高等数学最小二乘法共18页文档
(完整版)最小二乘法
的关系吗？
提示 对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中 心，类似地，对于双变量样本数据，假设样本点为(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，记－x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)，－y ＝n1(y1 ＋y2＋…＋yn)，则(－x ，－y )为样本点的中心，回归直线一定 过这一点．
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i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 yi 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 xiyi 1.8 5.6 6.4 12 12.6 11.4 12.6 14.7 17.6 23
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2．回归直线方程求解的方法步骤 根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可 以方便地求出回归方程． 求线性回归方程的步骤： 第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－x ，－y ，
第3步：代入公式计算b，a的值； 第4步：写出回归方程y＝a＋bx. 利用回归直线对总体进行估计：
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx
＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
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题型一 求线性回归的方程
【例1】 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下 表：
年收入 x(万元)
2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
（x1－－x ）（y1－－y ）＋（x2－－x ）（y2－－y ）＋…＋（xn－－x ）（yn－－y ） （x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2
最小二乘法
其中：������������ = ������������ − ������������观测
周期误差的计算
• 测距仪轴向与标准钢卷尺平行，多次移动 棱镜，分别读取测距仪和钢卷尺读数 ������������ , ������0������
• 根据������������ = ������������ − ������0������ 可获得一组 ������������ , ������������ • 根据相位������������ =
最小二乘法
什么是参数估计？
• 最小二乘法是一种参数估计原则 • 参数估计是指从带有误差的观测值中提取我们感兴趣 • 典型的参数估计： 通过测量多条标准基线求得测距仪的加、乘常数 通过三角测量求得被测点的平面坐标 距离交会，求得被测点的坐标
欧式距离最短
• 假设某观测方程为： ������11 ������12 ������1 ������ ������2 = ������21 ������22 ������1 2 ������31 ������32 ������3 • 可写为： ������11 ������12 ������1 ������2 = ������1 ������21 + ������2 ������22 ������31 ������32 ������3
如果我们只知道A有一辆百万级豪车，而不了解 其他任何相关信息，我们更愿意相信，A的年收 入为100万，而不会倾向于相信他的年收入为20 万
• 因此，当我们只有一个观测值x的时候，我 们更愿意相信，真值就等于x，因为此时概 率密度最大
当我们进行了多次观测，得到多个观测值 （ ������1 , ������2 , ⋯ ）由于每次观测相互独立，因此 有联合概率分布（似然函数）：
第十八讲全面最小二乘法
Y
V H ，其中σ 1 ≥ σ 2 ≥ ≥ σ r > 0 。又设 0 m×n σ 1 Vn (s < r ) 则 U σs 0 m×n
z∈C rankz = s F
min X − Y= X −Z F m×n
H
首先来考虑 F-范数。设 Pm×n = UQV ,U、V 分别为 m 阶、n 阶酉
r
r
n
1 i= r +1 j =
∑ ∑ tij
m
n
2
对任意 Z 矩阵而言，各 tij 之间完全独立，则 X − Z 于零的。但是 rank ( Z )= s < r 。故 X − Z
F
F
是可能等
不可能为零。详细论证
F
可知 tij = 0(i ≠ j ), tii = 0(i > s ), tii = σ i (i = 1, 2,, s ) 时， X − Z 小 下 面 仅 考 虑 在 实 际 应 用 中 非 常 常 见 的 一 种 情 况 ： A ∈ Cn
14
= min ∆ F =
显然满足
rank ( C +∆ ) =n
rank ( C +∆ )< n +1
min
C − (C + ∆ )
F
min
= C− ( C + ∆ ) σ n+1
0 H ∆ =U 0 V σ + n 1 O
15
定理 2： 设σ n +1 为 C 的 n-k+1 重奇异值，且 vk +1 , vk + 2 , vn +1 相应的为
第七章 最小二乘法正式版
Harbin Institute of Technology
误差理论
不等精度测量的处理方法（Ⅱ）：
残差方程化为 v1 l1 a11 x1 a12 x2 a1t xt v2 l2 a21 x1 a22 x2 a2t xt
误差理论
与数据处理
一、线性参数等精度测量数据最小二 乘法处理的正规方程
对残差方程平方和 v 2 求偏导数，并令其 为0，可获得一组有确定解的方程，其解即为 满足 v 2 最小 的最小二乘估计量。 v 2 分别对 x1, x2 ,, xt 求偏导数，可得 v 2 a l a a x a a x a a x
Harbin Institute of Technology
误差理论
线性参数的最小二乘法：
线性参数测量方程的一般形式 ：
Y1 a11 X 1 a12 X 2 a1t X t Y2 a21 X 1 a22 X 2 a2t X t Yn an1 X 1 an 2 X 2 ant X t
d1 1 2 2 22 1 P2 f 2 2 d 2 e 2 2 d 2 2 2 2 n2 1 Pn f n n d n e 2 n d n n 2 e P f1 1 d1 1
p1 0 P 0 0 p2 0 0 0 0 pn 0
(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品)
最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。
我们用最小二乘法拟合三次多项式。
最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。
曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下不远处。
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=[]∑==-mi ii y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
高等数学课件最小二乘法标准版资料
wéi)均对方本误题差(bě, ntí)均方误差
1 7
M
0.124
它在一定程度上反映了经验函数的好坏. O
t
2021/10/3
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第六页，共10页。
