江西省2022高二数学上学期期末考试试题 理
江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试-数学含解析
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+ D.0,e 1x x x ∃><+3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.44.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A.B.4C.D.8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为10911.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.13.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （）A.{}01x x << B.{}0x x < C.{1x x <或3}x > D.{}3x x <【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.【详解】因为{}(){}{}2303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}1,A x x =<所以AB = {}01x x <<.故选：A.2.已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（）A.0,e 1x x x ∀≤<+B.0,e 1x x x ∀><+C.0,e 1x x x ∃≤<+D.0,e 1x x x ∃><+【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1x p x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.3.正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.【详解】由等比数列性质可知3246427a a a a ==，解得43a =，所以23137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B4.已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B.函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C.2x =-是函数的极大值点D.2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C5.“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，需要21021110m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．故选：B ．6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xx xh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（）A.()tanh 1x ≤-有解B.()tanh x 是奇函数C.()tan h x 不是周期函数D.()tan h x 是单调递增函数【答案】A 【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.【详解】由2e e 2e 2tan ()11e e e e e 1x x x x x x x x h x -----==-=-+++，因2e 11x +>，则2221e 0x<<+，可得2111e 21x -<-<+，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e ex x x xx xx x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；2e e 2tan ()1e e e 1x x x x x h x ---==-++，因2e x 是增函数，2e 1x+是增函数且恒为正数，则21e 1x+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A7.已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB的最小值为（）A. B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()21f x x'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=的距离为：d ==.故选：C8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（）A.45180a a a ++< B.使得0nS <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.【详解】由公差为10110,1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()20a a S +>=，故B 错误；对C ，因为11(1)222nn n na dS d n a n n d -==+-+，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以910910S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，因为2121212120S S a S S =-，1222222222S S a S S -=，若21222122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且()()212022210S S S S -->，即()()212221222120S S S S S S ->-，即2212220S S S <，而200S >，220S <，显然矛盾，故21222122S S a a >不成立，故D 错误.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9.已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.a c b c+>+C.22a b c c> D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有11a b>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；a b >，2220a b a bc c c --=>，得22a bc c>，C 选项正确；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：BC10.已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为1B.4a b +的最小值为4C.2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为109【答案】ABD 【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化111a b++为关于b 的式子由均值不等式判断D.【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2114454442a b a b ab +⎛⎫+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭，解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故B 正确；()()2222216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，由二次函数的单调性知()22956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以1441999b b a +==++，所以144109999111b b a b +=+≥=++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.故选：ABD11.记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A.lnΩΩ0+=B.11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.2Ω2Ω10+->D.函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 【答案】ACD 【解析】【分析】构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.【详解】构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()e0.5102g =-<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，lnΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，()()e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x --≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x xf x x x-=≥=，当且仅当1x xe =，即1e xx=时，等号成立，所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：213.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.【答案】20242025【解析】【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11πsin sin 1212n n n a n n n n =+=-+++得：20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++--+-+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111112024101001122334452024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭，故答案为：20242025.14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上的零点个数.【详解】由()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，所以周期3T =，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，令()0f x =，解得()()210,1,2,33322x x =∈=∈，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()323f x x x=+（2）最大值为4；最小值为：16-【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数()32f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，所以2a b -+=.又因为()232f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，所以()1323f a b -=-=-'，由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】由（1）知：()()23632f x x x x x '=+=+，由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.所以()f x 在()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.16.已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2n n b =（2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅⇒()()()255353d d d -=-+⇒0d =或1d =，又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2nn b =.【小问2详解】由（1）知：()12nn c n =+⋅，所以：()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，两式相减得：()()231422212nn n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.17.已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意：01645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，两式相减的：31a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12ba-=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--；若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--.综上：()223f x x x =--【小问2详解】对()g x ：()()()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()()()222213l 1n 3x x x x x +-+=++()()223ln 2231x x x x =+++-()()()()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.当[]1,2x ∈时，()()2231f x mx x m x +=+--≥恒成立，所以2442x m x x x--≥=-在[]1,2上恒成立.观察可知，函数4y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max4413x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.所以实数m 的取值范围是：[)5,+∞18.已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.