一元一次不等式及解集概论
“一元一次不等式知识点
“一元一次不等式知识点王竞进小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每本笔记本2元，她买了4本笔记本，那么她最多还可以买几支笔？怎么解答这类问题呢？在这个问题中，隐含着买笔和笔记本所花的钱与准备的钱之间具有不相等的数量关系.与方程类似，不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型.一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学习其他相关数学知识的工具.学习时，应关注以下几个方面：一、正确理解基本概念1.不等式解与不等式解集的概念能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.如：x=3.5、5、6、10.2等大于3的实数都是不等式x-3>0的解；x=-1、0、2、3、3.5、-5、-6等小于4的实数都是x-4<0的解.一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.因此，不等式的解集包含了不等式的所有解，解集中的任何一个数都是不等式的一个解.例1下列说法中正确的是（）.A.x=2是不等式x+2>3的解B.x=2是不等式x+2>3的唯一解C.x=2不是不等式x+2>3的解D.x=2是不等式x+2>3的解集【解答】A.【点评】弄清不等式的解及解集的区别，是解本题的关键.不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数.不等式中的未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立；不等式中的未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立.2.一元一次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.这个不等式必须同时满足3个条件：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是1.这3个条件缺一不可.如：2x-（4x+1）>3、5y+2≤3（y-1），都是不等式，而x2-3x+2<0、y+■<2都不同时满足上述的3个条件.反过来，如果（a-1）x+3>0是关于x的一元一次不等式，则a必须具备的条件是a-1≠0，即a≠1.3.一元一次不等式组的概念小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为25cm，面积不小于500cm2，试确定这个长方形宽的长度范围.在这个问题中具有两个不等关系：长方形的相片框架的长总大于宽，其面积不小于500，因而可以得到两个不等式：x<25、25x≥500，再联立这两个不等式，记作x<25，25x≥500，从而组成一个关于x的不等式组.像这样，由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.根据概念，可以知道组成一个不等式组的条件有（1）含有同一个未知数，（2）几个不等式是一次不等式.如：2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，2x+1<3（3-x），■（x-1）-1>x+■都是一元一次不等式组，而x2-4x<5，4（x-1）-3>-2x+1，■-13（x-1）都不是一元一次不等式组.4.不等式组的解集概念我们知道一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集，那么一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，就称为这个一元一次不等式组的解集.如x<3，x<1中两个不等式解集的公共部分为x<1，则其解集为x<1；x>3，x>1中两个不等式解集的公共部分为x>3，则其解集为x>3；x<3，x>1中两个不等式解集的公共部分为1x>3，x<1中两个不等式解集的公共部分不存在，则其解集为无解.我们可以用一句口诀来概括其中的规律：同大取大，同小取小；大小小大取中间，大大小小便无解.二、了解不等式解集的表示方法1.用不等式表示一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，这个范围可以用一个具体的、简单的不等式来表示.如：不等式x+3>-1的解集为x>-4；不等式2x+1<3的解集为x<1.2.用数轴来表示用数轴可以直观地表示出一个不等式的解集.表示时，必须注意不等式的类型.小于a则在数轴上表示a的点的左边，大于a则在数轴上表示a的点的右边，且表示a的点处是一个空心；如果是“小于或等于a”或“大于或等于a”时，则表示a的点处应该是一个实心.例3在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x<3；（2）x≥3.【解答】（1）在数轴上表示x<3为：；（2）在数轴上表示x≥3为：.【点评】在数轴上表示不等式时，首先在数轴上找到表示不等号右边数的点，再根据“小于向左画、大于向右画、无等号画空心、有等号画实心”用相应的线在数轴上表示出不等式的解集.三、理解不等式的性质，掌握一元一次不等式的解法不等式的性质有两个.不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.其中特别要注意的是：在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变.和一元一次方程的解法类似，解一元一次不等式的基本步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.逐步将不等式转化为x>a（x≥a）或xx>四、掌握解一元一次不等式组的一般步骤解一元一次不等式组的一般步骤大致为：先分别求得不等式组中各个不等式的解集，再求出这几个不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集.如：解不等式2x-4<6，5（x-2）+3>-3x+1，先分别求得不等式2x-4<6的解集为x<5，不等式5（x-2）+3>-3x+1的解集为x>1，再把它们在如图所示的数轴上表示出来，因此，这个不等式组的解集为1五、正确理解题意，找出不等关系，列出一元一次不等式，解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题类似，在解答具有不等关系的实际问题时，往往先列出不等关系，再用含有未知数的代数式分别表示相关数量，再根据不等关系列出一元一次不等式，进而解出不等式，写出答案.例4某单位共有36位工作人员，为改善办公设备，提高工作效率.单位准备为每位工作人员配备一台手提电脑.现有A、B两种型号的手提电脑供选择.根据预算，共需资金145000元.购买一台A型电脑和两台B型电脑共需资金11840元；购买两台A型电脑和一台B型电脑共需资金12040元.（1）购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是多少元？（2）问该单位最多能购买A型电脑多少台？【分析】本题中第（2）题，隐含着一个不等量关系：购买A、B两种型号的手提电脑的费用和≤总资金.因此，可以建立关于所购买商品的价格为未知数的不等式解决问题.【解答】（1）设A型电脑x台，B型电脑y台，根据题意，列方程组，得：x+2y=11840，2x+y=12040.解得：x=4080，y=3880.答：购买一台A型电脑和一台B型电脑所需的资金分别是4080元和3880元.（2）设该单位能购买A型电脑a台，根据题意，得：4080x+3880（36-a）≤145000，解得a≤26.6.所以该单位最多能购买A型电脑26台.【点评】本题能够融二元一次方程组与一元一次不等式的应用于一体，考查同学们分析问题、解决问题的能力.解答这类问题的关键是理解题意，找到题目的等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组求解.对于问题中出现的“至少”、“至多”、“不少于”等等，往往隐含着不等关系，需要建立不等式进行解答.。
第三节 一元一次不等式(组)的解集与区间
集的规定可知a＝6.
