1.5任意周期激励 振动力学课件

bnT 2 T 2 T 2F(t)sinntdtT 2 T 0 2F 0sinntdtT T 2(F 0)sinntdt n 2 F T 0 cosnt0 T 2cosntT T 2
2 nF 01cosn
T 2
，
n 1
n3
…
b1
4 F0
b3
4 F0 3
…
n2
n4
b2 0
谐波分析法
n
1
(1sn2)2 (2sn)2
n
arctan 2
1
sn sn2
sn
n 0
例题：设质量—弹簧系统受到周期方波激励，如图所示
F0
F(t)
F0
0 T
t
T 2
t T
2
求此系统的响应，令
0
1 6
,
0.1
作出频谱图。
解： F (t) 周期函数是奇函数，F(t)bnsinnt n1
xn cneint n
复指数和三角函数展开式的关系：
三角函数展开式的频谱——单边频谱 A n ；
复指数展开式的频谱——双边频谱
cn
An 2
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin n t)
运动微分方程： m x c x k x= a 2 0n 1(anc o snt b nsinnt)
T
a 0
2 T
2 T
F
(t)d t
2
T
an
2 T
2 T
F(t) cos(nt)dt
2
T
bn
2 T
2 T
F (t ) sin(nt )dt
2
T 为周期信号的周期，
2 T
周期信号的基频
（1）周期函数是奇函数， F(t)F(t)
傅里叶系数 a0 0 an 0
傅里叶级数简化为
F(t)bnsinn(t) n1
叠加原理 稳态响应
x(t)a0 2k
n1akn
ncosnt
nbkn
n
sinnt
n
=a0
2k
n1
an
cosntn+bnsinntn
k 1n2s2 2 2ns2
无阻尼 x(t)a0 ancosntn+ bnsinntn
2k n 1
k1n2s2
a0 2k
代表着平衡位置
a 0 作用于系统上所产生的静变形 2
A1(02
122) i21 A10
02
k
F1ei1
02
k
F1(cos1
isin1)
A2(02
222) i22 A20
02
k
F2ei2
02
k
F2(cos2
isin2)
...
...
An(02
n22) i2n An0
02
k
Fnein
02
k
Fn(cosn
isinn)
第n阶谐波实部与虚部分别相等，则
n 1
n3 n5
n7 n9
1
1
1.028
1162 20.1162
20.1 1
1
arctan
6
1
1
2
0.0342
6
3
3
1
0.441
131 6220.131 62
20.131
3
arctan
6 13162
0.1326
5
5
151 62120.1，51 620.57465
arctan
20.151 6
其中
An
1 k
n
Fn
An
(02
n22)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
k
Fn
cosn
2nAn0
02
k
Fn
sinn
n
1
(1sn2)2 (2sn)2
n
arctan 2
1
sn sn2
sn
n 0
补充：
对 F (展t) 成傅里叶级数有两种方法： 1. 三角函数展开式：
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin n t)
b4 0
…
…
F (t)4 F 0 s itn 1 3 s3 i n t .. 1 n .sn i n t
系统的稳态响应
x(t)
Aei(ntn) n
n
x(t)4F k0n1 ,3,5 nsin(tn)
An
1 k
n
Fn
n n
1
1sn2 2 2sn2
n
arctan2sn
1sn2
n sn 0
（2）周期函数是偶函数， F(t)F(t)
傅里叶系数
bn 0
傅里叶级数简化为
F(t)a20 n 1ancons(t)
2. 复指数展开式：
根据欧拉公式：
cos
nt
1 2
( e in t
eint )
sin
nt
i 2
(e in t
eint
)
代入
F (t)a 2 0n 1(anco ns tbnsin nt) 化简
第五节 任意周期激励的响应
（谐波分析法）
前面讨论的受迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激 励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为 简谐激励。
周期激励通过Fourier变换被表示成了一系列频率为基 频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成 为周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整 数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐 波分析法。
15
12 6
0.4993
7
7
1
0.3323
171 6220.171 62
20.171
7
arctan
6 17162
0.6462
9
9
1
0.0864
191 6220.191 62
20.191
9
arctan
6
19
1 6
2
0.24
n 11
11111111 62120.1111 620.0385
20.1111
11
arctan
6 111162
0.0155
作出频谱图，如图所示。
小结：
理解谐波分析法的含义 掌握任意周期激励应用Fourier级数变换求解
作业 2-11