沪教版八年级上册-几何证明讲义

DEF

第二种：FB =CE ，AC =DF 添加 ③∠ACB =∠DFE

证明：因为FB =CE ，所以BC =EF ，又∠ACB =∠DFE AC =EF ，所以ABC ≅DEF 所以∠ABC =∠DEF 所以AB//ED

精讲名题

例1、已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 证明：连结CD

A C

B C

A B

A C

B A D D B

C

D B D A D D C B B A

A E C F A D C

B A D

C D

=∴∠=∠∠

=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，

∴≅∴=∆∆A D E C D F D E D F

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

例2、已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F 证明：连结AC 在∆A B C 和∆C D A

中， AB CD BC AD AC CA ABC CD A SSS B D AB CD AE CF

BE D F

===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()

在∆B C E 和∆D A F 中，

BE D F

B D B

C

D A BC

E D A

F SAS E F

=∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪∴≅∴∠=∠∆∆()

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

例3、已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C =︒==90。 求证：FD ⊥ED 证明一：连结AD

AB AC BD D C

D A

E D AB

BAC BD D C

BD AD

B D AB D AE

==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090

在∆A D E 和∆B D F 中，

A E

B F B D A E A D B D

A D E

B D F

F D E D

===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆31

3290

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二：如图所示，延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连结FE ，FM ，BM

B

C

A E

F

D M

图5

B D D C

B D M

C

D

E D M D E B D M C D E C E B M C C B M

B M A C

A A

B M A A B A

C B F A E A F C E B M

=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∴∠=︒∴∠=︒=∠==∴==，，，∆∆//9090

E

A B C

D

例4、已知：如图所示在∆A B C 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD

分析：在AC 上截取AF ＝AE 。易知∆∆A E O A F O ≅，∴∠=∠12。由∠=︒

B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：∆∆F O CD O

C F C

D C

≅∴=， 证明：在AC 上截取AF ＝AE

()

∠=∠=∴≅∴∠=∠B A D C A D A O A O

A E O A F OS A S ，∆∆42

又∠=︒

B 60 ∴∠+∠=︒

∴∠=︒

∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠=∠=︒∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC

()

即A C A E C D =+

备选例题

例1、 已知：在⊿ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使AB=BD ，E 是AB 的中点。求证：CD=2CE 。 证明：延长CE 到F ，使EF=CE ，连结BF 易证△AEC ≌△FEB ，（SAS ） ∴BF=AC ，∠A=∠FBE 因为AB=AC=BD

∴∠ABC=∠ACB ，BF=BD 因为∠FBC=∠ABC+∠FBE ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC （等量代换） 所以易证△BCD ≌△BCF （SAS ） ∴CF=CD

∴∠EGB=∠B

∴BE=EG ∴BE=CF

6、已知等腰直角三角形△ABC 中，∠BAC=0

90，BD 是角平分线，CE ⊥BE ，交BD 延长线于点E ，求证：BD=2CE 。

证明：延长CE 、BA 交于点F A

因为∠BAC=0

90，CE ⊥BE D E 所以∠F+∠ACF=0

90，∠F+∠ABD=0

90 D

所以∠ACF=∠ABD ， B C 易得△ABD ≌△ACF 所以BD=CF

因为BD 是角平分线，∠BEC=∠BEF=0

90 所以△BCE ≌△BFE 所以CF=FE ，即BD=2CE

自我测试

1、下列语句中是命题的是（ C ）

A ．过点

B 作直线B

C B ．线段BC C ．π是无理数

D ．画正方形

2、 如图，下列判断：①∠A 与∠1是同位角；②∠A 与∠B 是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是…………………………………（ A ） A ．①、②、③ B ．①、②、④ C ．②、③、④ D ．①、②、③、④

3、 下列命题正确的是（ A ）

A ．等边对等角

B ．面积相等的三角形全等

C ．线段有两条对称轴

D ．等腰三角形高是它的对称轴。 4、 下列命题中是真命题的是（ B ）

A ．同位角相等

B ．对顶角相等