同步精练
9．若不等式组
2x 1 3
1,
的解集{x|x>2}，则a的取值范围
x a
是___a_≤__2__．
【提示】
解不等式组
2x 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 x a
1,
得
x x
2,要
a,
使解集是{x|x>2}，需a≤2.
10．不等式x－3≥1＋5x的解集可用区间表示为(_－__∞_，__－__1_]．
解：解不等式4x＋6＞0，得x＞ 3 ;
2
解不等式3x－5<0，得x＜ 5 .
3
∴原不等式的解集是
3 2
,
5 3
.
同步精练
13．已知不等式组 数a，b的值．
2x 2x
a a
b b
的解集是(－5，4)，求实
解：不等式2x－a＞－b等价于2x＞a－b，解得x＞ a b ;
2
不等式2x－a＜b等价于2x＜a＋b，解得x＜ a b .
知识梳理
(3)一元一次不等式组的解法 若a＜b，则不等式组
①
x a x b
的解集为__{_x_|_x＞__b_}____；
②
x a x b
的解集为_{_x_|_a_＜__x_＜__b_}_；
③
x a x b
的解集为__{_x_|_x＜__a_}____；
④
x a x b
的解集为_____∅_______．
|
x
5 3
典例解析
(2)去分母得2(x－2)≤3x－6，去括号2x－4≤3x－6，移项、 合并同类项得－x≤－2，化系数得x≥2，所以不等式的解集 为{x|x≥2}．
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的一般形式是 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
一元一次不等式的标准形式
总结词
一元一次不等式的标准形式是指将不 等式中的常数项移到右边，使左边只 包含未知数和其系数。
详细描述
一元一次不等式的标准形式是 ax > d、 ax < d 或 ax ≥ d，其中 a、d 是常数， a ≠ 0。
配问题等。
与一次函数的联系
01
02
03
定义
一次函数是形如y=kx+b 的函数，其中k、b为常数 且k≠0，x为自变量。
解法
在求解一次函数的值时， 常常需要利用一元一次不 等式的性质来求解，如求 解函数的定义域等。
应用
在实际问题中，一次函数 和一元一次不等式都可用 于解决实际问题，如最优 化问题、决策问题等。
02 将数轴上方的部分作为解集。
同样地，对于一元一次不等式 x 4 < 0，其解集可以通过区间表示 法表示为 (-∞, 4)，也可以通过数 轴表示法在数轴上标出临界点4， 并将数轴下方的部分作为解集。
04 一元一次不等式在实际问 题中的应用
最大值最小值问题
总结词
一元一次不等式在解决最大值和最小值问题中具有广泛应用。
05 一元一次不等式与其他数 学知识的联系
与一元一次方程的联系
定义
一元一次不等式和一元一次方程 都是只含有一个未知数，并且未
知数的次数为1的代数式。
解法
一元一次不等式和一元一次方程的 解法有许多相似之处，如去分母、 去括号、移项、合并同类项等。
应用
一元一次不等式组及其解集
一、本节的重点:理解一元一次不等式组及其解集的意义，二、难点是：如何找一元一次不等式组的解集，三、学习本节时应注意以下两点：①两个一元一次不等式合在一起组成一个不等式组，要理解其解集是什么，即一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集；②二元一次方程组的解通过消元直接产生，而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴得出。
一定要注意：如果不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解；探究问题现有长度为3cm和10cm的两条线段，则第三条线段x需取多长可以围成三角形x>10-3x<10+3探究问题现有长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm的五条线段，从中选出三条线段并且三条线段中必须有3cm和10cm的两条线段，请大家思考共有多少情况？哪些情况三条线段可以围成三角形？重要概念1．定义：类似于方程组，把两个（或多个）不等式合起来，组成一个一元一次方程组记作：①②由不等式①解得x<13由不等式②解得x>7从图可以看出解集是7<x<13。
例1.利用数轴判断下列不等式组是否有解集？如有，请写出。
不等式组的解集为ｘ<1都小取较小例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为ｘ>3都大取较大例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为1<ｘ<3小大大小中间找例2.写出下列不等式组的解集：不等式组的解集为空集即：不等式组无解大大小小无解了比一比：看谁反应快运用规律求下列不等式组的解集：1.都大取较大，2.都小取较小；3.小大大小中间找，4.大大小小无解了。