【答案】（1）见解析（2）①10,2⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()1212122ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122axg x a x x-=-=' ，当0a ≤时，′(p >0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得12x a<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a>，()g x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.【小问2详解】由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是=ln12>0，解得102a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，=ln 12>0,=−2e<0,→+∞,→−∞，∴由零点存在性定理得：()f x 在11,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭各有1个零点，a ∴的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②①-②得：()1212ln ln 2x x a x x -=-，要证121x x a+>，即证1+2>12()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()1212122lnx x x x x x -<+，令()1201x t t x =<<，则()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t R t t t -=-+，则′=1=K12r1>0，()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，∴()21ln 01t t t --<+在(0,1)上成立，121x x a∴+>，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121x x a+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122lnx x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1t t t -<+成立.19.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N 次得到的数列的所有项之和记为n a ，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .【答案】（1）356a =（2）223nn a =+⨯（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；【小问2详解】设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，则11112211133+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得1322n n a a +-=-，126a -=，所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1263n n a --=⨯，即223nn a =+⨯；【小问3详解】由（2）得111111163223123-==⨯<⨯⨯++n nn n a ，所以当1n =时，1115824=<a ，当2n ≥时，所以2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。
江西省南昌十九中2021-2022学年高二上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案
南昌十九中2021～2022学年度第一学期高二班级期中考试数学试题（理）考试时间：120分钟； 命题人：龚晓琴第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ＋3y ＝3的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23πD.56π 2. 直线l ：mx －y ＋1＝0与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定3. 设e 是椭圆2214x y k+=的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)4. 已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为( ) A.63 B ．2 C.63或2 D.22或 3 5. 已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.526. 当点M(x ，y)在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)7. 已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．2340x y ++=D ．280x y +-=8. 若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)与直线y ＝2x 无交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ) A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]9. 若F(c,0)为椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，椭圆C 与直线x a ＋y b ＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线x ＝c 上，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22 D.3310. 点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1011. 已知F 1，F 2分别是椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为( )A.105 B.23 C.22 D.27712.如图，过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 14. 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为________________．15. 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．16. 已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．18. （12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .19. （12分）已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12为圆内一点，求经过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程． 20. （12分）过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求||AB ； (2)求△AOB 的面积．21. （12分）已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，右顶点A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得MP →·MQ →＝0？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．22.（12分）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )， 若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程.南昌十九中2021～2022学年度第一学期高二班级期中考试数学试题（理答案）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．2 14. (x ＋2)2＋(y －4)2＝20 15.2 16.x ＝－2三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 DCCCCBDDBADC（2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+32=+.18. （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫-⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．则点P 到l 的距离()5sin 43cos 4sin 41717a a d θϕθθ+--+--==，其中3tan 4ϕ=． 依题意得max 17d =，解得16a =-或8a =.19. (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，则圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，则圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2. 又∵A (1，－2)，B (－1,0)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，D ＋E ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－3.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0. (2)由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为M (1,0)．当直线l 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时k PM ＝0－121－2＝12， ∴k l ＝－1k PM ＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20. (1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －3x 23－y 26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴||AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝165 3 (2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|32＋－32＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝125 3.21.(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2， x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝3m ， 所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .由于M (t,0)，又Q (4,4k ＋m )，MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ，3m ·(4－t,4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1.所以存在点M (1,0)符合题意．22. (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1， 且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点． 设C 1的半焦距为c ， 由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x p ，y p )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x p ＝k 2－4k 2＋4，从而y p ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8kk 2＋4)．同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1k ≠0，y ＝－x 2＋1y ≤0，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0. ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意．故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0.。
江西省景德镇一中2021-2022高二数学上学期期中试题 理(含解析)
