4，在(2,0)C 处最小值是-2，所以[2,4]m ∈-，所以z 的最大值是4,故选B.题10A 令点),(00y x P ，因该双曲线的渐近线分别是03=-y x ，03=+y x ，所以=PA 1313+-y x ，=PB 1313++y x ，又 AOB APB ∠-=∠cos cos AOx ∠-=2cos 3cosπ-=21-=，所以PA PB ⋅u u u r u u urAPB ∠⋅=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=21433432020y x 83-=，选A. 此题可以用特殊位置法解决：令P 为实轴右顶点，此时23,,238PA PB PA PB PA PB π==<>=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选A.题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：14C ；这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集），在第二情况下有1种分法（剩下三名同学各分到一本小说），在第三情况下有13C 种分法（剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说），这样第二步骤共有情况数是++113C 713=C ，故本题的答案是28714=C ，选B.解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有2412A =种；2、bb,a,a,a, 此种情况有144C =种；3、 Ab,a,a,b, 此种情况有2412A =种，总共有28种，故选B题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，xy 1='，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x g 12)(-='x x 122-=，所以)(xg 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，2ln 0g =-，从而0x << D.二.填空题13.2425 14. 4315.66 16.115(0,)(,1]22-+U 题13 依题2512sin 1)cos (sin 2=-=-ααα，所以25242sin =α，答案为2425. 题14 令l 与y 轴交点为B ，在ABF Rt ∆中，030=∠AFB ，2=BF ，所以23AB =，若),(00y x p ，则033x =，代入24x y =中，则013y =，而0413PF PA y ==+=，故答案为43. 几何法：如图所示，030AFO ∠=，30PAF ∴∠=︒又120PA PF APF APF =∴∆∠=︒Q 为顶角的等腰三角形而2434cos30333AF AF PF ==∴==︒，故答案为43.题15 依题)2(321≥+=-n S a n n ，与原式作差得， n n n a a a 21=-+，即n n a a 31=+，2≥n ，可见，数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列，52=a ，所以345(13)113S -=+-66=.故答案为66.题16当1+=ax y 过点)2,2(B 时，则21=a ，满足方程有两个解；当1+=ax y 与12)(-=x x f 相切时，则251+-=a ，满足方程有两个解；所求范围115(0,)2⎤-+⎥⎝⎦U .三.解答题17．解：（Ⅰ）由A B C π+=-，以及正弦定理得，2cosC b a =- ， …………………3分又43π=C ，所以2b a =，从而有222b a =.………………………………………6分（Ⅱ）由1sin 2ABC S ab C ∆=214ab ==，所以22ab =，即：22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩9分由余弦定理知， 2222cosC c a b ab =+-22442102=++=，…………11分所以c =.……………………………………………………………………………12分 18．解：几何解法（Ⅰ）连接1BC 交C B 1于M ，则直线ME 即为平面1ABD 与平面EC B 1的交线，如图所示；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体1AC 中，所以M 为1BC 的中点，又E 为11C D 的中点所以在B C D 11∆中EM 是中位线，所以1//BD EM ，…………………………6分又⊂EM 平面EC B 1，⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1；……………………8分（Ⅲ）因为在长方体1AC 中，所以11//BC AD ，平面1ABD 即是平面11D ABC ，过平面EC B 1上点1B 作1BC 的垂线于F ，如平面图①，因为在长方体1AC 中，⊥AB 平面11BCC B ，⊂F B 1平面11BCC B ，所以AB F B ⊥1， B AB BC =⋂1，所以⊥F B 1平面1ABD 于F .过点F 作直线EM 的垂线于N ，如平面图②，连接N B 1，由三垂线定理可知，EM N B ⊥1.由二面角的平面角定义可知，在FN B Rt 1∆中，NF B 1∠即是平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的平面角.因长方体1AC 中，2==AB AD ，11=AA ，在平面图①中，525211=⨯=F B ，………………………………………………………………………10分1053=FM ， 251=M C ，11=E C ，在平面图②中，由1EMC ∆相似1FMN ∆可知EMFMEC FN ⋅=1225110531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=55=，所以NF B 1tan ∠NF F B 1=25552=⋅=，所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为2arctan .………………………12分空间向量解法：（Ⅰ）见上述. …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）因为在长方体1AC 中，所以1,,DD DC DA 两两垂直，于是以1,,DD DC DA 所在直线分别为z y x ,,轴，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为2==AB AD ,11=AA ，所以)0,0,0(D ，)1,0,0(1D ，)0,2,2(B ，)1,2,2(1B ，)0,2,0(C)1,1,0(E .