专题4.2 与球相关的外接与内切问题-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

中，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 解：如图，
把三棱锥
补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为
，
则
，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥
外接球的表面积为
．
故选：C．
3、【河南省天一大联考 2019 届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角
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,
因此四面体 体积的最大值为
，选 C.
6．三棱锥 P—ABC 中，底面 ABC 满足 BA=BC，
，点 P 在底面 ABC 的射影为 AC 的中点，且
该三棱锥的体积为 ，当其外接球的表面积最小时，P 到底面 ABC 的距离为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】
设外接球半径为 ，P 到底面 ABC 的距离为 ，
球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：如图，
由题意可得，三棱锥 P-AEF 的三条侧棱 PA，PE，PF 两两互相垂直，
且
，
，
把三棱锥 P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为
，
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则三棱锥 P-AEF 的外接球的半径为 ，
外接球的表面积为
．
故选：C．
8．【2019 届高三第二次全国大联考】中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数
A．
B．
【答案】D
C．
D．
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【解析】 由正视图，侧视图可知，底面长方形的长，宽分别为 4，2，
故四棱锥的高为
，
所以外接球的直径为
，
所以
．
故选：D． 2．【河南省郑州市第一中学 2019 届高三上期中】在三棱锥
中， 平面
的外接球的表面积是（ ）
，M 是线段 上一动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥
的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形 ，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 【举一反 三】
1、【云南省 2019 年高三第二次统一检测】已知直三棱柱
的顶点都在球 的球面上，
，
，若球 的表面积为 ，则这个直三棱柱的体积是（ ）
A．16
B．15
C．
D．
【答案】A 【解析】
由题，
因为
，
， ，易知三角形 ABC 为等腰直角三角形，
【例 1】已知 S, A, B,C 是球 O 上的点 SA 平面ABC ， AB BC , SA AB 1， BC 2 ,则球 O 的
表面积等于________________．
【答案】 4
【解析】
由已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点，所以 OA OB OC OS ，又 SA 平面ABC ， AB BC ，所 以四面体 S ABC 的外接球半径等于以长宽高分别以 SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球的半径，因为 SA AB 1， BC 2 ,所以 2R= SA2 AB2 BC 2 2, R 1 ，所以球 O 的表面积 S 4 R2 4 .
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 解：如图所示：
三棱锥
中， 平面
，
M 是线段 上一动点，线段 长度最小值为 ，
Fra Baidu bibliotek
则：当
时，线段 达到最小值，
由于： 平面 ，
所以：
，
解得： 所以： 则：
， ， ，
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由于： 所以： 则： 所以：
，
为等腰三角形． ，
在
中，设外接圆的直径为
，
则： ，
所以：外接球的半径
，
则：
，
故选：C．
3．【广东省深圳市 2019 届高三第一次（2 月)调研】已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，
，
，P 为球 O 的球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为 ，三棱銋 O 一 ABC 的体积为 ，若 的
最大值为 3，则球 O 的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 由题意，设
学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的
，
则
，
因为
，所以
，
因为
，所以当
时， ，当
时， ，因此当
时，
取最小值，外接球的表面积取最小值，选 B.
7．【四川省成都外国语学校 2019 届高三上学期第一次月考】已知正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别是
BC，CD 的中点，沿 AE，EF，AF 折成一个三棱锥 P-AEF（使 B，C，D 重合于 P），三棱锥 P-AEF 的外接
故所求体积的最大值为1× 3×22×1＝ 3.
34
3
2. 【四川省德阳市 2018 届高三二诊】正四面体 ABCD 的体积为 ，则正四面体 ABCD 的外接球的体积为 ______． 【答案】 【解析】 解：如图，
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设正四面体 ABCD 的棱长为 ，过 A 作 AD⊥BC，
设等边三角形 ABC 的中心为 O，则
的外接圆圆心为 ，其半径为 ，球 的半径为 ，且
依题意可知
，即
，显然
，故
，
又由
，故
，
∴球 的表面积为
，故选 B.
4．【江西省南昌市南昌外国语学校 2019 届高三高考适应】在三棱锥 S﹣ABC 中，AB⊥BC，AB=BC= ，
SA=SC=2，二面角 S﹣AC﹣B 的余弦值是 ，若 S、A、B、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
，
从而外接球的表面积为 .
