特别解析：椭圆经典例题分类

特别解析：椭圆经典例题分类

题型一 .椭圆定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142

2=+y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=

e ，得4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例3 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 122=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α，0cos 1

>-α

，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b ． (3)求α的取值范围时，应注

意题目中的条件πα<≤0

例5 已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：

17

162

2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

题型二 .焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P

是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1

=

∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

2

4cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②， 则－①②2

得：α

cos 122

21+=⋅b PF PF ． 故αsin 2

1212

1PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=

b 2tan 2α

b =．

例2 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代

数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=

AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，

22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当

22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

15

75,2141579(2

-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+

．

题型三 参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎩⎨

⎧==.

sin cos 3θθy x ，

设椭圆上的点的坐标为

(

)

θθsin cos 3，，则点到直线的