第八章 地图投影变换
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m1
很显然， 值可大于、小于或等于1，因此， 值可能为正、负或0。
v P'
m
（2）方向变形
在原面上，OP方位角为 ，投影后O’P’的方位角变为 ，则 ( )
称为方向变形。 tan y b b tan x a a
tan tan a b tan a
为了便于测量计算和生产实践，需要将椭球面上的元素化算 到平面上，并在平面直角坐标系中采用大家熟悉的简单公式计算 平面坐标。以此解决椭球面和平面这一对矛盾。
8.1 地图投影变换的基本概念
一、 投 影 概 述
方便地形测图和使用
投影的意义
简化计算
投影的定义
地图投影，就是将椭球面上的元素，按照一定的 数学规则转换到地图平面上的理论和方法。
第八章 地图投影变换
§8.1 地图投影变换的基本概念 §8.2 高斯-克吕格投影 §8.3 通用横轴墨卡托投影 §8.4 兰勃特投影
地面----- 椭球面 -----平面
将地面观测元素归算的到椭球面，解决了地面与椭球面这对 矛盾，大地控制网完全有可能在椭球面上进行计算。但是，椭球 面上的计算相当的复杂和繁琐，且，对于小面积的测量工作，椭 球面上表示点、线位置的经度、纬度、大地线长度和大地方位角 等这些大地坐标元素很不适应。
长度比。
m AB L EA
AB
EA
即在微小范围内保证了形状的相似性，当 ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因 此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方 向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。
2. 要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变 形而引起的改正数
a b
,
tan 0＝
b a
与Y轴对称
此式即为计算最大方向变形的方向公式。
（3）角度变形
定义：角度变形为投影之前的角度ｕ和投影之后对应角度ｕ’之差
u u u
在大多数情况下，组成角度的两条边都不在主方向上，此时应该研究角 度变形与最大的角度变形。
设OA及OB分别为最大的变形方向，它们与X轴的夹角分别为1 和 2 。
面上。 （２）圆锥投影
取一圆锥面与椭球的某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于 圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。 （3）圆柱（或椭圆柱）投影
取圆柱（或椭圆柱）与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到 圆柱面（或椭圆柱面）上，然后将圆柱（或椭圆柱）展开成平面。
五、我国常用的地图投影
（1）中国全国地图投影 斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、
椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的长度和 大地方位角，其中点的坐标是关键。因为点的位 置确定后，两点间大地线的方位和距离就确定了。
几何法
投影的方法
数学解析法
几何法
N
Q
P
O
数学解析法
椭球面是不可展曲面，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、 圆锥面、圆柱面），使其与椭球面相切或相割，然后按一定的数学规则， 将椭球面上的元素转换到可展曲面上，并将可展曲面展平，就变成平面上 的元素了。
广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。 N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
我国规定按经差 60 和 30 度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测 量采用 30 带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用 1.50带或任意带。
高斯投影60 带：自 00子午线起每隔经差 60自西向东分带，依次编号
1,2,3,…。我国中央子午线的经度，由 690 起每隔 60 而至135，0 共计12
OP在不同方向时，长度比不一样。 ， 为主方向。
夹角为 时，P点的坐标为 ( ,)
cos, sin
根据长度比的定义，设主方向的长度
比分别为a和b,则投影后，有：
a x , b y
x a , y b
再联系式： 2 2 1
可以写出：
这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示： x F1(L, B) y F2(L, B)
式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而 x, y 是该点投影后的平面 (投影面)直角坐标。 称为投影函数。
上述方程式表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系， 也叫做坐标投影方程。 投影的方法很多，每种方法的本质特征都是 由投影条件和坐标投影公式F 的具体形式体现的。
mr r 1
由此，可得，某点O处的变形椭圆，是描述该点各方向上长度比的椭圆。 变形椭圆可以形象地表达点的投影变形情况。
4. 投影变形