江西省景德镇一中2021-2022高二数学上学期(xuéqī)期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则2.已知两个等差数列（和）的前n项和分别为A n和B n，且，则=（）A. B. C. D.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A. 11B. 10C. 9D. 84.设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（）A. 1B.C.D.5.若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为，则a=（）A. B. 2 C. 3 D.6.在等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（）A. 或B.C.D. 或7.方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（）A. B. 或 C. D.8.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则2a-4b的取值范围是（）A. B. C. D.9.数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a7=（）A. B. C. D.10.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则=（）A. B. C. D.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A. 4B. 3C.D. 212.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.不等式的解集为______．14.数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为______．15.下列结论正确的序号是______．①当x≥2时，的最小值为2②当x＞0时，③当0＜x≤2时，无最大值④当x＞0且x≠1时，⑤当时，16.在数列(shùliè){a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，设，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知不等式ax2-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）=（2a+b）x-（x∈A）的最小值．18.已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．19.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a2n+2）log3（a n+2），求数列{b n}的前n项和T n．20.设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．21.已知数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项的和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（3）是否存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．22.已知数列(shùliè){a n}中，a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2）对任意正整数n都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（1）若，且S2021=2021，求a；（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求S n．答案(dáàn)和解析1.【答案】B【解析】解：A．取a=2，b=-3满足条件，则a2＞b2不成立；B．由a＞|b|，利用不等式的基本性质可得：a2＞b2，成立；C．取a=-2，b=1满足条件a2＞b2，则a＞|b|不成立；D．a2＞b2⇔|a|＞|b|，则＞不成立．故选：B．利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：依题意，数列{a n}和{b n}为等差数列，所以A9==9a5，同理B9=9b5，所以====．故选：D．因为数列{a n}和{b n}为等差数列，所以A9=9a5，B9=9b5，将转化为即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项与前n项和的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．则S7=28，a2+a5+a8=15，则7a1+21d=28，3a1+12d=15，解得a1=1，d=1．∴a10=1+9×1=10．故选：B．设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析(jiě xī)】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，，化z=-3x+y为y=3x+z，从而可得当过点（3，1）时，有最小值，故z=3x+y的最小值为-3×3+1=-8．故选：C．由题意作平面区域，化z=-3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值．本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用．5.【答案】C【解析】解：不等式|ax-2|＜3可化为-3＜ax-2＜3，即-1＜ax＜5；当a＞0时，解不等式得-＜x＜，由不等式的解集为，得a=3；当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意；当a＜0时，解不等式得＜x＜-，不满足题意；综上知，a=3．故选：C．去掉绝对值，不等式化为-1＜ax＜5，讨论a＞0和a=0与a＜0时，解不等式求得a的值．本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=，故选：B．由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：令f（x）=x2-2ax+1，∵方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，∴，∴，∴1＜a＜，∴a的取值范围为（1，）．故选：A．令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围．本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题．8.【答案】A【解析(jiě xī)】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2a-4b过点A（，）时，z最小是-7，当直线z=2a-4b过点B（，）时，z最大是5，故选：A．先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1）①，当n≥2时，②，①-②得a n+1-a n=3a n，所以，所以数列{a n}是以3为首项，4为公比的等比数列．所以．所以故选：A．直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析(jiě xī)】解：数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，即有n≥2时，a n-a n-1=n，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+…+n=n（n+1），==2（-），则=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故选：B．由题意可得n≥2时，a n-a n-1=n，再由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a）+…+（a n-a n-1），运用等差数列的求和公式，可得a n，求得==2（-），2由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S=n+×2=n2．n∴===n+1+-2≥2-2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：A．a，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，1解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．【解析】解：当n为奇数时，a n=-a，b n=2+，且当n增加时，b n减少；∴（b n）min=2；∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立∴-a≤2，即a≥-2；当n为偶数时，a n=a，b n=2+，且当n增加时，b n增加；∴（b n）min=2-=；∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立∴a＜．综上可得：-2≤a＜．故选：C．分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可．本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目．13.【答案】【解析(jiě xī)】解：由得，或，解得，∴原不等式的解集为．故答案为：．可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可．本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则a n+1-a n=3（常数），故数列{a n}是以首项为a1=-60，公差为3的等差数列．所以a n=-60+3（n-1）=3n-63，当n=21时，a21=0，当0＜n≤21，|a n|=-a n，则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-（a1+a2+a3+…+a n）=-=．当n≥22时，|a n|=a n，则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-a1-a2-…-a21+a22+…+a n，=-2（a1+a2+…+a21）+（a1+a2+a3+…+a n），=-，=630+，当n=40时，=630-60=570．故答案为：570首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】②⑤【解析】解：①当x≥2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立；②当x＞0时，，当x=1时成立，③当0＜x≤2时，y=，y'=，递增，x=2时，取最大值，故有最大值，④当x＞0且x≠1时，lg x可能小于0，故不成立，⑤当时，x＜0，y＜0，而，故利用基本不等式，又x不等于y，故成立．故答案为：②⑤分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可．考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题．16.【答案】10【解析】解：数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，整理得，所以（常数），所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以，则，所以…=，所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件．故答案为：10．首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2；（2）由（1）知a=1，b=2，∴A={x|1＜x＜2}，，而x＞0时，，当且仅当，即时取等号，而，∴f（x）的最小值为12．【解析(jiě xī)】本题主要考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．（1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；（2）利用基本不等式，可求函数的最小值．18.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8，可化为①或②或③，解①得-＜x＜-，解②得-≤x≤，解③得＜x＜，综合得：-＜x＜，即原不等式的解集为{x|-＜x＜}．（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x-1|≥|（2x+3）-（2x-1）|=4，当且仅当-≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤-或m≥1．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题．（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．19.【答案】证明：（Ⅰ）数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，整理得a n+1+2=3（a n+2），n∈N*．即（常数），所以数列{a n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列．故，整理得．（Ⅱ）由于，所以b n=（a2n+2）log3（a n+2）=n•9n，所以①，9②，①-②得：=，所以．【解析(jiě xī)】（Ⅰ）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，满足，解得a≥；综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，得ax2+（1-a）x-1＜0，①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，不等式的解集为（-∞，1）；当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，∴不等式的解集为（，1）；③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，当-1＜a＜0时，1＜，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．当a＜-1时，1＞，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；【解析】（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题．21.【答案】解：（1）数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，①可得1-=，可得a1=2，当n≥2时，（1-）（1-）…（1-）=，②由①②可得（1-）=，即有a n-a n-1=1，可得a n=2+n-1=n+1，n∈N*；（2）S n=，a，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，p可得a p+S q=60，a p•S q=182=324，即有p+1+=60，（p+1）•=324，解得p=5，q=9；（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，即有（k+1）（k+2）=（n-3）（n+5），由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数，即有n=5，k=3；n=15，k=14．则存在正整数k=3，14，使得为数列{a n}中的项．