故答案为：C. 类型二 正棱锥与球的外接
【例 3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 （ ）
A． 81 4
B．16 C． 9
D． 27 4
【答案】A．
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【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，
构造直角三角形，利用勾股定理求半径.
【举一反三】
1、球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共面，△ABC 是边长为 2 的正三角形，平
面 SAB⊥平面 ABC，则棱锥 S­ABC 的体积的最大值为( )
A. 3 3
B. 3
C．2 3
D．4
【答案】A
【解析】 (1)由于平面 SAB⊥平面 ABC，所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上，根据球的对称性可
一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体 的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间 想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类 问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.当 三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的 是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各 面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的 高，用体积来求球的半径. 二．解题策略 类型一 构造法（补形法）
则此球的表面积等于
.
【答案】
【解析】在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理,可得 ABC 外接圆半径 r=2,
设此圆圆心为 O ，球心为 O ，在 RT OBO 中，易得球半径 R 5 ，故此球的表面积为 4 R2 20 .
【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面
【答案】
【解析】
因为
，所以
，
所以
，同理
，
故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球 ，直径为正方体的体对角线，故
，设
的中点为 ，连接 ，
则
且
，所以
，
当 平面 时，平面 截球 的截面面积最小，
此时截面为圆面，其半径为
，故截面的面积为 ．填 ．
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类型三 直棱柱的外接球
【例 4】直三棱柱 ABC A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120 ，
∴长方体的对角线为 ，∴外接球的半径为 ，
∴外接球的体积为
.
故选：B．
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利 用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可. 【举一反三】
1、【山东省济宁市 2019 届高三一模】已知直三棱柱
的底面为直角三角形，且两直角边长分别
故三棱柱的高
故体积
故选 A
2、已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,则
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球 O 的半径为 （ ）
A． 3 17 2
B． 2 10
C． 13 2
D． 3 10
【答案】C
【解析】由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M.计算 AM= 5 ，由垂径定理，OM=6，所以半径 2
边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体 的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体中，此三棱锥和长方体
的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方 体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球. 【例 2】【辽宁省鞍山一中 2019 届高三三模】刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底 面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
，
，
，即
．
再设正四面体 ABCD 的外接球球心为 G，连接 GA，
则
，即
．
∴正四面体 ABCD 的外接球的体积为
.
故答案为：
．
3、【安徽省蚌埠市 2019 届高三下学期第二次检查】正三棱锥
中，
，点 在棱 上，
且
.正三棱锥
的外接球为球 ，过 点作球 的截面 ， 截球 所得截面面积的最小值为
__________．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：取 的中点 ，连接 ， .
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因为 可得
，
，所以
，
即为二面角
的平面角，故
在
中，
同理可得
，
由余弦定理得
解得 在 中， 所以， 为直角三角形， 同理可得 为直角三角形，
取 中点 ，则
，
, ，
在
与
中，
,
,
所以点 E 为该球的球心，半径为 ，
所以球的表面积为
R= ( 5)2 62 13 ,选 C.
2
2
3、 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在 半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
.
值，为
【答案】大
三．强化训练 一、选择题 1、《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视 图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为 ，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的 表面积为（ ）
知，当 S 在“最高点”，即 H 为 AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥 S­ABC 的体积最大．学科*网
因为△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径 r＝OC＝2CH＝2× 3×2＝2 3.
3 32
3
在 Rt△SHO 中，OH＝1OC＝ 3，
2
3
所以 SH＝
2 32 32 3 － 3 ＝1，
，故选 B.
5．【四川省泸州市泸县第一中学 2019 届高三三诊】点 ， ， ， 在同一个球面上， 若球的表面积为 ，则四面体 体积的最大值为
A．
B．
【答案】C 【解析】 因为球的表面积为 ，所以 因为
C．
D．
, 所以三角形 ABC 为直角三角形，
，
，
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从而球心到平面 ABC 距离为
为 1 和 ，此三棱柱的高为 ，则该三棱柱的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】
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如图所示，将直三棱柱
补充为长方体，
则该长方体的体对角线为 设长方体的外接球的半径为 ，则 所以该长方体的外接球的体积
， ，,
，
故选 C.
2、【辽宁省师范大学附属中学 2019 届高三上学期期中】在三棱锥
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A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马 的外接球也是长方体的外接球， 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1， ∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1，