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比 如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、 角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。
（２）等积投影
保持投影前后的面积不变形。满足下式：
P ab ab
（３）任意投影
ａｂ＝１
这类投影，即不等角，又不等积，即 a b , ab 1 其中，保持某一主方向的长度比等于１，即 a 1或 b 1 即为等距离投影。
2. 按投影面和原面的相对位置关系分类
正轴投影：圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影。
赤道
世界地图
自然坐标和通用坐标
为避免出现负的横坐标，可在 横坐标上加500km。此外还应在坐 标前面冠以带号，这种坐标称为国 家通用坐标。去掉带号，再减去 500km，最后得点的自然坐标。
tan tan a b tan a
tan tan sin( ) / cos cos
tan tan sin( ) / cos cos
sin( ) a b sin( )
ab
上式即为方向变形公式。很显然，当 (等于0o或90o时) ，即在主方向 上，没有方向变形。当 90o或270o时，方向变形最大。
2
又由 arcsin a b
ab
得
u=2 arcsin a b
ab
即，最大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。
（4）面积变形
原面上，单位圆的面积为 ，投影后，变形椭圆的面积为 ab ，则，
投影的面积比为
P ab ab
投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。
一、控制测量对地图投影的要求
1. 应采用等角投影
这样：① 保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不 变，免除了大量的投影计算工作；
② 所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球 上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。
如图有限小多边形，相应角度相等，但长度有变
化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为
3°带：
N
L 6
1
（如果有余数）
6 °带：
n
L
1.5 3
1
3°带和6 °带的关系是： 3 °带的奇数带中央子午线与6 °带中央子 午线重合；偶数带的中央子午线与6 °带的分带子午线重合。
135°2′30″
73°40′
6°带带号：13~23 3°带带号：24~45
正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。
（2）中国分省（区）地图的投影 正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等
角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。
（3）中国大比例尺地图的投影 多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃
特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。
§8.2 高斯-克吕格投影
二、投影的变形
长度变形 方向或角度变形
面积变形
变形不可难免！ 可以掌握和控制！！
1. 长度比
椭球面上一微小线段 P1P2 ，投影到平面上相应线段为 PP1，当 P P1 0 时的极限值，叫做投影长度比，简称长度比，用m表示。
即
m lim ( P' P1 ')
m ds dS
PP10 PP1
x2 a2
y2 b2
1
这就是在投影面上，以某定点为圆心，以主 方向上长度比为长、短半轴的椭圆方程。该椭圆 称为变形椭圆。
源自文库
椭球面上的微分圆，投影后，变为微分椭圆。在原面上与主方向一致 的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和短轴。
长度比
设原面上单位为1的微分圆上的一点P投影到平面上变成微分椭圆上 的一点P’的向径为r，则，由长度比的定义可知：
四、地图投影的分类
1. 按变形性质分类
（１）等角投影
保证投影前后的角度不变形。投影前后，需满足下式：
u=2 arcsin a b ab
ａ－ｂ＝０或ａ＝ｂ
即，在等角投影中，微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形 的相似性。投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。
因此，又把等角投影称为正形投影。
一点上的长度比，不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。也 就是说，不同点上的长度比都不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不 相同。
2. 主方向
投影后一点的长度比依方向的不同而发生变化。其中，最大及最小 长度比的方向，称为主方向。
长度比的主方向处在椭球面上两个相互垂直的方向上。
