求二面角大小的直接计算法(讲稿)

求二面角大小的直接计算法

肖德凯

利用向量求二面角，如何判断所求二面角是锐角或钝角？现行中学数学教材或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定；常见的大学数学教材亦未涉及此问题.

由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量，所以两个平面所成二面角的平

面角的大小与其法向量所成之角可能相等, 也可能互补；而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的, 点积法的缺陷是不能控制法向量的方向, 所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.

本文介绍一种利用向量外积控制平面法向量方向,借助两平面法向量所成角与两平面所成二面角的关系,直接计算二面角并判断其为锐角或钝角的方法. 为此我们首先介绍向量外积概念及运算法则. 1 二阶行列式的概念及运算法则

由于二阶行列式与向量外积的计算密切相关,故我们先简要介绍二阶行列式. 二阶行列式源于解二元一次方程组,它的定义是:

1112212

2

x y x y x y x y =-

例1.1 计算 3437(2)421829

2

7

=⨯--⨯=+=-.

2 向量外积

2.1设a 、b 为同一平面内起点重合的非共线向量，则a 、b 外积n 表示为n =a ⨯b ,其结果n 仍然是一个向量,方向与a 、b 所在平面垂直.向量外积的确切的方向根据右手法则确定(如图2.1):

伸开右手

掌，使拇指与其余四指垂直，将手腕与a 和b 的始端重合,拇指之外的四指与a 同向,使得手掌弯曲指向b ,但这时a 到b 的角度必须小于180 ,此时大拇指指向的方向就是a ⨯b 的方向,即a 、b 所在平面的法向量的一个方向[一个平面的法向量的方向共有两个(共线的两个),指向平面的两侧,通常并不确定是其中哪一个方向].

2.2 向量外积的计算法则 若

()111x ,y ,z a

=,()222x ,y ,z b =,则

()

()

()1112221111112

2

2

2

2

2122112211221x ,y ,z x ,y ,z y z x z x y ,,

y z x z x y y z y z ,x z x z ,x y x y .

a b ⨯=

⨯⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

=--+-

例2.1 已知11(,,1)2

2

a =-,11

(,,1)2

2

b =---;求a b ⨯.

1

1,,

12211,,1221

111112222,,

11111

12

2

2

211,0,.

2a

b ⎛⎫

⨯=- ⎪⎝⎭

⎛⎫

⨯--- ⎪

⎝⎭

⎛⎫

-

-

⎪ ⎪=- ⎪-----

- ⎪⎝⎭⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭解

3 求二面角大小的直接算法

如图1, 设二面角C-AB-E 的大小为θ,平面ABEF 的法向量为n , 平面ABCD 的法向量为m 1;

n 、m 1的夹角为1θ,那么

θ=π

-1θ,1cos cos n m n m

θ

θ⋅=-=-

.

如图2, 设二面角C-AB-E 的大小为θ,平面ABEF 的法向量为n , 平面ABCD 的法向量为m ; n 、m 的夹角为2θ,则

2θθ=,2cos cos n m n m

θθ⋅==

.

那么,如何确定两平面的法向量才能保证其所成之角恰好就是我们所要求的二面角呢?

其实,只要利用向量外积概念,我们就可以做到这一点.在图2中,按照如下顺序求出n 、m ，我们就可保证所求二面角与计算结果完全一致,

n

AB AF =⨯ ,

m

A B A D =⨯ , cos n m

n m

θ⋅=

.

上述方法的要点是: ① 确立公共点A(每个向量都以点A 为起始点); ② 确定

公共向量AB

(每个法向量的计算都以AB

为基础); ③ 遵守严格的运算顺序

(n

AB AF =⨯ ,m AB AD =⨯

)求法向量n 与m.

例 3.1 (2010全国高考理科试题(I 卷)第19题) 如图3, 四棱锥S-ABCD

中,SD ⊥底面ABCD,AB//DC ，AD ⊥DC, AB=AD=1,DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC.

(1) 证明：SE =2EB ；

(2) 求二面角A-DE-C 的大小.

解 以D 为坐标原点,DA ﹑DC ﹑DS 边所在

直线为x 轴﹑y 轴﹑z 轴建立空间直角坐标系(图4),相应各点坐标为D ()0,0,0,

A ()1,0,0, C ()0,2,0, S ()0,0,2.

(1) (略)

(2) 由(1) 得E 222

,,333⎛⎫

⎪⎝⎭

, 于是

222(,,)333

D E = ,(1,0,0)D A =

,(0,2,0)D C = ,

那么,平面DEA 的法向量

222(,,)333(1,0,0)

2

22222,,33333

3001

1

022(0,

,)33n

D E D A =⨯=

⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

=-

平面DEC 的法向量

222(,,)

333

(0,2,0)222222,,33333

320

244

(,0,)33

m

D E D C =⨯=⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

=-

若平面DEA 与平面DEC 所成的角为θ, 则

8

1cos 0233

n m

n m

θ-

⋅=

=

=-<. 又 []0,θπ∈，所以23

θπ=

.