x>2x>-2x<3x<-43<x<7-1<x<4无解-2≤ｘ<1x≤-2x<-2设a＜b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？用数轴试一试Ｘ＞b X＜ａ无解ａ＜X＜ｂ大小小大中间找大大小小无解了两小取小两大取大规律(口诀)探究活动：解不等式①得：ｘ>2解不等式②得：ｘ≧3在数轴上表示不等式①、②的解集：例1.解不等式组：解：所以不等式组的解集为：ｘ<-1因此，原不等式组无解。
不等式的解集知识点总结
不等式的解集知识点总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
与等式不同的是，不等式可以包含大于、小于、大于等于、小于等于等多种关系符号。
在解不等式时，我们需要确定不等式的解集，即使不等式成立的取值范围。
下面是一些常见的不等式的解集知识点总结：一、一元一次不等式形如 ax + b > 0、ax + b < 0、ax + b ≥ 0、ax + b ≤ 0 的一元一次不等式，其中 a 和 b 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax + b = 0。
2. 根据 a 的正负情况讨论解集：- 当 a > 0 时，解集为 x > -b/a 或 x < -b/a；- 当 a < 0 时，解集为 x < -b/a 或 x > -b/a；- 当a ≥ 0 时，解集为x ≥ -b/a 或x ≤ -b/a；- 当a ≤ 0 时，解集为x ≤ -b/a 或x ≥ -b/a。
二、二次函数不等式形如 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、ax² + bx + c ≤ 0 的二次函数不等式，其中 a、b 和 c 为已知数且a ≠ 0。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：ax² + bx + c = 0。
2. 求出函数的零点或者判别式的值，得到二次函数的凹凸性及与 x 轴的交点情况：- 若判别式 D > 0，函数有两个不同的实根，解集为 x < x₁或 x > x₂；- 若判别式 D = 0，函数有一个重根，解集为 x = x₁；- 若判别式 D < 0，函数无实根，解集为空集；- 当 a > 0 时，函数开口向上，解集为全体实数集；- 当 a < 0 时，函数开口向下，解集为空集。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集一元一次不等式在数学中是一类基础且常见的问题类型，其解集表示了不等式的解的范围。
本文将详细讨论一元一次不等式的解集，并通过示例来说明解集的求解方法。
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c （或 < 或≥ 或≤），其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
我们的目标是找到x的取值范围，使得不等式成立。
解一元一次不等式的基本步骤如下：步骤一：将不等式转化为等价的形式。
对于>和≥的不等式，可以直接保持原有形式。
对于<和≤的不等式，需要将不等号翻转，将其转化为>或≥的形式。
步骤二：将不等式化简为标准形式 ax + b > 0（或 < 或≥ 或≤）。
将不等式中的常数项移到右侧，使得等式左侧只有一个未知数，右侧为0。
步骤三：确定不等式的解集。
考虑a的正负情况，进行讨论。
接下来，我们将通过几个具体的示例来说明一元一次不等式的解集求解方法。
示例一：解不等式 2x - 1 > 5步骤一：保持原有形式。
2x - 1 > 5步骤二：化简为标准形式。
2x - 1 - 5 > 02x - 6 > 0步骤三：确定解集。
当a = 2 > 0时，不等式解集为x > 3。
示例二：解不等式 -3x + 4 ≤ 10步骤一：将不等式翻转。
-3x + 4 ≤ 10 变为 3x - 4 ≥ -10步骤二：化简为标准形式。
3x - 4 + 10 ≥ 03x + 6 ≥ 0步骤三：确定解集。
当a = 3 > 0时，不等式解集为x ≥ -2。
通过以上两个示例，我们可以看到一元一次不等式的解集求解过程。
根据具体的不等式形式，我们可以灵活运用求解方法来得出正确的解集。
在实际问题中，一元一次不等式的解集常常用来表示一些约束条件或范围，例如线性规划、经济学模型等。
通过解集的求解，我们可以得出对应问题的有价值的数值范围。
总结起来，一元一次不等式的解集求解是数学中的基础技能之一。
一元一次不等式概念
一元一次不等式的基本性质
1 加减法性质
对不等式的两边同时加减一个数，不等式的 关系不改变。
2 乘除法性质
对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式 的关系不改变；对不等式的两边同时乘除一 个负数，不等式的关系改变。
3 倒置性质
如果改变不等式两边的位置，不等式的关系 将相反。
4 传递性质
如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
一元一次不等式的绝对值不等式
定义
绝对值不等式是一种特殊的一 元一次不等式，其中包含一个 未知数的绝对值表达式。
Байду номын сангаас解法
通过分情况讨论和绝对值的性 质，我们可以求解绝对值不等 式并得到其解集。
示例
例如，|2x + 3| < 7 是一个绝对 值不等式。
一元一次不等式在生活中的应用
1 经济学
