水平地震作用的振型分解反应谱法

T j
M
I
X
T j
M
X
j
mi X ji
i 1
n
mi
X
2 ji
i 1
---j振型的振型参与系数
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
j xg
(t )
x(t)
N X j D j(t)
j 1
N
xi (t) X jiD j (t) j 1
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
j xg
五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法
作用于i质点上的力有
惯性力 弹性恢复力
阻尼力 运动方程
Ii mi (xi xg）
Si ki1x1 ki2 x2 kin xn
Ri ci1x1 ci2 x2 cinxn
n
n
mi xi cij xi kij xi mi xg
j 1
j 1
i 1,2, N
j 1 n
xg (t) j X ji xg (t) j 1
Fi (t) mi[xi (t) xg (t)]
mi N [ X ji j j (t) j X jixg (t)] j 1
N
Fji (t) j 1
Fji (t) mi[ X ji j j (t) X ji j xg (t)]
i 1
i 1
i 1
方程两端左乘
X
T j
X
T j
m
N
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
N
c(
X
i
D i
(t
))
i 1
i 1
N
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
mI
xg
(t
)
i 1
X
T j
mX
j
D
j
(t )
X
T j
cX
j
D
j
(t
)
X
T j
k
X
j
D
j
(t
)
X
T j
mI
xg
(t
)
X
T j
mX
j
D
j
(t )
X
T j
mx cx kx mIxg (t)
mN
mi
xi
m2
m1
xg(t)
mi mi (xi xg )
Si (t)
Ri (t)
mx cx kx mIxg (t)
N
设 x(t) X i Di (t) i 1
代入运动方程，得
N
m(
X
i
Di
(t ))
N
c
X
i
D i
(t
)
k
N
(
X
i
Di
(t
))
mI
xg
(t )
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s （2）计算各振型的地震影响系数 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
m x(t)
xg (t)
M
* j
j (t)
j j
xg (t)
i质点相对于基础的位移与加速度为
N
xi (t) X jiD j (t) j 1 N X ji j j (t) j 1
xi (t) N X ji j j (t) j 1
i质点t时刻的水平地震作用为
n
j X ji xg (t)
第二组 0.30
0.40
0.55 0.75
第三组 0.35
0.45
0.65 0.90
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
M
* j
D j
K
* j
M
* j
D j (t)
X
T j
M
M
* j
I xg (t)
K
* j
2 j
M
* j
C
* j
2
j j M
* j
D j
(t )
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
X
T j
M
I
X
T j
M
X
j
xg
(t )
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t
)
X
T j
M
I
X
T j
M
X
j
xg
(t )
n
j
X
F
F (t ) max
m x(t) xg (t) max
G
Fji j X ji jG j
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
Fji j X ji jG j
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数；
X ji --- j振型i质点的水平相对位移； j --- j振型的振型参与系数； Gi --- i质点的重力荷载代表值。
cX
j
D j
(t )
X
T j
k
X
j
Dj
(t )
X
T j
mI
xg
(t
)
M
* j
D
j
(t
)
C
* j
D
j
K
* j
D
j
(t
)
X
T j
mI xg
(t )
M
* j
X
T j
mX
j
---j振型广义质量
K
* j
X
T j
k
X
j
---j振型广义刚度
C
* j
X
T j
cX
j
---j振型广义阻尼系数
D j (t)
C
* j
一般只取2-3个振型， 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时， 振型个数可适当增加。
F1n
F2n
F jn
Fnn
mi
F1i
F2i
m2
F12
F22
F ji
Fni
Fj2
Fn2
m1
F11
F21
Fj1
Fn1
1振型地震 2振型 j振型 n振型 作用标准值
地震作用效应 （弯矩、位移等）
m
SEK
S
2 j
j 1
m --选取振型数
S j --j振型地震作用 产生的地震效应；
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
查表得
烈度
地震影响
6
7
8
9
多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32
max 0.16
罕遇地震 0.28 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
地震特征周期分组的特征周期值（s）
Tg 0.4s
场地类别
第一组
Ⅰ 0.25

Ⅱ 0.35
Ⅲ
Ⅳ
0.45 0.65
(t )
对于单自由度体系
x 2x 2x xg (t)
x(t) 1
d
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
d
(t
)d
对于j振型折算体系（右图）
D
j
(t
)
j j
t 0
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
j
(t
)
1
j
t 0
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
D j t j j(t)
j 1,2, N
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji (t) mi[ X ji j j (t) X ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji Fji (t) max mi X ji j j (t) xg (t) max
---体系j振型i质点水平地震作用标准值
对于单自由度体系