概率论 数理统计第16讲-1(王)

S n − np d uur N(0,1). npq
(3.3)
证 明： 令 S n = ∑ X i ，
i =1
n
分布。 其中 X 1 ,L , X n 相互独立且都服从于 (0-1)分布。 EX i = p，DX i = pq 。
由定理3.1结论成立 定理3.1结论成立 3.1
例8 设一个系统由 设一个系统由100个相互独立起作用的部件 个相互独立起作用的部件 组成，每个部件的损坏率为0.1。 组成，每个部件的损坏率为 。为了使整个系统 正常工作，至少必须有85个部件正常工作 个部件正常工作， 正常工作，至少必须有 个部件正常工作，求整 个系统正常工作的概率。 个系统正常工作的概率。 是损坏的部件数， 解：设 Sn是损坏的部件数，则 Sn~B(100,0.1)。 是损坏的部件数 。 则整个系统能正常工作当且仅当 Sn≤ 15. . 由推论3.3得 推论3.3得 3.3
例6. 近似计算 当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时 当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时,辐 0.5毫伦琴(mr) 射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电工作时的平 射会对人的健康造成伤害. 均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭 中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害. 中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害. 但 是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时, 是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时,辐射可能 对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作, 16台彩电同时工作 对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作,问这 16 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率. 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.
ξn =
Sn − nµ
σ
n
(3.2)
依分布收敛到标准正态分布. 即对任何x, 依分布收敛到标准正态分布. 即对任何 ,
lim P { ξ n ≤ x } = Φ ( x ) .
n→ ∞
是标准正态分布的分布函数. 这里 Φ ( x) 是标准正态分布的分布函数. 我们把结论(3.2)记成 我们把结论(3.2)记成 ξn uur N(0,1) , 其中 (3.2) d 表示依分布收敛. 的d表示依分布收敛. 表示依分布收敛
例6. (续) 表示第i台彩电的辐射量 台彩电的辐射量(mr/h), 解: 用Xi表示第 台彩电的辐射量(mr/h), 则Xi 的数学期望 µ =0.036,方差 σ2 =0.0081. =0.036,方差 Sn=X1+X2+… +X16 是n=16台彩电的辐射量. 台彩电的辐射量. 台彩电的辐射量 题目要求P(Sn > 0.5). 题目要求 独立同分布时, 定理3.1 认为{X }独立同分布时 按照定理3.1, 认为{Xi}独立同分布时, 按照定理3.1,
1 ∞ ∑ I [ Ai ] → p, n i =1
所以
wp1.
∑ I [ A ] = ∞,
i =1 i
∞
wp1.
说明有无穷个A 发生的概率是1. 说明有无穷个 i发生的概率是 .
§5.3
中心极限定理
强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和 的依概率收敛和以概率1收敛 的依概率收敛和以概率 收敛. 收敛
P (Y = k ) = C
且Sn = Y + n.
k n + k −1
p q , k = 0,1, 2,...
n k
定理3.1（中心极限定理） 定理3.1（中心极限定理） 3.1 独立同分布,有共同的数学期 设随机序列 {Xj} 独立同分布,有共同的数学期 µ 和方差 σ 2. 部分和 n =X1＋ X2＋…＋ Xn, 则 部分和S 望 ＋ Sn的标准化
ξn → ξ , wp1
独立同分布， 定理2.2 定理2.2. 设随机序列 {X n }独立同分布，并 2.2 且 µ＝EX1 ，则有
1 n ∑ X i → µ, wp1. （2.6） n i =1
强大数律结论比弱大数律结论要强: 强大数律结论比弱大数律结论要强: 定理2.3. 定理2.3.如果 ξ n → ξ , wp1. 则 2.3
P(Sn≤ −18n) = 1 − P(Sn > −18n) → 1 说明下注的次数n越多, 至少输18n元的概率越大。 元的概率越大。 说明下注的次数 越多, 至少输 越多 元的概率越大
定义2.2. 定义2.2. 如果
ξn
n →∞
ξ
P{lim ξ n = ξ } = 1，
或 a.s.。
以概率1 则称序列 {ξ n } 以概率1收敛于ξ . 记为
n 2
的例1.4 例1.（接§4.1 的例1.4 ) （ 在赌对子时, 甲每次下注100元. 如果他连续 在赌对子时, 甲每次下注 元 下注n次 证明他的盈利Sn满足 下注 次, 证明他的盈利 满足
P (S n ≤ − 1 8 n ) → 1 .
