1.5任意周期激励 振动力学课件
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大学物理教程课件讲义第四章周期震动
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。
4.6 受迫振动 共振
4.3 旋转矢量法
图4.10
由x=-6 cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。
4.4 简谐振动的合成
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cos（ ωt+φ1 ） x2=A2cos（ωt+φ2） 在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。
4.6 受迫振动 共振
4.3 旋转矢量法
图4.10
由x=-6 cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。
4.4 简谐振动的合成
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cos（ ωt+φ1 ） x2=A2cos（ωt+φ2） 在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，
机械动力学——任意周期激励讲解
振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc
xe
it
,x
H
(
)
F0
,H
(
)
1 k
e
i
•则可以得到：
xc
1 k
ei
F0 e it
F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t)cos ntdt
bn
2 T
T
F (t)sin ntdt
2
2F0 T
T
2 sin ntdt
0
T
T sin ntdt
2
2F0 T
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
(优质)大学物理(振动学)PPT课件
)
速度 振幅
m
A
加速度 振幅
a m
2 A
5
三条特征
简 谐
F kx
简简
振
谐谐
动
振
的 普 遍
(
d2 dt
x
2
2
x
0
)
动 三 条
振 动 的 定
定
判义
义
据式
式 x Acos(t )
6
二点说明
(1）特征方程成立的条件: 坐标原点取在平衡位置 （2）证明一种振动是简谐振动的一般步骤
a）确定研究对象，找平衡位置 b）建立以平衡位置为原点的坐标系 c）进行受力分析
d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程
e）根据判据判断该振动是否为简谐振动
7
二 描述简谐振动的物理量 x Acos(t )
1、振幅：表示物体离开平衡位置的最大距离——A
2 周期 频率 圆频率 回到原来的运动状态 r,,a T :完成一次全振动所用时间 x( t T ) x( t )
（优质）大学物理(振动学)PPT 课件
1
弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
2
7.1 简谐振动的描述
一、简谐振动的特征方程
弹
k km F m
簧
振
子
ox
物体所受合外 力为零的位置
平衡位置
k
x
x 0o x
m F
m
1 回复力 F kx
x
竖 直
F
mg
k(x
x 0
)
kx
斜放
3
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
振动力学课件
振动的基本理论
F(t)
f0
已知周期函数如图1-6所示 所示， 例1-1 已知周期函数如图 所示， 试对其作谐波分析 解： 0<t <π f
F (t ) = − f0
0
−2π
−π
π
2π
t
π < t < 2π
a0 =
an =
bn =
1
π
1
∫
0
2π
−f0
0
F (t ) dt = 0
图1-6 周期性矩形波 πbn
τ τ
2 2
试求图1-8所示的单个矩形脉冲的频谱图 例 1-2 试求图 所示的单个矩形脉冲的频谱图 τ 解： 0 − ∞ < t < −
− < t <
τ
2
2
E
τ
2
−
τ
2
t
< t < +∞
G (ω ) =
∫
τ
2
−τ 2
Ee − jω t dt =
+∞ −∞
2E
ω
sin
ωτ
2
jω t
图1-8 矩形脉冲示意图
An
ϕn
A1 A2
A3
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ω1 2ω 1 3ω 1
nω1
ω 1 2 ω 1 3ω 1
nω 1
相位频谱图 幅值频谱图 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分,反映该周期函 频谱分析：利用频谱说明组成函数的简谐成分 反映该周期函 数的特性方法。 数的特性方法。
10 太原科技大学应用科学学院
第一章
t 0
∞ − st 0
振动的基本知识PPT课件
第7页/共58页
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
第43页/共58页
振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
第43页/共58页
振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
1.6任意激励的响应时间域分析 振动力学课件
1
md
e (t )
sind (t
)d
F0e t
md
t
sin t
0
e
sind (t
)d
经过繁杂积分得到如下形式的解
x2
Be t
sin
cos d t
cos d
sin
sindt
B sin(t
)
式中
F0Biblioteka Bk(1 s 2 )2 4 2 s 2
arctan
2 s
1 s2
x x1 x2
=Ae
表示，上式称为杜哈梅（Duhamel）积分。
t