【解析(jiě xī)】（1）由等式可得a1=2，将n换为n-1，两式相除可得a-a n-1=1，由等差数列的通项公式可得所求；n（2）运用等差数列求和公式和等差数列、等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值；（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于较难题．22.【答案】解：（1）k=，a n+1=（a n+a n+2），∴数列{a n}为等差数列，∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，∴S2021=2021=2021+×（a-1），解得a=1；（2）设数列{a n}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a，∴a m=a m-1，a m+1=a m，a m+2=a m+1，任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，①a n+1为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2．即a m-1+a m+1=2a m，解得a=1，不合题意；②a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，即2a m-1=a m+1+a m，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；③若a m+2为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，即2a m+1=a m+a m-1，化简得：2a2-a-1=0，解得a=-；∴k====-．综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个-；（3）k=-，则a n+1=-（a n+a n+2），∴a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，当n是偶数时，S n=a1+a2+…+a n=（a1+a2）+…+（a n-1+a n）=（a1+a2）=（a+1）．当n是奇数时，S n=a1+（a2+a3）+…+（a n-1+a n）=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1-（a+1）（n≥1），n=1也适合上式，综上可得，S n=．【解析】（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a；（2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k；（3）k=-，a n+1=-（a n+a n+2），a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，结合题意分类讨论，然后分组求和可得S n．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．内容总结（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论。
2022年年高二下学期数学(理)期末试卷(附答案)
年高二下学期数学（理）期末试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数z 满足()543=-z i ，则z 的虚部为 A. i 54- B.54- C. i 54 D.542. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定为A.0232,0200<++∈∃x x R xB. 0232,0200≤++∈∃x x R xC. 0232,2<++∈∀x x R xD. 0232,2≤++∈∀x x R x3. 已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.6P ξ<=，则(01)P ξ<<= A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.14. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨5. 某校从高一中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[)[),60,50,50,40[)[),80,70,70,60 [)[)100,90,90,80加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 高一共有学生600名，据此 统计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A.588B.480C.450D.120 6. 若不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 等于A.8B.2C.4-D.8- 7. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是A. (1,)2πB. (1,)4πC. (2,)4πD. (2,)2π8. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 189. 阅读如下程序框图， 如果输出5=i ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 A. 22-*=i S B. 12-*=i S C. i S *=2 D. 42+*i10. 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号. 若η2-=ξa ，1)(=ηE , 则a 的值为A. 2B.2-C. 5.1D. 311. 观察下列数的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是A ．10 B. 13 C. 14 D.10012. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为 A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数 为__________个.14. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为________．15. 执行右面的程序框图，若输入的ε的值为25.0，则输出的n 的值为_______.16. 商场每月售出的某种商品的件数X 是一个随机变量, 其分布列如右图. 每售出一件可 获利 300元, 如果销售不出去, 每件每月需要保养费100元. 该商场月初进货9件这种商品, 则销售该商品获利的期望为____.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) X 1 2 3···12P121121 121 ···1210,1==S i1+=i i 输出i结束开始i 是奇数12+*=i S10<S是否否 是第9题图17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极 坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=. （I ）求圆C 的直角坐标方程;（II ）设圆C 与直线l 交于,A B 两点，若点P 坐标为(3,5)，求PB PA ⋅的值.18. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：男 女 是 40 20 否2030（I ）若哈三中高二共有1100名学生，试估计大约有多少学生熬夜看球; （II ）能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”? 2()P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. 数列{}n a 中，11=a ，且12111+=++n a a nn ，（*∈N n ）. (Ⅰ) 求432,,a a a ;(Ⅱ) 猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.20. 已知函数x x f ln )(=，函数)(x g y =为函数)(x f 的反函数.(Ⅰ) 当0>x 时, 1)(+>ax x g 恒成立, 求a 的取值范围; (Ⅱ) 对于0>x , 均有)()(x g bx x f ≤≤, 求b 的取值范围.性别是否熬夜看球21. 哈三中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （元）908483807568（I ）求回归直线方程y bx a =+;（其中121()(),()n i i i ni i x x y y b a y bx x x ==∑--==-∑-）（II ）预计今后的销售中，销量与单价服从（I ）中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元?22. 已知函数a x f -=)(x2ex a e )2(-+x +，其中a 为常数.(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ) 设函数)e 2ln()(x ax h -=2e 2--+x a x (0>a ),求使得0)(≤x h 成立的x 的最小值; (Ⅲ) 已知方程0)(=x f 的两个根为21,x x , 并且满足ax x 2ln 21<<.求证: 2)e e (21>+x x a .数学答案一. 解答题:22. (Ⅰ) 因为)1)(12()(+-+='xxae e x f ,所以, 当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数; 当0>a 时, 函数)(x f 在)1ln,(a-∞上为单调递增, 在).1(ln ∞+a 上为单调递减函数.(Ⅲ) 由(Ⅰ)知当0≤a 时, 函数)(x f 在),(+∞-∞上为单调递增函数, 方程至多有一根,所以0>a ,211ln ,0)1(ln x ax a f <<>,又因为 =--)())2(ln(11x f e a f x 022)2ln(111>--+-x ae e a xx ,所以0)())2(ln(11=>-x f e a f x , 可得2)2ln(1x e ax<-.即212xx e e a<-, 所以2)(21>+x x e e a .。
江西省上高二中2022-2023学年高二上学期8月数学试题(含答案解析)
江西省上高二中2022-2023学年高二上学期8月数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}|22xA x =<，{}|ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}|1x x ≥B ．{}1|0x x <<C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x <2．已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．79B ．79-C ．29D ．29-3．设25a b m ==，且112a b+=，则m 等于（）A ．100B．CD ．2log 104．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，6PA AB BC ===，则PC 等于（）A．B ．6C ．12D ．1445．若函数1221,0,0x x y x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x x =时函数值1y >，则0x 的取值范围是（）A ．()1,1-；B ．()1,-+∞；C ．()(),20,-∞-⋃+∞；D ．()(),11,-∞-⋃+∞．6．设133a =，166b =，3log 2c =，则（）A ．c b a<<B ．b<c<aC ．c<a<bD ．a c b<<7．若函数()41x f x x mx =⋅--在(,1)-∞-上存在零点，则实数m 的取值范围为（）A ．531,416⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．310,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()032f f -=-，则()4f =（）A ．2-B ．0C ．2D ．4二、多选题9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法不正确的是（）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n10．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．sin sin()3sin 2C A B B +-=，3C π=，则ab=（）A ．13B ．12C ．2D ．311．设函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．ω的取值范围是1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个C ．()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点恰有2个D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减12．在四面体ABCD 中，5AB CD AC BD ====，AD BC ==E 、F 分别是AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有（）A ．EF AD ⊥，EF BC⊥B ．四面体外接球的表面积为34πC ．异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为725D ．多边形截面面积的最大值为92三、填空题13．已知α为钝角，且tan 2α=-，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．14．已知()()3,5,7,2,4,3A B --，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为___________.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ，PB ，PC 互相垂直，4PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，且直线AM 与平面PBC -P ABC 外接球的体积是______．16．