所以)1,2,2(1--=BD ，)1,0,2(1=CB ，)1,1,0(-=CE ，…………………………6分令平面EC B 1的一个法向量为),,(z y x m = 所以m CB ⊥1，m CE ⊥，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001m CB ，即⎩⎨⎧==+z y z x 02，不妨令1-=x ，得到平面EC B 1的一个法向量为)2,2,1(-=m ，而02421=+-=⋅m BD ，所以m BD ⊥1，又因为⊄1BD 平面EC B 1，所以//1BD 平面EC B 1.…………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,2,0(-=BA ，)1,2,2(1--=BD ，令平面1ABD 的一个法向量为),,(z y x n =, 所以n BA ⊥，n BD ⊥1，从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01BD n BA ，即⎩⎨⎧=+--=-02202z y x y ，不妨令1=x ，得到平面1ABD 的一个法向量为)2,0,1(=n ，………………………………………10分因为<,cos 555941=⋅+-=.………………………………………11分所以平面1ABD 与平面EC B 1所成锐二面角的大小为55arccos .…………………12分 19．解：（Ⅰ）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .…………………6分（Ⅱ）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . 这样X 的分布列为：（………………………………每答对两个，加1分）于是，246245124243824140)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12=. ……12分 20．解：（Ⅰ）依题，令椭圆E 的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>222c a b =-(0)c >，所以离心率12c e a ==，即2a c =.…………………………2分令点A 的坐标为00(,)x y ，所以2200221x y a b+=，焦点1(,0)F c -，即1AF =1=0c x a a =+，（没有此步，不扣分）因为0[,]x a a ∈-，所以当0x a =-时，1min AF a c =-，……………………………3分由题1a c -=，结合上述可知2,1a c ==2于是椭圆E 的方程为22143x y +=.分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,0)F -，如图，直线AB 不能平行于x 轴，所以令直线AB 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，22341201x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=，所以，122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+.……………………………………………5分若ABCD Y 是菱形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r，于是有12120x x y y ⋅+⋅=，……6分又1212(1)(1)x x my my ⋅=--21212()1m y y m y y =⋅-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +⋅-++=，………………………………………………7分得到22125034m m --=+ ，可见m 没有实数解，故ABCD Y 不能是菱形. ………………8分（Ⅲ）由题4ABCD AOB S S ∆=Y ，而11212AOB S OF y y ∆=⋅-，又11OF = ，即1122ABCD S OF y y =⋅-Y =9分由（Ⅱ）知122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+. 所以，ABCDS =Y =10分 =因为函数1()9f t t t=+，[1,)t ∈+∞，在1t =时，min ()10f t =，………………11分即ABCD S Y 的最大值为6，此时211m +=，也就是0m =时，这时直线AB x ⊥轴，可以判断ABCD Y 是矩形. …………………………………12分 21．解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根.…1分（解法一）转化为，函数ln y x =与函数y ax =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，如图. ……………3分可见，若令过原点且切于函数ln y x =图像的直线斜率为k ，只须0a k <<. 令切点00A(,ln )x x ，所以001|x x k y x ='==，又00ln x k x =，所以000ln 1x x x =，解得，0x e =，于是1k e =，所以10a e<<.………………………………………6分（解法二）转化为，函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点. 又21ln ()xg x x-'=，即0x e <<时，()0g x '>，x e >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)e 上单调增，在(,)e +∞上单调减.从而()()g x g e =极大1e=………3分又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下，可见，要想函数ln ()xg x x=与函数y a =的图像在(0,)+∞上有两个不同交点，只须10a e<<.………………………………6分（解法三）令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点，而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >）若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增，此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)a上单调增，在1(,)a+∞上单调减，从而1()()g x g a=极大1ln1a=- 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e<<. 综上所述，10a e<<……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为112ex x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+.