不等式可以用来描述资源分配、生产优化和供求平衡等经济学问题。
一元一次不等式的图形表示
数轴
数轴可以帮助我们直观地表示一 元一次不等式中未知数的取值区 间。
阴影区域
阴影区域表示满足一元一次不等 式的所有解的范围。
开圈与实心圈
不等式中使用的开圈和实心圈表 示边界是否包含在解集里。
一元一次不等式的解集概念
一元一次不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。解集可能是一个区 间、一个点或者空集。
一元一次不等式的等效变形
1
消去常数项
通过加减法，将常数项移到不等式的右边，变成0。
2
移项
通过加减法，将未知数的系数移到不等式的右边，变成0。
3
合并同类项
将不等式中同类项的系数相加合并。
一元一次不等式的加减法
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释
一元一次不等式的特点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该是对一元一次不等式的特点进行简要介绍和概括。
下面是可能的概述内容：概述:一元一次不等式是数学中的基础概念之一，它描述了未知数在数轴上的取值范围。
不同于一元一次方程，不等式可以有无数个解，从而具有独特的特点和性质。
本文将重点探讨一元一次不等式的特点及其在数学和实际问题中的应用。
一元一次不等式的特点主要体现在以下几个方面：首先，一元一次不等式的解集通常是由一个区间或数轴上的一段区间表示。
这意味着我们可以通过图形表示法直观地看出解集的位置和范围，更方便地理解问题。
其次，一元一次不等式的解集可以用不等式符号表示。
这些符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)等，用于表示不同类型的不等式。
不等式符号的选择取决于问题本身的条件和要求。
此外，一元一次不等式的解集可以用数集符号表示。
数集符号包括开区间、闭区间、半开半闭区间等，用于更精确地描述解集在数轴上的位置和范围。
数集符号的选择取决于不等式中的不等号类型和边界条件。
最后，一元一次不等式的解集可以通过代数方法求解。
我们可以利用不等式的性质和规律，运用加减乘除、移项合并等运算规则，将不等式转化为等价的形式，从而找到解集的具体表达式。
通过对一元一次不等式的特点的分析和理解，我们可以更好地应用它们解决数学问题，如解决问题的范围限制、找到满足特定条件的解等。
另外，在实际问题中，一元一次不等式也有着广泛的应用，如经济学中的供需关系、物理学中的速度限制等。
因此，深入了解和掌握一元一次不等式的特点对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。
这篇文章将通过分析一元一次不等式的特点，并进一步探讨其在数学研究和实际应用中的意义和未来研究方向，旨在帮助读者更全面地理解一元一次不等式并应用于实践。
文章结构部分的内容可以包含以下几个方面：1.2 文章结构：本文按照以下结构进行组织和呈现：引言：首先介绍一元一次不等式的概念和基本定义，并说明其在数学中的重要性和应用领域。
一元一次不等式的解集方法
一元一次不等式的解集方法解一元一次不等式就像解开一道数学题的扣子，简单又有趣。
想象一下，你拿着一把尺子，量着距离，一步步往前走，最终找到答案。
这个“解”的过程，就是咱们解决不等式的步骤啦。
你得知道不等式是什么形状的。
它就像是一条直线，起点和终点都标但中间有一段是弯弯曲曲的。
咱们要做的，就是沿着这条直线走，找到那个“弯弯曲曲”的部分。
这就好比是咱们在纸上画一条线段，然后把它拉长、变短，直到找到那个合适的长度。
咱们得数一数这条线段有多少个点。
这些点就像是不等式里的未知数，它们的位置决定了不等式的大小。
咱们需要把这些点连起来，看看它们构成了一个什么样的图形。
如果这些点连在一起形成了一个正方形或者是一个三角形，那就意味着不等式没有解；如果它们连在一起形成了一个圆形或者是一个梯形，那就意味着不等式有解。
现在，咱们来看看如何找出这些点。
咱们可以用尺子来量，也可以用笔来画。
但是，别忘了咱们的目标是找出那些能让不等式成立的点。
所以，咱们得用一些技巧来帮助自己找到这些点。
比如，咱们可以用“+”号来表示未知数，然后用“=”号来表示等式两边相等的情况。
这样，咱们就可以看到不等式两边的差值是多少了。
咱们要做的就是将这些点连起来，看看它们连成了一个什么样的图形。
如果连成了一个正方形或者是一个三角形，那就意味着不等式没有解；如果连成了一个圆形或者是一个梯形，那就意味着不等式有解。
这时候，咱们就可以根据这个图形来判断不等式的解集了。
解一元一次不等式就像是在纸上找宝藏一样。
你需要耐心地观察、思考和计算，才能找到那个隐藏的宝藏——不等式的解集。
这个过程虽然有点复杂，但当你成功找到解集的那一刻，你会发现原来解决问题也可以这么有趣。
一元一次不等式的总结归纳
一元一次不等式的总结归纳一元一次不等式是数学中的重要概念，它在方程不等式解集的求解中起着重要的作用。
在本文中，我将对一元一次不等式的基本概念、性质和解法进行总结归纳。
一、基本概念一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0（或>，≤，≥），其中a和b为实数，且a≠0。
二、性质1. 无论如何调换不等号的方向，不等式仍然成立。