根据卷积性质，杜哈梅积分也可写作 h( ) * F(t ) F(t )h( )d
0
积分变换 令 t t ' t t '
t
t
t
F( )h(t )d F(t t')h(t')(dt') F(t t')h(t')dt'
0
0
第六节 任意激励的响应
（脉冲响应法—时间域分析）
狄拉克（P. A. M .Dirac） （1902—1984） 英国物理学家
量子力学的奠基者之一， 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖。
对物理学的主要贡献是发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程， 并且从理论上预言了正电子的存在。
狄拉克是量子辐射理论的创始人，各自独立发现了费米-狄拉克统计法
x(0) 0 x(0) v0 作用下的响应。
解：动力学微分方程为 x 20 x 02 x F0 sin t
由初始条件引起的响应： x1 Ae t sin(d t )
式中：
A
第001章 自由振动
A sin( ω 0 t + θ )
θ ω0
π ω0
2π
3π
ω0
ω0
图1.2
《振动力学》讲义 第1章 自由振动 振动的大小和起始状态由振幅A和初相角θ 两个常数确定， 即由初始条件确定，它们与系统本身无关。 振动的波动特性（简谐特性），由参数 ω 0 确定， 它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期 性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此 参数 ω 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。 系统的振动周期T和振动频率为
k2x2 (a +b) = k3x3a
《振动力学》讲义 第1章 自由振动
k3b k3a x3， x2 = x3 得： x1 = k1 ( a +b) k2 ( a +b)
1 2 1 2 1 2 V = k1x1 + k2x2 + k3x3 2 2 2 b2k3 a2k3 1 2 ]x3 = k3[1+ + 2 2 2 (a +b) k3 (a +b) k2
x = eλ t
λ 2 + ω02 = 0
特征值为 λ＝ ± iω 0， = − 1 为虚数单位 i
方程复数形式的特解为 e λ t = e i ω 0 t = cos ω 0 t + i sin ω 0 t 和 e − λ t = e − i ω 0 t = cos ω 0 t − i sin ω 0 t cos ω 0 t 和 sin ω 0 t
《振动力学》讲义
主讲人： 主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
参考教材： 参考教材： 等编著. 振动力学》 高等教育出版社， 刘延柱 等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002
θ ω0
π ω0
2π
3π
ω0
ω0
图1.2
《振动力学》讲义 第1章 自由振动 振动的大小和起始状态由振幅A和初相角θ 两个常数确定， 即由初始条件确定，它们与系统本身无关。 振动的波动特性（简谐特性），由参数 ω 0 确定， 它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期 性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此 参数 ω 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。 系统的振动周期T和振动频率为
k2x2 (a +b) = k3x3a
《振动力学》讲义 第1章 自由振动
k3b k3a x3， x2 = x3 得： x1 = k1 ( a +b) k2 ( a +b)
1 2 1 2 1 2 V = k1x1 + k2x2 + k3x3 2 2 2 b2k3 a2k3 1 2 ]x3 = k3[1+ + 2 2 2 (a +b) k3 (a +b) k2
x = eλ t
λ 2 + ω02 = 0
特征值为 λ＝ ± iω 0， = − 1 为虚数单位 i
方程复数形式的特解为 e λ t = e i ω 0 t = cos ω 0 t + i sin ω 0 t 和 e − λ t = e − i ω 0 t = cos ω 0 t − i sin ω 0 t cos ω 0 t 和 sin ω 0 t
《振动力学》讲义
主讲人： 主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
参考教材： 参考教材： 等编著. 振动力学》 高等教育出版社， 刘延柱 等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002
激振器ppt课件
瞬态激振
（3）阶跃（张弛）激 阶跃激振振的激振力来自一根刚度大、重量 轻的弦。试验时，在激振点处，由力传感 器将弦的张力施加于 被测对象上，使之产 生初始变形，然后突然切断张力弦，这相 当于对被测对象施加一个负的阶跃激振力。 阶跃激振属于宽带激振， 在建筑结构的振 动测试中被普遍应用。
随机激振
瞬态激振
瞬态激振为对被测对象施加一个瞬态变化 的力，是一种宽带激励方法。常用的激励 方式有以下几种：
（1）快速正弦扫描激振 （2）脉冲激振 （3）阶跃（张弛）激振
瞬态激振
（1）快速正弦扫描激振
激振信号由信号发生器供给，其 频率可调，激振力为正弦力。但 信号发生器能够作快速扫描，激 振信号频率在扫描周期T内成线 性增加，而幅值保持不变。
▪ 按振动方向 单方向 垂直、水平、扭转
一维振动
多方向 垂直、水平
二维平面或三维空间振动
▪ 按振动波形 简谐振动、冲击振动、随机振动、任意波形振动
激振设备的基本特性参数
1、最大激振力 2、最大负荷 3、最大空载和满载加速度 4、最大位移和最大速度 5、使用频率范围 6、失真度 7、台面的均匀度 8、台面的横向运动
电动式振动台