直角AOC经过投影变成锐角A’O’C’，但 是，如果在椭球面上，直角AOC绕着O点进 行旋转，从AOC位置一直旋转到<COB位置， 那么，它的投影也会从锐角A’O’C’逐渐变化 成钝角C’ O’ B’。而在它的变化过程中，必 然有一个位置是直角。
由于这两个方向与Y轴对称，则<AOB可以表示为：
u 2 1 180o 1 1 180o 21
该角度投影之后为： 1
u 2 1 180o 1 1 180o 21
两式相减，得最大角度变形：
u u u 2(1 1) 2
（1）长度变形
m r x2 y2
x a , y b cos , sin
m a2 cos2 b2 sin2
为所研究线段的方位角。
a，b为主方向上的长度比。 利用此式可以计算出任意方向上的长度比。
定义m和1之差为相对长度变形，简称长度变形，用 表示。
设此时的方位角为 0或0，最大方向变形用表示，则
sin
sin(0
0)
a a
b b
arcsin a b ab
此时，由于 可得
tan tan(90o ) cot tan tan(90o ) cot
tan 0＝
为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并 能进行简单计算。
3. 要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、 简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。
综上所述，我国大地测量中，采用横轴等角切椭圆柱面
投影，即所谓的高斯投影。
二、高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴等角切椭圆柱投影，是德国测量学家高斯于 1825～1830年首先提出的。实际上，直到19高12斯年投，影由平德面国另一位 测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推
可见，在椭球面上的任一点O上，必然 有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影 也必是相互垂直的。
这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。
3. 变形椭圆
如果已知主方向上的长度比，就可计算任意其他方向上的长度比。 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比极值为长、 短半轴的椭圆，即变形椭圆。
横轴投影：投影面的轴线与地球的自转轴相垂直，且与某一 条经线相切所得的投影。
斜轴投影：投影面与原面相切于除了极点和赤道以外的某一 位置所得的投影。
3.按投影面与地球体切割关系划分
相切、相割、相离
4. 按经纬网投影（之后的）形状分类
（１）方位投影 取一平面与椭球面的极点相切，将极点附近的区域投影在该平
带，带号用n 表示，中央子午线的经度用 L0 表示，L0 6n 3 。
高斯投影 30带：在 60 带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同 60 带
中央子午线重合，一部分同 60 带分界子午线重合，带号用 n’ 表示，30 带 中央子午线用L表示，关系是： L 3n
已知某点的大地经度为L时，计算改点所在投影带的带号的公式：
很显然， 值可大于、小于或等于1，因此， 值可能为正、负或0。
v P'
m
（2）方向变形
在原面上，OP方位角为 ，投影后O’P’的方位角变为 ，则 ( )
称为方向变形。 tan y b b tan x a a
tan tan a b tan a
为了便于测量计算和生产实践，需要将椭球面上的元素化算 到平面上，并在平面直角坐标系中采用大家熟悉的简单公式计算 平面坐标。以此解决椭球面和平面这一对矛盾。
8.1 地图投影变换的基本概念
一、 投 影 概 述
方便地形测图和使用
投影的意义
简化计算
投影的定义
地图投影，就是将椭球面上的元素，按照一定的 数学规则转换到地图平面上的理论和方法。
第八章 地图投影变换
§8.1 地图投影变换的基本概念 §8.2 高斯-克吕格投影 §8.3 通用横轴墨卡托投影 §8.4 兰勃特投影
地面----- 椭球面 -----平面
将地面观测元素归算的到椭球面，解决了地面与椭球面这对 矛盾，大地控制网完全有可能在椭球面上进行计算。但是，椭球 面上的计算相当的复杂和繁琐，且，对于小面积的测量工作，椭 球面上表示点、线位置的经度、纬度、大地线长度和大地方位角 等这些大地坐标元素很不适应。
长度比。
m AB L EA
AB
EA
即在微小范围内保证了形状的相似性，当 ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因 此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方 向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。
2. 要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变 形而引起的改正数
a b
,
tan 0＝
b a
与Y轴对称
此式即为计算最大方向变形的方向公式。
（3）角度变形
定义：角度变形为投影之前的角度ｕ和投影之后对应角度ｕ’之差
u u u
在大多数情况下，组成角度的两条边都不在主方向上，此时应该研究角 度变形与最大的角度变形。
设OA及OB分别为最大的变形方向，它们与X轴的夹角分别为1 和 2 。
面上。 （２）圆锥投影