例如，若a < b，则b > a。
2. 两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。
例如，若a > b，则a + c > b + c。
3. 两边同时乘（除）一个正数，不等式方向不变；两边同时乘（除）一个负数，不等式方向反向。
例如，若a > b，则ac > bc；若a > b且c < 0，则ac < bc。
4. 若一个一元一次不等式的解集是(-∞，x)（或(x，+∞)，[x，+∞)），那么这个不等式的解集可以表示为x < k（或k < x，k ≤ x）的形式。
5. 若一个一元一次不等式的解集是[x1，x2]，那么这个不等式的解集可以表示为x1 ≤ x ≤ x2的形式。
三、解法对于一元一次不等式，我们可以依据性质2和性质3来进行解法，即通过对不等式进行相加、相减、相乘、相除的操作，将未知数的系数化为1，最终求解出未知数的范围。
以一个具体的例子来说明解法：将不等式3x - 5 > 2x + 4进行求解。
首先，我们可以将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上5，将不等式转化为x > 9。
因此，这个不等式的解集为(x，+∞)，即x的取值范围大于9。
四、示例问题1. 求解不等式2x - 7 ≤ 5x + 3。
解：将未知数的系数化为1，通过减去2x以及加上7，将不等式转化为-5x ≤ 10。
接着，将不等式两边同时除以-5，并注意不等号的反向，得到x ≥ -2。
一元一次不等式组及其解集
一元一次不等式组及其解集学生姓名：麦麦提江·克依木学号：20080103012系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-1班完成日期：2012年 5 月5一元一次不等式组及解集●学习目标1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴求较简单的一元一次不等式组的解集．2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．3．通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．●重点·难点（一）重点：理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．（二）难点：正确理解一元一次不等式组解集的含义．●教学过程什么叫不等式？答：象这种用“>”，“≠”，“≥”，“≤”，“<”符号表示大小关系的式子叫做不等式。
用不等号表示不等关系的式子1、下面给出的几个式子，哪些属于不等式？（1）-1 <0 （）（2）3X-2Y（）（3）3x +4=0 （）（4）5+3 x > 240 （）（5）x +3≠ 0 （）（6）5-x≥1（）可以看出：不等式可含有未知数，也可以无未知数；练一练：用不等式表示下列例题：想一想：观察下列不等式，有什么共 同点，并试着给它们起名？（1）x-2≥-1 （2）4x>7（3） 问：什么叫一元一次不等式？含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做 一元一次不等式。
下列式子中：（1）3x+2>x –1 (2)-5<0(3)2x=3 (4)a+b≠c(5) 1 /x +3<5x –1 (6) 5x+3<0 (7) 3x+2 (8) x 2 +3<2x(9)4x-2y≤0不等式是：(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(8)，(9) 一元一次不等式是： (1) (6)321y ＜判断下列不等式中哪些是一元一次不等式？（1），（3）不是一元一次不等式（2），（4）是一元一次不等式；解一元一次不等式组的步骤：1、求出不等式组中各个不等式的解集。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a>或 )x a xa ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 三、一元一次不等式组含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) < > ≤ ≥①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图： 同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩⎨⎧><b x a x 无解，如下图： 大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
一元一次不等式及其解法-概述说明以及解释
一元一次不等式及其解法-概述说明以及解释1.引言在文章1.1 概述部分中，我们可以简要介绍一元一次不等式的基本概念和其在数学中的重要性。
以下是一个可能的内容：一元一次不等式是数学中的一种重要概念，它是由一个未知数和常数构成的不等式。
具体而言，一元一次不等式通常可以写为类似于ax + b > c的形式，其中a、b和c分别表示已知系数和常数。
不同于等式，不等式描述了一个不同解集的范围，这使得一元一次不等式的研究在数学中具有广泛的应用。