组成：运动系统---线圈骨架、线圈、连杆、支撑弹簧和台面 磁路系统---励磁线圈（永久磁铁）、环形空气隙和外壳
台面
动圈 磁 路
励 磁 线 圈
a
台面
芯杆
励 磁 线 圈
磁路
动圈
b
台面
动圈 磁 路
励 磁 线 圈
c
电动式振动台
工作原理：利用带电导体在磁场中受到磁场力的 作用而产生运动。当由励磁电源供以直流电流后， 就在磁路的环形气隙中形成一个强大的恒定磁场， 信号发生器产生交变信号，经功率放大器放大后， 输入到动圈，它与磁场作用即产生一个交变的力， 推动可动系统运动。若输入电流呈简谐变化时， 则力的大小为：
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叠加原理 稳态响应
x(t)a0 2k
n1akn
ncosnt
nbkn
n
sinnt
n
=a0
2k
n1
an
cosntn+bnsinntn
k 1n2s2 2 2ns2
无阻尼 x(t)a0 ancosntn+ bnsinntn
2k n 1
k1n2s2
a0 2k
代表着平衡位置
a 0 作用于系统上所产生的静变形 2
T
a 0
2 T
2 T
F
(t)d t
2
T
an
2 T
2 T
F(t) cos(nt)dt
2
T
bn
2 T
2 T
F (t ) sin(nt )dt
2
T 为周期信号的周期，
2 T
周期信号的基频
（1）周期函数是奇函数， F(t)F(t)
傅里叶系数 a0 0 an 0
傅里叶级数简化为
F(t)bnsinn(t) n1
n 1
n3 n5
n7 n9
1
1
1.028
1162 20.1162
20.1 1
1
arctan
6
1
1
2
0.0342
6
3
3
1
0.441
131 6220.131 62
20.131
3
arctan
6 13162
0.1326
5
5
151 62120.1，51 620.57465
arctan
20.151 6
b4 0
…
…
F (t)4 F 0 s itn 1 3 s3 i n t .. 1 n .sn i n t
系统的稳态响应
x(t)
Aei(ntn) n
n
x(t)4F k0n1 ,3,5 nsin(tn)
An
1 k
n
Fn
n n
1
1sn2 2 2sn2
n
arctan2sn
1sn2
n sn 0
15
12 6
0.4993
7
7
1
0.3323
171 6220.171 62
20.171
7
arctan
6 17162
0.6462
9
9
1
0.0864
191 6220.191 62
20.191
9
arctan
6
19
1 6
2
0.24
n 11
11111111 62120.1111 620.0385
20.1111
第五节 任意周期激励的响应
（谐波分析法）
前面讨论的受迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激 励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为 简谐激励。
周期激励通过Fourier变换被表示成了一系列频率为基 频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成 为周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整 数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐 波分析法。
xn cneint n
复指数和三角函数展开式的关系：
三角函数展开式的频谱——单边频谱 A n ；
复指数展开式的频谱——双边频谱
cn
An 2
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin n t)
运动微分方程： m x c x k x= a 2 0n 1(anc o snt b nsinnt)
A1(02
122) i21 A10
02
k
F1ei1
02
k
F1(cos1
isin1)
A2(02
222) i22 A20
02
k
F2ei2
02
k
F2(cos2
isin2)
...
...
An(02
n22) i2n An0
02
k
Fnein
02
k
Fn(cosn
isinn)
第n阶谐波实部与虚部分别相等，则
（2）周期函数是偶函数， F(t)F(t)
傅里叶系数
bn 0
傅里叶级数简化为
F(t)a20 n 1ancons(t)
2. 复指数展开式：
根据t
eint )
sin
nt
i 2
(e in t
eint
)
代入
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin nt) 化简
bnT 2 T 2 T 2F(t)sinntdtT 2 T 0 2F 0sinntdtT T 2(F 0)sinntdt n 2 F T 0 cosnt0 T 2cosntT T 2
2 nF 01cosn
T 2
，
n 1
n3
…
b1
4 F0
b3
4 F0 3
…
n2
n4
b2 0
11
arctan
6 111162
0.0155
作出频谱图，如图所示。
小结：
理解谐波分析法的含义 掌握任意周期激励应用Fourier级数变换求解
作业 2-11
谐波分析法
n
1
(1sn2)2 (2sn)2
n
arctan 2
1
sn sn2
sn
n 0
例题：设质量—弹簧系统受到周期方波激励，如图所示
F0
F(t)
F0
0 T
t
T 2
t T
2
求此系统的响应，令
0
1 6
,
0.1
作出频谱图。
解： F (t) 周期函数是奇函数，F(t)bnsinnt n1
其中
An
1 k
n
Fn
An
(02
n22)
02
k
Fn
cosn
2nAn0
02
k
Fn
sinn
n
1
(1sn2)2 (2sn)2
n
arctan 2
1
sn sn2
sn
n 0
补充：
对 F (展t) 成傅里叶级数有两种方法： 1. 三角函数展开式：
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin n t)