取一圆锥面与椭球的某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于 圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。 （3）圆柱（或椭圆柱）投影
取圆柱（或椭圆柱）与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到 圆柱面（或椭圆柱面）上，然后将圆柱（或椭圆柱）展开成平面。
五、我国常用的地图投影
（1）中国全国地图投影 斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、
椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的长度和 大地方位角，其中点的坐标是关键。因为点的位 置确定后，两点间大地线的方位和距离就确定了。
几何法
投影的方法
数学解析法
几何法
N
Q
P
O
数学解析法
椭球面是不可展曲面，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、 圆锥面、圆柱面），使其与椭球面相切或相割，然后按一定的数学规则， 将椭球面上的元素转换到可展曲面上，并将可展曲面展平，就变成平面上 的元素了。
广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。 N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
我国规定按经差 60 和 30 度进行投影分带，为大比例尺测图和工程测 量采用 30 带投影。特殊情况下工程测量控制网也可用 1.50带或任意带。
高斯投影60 带：自 00子午线起每隔经差 60自西向东分带，依次编号
1,2,3,…。我国中央子午线的经度，由 690 起每隔 60 而至135，0 共计12
OP在不同方向时，长度比不一样。 ， 为主方向。
夹角为 时，P点的坐标为 ( ,)
cos, sin
根据长度比的定义，设主方向的长度
比分别为a和b,则投影后，有：
a x , b y
x a , y b
再联系式： 2 2 1
可以写出：
这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示： x F1(L, B) y F2(L, B)
式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而 x, y 是该点投影后的平面 (投影面)直角坐标。 称为投影函数。
上述方程式表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系， 也叫做坐标投影方程。 投影的方法很多，每种方法的本质特征都是 由投影条件和坐标投影公式F 的具体形式体现的。
mr r 1
由此，可得，某点O处的变形椭圆，是描述该点各方向上长度比的椭圆。 变形椭圆可以形象地表达点的投影变形情况。
4. 投影变形
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比 如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、 角度、图形呈现差异，这一差异称作投影的变形。
（２）等积投影
保持投影前后的面积不变形。满足下式：
P ab ab
（３）任意投影
ａｂ＝１
这类投影，即不等角，又不等积，即 a b , ab 1 其中，保持某一主方向的长度比等于１，即 a 1或 b 1 即为等距离投影。
2. 按投影面和原面的相对位置关系分类
正轴投影：圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影。
赤道
世界地图
自然坐标和通用坐标
为避免出现负的横坐标，可在 横坐标上加500km。此外还应在坐 标前面冠以带号，这种坐标称为国 家通用坐标。去掉带号，再减去 500km，最后得点的自然坐标。
tan tan a b tan a
tan tan sin( ) / cos cos
tan tan sin( ) / cos cos
sin( ) a b sin( )
ab
上式即为方向变形公式。很显然，当 (等于0o或90o时) ，即在主方向 上，没有方向变形。当 90o或270o时，方向变形最大。
2
又由 arcsin a b
ab
得
u=2 arcsin a b
ab
即，最大角度变形可用最大方向变形计算，且是最大方向变形的两倍。
（4）面积变形
原面上，单位圆的面积为 ，投影后，变形椭圆的面积为 ab ，则，
投影的面积比为
P ab ab
投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。
一、控制测量对地图投影的要求
1. 应采用等角投影
这样：① 保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不 变，免除了大量的投影计算工作；
② 所测制的地图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球 上原形保持相似，给国民经济建设中识图用图带来很大方便。
如图有限小多边形，相应角度相等，但长度有变
化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为
3°带：
N
L 6
1
（如果有余数）
6 °带：
n
L
1.5 3
1
3°带和6 °带的关系是： 3 °带的奇数带中央子午线与6 °带中央子 午线重合；偶数带的中央子午线与6 °带的分带子午线重合。
135°2′30″
73°40′
6°带带号：13~23 3°带带号：24~45