在解决一元一次不等式时，我们经常需要利用数学推理和算术法则来确定未知数的取值范围。
通过将未知数从不等式的一侧移动到另一侧，并对不等式进行简化和整理，我们可以得到不等式的解集。
这些解集可以用图形方式表示在数轴上的位置，从而帮助我们更直观地理解不等式的含义和解的范围。
了解和掌握一元一次不等式的解法对于解决实际问题中的数学推理和分析至关重要。
通过研究一元一次不等式，我们可以根据特定的条件来确定未知数的取值范围，从而找到满足不等式的解。
这在数理逻辑、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在供求关系的分析中，我们可以利用一元一次不等式来确定某种商品的价格范围，从而帮助企业做出合理的定价策略；在工程领域，一元一次不等式可以帮助工程师确定材料的强度要求，从而确保工程的安全性。
本文将详细探讨一元一次不等式的定义、解法以及应用，通过理论分析和具体案例的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用一元一次不等式。
同时，对于一元一次不等式解法的思考和其未来的发展进行探讨，有助于进一步推动数学研究和应用的发展。
1.2 文章结构本文主要介绍一元一次不等式及其解法。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对文章进行概述，说明文章的研究背景和意义。
首先，我们会简要介绍一元一次不等式的定义，引出本文的主题。
接着，我们将说明文章的结构，包括各部分的内容和安排。
最后，我们会明确文章的目的，即通过深入研究一元一次不等式及其解法，探索其重要性和应用。
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。
一元一次不等式组解集
一元一次不等式组解集
解集是一个数学概念，用于表示一个方程或者一个方程组的所有符合条件的解的集合。
解集可以很直观地反映出一个方程或者不等式的解的分布状况。
通过解集，我们可以很清楚地了解到一个方程或者不等式的解的集中趋势，以及解的分散程度等信息。
对于一元一次不等式组，其解集通常被表示为一个区间或者多个区间的并集。
如何求解一元一次不等式组的解集呢？通常我们采用的是分别解各个不等式，然后取解的交集的方式。
例如，给定一元一次不等式组{x+3>2, 2x-1<3}，我们首先解第一个不等式，得到解x>-1，然后解第二个不等式，得到解x<2，最后取这两个解的交集，即{-1<x<2}，这就是这个不等式组的解集。
在求解一元一次不等式组的解集的过程中，需要注意的是，如果不等式组中有多个不等式，那么需要分别解每一个不等式，然后取所有解的交集。
如果不等式组中的不等式之间存在“或”的关系，那么需要取所有解的并集。
在解不等式的过程中，如果不等式中有负数，那么在两边同时乘以负数的时候，需要注意，不等号的方向是需要发生变化的。
总的来说，一元一次不等式组的解集是通过解不等式组中的每一个不等式，然后根据不等式之间的关系，取这些解的交集或者并集得到的。
这个过程需要掌握解不等式的基本方法，以及处理不等式组中多个不等式之间关系的技巧。
一元一次不等式的概念与解法
一元一次不等式的概念与解法一元一次不等式是数学中常见的基本不等式形式，它由一个未知数和一个不等关系组成。
在解一元一次不等式之前，我们首先需要了解不等式的概念和一些基本解法。
一、不等式的概念不等式是数学中用于表示大小关系的一种符号语言。
与等式不同，不等式中包含有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）等符号。
例如，2x > 5、3y + 2 ≤ 8、-4z < 7都是一元一次不等式的例子。
二、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的过程是找出使不等式成立的未知数的取值范围。
下面介绍两种基本的解法：图像法和代数法。
1. 图像法图像法通过图形的表示来解决一元一次不等式。
我们可以将一元一次不等式转化为对应图形，然后通过观察图像来确定不等式的解。
以不等式2x > 5为例，我们可以将其转化为直线y = 2x - 5的图形进行分析。
首先，将不等式中的大于号变为等于号，得到2x = 5。
然后画出直线y = 2x - 5，并观察直线上的点与不等式的关系。
在这个例子中，不等式的解是x > 2.5，表示实数x的取值范围大于2.5。
2. 代数法代数法通过代数运算来解决一元一次不等式。
我们可以使用加减乘除等基本运算以及不等式的性质来求解不等式。
以不等式3y + 2 ≤ 8为例，我们可以使用代数运算将未知数y的系数和常数项分离，并对不等式进行变形。
首先，将不等式中的加法运算转化为等价的减法运算，得到3y ≤ 6。
然后，将不等式中的除法运算转化为等价的乘法运算，得到y ≤ 2。
因此，不等式的解是y的取值范围小于等于2。
三、不等式的解集表示形式不等式的解集表示了使不等式成立的未知数的取值范围。
解集可以使用集合的表示形式、区间的表示形式或图像的表示形式等多种形式。
下面介绍两种常见的表示形式：集合表示和区间表示。
1. 集合表示集合表示是将不等式解集表示为一个集合的形式。
以解不等式x > 2为例，可以表示为解集{x | x > 2}，表示使不等式成立的未知数x的取值范围是大于2的实数。
