构造中位线巧解题

三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。

一、知识回顾

1、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2、梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

3、应用时注意的几个细节：

①定理的使用前提：三角形或梯形。

②定理使用时，满足的具体条件：

两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：

位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形）

大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。

在应用时，要灵活选择结论。

4、梯形的中位线：

中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.

L=（a+b）÷2

已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

S梯=2Lh÷2=Lh

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

二、什么情况下该用中位线

1、直接找线段的中点，应用中位线定理

例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm

2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理

例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。

3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理

例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？

总结：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

三、中位线能带来什么

1、说明角相等

例1已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的

延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N 。

试说明：∠AME ＝∠DNE 。

2、说明线段相等

例2 已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N 。

试说明：OM ＝ON 。

例3：BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=

2

1

（AB+BC+AC ）。 （1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图1）并说明理由； （2）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．

A

B

F C D

N M E

D A

B

C

O

E F M

N

P

3、说明面积相等

例3 已知，如图3，△ABC 的中线AD 、BE 交于点G 。试说明：S △ABG ＝S 四边形CEGD 。

4、说明线段垂直

例4 已知，如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＋BC ＝AB ，M 是CD 的中点试说明：AM ⊥BM 。

总结：三角形中位线辅助线常用口诀

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

三、本次课后作业：

1、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？ 变形题：已知三角形的三边为a 、b 、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？

2、已知△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，AE=2CE ，CD ，BE 交于O 点，OE=2厘米。求BO 的长。

3、已知△ABC 中，BD ，CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，AH ⊥BD 于H ，AF ⊥CE 于F 。若AB=14

B A

C

E

D G

图4

B

C

M

N

A D

厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长。

4、已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点。求证：∠BFE=∠EGD。

5、在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)。求证：∠DEF=∠HFE。