证明： 表示甲第i次下注的盈利 证明： 用Xi表示甲第 次下注的盈利, 则X1,X2,…, Xn 表示甲第 次下注的盈利, 独立同分布. 4.1的例1.4知 的例1.4 独立同分布. 由§4.1的例1.4知 µ = EX i = −18.6， Sn = X1 + X2 +L+ Xn. 利用
1 n X n ≡ ∑ X i uuur µ p n i =1
(2.5）
通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 2.5的结论称为 (weak law of large numbers). ).
证明： 方差， 证明： 令方差， DX i = σ 2，i = 1, 2,L 有限， 有限，
0 .5 − 1 6 × 0 .0 3 6 = P ξn > 1 6 × 0 .0 0 8 1 = P (ξ n > − 0 .2 1 1 )
这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康 16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康 台彩电以大约58% 伤害. 伤害.
一加法器同时收到20个噪声电压 例7 一加法器同时收到 个噪声电压 Vi ( i = 1, 2,L , 20) ， 设它们是互相独立的随机变量， 且都在区间(0,10)上 设它们是互相独立的随机变量 ， 且都在区间 上 20 服从均匀分布， 服从均匀分布，记
{S n
> − 18 n} = { X n − µ > − 18 − µ } = { X n − µ > 0.6}
⊂ {| X n − µ |>0.6}
和定理2.1得到, 和定理2.1得到, n →∞ 时， 2.1得到
P(Sn > −18n)
≤ P(| X n− µ| > 0.6)
≤
于是， 于是
Var(X1) → 0. 2 n × 0.6
Sn -100 Sn -100 = P > 0.387 = 1 − P ≤ 0.387 (10/ 12) × 20 (10/ 12) × 20
≈ 1 − Φ ( 0 .3 8 7 ) = 0 .3 4 8
二项分布的正态近似 推论3.3.设 推论3.3.设Sn ～ B(n,p), p=1-q ∈ (0,1), 则 3.3.
1 E( n
∑
n
i=1
1 Xi) = n
∑
n
n
i=1
1 EX i = n
∑
n
µ = µ
i=1
1 n 1 D( ∑ X i ) = 2 n i =1 n
1 1 2 2 ∑ DX i = n2 nσ = n σ i =1
由切比雪夫不等式得： 由切比雪夫不等式得：
1 σ P {| ∑ X i − µ |≥ ε } < 2 → 0, n → ∞ n i =1 nε
−1 P ( S n = k ) = C kn−1 p n q k − n , k = n , n + 1,...