由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+，因为0>λ，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+.………………………………………………………7分又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，1122ln ()x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-.所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，因为120x x <<，原式恒成立，即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立. 令12x t x =，(0,1)t ∈，则不等式(1)(1)ln t t t λλ+-<+在(0,1)t ∈上恒成立. ………………………………8分令(1)(1)()ln t h t t t λλ+-=-+，又221(1)()()h t t t λλ+'=-+22(1)()()t t t t λλ--=+, 当21λ≥时,可见(0,1)t ∈时,()0h t '>,所以()h t 在(0,1)t ∈上单调增,又(1)0h =，()0h t <在(0,1)t ∈恒成立,符合题意. ………………………………………10分当21λ<时, 可见2(0,)t λ∈时,()0h t '>, 2(,1)t λ∈时()0h t '<, 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增,在2(,1)t λ∈时单调减, 又(1)0h =,所以()h t 在(0,1)t ∈上不能恒小于0,不符合题意,舍去. 综上所述, 若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立,只须21λ≥,又0λ>,所以1λ≥.…12分22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分（Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠, 所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，x由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，所以a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。

高三数学教学质量检测一试题理试题

2021年高三质量检测〔一〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学〔理科〕卷一．选择题〔本大题一一共有12个小题，每一小题5分，每一小题只有一个答案符合要求。

〕数学〔理科〕答案第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的〕1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A卷 C A A C B B D D D A A D B卷 A B C A B C A B C D D D第II卷二、填空题〔本大题一一共4小题,每一小题5分，一共20分.把答案填在题中横线上.〕13. 1 14. 315. 13×20213＋12×20212＋16×2021＝12＋22＋32＋42＋…+2021216． -2<k<1三、解答题〔解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17.〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕设{}na 的首项为1a ，公差为d ，由题意，2715a a a =，………2分即2111(6)(4)a a a d d +=+，又3125d a a =+=〔0d ≠〕………4分得19,2a d ==-，故211n a n =-+.………6分(Ⅱ)令13521n n S a a a a -=+++⋯⋯+，由〔1〕知21413n a n -=-+，………8分故{}21n a -是首项为9，公差为-4的等差数列. ………10分 ∴2121()(422)21122n n n nS a a n n n -=+=-+=-+.………12分 18. 〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕证明：∵AB ⊥平面ACD ，AB ∥DE ，∴DE ⊥平面ACD ，∵AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ．又∵AC=AD=CD ，F 为CD 中点， ∴AF ⊥CD ．∵DE 平面CDE ，CD 平面CDE ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ．…………………6分(Ⅱ)解法1：∵AB ∥DE ，AB Ì/平面CDE ，DE 平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，设平面ABC ∩平面CDE ＝l ，那么l ∥AB ．即平面ABC 与平面CDE 所成的二面角的棱为直线l ．∵AB 平面ADC ，∴l 平面ADC ．∴lAC ，lDC ．∴ACD 为平面ABC 与平面CDE 所成二面角的平面角．∵AC ＝AD ＝CD ，∴ACD ＝60，∴平面ABC 和平面CDE 所成的小于90的二面角的大小为60. ………12分解法2：如图，以F 为原点，过F 平行于DE 的直线为x 轴，以直线FC ，FA 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵AC ＝2，∴A(0，0，3)，设AB x =，B(x ，0，3)，C(0，1，0)(),0,0AB x =，()0,1,3AC =-，设平面ABC 的一个法向量为(),,n a b c =，那么由0AB n ⋅=，0AC n ⋅=，解得0,3a b c ==，不妨取1c =，那么()0,3,1n =， ∵又AF 平面CDE ，∴平面CDE 的一个法向量为()0,0,3FA =， ∴1cos ,2FA n FA n FA n⋅<>==⋅. ∴平面ABC 与平面CDE 所成的小于90的二面角的大小为60.……………12分19. 〔本小题满分是12分〕解：〔I 〕ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=343615C C =, P(ξ=1)=21423635C C C =, P(ξ=2)=12423615C C C = …………3分 ∴ξ的分布列、期望分别为：E ξ=0×15+1×35+2×15=1. …………6分〔II 〕设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C. …………8分男生甲被选中的种数为2510C =,男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为144C =.