例2. 在研究某单分子(fēnzǐ)化学反应速度时, 得到下列数据:
i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
2021/10/3
Y a X b (线性函数)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第七页，共10页。
因此(yīncǐ) a , b 应满足法
方程组:8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a
k 1
8b
ln yk
k 1
y
经计算(jìsuà1n)8得36 a 108b 280.994 108a 8b 23.714
经计算(jìs令(据ugàn)u得:ānxicè)数xi1 xi , yi yi1 yi (i 1, 2,, n)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
yi 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间, (1) 若 定值 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间,
, 则考虑 y a x b 同济(tónɡ jì)版高等数学课件
特别, 当数据点分布近似一条(yī 线时,
使 y ax b 满足:
n
tiáo)直
问题(wèntí)为确 定 a, b
大学经典课件之高等数学——8-10最小二乘法
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特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y = a x + b 满足:
M (a , b ) =∑ ( yk − a xk − b )2 = min
k =0 n
y
令
∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) x k = 0 ∂a k =0 n ∂M = − 2∑ ( yk − a x k − b ) = 0 ∂b k =0
i 0 1 2 3 4 5 6 7 t i (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 yi (mm) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 y 大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y = at + b
n 2 ( ∑ x k ) a + ( ∑ x k ) b = ∑ x k yk n n n k =0 n k =0 k =0 n
o
称为法方程组
x
得
( ∑ xk ) a + ( n + 1) b = ∑ yk
k =0 k =0
解此线性方程组 即得 a, b
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例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下:
列表计算:
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o
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t
i
ti
t i2
yi
yi t i
0 M 7 Σ
得法方程组
0 M 7 28
0 M 49 140
高等数学：第五讲 最小二乘法
)最小
n
(B) (gm (xi ) yi ) i0
n
(D) (gm (xi ) yi )2 i0
)
( A) 3
(B) 0
(C) 1
(D) 5
谢谢
求最小二乘多项式的步骤
1.确定最小二乘多项式的次数m
2.写出
a
a0 a1
,
y
y0 y1
,
A
1 1
x0 x1
x02 x12
x0m x1m
am
yn
1 xn xn2
xnm
3.解方程组 AT Aa AT y 得 a0*, a1*, , am* , 代入得最小二乘多项式
gm (x) a0* a1*x am* xm
由微分学知 a0*, a1*,
a2*
满足
a0
n
2 (a0 a1xi a2 xi2 yi ) 0
i0
a1
n
2
i0
(a0
a1xi
a2 xi2
yi )xi
0
a2
n
2
i0
(a0
a1xi
a2 xi2
yi )xi2
0
(n 1)a0 ( n
n
xi )a1 (
xi2 )a2
n
yi
n
拟合 y f (x), 使得 (a0, a1, , am ) (gm (xi ) yi )2 取最小值. i0
m=2 情形的系数推导
当 m 2 时，则有 g2 (x) a0 a1x a2x2.
n
选取a0*, a1*, a2*, 使得 (a0 , a1, a2 ) (a0 a1xi a2 xi2 yi )2 的值最小. i0
最小二乘法
最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法
(1)正交性的有关性质
在线性代数欧氏空间理论中 , 将 R 3 中两个向量 x,y之间的夹角φ满足的关系式 xTy=‖x‖2‖y‖2cosφ 推广到Rn. T
x y 1 设x,y∈Rn, 由Cauchy不等式 1 || x ||2 || y ||2
从而得到Rn中两个向量之间的夹角为
x y arccos || x ||2 || y ||2
(i , f ) ( xk )i ( xk ) f ( xk )
k 0
m
则:
(i , f ) ci (i ,i )
拟合函数 f ( x) c00 ( x ) c11 ( x ) cnn ( x)
例1
设函数y=f(x)的离散数据如下表所示, 试用二次 多项式拟和上述数据,并求平方误差. i 0 xi 0 yi 1.000 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
T
定理1
设x, y是Rn中的向量, x与y正交的充分必要条
件为xＴy=0.
证明 必要性. 当x与y正交，它们的夹角φ=π/2， 有xＴy=0. 充分性. 当xＴy=0, φ=π/2, 即x与y正交. 注：如果x与y正交, 记为x⊥y
定理2
设x, y∈Rn, 且x⊥y, 那 么： ‖x+y‖22＝‖x‖22＋‖y‖22．
假设x⊥R(A), 即αiＴx=0 (i=1,2,…,k). 从而AＴx=0 另一方面,如果AＴx=0, 那么有z∈Rk, 使Az=y∈R(A). 这时，yＴx=zＴAＴx=0,即x⊥y. 由z的任意性， 得Az是任意的， 因此x⊥R(A). 由这个定理， 容易得到： 推论1 设A是n×k阶矩阵， 那么R(A)有唯一的正交 补子空间N(AＴ).
最小二乘法PPT课件
教学目的:1.通过实例使学生体会变量间的相关 性 2.根据散点图对线性相关关系进行直 线拟合，从而对整体进行估计 教学重点:1、相关关系的判断
2、画散点图
3、用最小二乘法求回归直线方程
教学器材：多媒体电脑
复习：
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相关关系的判断
2、线性相关：寻找一条直线。
y
O
X
求最小值－－－－最小二乘法
（1）列表
2 3 4
5
2.2 3.8 5.5
6.5
4 9
4.4
11.4 22
32.5
16
25
6
合计
20
7.0
25
36
90
42
112.3
（2）x = 10
, y = 12.38
自学： P65
探究： P67
例1
例2
作业：P79
复习题一
4、 7
步骤：1、列表求出 2、代入公式求 a 、b 3、写出线性回归方程
例1、假设关于某设备的使用年限x和所支出
的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
(1) 求回归直线方程；（2）估计使用10年 时，维修费用约是多少？ 解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系