已知()0,0,0O ，()1,2,3A ，()2,1,2B ，()1,1,2P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标是______四、解答题17．已知向量(),4,1a x = ，()2,,1b y =-- ，()3,2,c z =- ，a b ∥ ，b c ⊥ .(1)求a ，b ，c；(2)求a c + 与b c +所成角的余弦值.18．现给出以下三个条件：①()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π；②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭；③()01f =.请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.已知函数()()2sin 05,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<< ⎪⎝⎭，满足________，________.（1）根据你所选的条件，求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到()g x 的图象求函数()()1y f x g x =-的单调递增区间.19．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．(1)求a 值；(2)若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长；(3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.21．如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD //BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且//EF AB ，已知AB =AD =CE =2，现沿EF 把四边形CDFE 折起如图乙使平面CDFE ⊥平面ABEF .（1）求证：//AD 平面BCE ；（2）求证：平面ABC ⊥平面BCE ；（3）求三棱锥C ﹣ADE 的体积.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，2AP PD DC ===，AB90ADC APD ∠=∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：AP ⊥平面PDC ．(2)若E 是棱PA 的中点，且BE //平面PCD ，求点D 到平面PAB 的距离．参考答案：1．D【分析】先化简集合A ，B ，再根据ven 图求解.【详解】解：全集U =R ，集合{}|22xA x =<{}|1x x =<，{}|ln(1)B x y x ==-{}|1x x =>，由ven 图知：图中表示集合为{}|1UA B x x ⋂=<ð，故选：D 2．B【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】πππ2πsin 2cos2cos 26623ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π172sin 121339α⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B 3．C【分析】由25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由112a b+=求解.【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，则11log 2,log 5m m a b==，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，则210m =，解得m =故选：C 4．C【分析】在ABC 中，余弦定理可得2108AC =,由PA ⊥平面ABC 可得PA ⊥AC ，进而得PAC △为直角三角形，再由勾股定理即可求得PC 的值.【详解】解:因为在ABC 中，6,120AB BC ABC ==∠=︒,由余弦定理可得2222cos120108AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AC ，所以PAC △为直角三角形，又因为6PA =,所以在直角三角形PAC 中由勾股定理可得：22236108144PC PA AC =+=+=,所以12PC =.故选：C.5．D【分析】分00x ≤与00x >去解不等式，求出0x 的取值范围.【详解】当00x ≤时，0211x -->，解得：01x <-，与00x ≤取交集，结果为01x <-；当00x >时，1201x >，解得：01x >，综上：0x 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故选：D 6．A【分析】先判定,1,1a b c ><，再比较,a b 的大小.【详解】解：由题得1301,33a >==016166b >==，33log 2log 31c =<=，113661963b a ===>=，所以c b a <<.故选：A 7．C【分析】由()0f x =分离参数得14xm x =-，引入函数1()4xg x x=-，确定()g x 在(,1)-∞-上的单调性，值域，从而可得m 的范围．【详解】令()0f x =，则14xm x =-，设1()4xg x x=-，易知函数()g x 在(,1)-∞-上单调递增，而当x →-∞时，()0g x →，且5(1)4g -=，故实数m 的取值范围为50,4⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C.8．C【分析】由题意表示出()1(1)--=--f x f x 与()1(1)f x f x -+=+，令1x =，0x =，2x =，结合题目所给条件列式求解,k m ，再由两式化简可推导出()f x 的周期为8T =，从而代入计算.【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)--=--f x f x ①；又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②；令1x =，由②得：()(2)20==+f f k m ，又()33=+f k m ，所以()()032(3)2-=+-+=-=-f f k m k m k ，得2k =，令0x =，由①得：()()1(1)10-=--⇒-=f f f ；令2x =，由②得：()1(3)0-==f f ，所以()0336=+=⇒=-f k m m .得[]1,3x ∈时，()26=-f x x ，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(4)()+=--⇒+=-⇒+=-+=f x f x f x f x f x f x f x ，所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()4422262f f f =-=-=-⨯-=.故选：C【点睛】本题的关键是，根据题目给出的奇函数与偶函数条件进行转化，求解出函数的周期，利用函数周期性将所给值转化到已知范围中求解.9．ACD【分析】利用空间直线和平面的位置关系进行逐个判断.【详解】对于A ，两个平面垂直不能得出两个平面内的两条直线垂直，还可能是平行，所以A 错误；对于B ，因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，因为//n β，所以β内存在一条直线//l n ，所以l α⊥，由l β⊂，从而得到αβ⊥，所以B 正确；对于C ，因为m n ⊥，不能得出线面垂直，所以无法得出αβ⊥，所以C 错误；对于D ，两个平面平行不能得出两个平面内的两条直线平行，还可能是异面，所以D 错误；故选：ACD.10．BD【分析】根据三角恒等变换进行化简，然后利用正弦定理求解即可.【详解】解：由题意得：因为A B Cπ+=-所以sin sin()sin()sin cos cos sin C C A B A B A B π=-=+=+．又sin sin()3sin 2C A B B+-=所以2sin cos 6sin cos A B B B =，即2cos (sin 3sin )0B A B -=，解得cos 0B =或sin 3sin A B =．当cos 0B =时，因为(0,)B π∈，所以2B π=．又3C π=，所以6A π=．则1sin ,sin 12A B ==，所以由正弦定理得sin 1sin 2a Ab B ==．当sin 3sin A B =时，由正弦定理得3a b =，所以3ab=．综上所述，3a b=或12．故选：BD ．11．AB【分析】对于A,确定2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，根据零点个数确定5π2π7ππ232ω≤-<，求得参数范围；对于B ，C ，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，确定2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，计算π2ππ2π,4323ωω--的范围，从而确定()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调性.【详解】当[]0,πx ∈时，2π2π2ππ[,]333πx ω-∈--，因为()f x 在[]0,π上有且仅有4个零点，所以5π2π7ππ232ω≤-<，解得192566ω≤<，故A 正确；又由以上分析可知，函数cos y x =在2π2π[,π3]3ω--上有且仅有4个零点，且5π2π7ππ232ω≤-<，则在2π7π[,)32-上，cos y x =出现两次最大值，此时函数cos y x =的大致图象如图示：即()y f x =在()0,π上两次出现最大值1，即2ππ3x -取0,2π时，()y f x =取最大值，故()y f x =的图象与直线1y =在()0,π上的交点恰有2个，故B 正确；由于当(0,π)x ∈时，2π2π2ππ(,333πx ω-∈--，5π2π7ππ232ω≤-<，当2πππ3x -=-时，()y f x =取最小值1-，由于2ππ3x -是否取到3π不确定，故()y f x =的图象与直线1y =-在()0,π上的交点可能是1个或2个，故C 错误；当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ππ2ππ2π,34323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为192566ω≤<，所以π2π043ω->，11ππ2π17π122312ω≤-<，故π2π23ω-的值不一定小于π，所以()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.12．ABD【分析】对A ，连接,,,BE CE AF DF ，进而根据线面垂直得线线垂直可判断；对B ，将其补成长方体，转为为求长方体的外接球表面积可判断；对C ，结合B 建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可判断；对D ，根据题意，证明截面MNKL 为平行四边形，且KN KL +2sin 2MNKLKN KL S NK KL NKL +⎛⎫=⋅⋅∠≤ ⎪⎝⎭可判断.【详解】对A ，连接,,,BE CE AF DF ，因为5AB CD AC BD ====，E ､F 分别是AD ､BC的中点，所以,BC AF BC DF ⊥⊥，,BE AD CE AD ⊥⊥，因为AF DF F ⋂=，BE CE E ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ,AD ⊥平面BCE ，所以EF BC ⊥，EF AD ⊥，故正确；对B ，该几何体可以在如图2的长方体中截出，设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则222222251825a b a c c b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，所以22234a b c ++=所以四面体的外接球即为该长方体的外接球，半径满足2R ==所以四面体外接球的表面积为2434S R ππ==，故正确；对C ，由②得3,4a c b ===，如图3，以D 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()3,0,3A ，()3,4,0C ,()0,4,3B ，()0,0,0D ，故()()0,4,3,0,4,3AC DB =-=，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为725AC DB AC DB⋅⋅= ，故错误；对D ，如图4，设平面α与,,,BD CD AC AB 分别交于,,,M N K L ，EF α⊥ ，//BC α∴，则由线面平行的性质可得//,//BC KL BC MN ，则//KL MN ,同理，//ML NK ，所以截面MNKL 为平行四边形，可得,CK KN AK KLCA AD CA BC==，则CK AD AK BC KN KL CA CA CA CA ⋅⋅+=+=+==设异面直线BC 和AD 所成角为θ，由③的讨论可得异面直线BC 和AD 所成角为90 ，所以sin sin 1LKN ∠θ==，则可得29sin 22MNKL KN KL S NK KL NKL NK KL +⎛⎫=⋅⋅∠=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当KN KL =时等号成立，故正确.故选：ABD13【分析】由已知可求出sin ,cos αα，由两角差的正弦公式代入即可得出sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为tan 2α=-，所以22sin 2cos sin cos 1αααα=-⎧⎨+=⎩，因为α为钝角，解得：sin 55αα==-，所以sin sin cos cos sin sin cos 4442210πππααααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14【分析】首先求点,A B 在yOz 平面上的射影的坐标，即可求解射影长.【详解】点()()3,5,7,2,4,3A B --在yOz 平面上的射影分别为()()0,5,7,0,4,3A B ''-，所以线段AB 在yOz 平面上的射影长A B ''=.15．36π【分析】易证得PA ⊥平面PBC ，则AMP ∠即为直线AM 与平面PBC 所成角的平面角，当PM 最小时，直线AM 与平面PBC 所成角的正切值的最大值，此时PM BC ⊥，求出此时PM 的长度，从而可求得PC ，再求出外接球的半径，根据棱锥的体积公式及可得解.