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集
一元一次不等式的解集是指让一个变量与一个常数的乘积与另一个常数比较大小所得到的解集。
在数学中，解集的概念非常重要，特别是对于不等式这种数学工具来说更是如此。
因此，本文将主要介绍一元一次不等式的解集，以及如何根据不等式的特性来求解解集。
首先，让我们来看一下一元一次不等式的形式：ax+b<c或
ax+b>c，其中a、b、c均为实数，且a不等于0。
这种不等式的解集也就是所有解的集合，可以用不等式符号表示。
例如，一元一次不等式2x+3<7的解集可以用{x|x<2}的形式表示，也就是x的取值范围是小于2的所有实数。
接下来，让我们来看一下如何求解一元一次不等式的解集。
首先，我们需要观察不等式的符号，判断变量与常数之间的大小关系。
如果不等式符号是小于号，那么我们可以通过减去常数b，再除以系数a来得到x的取值范围。
例如，对于不等式2x+3<7，我们可以先将常数3减去，得到2x<4，然后将系数2作为分母除以2，得到x<2，因此，解集为{x|x<2}。
如果不等式符号是大于号，那么我们需要将不等式反转，先得到小于号形式，再求解。
例如，对于不等式2x+3>7，我们需要将不等式反转得到小于号形式，即2x+3<7，然后就可以按照上面的方法求解得到解集{x|x>2}。
总之，一元一次不等式的解集会影响到很多实际问题的求解，因此，对于学习数学的学生来说，掌握不等式的解集求解方法至关重要。
通过本文的介绍，相信大家能够更加清晰地了解一元一次不等式的解集概念和求解方法，也能够更加顺利地解决相关的数学问题。
一元一次不等式组的解法及应用
家庭作业
解答题 1．解不等式组
⑴⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x ⑵⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-->+35663
4)1(513x x x x
2．某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。
问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？
3．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？
附加题：
1．如果不等式03<-a x 的正整数是1，2，3，那么a 的取值范围是多少？
2．已知不等式42213x a x +>-的解集为2>x ，求a x a ->-2)(3
1
的解集。
3．解不等式0412<--x
4．某宾馆底层客房比二楼少5间，一旅游团有48人，若全安排住底层，每间住4人，则房间不够，若每间安排住5人，则有房间没有住满5人。
又若全安排住在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人，问该宾馆共有多少间客房？。
一元一次不等式组及其解法.doc
一元一次不等式组及其解法一、不等式的基本性质：1、不等式两边同时加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
2、不等式的两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
二、解不等式的基本步骤：1、去分母（不等式的性质二）；2、去括号（乘法分配律）；3、移项（不等式的性质一）；4、合并同类项(整式加减性质)；5、化系数为1 （不等式性质二，三）。
三、一元一次不等式组的解法：1. 把两个一元一次不等式组合在一起就组成了一个一元一次不等式组。
2. 不等式组中各不等式解集的公共部分叫不等式组的解集。
3. 求不等式组解集的过程叫解不等式组。
例题1、现有两根长度分别为３cm和10cm的木条，若要再找一根木条与这两根木条一起钉成一个三角形木框，则第三根木条的长度L应满足什么条件？解：由构成三角形的条件可得：L 10 - 3L 10 + 3解得：7 L 13例题2、小明同学准备花181元请同学们去听知识讲座，门票15元一张。
如果要把所有的好朋友都请上，至少要买8张门票。
若需留出往返车票至少16元，那么他的钱是否够用？如果够用那么最多可买多少张门票？解：设最多可买X张门票，根据题意得：X ≥ 815X + 16 ≤ 181解得：8 ≤ X ≤ 11四、一元一次不等式组解集在数轴上的表示：1、两个解集同大取大：图（1）2、两个解集同小取小：图（2）3、两个解集一大一小中间找：图（3）4、两个解集一大一小无处找：图（4）不等式是现实世界中不等关系的一种数学表现形式，它不仅是学我们现阶段学习的重点内容，而且也是我们后续学习的重要基础。
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1.我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 2.我们把使不等式成立的未知数的取值范围叫做 不等式的解的集合（简称解集）
知识点
用数轴表示不等式的 解集
一元一次不等式的解集一般来说有以下四种情况：
(a表示一个具体的数)
（1） x > a
0a
(2) x< a
(3）x ≥ a
0a
.