∴P(C)=142542105C C ==.…………11分在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.……12分 20. 〔本小题满分是12分〕解：(Ⅰ)设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，……………………1分那么2210(322)(322)0(322)(322)0E F D F D F -+=⎧⎪++++=⎨⎪-+-+=⎩，解得6,8,7.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ξ 012p15 35 1522:6870C x y x y ∴+-++=圆.……………………6分(Ⅱ)设直线0x y a ++=与圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，那么,A B 坐标满足方程组2268700x y x y x y a ⎧+-++=⎨++=⎩，可得2222(7)870x a x a a +-+-+= ……① 那么122127,87.2x x a a a x x +=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，……………………8分由y x a =--得 221212121267()()().2a a y y x a x a x x a x x a ++=----=+++=………9分 ∵OA OB ⊥，∴2121270x x y y a a +=-+=. ………11分以上关于a 的二次方程没有实数根，故这样的实数a 不存在在..………12分 21. 〔本小题满分是12分〕解：(Ⅰ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………2分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………4分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………6分(Ⅱ)解法1：由，转化为max max ()()f x g x <.………………8分max ()2g x =由(Ⅰ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.)………………10分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………11分所以21ln()a >---，解得31ea <-.………………12分解法2：由，转化为max max ()()f x g x <， max ()2g x = 对任意(0,)x ∈+∞ ，(x)2f < 恒成立，即2ln xa x-<………………9分设2ln (x)xh x-=，那么2ln 3(x)x h x '-=，令(x)0h '=得x=3e .………………10分当30x e << 时，(x)0h '<，那么(x)h 单调递减；当3x e >时，(x)0h '>，那么(x)h 单调递增，即3min 31(x)()h h e e ==-∴ 31a e<-.………………12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分.答题时请写清题号. 22．〔本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲证明：如下图，(I )∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB . …………2分∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDF ＝∠ABC .又∠ADB 与∠EDF 是对顶角，…………4分 ∴∠ADB ＝∠EDF .又∠ADB ＝∠ACB ，∴∠EDF ＝∠CDF . …………6分 (Ⅱ)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠FAB ，…………8分 ∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝ADAB，∴AB 2＝AF ·AD . …………10分 23．〔本小题满分是10分〕解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，…………2分设圆心的极坐标为(ρ，θ)，那么ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1，所以圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54π.…………5分 (Ⅱ)直线l 的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，…………7分 ∴圆上的点到直线l 的间隔 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大间隔为2＋2r ＋12＝3， ∴r ＝4－22.…………10分24．〔本小题满分是10分〕解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. …………5分 (Ⅱ)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}，综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．…………10分本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高三数学上学期教学质量统一检测试题一理含解析试题

2021届高三教学质量统一检测〔一〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日理科数学试题一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再根据并集定义求结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】此题考察集合的补集与并集，考察根本分析求解才能，属基此题.上任意取一个数，使不等式成立的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由得，所以所求概率为，选D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．〔3〕几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．根本领件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法〞求解几何概型的概率．