上述分布称为帕斯卡分布. 上述分布称为帕斯卡分布. 帕斯卡分布 从演示看出
n →∞时,Sn的分布形状很象正态分布。 的分布形状很象正态分布。
次成功前失败的次数Y的分布称为 注：得到第n次成功前失败的次数 的分布称为 得到第 次成功前失败的次数 负二项分布， 负二项分布，易见
ξn uur ξ . p
在多次独立重复试验过程中, 例2. 在多次独立重复试验过程中,小概率事件必然发 生. 证明： 是任意小的正数,事件A 相互独立, 证明：设 p 是任意小的正数,事件 1,A2…相互独立, 相互独立 P(Ai)= p.用 I[Ai] 表示 i的示性函数，则 I[Ai] 独立 表示A 的示性函数， . 同分布.由强大数律得到： 同分布.由强大数律得到：
S n = ∑ Vi
i =1
求 P{Sn>105}近似值 。
102 (i 3.1 解：EVi = 5，DVi = ， = 1, 2,L , 20) ，由定理 3.1 知： 12 S n -20 × 5 105-20 × 5 P{S n > 105} = P > 2 2 10 / 12 × 20 10 / 12 × 20
第五章
§5.2
1， X j＝ 0,
极限定理
大数律
当第j次试验成功， 当第j次试验不成功。
次独立重复试验中, 在n次独立重复试验中, 引入 次独立重复试验中
次试验中的成功次数. 次试验中的成功次数 则 Sn＝ 1＋ 2＋ ＋ n是n次试验中的成功次数 X X ⋅⋅⋅ X 由概率的频率定义知道, 由概率的频率定义知道,对于成功的频率
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法， 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
中心极限定理的应用 的概率， 可以用 N(0,1) 近似计算关于 ξ n 的概率， 的概率。 用N( nµ , nσ 2) 近似计算关于 Sn 的概率。
n →∞时,Sn的分布形状很象正态分布。 的分布形状很象正态分布。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例4. Poisson(泊松)分布 (泊松) 则由§3.4的例4.1知道部分和 的例4.1 若 {Xj} iid P(λ ), 则由§3.4的例4.1知道部分和
Sn＝∑ X i ~ P(nλ ).
i=1
n
从演示看出
n→∞时,Sn的分布形状很象正态分布。 的分布形状很象正态分布。
例5.几何分布部分和 5.几何分布部分和 设{Xj}独立同分布都服从几何分布 独立同分布都服从几何分布
P(Xj =k)＝pq , k = 1,2,..., p + q = 1.
k-1
设想成第n次击中目标 可以将 Sn = X1 + X2 + … + Xn 设想成第 次击中目标 时的射击次数(参考几何分布的背景), ),于是得到 时的射击次数(参考几何分布的背景),于是得到
ξn
ξ
lim P{| ξn − ξ |≥ ε } = 0，
n→∞
pr 则称序列 {ξ n }依概率收敛于ξ . 记为ξ uuu ξ
n
其含义是n很大时 有非零差距的可能性很小。 其含义是 很大时, ξ n 与 ξ 有非零差距的可能性很小。 很大时
独立同分布， 定理2.1. 定理2.1. 设随机序列 {X n } 独立同分布， 有限， 并且 µ＝EX1 有限，则有
中心极限定理讨论对充分大的n, 中心极限定理讨论对充分大的 , 随机变量序列 的概率分布问题. 部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布问题.
例3. 二项分布 独立地重复某一试验， 独立地重复某一试验，设
1， X j＝ 0,
当第j次试验成功， 当第j次试验不成功。
则{Xj} iid ～ B(1,p)(两点分布)。 (两点分布) 令 Sn = X1 + X2 + … + Xn 次独立试验中成功的次数,S 则Sn为n次独立试验中成功的次数 n ~ B(n,p)。 次独立试验中成功的次数 从演示看出
ξn =
Sn − nµ nσ
近似服从N(0,1)分布, 于是 分布, 近似服从 分布
例6 . ( 续)
S n − n µ 0.5 − n µ P ( S n > 0.5) = P > σ n σ n
= 1 - P (ξ n ≤ − 0 .2 1 1 ) ≈ 1 - Φ ( - 0 .2 1 1) = Φ ( 0 .2 1 1) = 0 .5 8 .
1 2.1 X n＝Sn / n ,有 limXn＝P（X1＝ ）＝EX1 （ ） 有
n→∞
下面的强大数定律将(2.1)进行了推广. 下面的强大数定律将(2.1)进行了推广. (2.1)进行了推广
称随机变量的序列 {ξ n }＝ 随机序列( 为随机序列(random sequence). ).
{ξ 1 ，ξ 2 ，⋅ ⋅ ⋅}