0a
(4) x ≤ a
第一关
2020/11/11
儿童火车票身高新标准
问题:
全 单位"米 价 票
半 价 票
五一节快到了，小强准备和父母 坐火车去峨嵋山旅游。若小强身 高为X米，那么：
（1）根据儿童火车票身高新标准
①：当X满足 X＜1.1 时，他可免票。
②：当X满足 X＞1.5 时，他该买全票。
（2）已知他家到峨嵋山的距离为120千米，
2020/11/11
道们在
什数
么道学
。什天
么地
————
，里
而，
毕 达 哥
是重 我要 们的
拉 怎不
斯 么是
知我
第五关
2020/11/11
3、如图，天平右盘每个砝码的重量都是1g，则
图中显示出的药品A重量的范围是（C ）
A
A、大于1g
B、小于3g
A
C、大于1g且小于3g
D、大于1g或小于3g
2020/11/11
不等式的解
一元一次 不等式
2020/11/11
不等式的解集
不等式
用数轴表示不 等式的解集
深入实际,爱心大行动
某班同学经调查发现，1个易拉罐可卖0.1元，1名山区贫困 生一年生活费用是500元。该班同学今年计划资助两名山区 贫困生一年生活费用，他们已集资了450元，不足部分准备 靠回收易拉罐所得。那么他们一年至少要回收多少个易拉罐？
2020/11/11
用不等式表示： (1) x是正数 (2)x是负数 (3)x与5的和小于7
x＞0 x＜ 0 x+5＜7
(4)x的4倍不大于8 (5)x与y的差大于1
4x ≤ 8 x-y＞1
(6) π大于3
π＞3
只含有一个未知数，并且未知数的最 归纳： 高次数为1次的不等式，叫做一元一次
不等式。
思考：为什么x-y＞1和π＞3不是一元一次不 等式呢？
分析：设一年至少要回收x个易拉罐。
因为一个可以卖0.1元，所以x个可以卖 0.1x 元。 资助二名同学共需资金 1000元 ，已经集资了 450元， 还需集资 550 元。
由题可知，回收易拉罐卖的钱不能少于还需集资的钱，
所以可列不等式
0.1x≥550
。
猜想不等式的解集是
x≥5500
。
2020/11/11
2020/11/11
第二关
2020/11/11
实践出真知 ☞
对于一元一次不等式2x>10请同学们认真填写下表：
x
2x 2x与10的大小关系
2x>10成立吗？
2
4
4
6
5
10
6
12
7
14
8
16
2X<10 2X<10
2X=10 2X>10
2X>10 2X>10
不成立 不成立
不成立
成立 成立 成立
2020/11/11
免
他们上午8：00从家出发，火车速度X千米/
票
小时保持不变。
①若该车计划在上午10点准时到达，可列式
子 2X＝120
。
②若该车计划在上午10点以前到达，可列式
子 2X＞120
。
2020/11/11
观察：X＜1.1 X＞1.5
2X＝120
归纳：
2X＞120
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
表示不等式的符号有：＜、＞、≤、≥、≠
2020/11/11
.
0a
第三关
2020/11/11
小菜一碟
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
-2.5, 0, 1, 3, 3.√5, 4,√ 4.5√, 7√
2.由1题观察发现不等式x+3＞6解集是 X＞3
.
3.直接想出下列不等式的解集：
(1) 2x ＞ 120
(2)a-2 <0
x ＞ 60
a ＜2
2020/11/11
第四关
2020/11/11
心动 不如行动
1.用不等式表示图中所示的解集．
①
②
0
2
x
0
2
x
X ＜2
X≥2
③ 0
④
2
x
0
2
x
X≤2
X＞2
2020/11/11
我是最棒的!
2.不等式x<5有多少个解？有多少个正整数解？ 有无数个解。
正整数解有4个。1、 2、 3、 4