正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。
（2）中国分省（区）地图的投影 正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等
角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。
（3）中国大比例尺地图的投影 多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃
特投影）（解放前）、高斯-克吕格投影（解放以后）。
§8.2 高斯-克吕格投影
二、投影的变形
长度变形 方向或角度变形
面积变形
变形不可难免！ 可以掌握和控制！！
1. 长度比
椭球面上一微小线段 P1P2 ，投影到平面上相应线段为 PP1，当 P P1 0 时的极限值，叫做投影长度比，简称长度比，用m表示。
即
m lim ( P' P1 ')
m ds dS
PP10 PP1
x2 a2
y2 b2
1
这就是在投影面上，以某定点为圆心，以主 方向上长度比为长、短半轴的椭圆方程。该椭圆 称为变形椭圆。
源自文库
椭球面上的微分圆，投影后，变为微分椭圆。在原面上与主方向一致 的一对直径，投影后成为椭圆的长轴和短轴。
长度比
设原面上单位为1的微分圆上的一点P投影到平面上变成微分椭圆上 的一点P’的向径为r，则，由长度比的定义可知：
四、地图投影的分类
1. 按变形性质分类
（１）等角投影
保证投影前后的角度不变形。投影前后，需满足下式：
u=2 arcsin a b ab
ａ－ｂ＝０或ａ＝ｂ
即，在等角投影中，微分圆的投影仍为微分圆，投影前后保持微小圆形 的相似性。投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数。
因此，又把等角投影称为正形投影。
一点上的长度比，不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。也 就是说，不同点上的长度比都不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不 相同。
2. 主方向
投影后一点的长度比依方向的不同而发生变化。其中，最大及最小 长度比的方向，称为主方向。
长度比的主方向处在椭球面上两个相互垂直的方向上。
直角AOC经过投影变成锐角A’O’C’，但 是，如果在椭球面上，直角AOC绕着O点进 行旋转，从AOC位置一直旋转到<COB位置， 那么，它的投影也会从锐角A’O’C’逐渐变化 成钝角C’ O’ B’。而在它的变化过程中，必 然有一个位置是直角。
由于这两个方向与Y轴对称，则<AOB可以表示为：
u 2 1 180o 1 1 180o 21
该角度投影之后为： 1
u 2 1 180o 1 1 180o 21
两式相减，得最大角度变形：
u u u 2(1 1) 2
（1）长度变形
m r x2 y2
x a , y b cos , sin
m a2 cos2 b2 sin2
为所研究线段的方位角。
a，b为主方向上的长度比。 利用此式可以计算出任意方向上的长度比。
定义m和1之差为相对长度变形，简称长度变形，用 表示。
设此时的方位角为 0或0，最大方向变形用表示，则
sin
sin(0
0)
a a
b b
arcsin a b ab
此时，由于 可得
tan tan(90o ) cot tan tan(90o ) cot
tan 0＝
为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并 能进行简单计算。
3. 要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、 简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体。
综上所述，我国大地测量中，采用横轴等角切椭圆柱面
投影，即所谓的高斯投影。
二、高斯投影的基本概念
高斯投影又称横轴等角切椭圆柱投影，是德国测量学家高斯于 1825～1830年首先提出的。实际上，直到19高12斯年投，影由平德面国另一位 测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推
可见，在椭球面上的任一点O上，必然 有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影 也必是相互垂直的。
这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。
3. 变形椭圆
如果已知主方向上的长度比，就可计算任意其他方向上的长度比。 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比极值为长、 短半轴的椭圆，即变形椭圆。
横轴投影：投影面的轴线与地球的自转轴相垂直，且与某一 条经线相切所得的投影。
斜轴投影：投影面与原面相切于除了极点和赤道以外的某一 位置所得的投影。
3.按投影面与地球体切割关系划分
相切、相割、相离
4. 按经纬网投影（之后的）形状分类
（１）方位投影 取一平面与椭球面的极点相切，将极点附近的区域投影在该平
带，带号用n 表示，中央子午线的经度用 L0 表示，L0 6n 3 。
高斯投影 30带：在 60 带的基础上分成的，它的中央子午线一部分同 60 带
中央子午线重合，一部分同 60 带分界子午线重合，带号用 n’ 表示，30 带 中央子午线用L表示，关系是： L 3n
已知某点的大地经度为L时，计算改点所在投影带的带号的公式：