【详解】解：因为,,PA PB PA PC PB PC P ⊥⊥⋂=，所以PA ⊥平面PBC ，则AMP ∠即为直线AM 与平面PBC 所成角的平面角，则4tan PA AMP PM PM ∠==，当PM 最小时，tan AMP ∠最大，此时PM BC ⊥，4PM所以PM BC ⊥时，PM =，则cos 5PM BPM PB ∠==，所以sin sin cos 2CPM BPMBPM π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭所以cos PMCPM PC∠=，所以2PC =，所以三棱锥-P ABC 3，所以三棱锥-P ABC 外接球的体积是343363ππ⨯=.故答案为：36π.16．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先利用向量共线定理设出Q 点坐标(),,2t t t ，再利用向量的数量积运算得到QA QB ⋅关于t 的函数式，利用二次函数求最值即可得到答案.【详解】因为点Q 在直线OP 上运动，所以存在t ∈R ，使得OQ tOP =，因为()1,1,2OP =uu u r，所以(),,2OQ tOP t t t == ，所以点Q 的坐标为(),,2t t t .所以()1,2,32QA t t t =--- ，()2,1,22QB t t t =---，所以()()()()()()21221322261610QA QB t t t t t t t t ⋅=--+--+--=-+ ，所以当164263t -=-=⨯时，QA QB ⋅ 取最小值，此时点Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.17．(1)()2,4,1a =，()2,4,1b =--- ，()3,2,2c =- (2)219-【分析】（1）根据向量平行得到a b λ= ，根据向量垂直得到0b c ⋅=，计算得到答案.（2）计算()5,2,3a c += ，()1,6,1b c +=-，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）a b ∥，故a b λ= ，即()(),4,12,,x y λλλ=--，故1λ=-，2x =，4y =-，即()2,4,1a =，()2,4,1b =--- ，b c ⊥，故()()2,4,13,2,680b c z z ⋅=---⋅-=-+-= ，2z =，故()3,2,2c =- （2）()5,2,3a c += ，()1,6,1b c +=- ，a c + 与b c + 所成角的余弦值为：()()2cos 19a c b c a c b c θ===-+⋅++⋅+ 18．答案见解析.【解析】（1）选择①②：由①可得2ω=，再将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得6πϕ=；选择①③：由①可得2ω=，又()02sin 1f ϕ==，所以6πϕ=；选择②③：由()02sin 1f ϕ==，所以6πϕ=，再将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得2ω=；所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）根据平移可得函数()2cos 2g x x =，故2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图象性质可得函数的单调递增区间.【详解】解：（1）选择①②：由已知得222T πππω==⋅=，所以2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，将2,23A π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()f x 得，42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得26k πϕπ=+，Z k ∈，又02πϕ<<，所以6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；选择①③：由已知得222T πππω==⨯=，所以2ω=，从而()2sin(2)f x x ϕ=+，又()02sin 1f ϕ==，因为02πϕ<<，所以6πϕ=.所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；选择②③：由()02sin 1f ϕ==，又02πϕ<<，所以6πϕ=，将2,23A π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()f x 得，22sin 236ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得23k ω=+，Z k ∈，又05ω<<，所以2ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由已知得()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故()()1y f x g x =-4sin 2cos 216x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22cos 22cos 21x x x =+-4cos 4x x=+2sin 46x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令242262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得62122k k x ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以函数()()1y f x g x =-的单调递增区间为,62122k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】求三角函数的解析式时，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.19．(1)1a =；(2)1(,)3-∞.【分析】（1）根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可；（2）根据函数单调性的性质，结合奇函数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数，所以有()1000111a f a -+=⇒=⇒=+，即()2121x x f x -+=+，因为()()21212121x x x x f x f x ---+-+-==-=-++，所以该函数是奇函数，故1a =；（2）()21212121x x x f x -+==-++，由函数的单调性的性质可知：该函数是实数集上的减函数，而该函数是奇函数，于是有：()()()()()22222220222f t t f t k f t t f t k f t k -+-<⇒-<--=-+，可得：22221122323()33t t t k k t t t ->-+⇒<-=--，因此有13k <，即实数k 的取值范围为1(,)3-∞.20．(1)3π(3)⎝【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出1cos 2C =，即可得解；（2）设CD x =，根据+= ACD BCD ABC S S S 及面积公式得到方程，解得即可；（3）首先利用正弦定理求出c ，再由正弦定理得到sin 3a A =，sin 3b B =，再根据1sin 2S ab C =转化为关于A 的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；【详解】（1）解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B -=所以()2sin cos sin sin A C B C A =+=∴sin 0A ≠，∴1cos 2C =∵0C π<<，∴3C π=（2）解：设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯.解得x =CD（3）解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a B b A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin cR C C==，∴4c =所以ABC的面积1sin 24S ab C ab ==∵sin sin b a B A =83sin 3a A =，sin 3b B =∴2sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos sin 322A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭11cos244A A ⎫=-+⎪⎪⎝⎭2363A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=，∴2032A <-<ππ，∴62A ππ<<，∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴3S ⎛∈ ⎝21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23.【分析】（1）由题意知AF //BE ，DF //CE ，然后利用面面平行的判定可得平面ADF //平面BCE ，进一步得到AD //平面BCE ；（2）在图甲中，EF //AB ，AB ⊥AD ，可得EF ⊥AD ，则在图乙中，CE ⊥EF ，然后利用面面垂直的性质得到CE ⊥平面ABEF ，则CE ⊥AB ，再由线面垂直的判定可得AB ⊥平面BCE .则有平面ABC ⊥平面BCE ；（3）直接利用等积法求三棱锥C ﹣ADE 的体积.【详解】（1）证明：由题意知AF //BE ，DF //CE ，所以AF//平面BCE ,DF//平面BCE ∵AF ∩DF =F ，∴平面ADF //平面BCE ，又AD ⊂平面ADF ，∴AD //平面BCE ；（2）证明：在图甲中，EF //AB ，AB ⊥AD ，∴EF ⊥AD ，则在图乙中，CE ⊥EF ，又∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ∩平面ABEF =EF ，∴CE ⊥平面ABEF ，得CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE CE E ⋂=,∴AB ⊥平面BCE .∴平面ABC ⊥平面BCE ；（3）解：∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，AF ⊥EF ，∴AF ⊥平面CDFE ，则AF 为三棱锥A ﹣CDE 的高，AF =1，又∵AB =CE =2，∴S △CDE 12=⨯2×2=2，∴VC ﹣ADE =VA ﹣CDE 13=S △CDE •AF 13=⨯2×123=.22．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）在平面PDC 内找到两条相交的的直线，使得PA 垂直于它们即可；（2）运用等体积法，求出三棱锥P-ABD 的体积和和三角形PAB 的面积即可.【详解】（1）∵平面ABCD ⊥平面PAD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD =AD ，∴CD ⊥平面PAD ，CD AP ⊥，即,,,AP PD AP CD PD CD D PD ⊥⊥=⊂ 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，PA ∴⊥平面ABCD ；（2）//BE 平面PDC ，AP ⊥平面PDC ，PA BE ∴⊥，在Rt ABE 中，1AB AE ==，BE =，APB △的面积为12APB S AP BE =⨯⨯= ，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，因为PAD 是等腰直角三角形，PG AD ∴⊥，PG =，AD =，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ∴⊥平面ABCD ，PG BG ⊥，在Rt PBE △中，PB ==，在Rt PBG 中，3BG ==，2222911AG BG AB +=+==，ABG 是直角三角形，ABD △的面积12ABD S AD BG =⨯⨯= ，设点D 到平面PAB 的距离为x ，三棱锥P-ABD 的体积=11233ABD S PG ⨯⨯=⨯== 1133APB S x ⨯= ，5x ∴==；综上，D 到平面PAB .。
江西省2022学年高二数学上学期期末质量检测试题理
上学期期末质量检测 高 二 数 学 试 卷 （理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．3．考试结束，只交答题卷．第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共20个小题，本题满分60分） 1．命题“0,02>>∀x x ”的否定是（ ）A ．0,02≤>∀x x B ．0,02≤>∃x x C ．0,02≤≤∀x x D ．0,02≤≤∃x x 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ． 400，40 B ． 200，10 C ． 400，80 D ． 200，203．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( ) A ．92 B ．94 C ．95 D ．97 4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为x y 31±=的是A ．1922=-y xB ．1922=-x yC ．1922=-y xD ．1922=-x y5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 84421 25331 34578 60736 25300 73286 23457 88907 23689 60804 32567 80843 67895 35577 34899 48375 22535 57832 45778 92345 A ．328 B ．623 C ．457D ．0726．根据右边框图，当输入x 为2019时，输出的y 为（ ） A ．1 B ．2 C ．5D ．107．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。
江西省南昌二中2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