满足，，那么〔〕A. 64B. 32C. 16D. 4【答案】B【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求【详解】由得选B.【点睛】此题考察等比数列通项公式，考察根本分析求解才能，属基此题.〔为虚数单位〕是由瑞士著名数学家欧拉创造的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为，所以对应点，在第二象限，选B.【点睛】此题考察复数除法以及复数几何意义，考察根本分析求解才能，属基此题. 5.、是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，那么的最大值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点一共圆，BD 为直径，所以的最大值为BD=,选A.【点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.、满足，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D不成立，根据根本不等式证明B成立.【详解】当时; 当时; 当时;因为，，所以，综上选B.【点睛】此题考察比拟大小，考察根本分析论证才能，属基此题.7.一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A. B. C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,应选A.【点睛】此题主要考察了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.8.如图，边长为1正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记，所经过的在正方形内的区域〔阴影局部〕的面积为，那么函数的图像是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件列，再根据函数图象作判断.【详解】当时，;当时，;根据正切函数图象可知选D.【点睛】此题考察函数解析式以及函数图象，考察根本分析识别才能，属基此题.9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞.执行该程序框图，假设输入、、的值分别为6、8、0，那么输出和的值分别为〔〕A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，4【答案】C【解析】【分析】执行循环，直至终止循环输出结果.【详解】执行循环，得，完毕循环，输出，此时,选C.【点睛】算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.的图像关于轴对称，那么的图像向左平移〔〕个单位，可以得到的图像〔〕.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件确定关系，再化简，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以，，即，因此，从而,选D.【点睛】此题考察偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考察根本分析识别才能，属中档题.的四个顶点，其中，，那么该抛物线的焦点到其准线的间隔是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设抛物线HY方程，将条件转化为坐标，代入解出，即得结果.【详解】不妨设抛物线HY方程，可设，那么，即抛物线的焦点到其准线的间隔是，选B. 【点睛】此题考察抛物线方程及其性质，考察根本分析求解才能，属基此题.的棱长为2，为平面，且平面，那么平面截正方体所得截面的周长为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中平面,所以,取AC中点E, 取AE中点O,那么,取A1C1中点E1, 取A1E1中点O1,过O1作PQ//B1D1,分别交A1B1,A1D1于P,Q从而平面,四边形为等腰梯形，周长为，选A.【点睛】此题考察线面垂直判断以及截面性质，考察综合分析与求解才能，属难题.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.双曲线C：，点P (2，1) 在C的渐近线上，那么C的率心率为．【答案】【解析】试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x轴上，结合P (2，1)在渐近线上，所以即所以，从而有其离心率．考点：双曲线的离心率．14.的展开式中的常数项的值是__________．〔用数学答题〕【答案】60【解析】【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为，所以令得，即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.的外心满足，那么__________．【答案】【解析】【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.【点睛】此题考察向量表示以及重心性质，考察综合分析与求解才能，属中档题.的首项为1，其余各项为1或者2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列〔用为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，那么__________．数字答题〕【答案】3993【解析】【分析】先根据条件确定前2021项有多少个1和2，再求和得结果.【详解】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2021项有45个1和个2，因此【点睛】此题考察数列通项与求和，考察综合分析与求解才能，属难题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕中，角、、的对边分别是、、，，，.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设角为锐角，求的值及的面积.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕b=5,.【解析】【分析】〔Ⅰ〕先根据二倍角余弦公式求，再根据正弦定理求的值；〔Ⅱ〕根据余弦定理求的值，再根据三角形面积公式求面积.【详解】〔Ⅰ〕由得因为，∴由，，由正弦定理得〔Ⅱ〕角为锐角，那么由余弦定理得即，或者〔舍去〕所以的面积【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.18.如图〔1〕，等腰梯形，，，，、分别是、折起，使得点和点重合，记为点，如图〔2〕.〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据平几知识得，，再根据线面垂直断定定理得面，最后根据面面垂直断定定理得结论;〔Ⅱ〕根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】〔Ⅰ〕，是的两个三等分点，易知，是正方形，故又，且所以面又面所以面〔Ⅱ〕过作于，过作的平行线交于，那么面又所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系那么，，，所以，，，设平面的法向量为那么∴设平面的法向量为那么∴所以平面与平面所成锐二面角的余弦值【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．19.，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.〔Ⅰ〕求椭圆的HY方程；〔Ⅱ〕过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕当时，【解析】【分析】〔Ⅰ〕由三角形周长可得，求出，再根据即可写出椭圆HY方程〔Ⅱ〕假设存在常数满足条件，分两类讨论〔1〕当过点的直线的斜率不存在时，写出A,B坐标，代入可得〔2〕当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系代入中化简即可求出.【详解】〔Ⅰ〕由题意，，，∵的周长为6，∴∴，∴椭圆的HY方程为.〔Ⅱ〕假设存在常数满足条件.〔1〕当过点的直线的斜率不存在时，，，∴，∴当时，；〔2〕当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，联立，化简得，∴，.∴∴，解得：即时，；综上所述，当时，.【点睛】此题主要考察了椭圆的HY方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.20.某地区进展疾病普查，为此要检验每一人的血液，假如当地有人，假设逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，假设检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因此这个人只要检验一次就够了，假如为阳性，为了明确这个个人中终究是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进展检验，这时个人的检验次数为次.假设在承受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是HY的，且每个人是阳性结果的概率为.〔Ⅰ〕为熟悉检验流程，先对3个人进展逐个检验，假设，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；〔Ⅱ〕设为个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.①当，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的方法能减少检验次数. 【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕①见解析，②当时，用分组的方法能减少检验次数. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据HY重复试验概率公式得结果;〔Ⅱ〕①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】〔Ⅰ〕对3人进展检验，且检验结果是HY的，设事件：3人中恰有1人检测结果为阳性，那么其概率〔Ⅱ〕①当，时，那么5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，假设混合检验结果为阳性，那么其概率为，那么每人所检验的次数为次，故的分布列为②分组时，每人检验次数的期望如下∴不分组时，每人检验次数为1次，要使分组方法能减少检验次数，需即所以当时，用分组的方法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值〞，第二步是“探求概率〞，第三步是“写分布列〞，第四步是“求期望值〞.，其中为大于零的常数〔Ⅰ〕讨论的单调区间；〔Ⅱ〕假设存在两个极值点，，且不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕见解析; 〔Ⅱ〕.【解析】【分析】〔Ⅰ〕先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间; 〔Ⅱ〕先根据参变别离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.【详解】〔Ⅰ〕，〔1〕当时，，在在上单调递增〔2〕当时，设方程的两根为，那么，∴，，∴在，上单调递增，上单调递减〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，且，由∴因为所以设，令当时，故在上单调递减，所以综上所述，时，恒成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或者存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分.做答时，需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.中，直线的参数方程为〔为参数〕，在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线与曲线的极坐标方程分别为，.〔Ⅰ〕求直线的极坐标方程；〔Ⅱ〕设曲线与曲线的一个交点为点〔不为极点〕，直线与的交点为，求. 【答案】〔Ⅰ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可〔Ⅱ〕利用极坐标的极径的几何意义分别求，根据求解.【详解】〔Ⅰ〕直线的参数方程为〔为参数〕消参得：，由代入直角坐标方程可得〔Ⅱ〕法1：由得，所以点的极坐标，又点在直线上，所以设的极坐标为由得，所以，所以.法2：曲线与曲线的直角坐标为，由得点的坐标所以直线的方程为由得点的坐标为所以，或者者：【点睛】此题主要考察了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.〔为实数〕〔Ⅰ〕当时，求函数的最小值；〔Ⅱ〕假设，解不等式.【答案】〔1〕1〔2〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据绝对值不等式的性质即可求出的最小值〔Ⅱ〕分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】〔Ⅰ〕时，所以的最小值为1〔Ⅱ〕①时，，，因为所以此时解得：②时，，，此时：③时，，，此时无解；综上：不等式的解集为【点睛】此题主要考察了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。