《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间
本节重点:
掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；
掌握稠密子集的定义及性质.
定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.
以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义．
定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)
证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得
f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|，
则ε＞0．令
＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2)
＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2)
则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U
＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有，
f（y）=g（y）∈，矛盾．
我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．
定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间．
定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．
证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个
非空元素B中任意取定一个点∈B．令
D={|B∈B，B≠}
这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集．
包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间．
可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到：
推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间．
特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间．
例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间．
我们依次给出以下三个论断：
（1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集．
（2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理．
事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的．
（3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.
根据这三个论断，我们可有以下两个结论：
（A）可分空间可以不满足第二可数性公理．因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X*，T *）．
（B）可分空间的子空间可以不是可分空间．因为如果选取（X，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X*，T *）以(X，T)为它的一个子空间．
(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)
定理5.2.4 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理．
证明(略)
根据定理5.2.4及推论5.2.3可知：
推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间．
有关可分性是拓扑不变性质，有限可积性质，可商性质以及对于开子空间可遗传性质等问题我们列在习题中，由读者自己去研究.
作业:
P144 2.4。