南昌二中2021—2022学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷命题人：周启新 审题人：黄洁琼一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（ ）A. 3(2,)4πB. 3(2,)4π-C. 3(2,)4πD. 3(2,)4π-2.抛物线24x y =-的准线方程为（ ）A. 116x =B. 116x =- C. 1y = D. 1y =-3.直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2- D. 2或2-4.圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含5.以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--=D. 22430x y y +--=6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ）A.221916x y -= B. 221916y x -= C. 2211625x y -= D. 2211625y x -= 7. 椭圆2214924x y 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线相互垂直，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 288. 若直线y x b =+与曲线224y x x =-b 的取值范围是（ ）A ．[2,2]--B ．(22,2]--C ．(2,22)-D ．[2,22)9. 一动圆与两圆221x y +=和228120x y y +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（ ）A.63B.63 C. 623 D. 26311. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为2021，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长肯定为2021的有（ ）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则||4||AB CD +的最小值为（ ）A.172 B.152 C. 132D. 112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为 ；14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ； 15. 已知直线1l ：4360xy 和直线2l ：1x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为 ；16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M 23，则双曲线C 的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .（本小题满分10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,1)P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，(6,3)M 是双曲线右支上一点，且12||||6MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.18 .（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为一般方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求PB PA +的值．19 .（本小题满分12分）已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求直线l 的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长度.20 .（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=截得的弦C 的方程；x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围.21．(本小题满分12分)椭圆22221(0)x ya b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求2211a b+的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率ee ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，椭圆22122:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F ，离心率为2；过抛物线22:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F 。
2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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江西省2022高二数学上学期期末考试试题 理
南昌二中2022—2021学年度上学期期末考试高二数学〔理〕试卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为〔 〕 A ．3B ．1-C ．i D ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，假设ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．〞时，假设的内容应该是〔 〕 A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为〔 〕 A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．以下命题中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A ．假设命题p 为真命题，命题q 为假命题，那么命题“)(q p ⌝∨〞为真命题 B ．命题“假设7≠+b a ，那么2≠a 或5≠b 〞为真命题C ．命题“假设函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，那么0x 是函数)(x f 的极值点〞的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，那么⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是〔 〕A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0πD ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．假设R a ∈，那么“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限〞是“3>a 〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是〔 〕 A ．323B ．163C ．12D ．98．假设2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，那么123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
江西省萍乡市2022-2023学年高三上学期期末考试数学理科试卷
准考证号姓名（在此卷上答题无效）萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}2,x B y y x A ==∈，则A B = A ．{}1,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2-D ．{}12．已知i 为虚数单位，则复数11i+的实部与虚部之和为A ．1-B ．0C ．1D ．23．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23=a ，若235,1,3++a a a 成等比数列，则公差=d A ．1-或2B ．2C ．1或2-D ．14．已知m 和n 是空间中两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列命题正确的是A ．若⊥m n ，n ⊂α，则α⊥m B ．若m ⊂α，n ⊂β， αβ，则m n P C ．若m αP ，⊥m n ，则α⊥n D ．若α⊥m ，m β，则αβ⊥5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p ；“乙得第二”为命题q ；“丙得第三”为命题r .若∨p q 为真命题，∧p q 为假命题，()⌝∧q r 为假命题，则下列说法一定正确的为A ．甲不是第一B ．乙不是第二C ．丙不是第三D ．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6．在二项式6(2)-a x 的展开式中，若3x 的系数为160，则=aA ．1-B ．1C D ．7．函数=y kx 与ln =y x 的图象有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为A ．1=k B ．1e=k C ．1e=k 或0≤k D ．1=k 或0≤k 8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为A ．19B ．1781C ．29D ．3179．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()'f x 是其导函数.当0≥x 时，()20'->f x x ，且()23=f ，则()()3113≥+f x x 的解集是A ．[)2,+∞-B ．[]2,2-C ．[)2,+∞D ．(],2∞--10．下列关于函数1()sin 2cos =+f x x x有关性质的描述，正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线2π=x 对称C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 的图象关于直线=πx 对称11．点M 为抛物线28=y x 上任意一点，点N 为圆22430+-+=x y x 上任意一点，P 为直线10---=ax y a 的定点，则+MP MN 的最小值为A ．2B C ．3D ．2+12．已知函数()ln f x ax a =+，()e ln x g x x x =+-，若关于x 的不等式()()f x g x >在区间(0,)+∞内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为A ．(2e,e ⎤⎦B ．2e (e,]2C ．(23e ,e ⎤⎦D ．23e e (,]23萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边过点(2,1)-P ，则sin 2α=__________．14．在平面直角坐标系中，向量,a b 满足()()1,1,231,5=+=- a a b ，则⋅= a b __________．15．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若∆ABC 的周长为7，面积为，且828ab c +=，则=c __________．16．已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则⋅PA PB 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）记n S 为数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 的前n 项和，已知11=a ，()21⋅=-n n a S n n ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1321+⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n n a n 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，ABC ∆为等边三角形，平面ABC ⊥平面ACDE ，且222AC AE ED ===，90∠=∠=︒DEA EAC ，F 为边BC 的中点．(1)证明： DF 平面ABE ；(2)求EF 与平面ABE 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为(01)<<p p ，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为()f p ，求()f p 的最大值和此时乙答对每道题的概率0p ；(2)以(1)中确定的0p 作为p 的值，求乙在第二轮得分X 的数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，周长为8的∆ABC 的顶点()A 为椭圆E 的左焦点，顶点,B C 在E 上，且边BC 过E 的右焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 的上、下顶点分别为,M N ，点(),2P m (),0R ≠∈m m ，若直线,PM PN 与椭圆E 的另一个交点分别为点,S T ，求证：直线ST 过定点，并求该定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()1ln e +-=x xf x a x．(1)若0=a ，求()f x 的极值；(2)若()1≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线()()0100,,0:πθθθρ=∈≥C 与曲线22:4sin 30ρρθ-+=C 相交于,P Q 两点．(1)写出曲线2C 的直角坐标方程，并求出0θ的取值范围；(2)求11+OP OQ的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()()10,0=--+>>f x a x b a b 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为1．(1)求实数,a b 满足的关系式；(2)若对任意R ∈x ，不等式()2<-f x x ab恒成立，求实数b 的取值范围.萍乡市2022—2023学年度高三期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：ABBDC ；ACBCC ；AD .二、填空题（4×5=20分）：13.45-；14.0；15.3；16.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）：17.（1）由(21)n n a S n n =-得，(21)n n n n S a -=，当11(1)(23)2,n n n n n S a ----≥=，………（1分）两式相减得：11(21)(1)(23)n n n n n n n a a a ----=-，化简得：12123n n a n a n -+=-，………………（2分）21234211233212121239754112325275313n n n n n n n a a a a a a n n n n a a a a a a a a n n n -----+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- ，…（4分）当1n =时，2141113a ⋅-==，符合上式，………………………………………………（5分）故2413n n a -=；……………………………………………………………………………（6分）（2）由(1)知13=(21)321n n n a n n +⋅-⋅+，………………………………………………………（7分）1231133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，……………………………（9分）两式相减得1234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 21113(13)32(21)362(1)313n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-+-⨯-，……………（11分）故13(1)3n n T n +=+-⋅.………………………………………………………………………（12分）18.（1）证明：取AB 的中点为M ，连接ME ，MF ，…………………………………（1分）因为F 为边BC 的中点，所以MF AC ，1=2MF AC ，……………………………………（2分）又DE AC ，12DE AC =，所以MF DE ，且MF DE =，即四边形EDFM 为平行四边形，所以DF EM ，………………………………………（4分）又EM ABE ⊂平面，DF ABE ⊄平面，所以DF ABE 平面；………………………（6分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 平面平面ACDE AC =，EA AC ⊥，EA ⊂平面ACDE ，则EA ⊥平面ABC ，…………………………………（8分）过点F 作FN AB ⊥于N ，则FN EA ⊥，且EA AB A = ，则FN ABE ⊥平面，连接EN ，则EF 与平面ABE 所成角为FEN ∠，………………………………………（10分）由题知，在直角FNE ∆中，有2FN EN EF =，则sin4FN FEN EF ∠=即EF 与平面ABE .…………………（12分）【建立空间直角坐标系求解同样给分】19.（1）由题知，22233()(1)33f p C p p p p =⋅⋅-=-，…………………………………（2分）2()693(23)f p p p p p '=-=-，则()f p 在2(0,)3单调递增，在2(,1)3单调递减，……（4分）故()f p 的最大值为24(39f =，此时，023p =；…………………………………………（6分）（2）由题知，X 的所有可能取值为0,5,10，……………………………………………（7分）11115(0)232212P X ==⨯+⨯=，111(5)224P X ==⨯=，121(10)233P X ==⨯=，……（9分）则X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………（10分）乙在第二轮得分X 的数学期望51155()0510124312E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分）20．（1）根据椭圆定义可知48a =，2a =，……………………………………………（2分）c =，1b ==，…………………………………………………………………（3分）故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；………………………………………………………（4分）（2）由题知，(0,1)M ，(0,1)N -，………………………………………………………（5分）直线:1xPM y m =+，与椭圆方程联立、化简得：22(4)80m x mx ++=，则284S m x m -=+，2244S m y m -=+，……………………………………………………………（7分）同理可得22436T m x m =+，223636T m y m -=+，…………………………………………………（8分）()()()22423212121441216192161612T S STT S m m y y m m k x x m m m m m -+---====-++，………………………（9分）直线222221284121:(1644162m m m m ST y x x m m m m ---=⋅++=⋅+++，………………………（11分）故直线ST 过定点1(0,)2．…………………………………………………………………（12分）X 0510P512141321．（1）0a =，1ln ()xf x x -=，22ln ()0x f x x-+'==，得2x e =，…………………（1分）则()()20,,()0,x e f x f x '∈<单调递减；()()2,,()0,x e f x f x '∈+∞>单调递增，……（3分）故()f x 的极小值为221()f e e =-，无极大值；……………………………………………（4分）（2）【法一】由题知，1ln x axe x x +-≥，0x >，令()1ln x g x axe x x =+--，则()1'()1x g x x ae x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，…………………………………（5分）①当0a ≤时，'()0g x <，(1)0g ae =≤，则1x >时，()(1)0g x g <≤，不合题意；…（7分）②当0a >时，设0x 满足001x ae x =，则()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，则min 0000()()ln 1x g x g x ax e x x ==--+，……………………………………………………………（9分）001x ae x = ，00001,ln ln x ax e a x x ∴=+=-，………………………………………………（10分）故min 000()()1ln 1ln 20g x g x x a x a ==-+++=+≥，解得21a e≥，…………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e +∞.………………………………………………（12分）【法二】由题知，ln 1xx x a xe +-≥，0x >，………………………………………………（5分）令ln 1()x x x g x xe+-=，则()21(2ln )'()x x x x g x x e+--=，…………………………………………（6分）设0x 满足002ln x x =+，则()g x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，…………（8分）故0000max 000ln 11()()x x x x g x g x x e x e +-===，…………………………………………………（9分）002ln x x =+ ，020x x e -∴=，故0max 2011()x g x x e e ==，即21a e ≥，……………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e+∞.………………………………………………（12分）【法三】由题知，ln 1xaxe x x ≥+-，即ln ln 1x x ae x x +≥+-，…………………………（6分）令ln t x x =+，t R ∈，即1t ae t ≥-，即1()t t a g t e-≥=，………………………………（8分）2'()t tg t e-= ，()g t ∴在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，…………………（10分）故max 21()(2)a g t g e ≥==，即实数a 的取值范围为21[,)e+∞.…………………………（12分）22．（1）曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +-=-，即()2221x y +-=，……（2分）当02πθ=时，曲线1:0C x =与曲线2C 有两个交点，符合题意，………………………（3分）当02πθ≠时，曲线1C 的直角坐标方程为：0tan y x θ=，设()20,2C 到曲线1C 的距离为d ，则1d r ==，得0tan θ0tan θ<4分）又0(0,)θπ∈ ，02,33ππθ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭；…………………………………………………………（5分）（2）将0θθ=代入2C 的极坐标方程得：204sin 30ρθρ-+=，…………………………（6分）设,P Q 两点对应的极径分别为12,ρρ，则120124sin ,3ρρθρρ+==，…………………（7分）1212124sin 111103OP OQ θρρρρρρρ+≥∴+=+== ，……………………………………………（9分）由（1）知02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则04sin 11433OP OQ θ⎤+=∈⎥⎝⎦.………………………………（10分）23．（1）(),11,1ax a b x f x a x b ax a b x -+≤⎧=--+=⎨-++>⎩，…………………………………………（1分）()y f x = 与x 轴交点坐标分别为1,0,1,0b b a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为()1,b ，……………（3分）21212b b S b a a∴=⨯⨯==，即2b a =；……………………………………………………（5分）（2）对于x R ∀∈，不等式左边=2221()121b x b f x x x b b b b--+==--+<-恒成立，……（6分）即对于x R ∀∈，121x x b b<-+-恒成立，…………………………………………………（7分）222111x x x x b b b-+-≥--+=- …………………………………………………………（8分）∴121b b <-，即211bb->或211b b-<-，…………………………………………………（9分）又0b > ，()()0,13,b ∴∈+∞ .…………………………………………………………（10分）命题：胡斌（市教研室）欧阳丽（芦溪中学）徐敏（莲花中学）江敏（萍乡三中）刘晓君（湘东中学）吕鋆（上栗中学）彭仕海（萍乡中学）审核：胡斌。
2022-2023学年江西省南昌市名校高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
南昌市名校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟第I 卷（选择题）一、单选题（每题5分，共计40分）1．空间四边形中，，，，且，，则OABC OA a = OB b = OC c = 23OM OA =BN NC =（ ）MN =A ．B ．C ．D ．121232a b c -+ 111222a b c +- 221332a b c -++ 211322a b c -++2．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则10l y +=2:10l kx y -+=1l 2l 60︒实数的值为（ ）A B ．C 0D ．或k 3．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种4．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为2211636x y +=22146x y -=（ ）A ．B ．C ．D ．221128y x -=221812y x -=221128x y -=221812x y -=5．已知，则（ ）()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++ 2a =A ．B ．2C ．4D ．122-6．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．B ．C ．D ．142312137．已知点D 在确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足ABC ，则：的最小值为（ ）2DO xOA yOB OC =+- 22x y +A ．BC ．1D ．2458．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方A B案数是（ ）A ．56B ．28C ．24D ．12二、多选题（每题5分，多选不得分，漏选少选扣2分一个，共计20分）9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）a b c A ．若，则0xa yb zc ++=x y z ===B ．，，两两共面，但，，不共面a b c a b cC ．，，一定能构成空间的一个基底+a b b c - 2c a +D ．一定存在实数，，使得x y a xb yc =+10．下列说法正确的是（ ）A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法1333C AB ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种4343A A C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种4345A A D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种11.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是( )A ．O -ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45°D ．二面角D -OB -A 为45°12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l 交椭圆于A ，B22195x y +=1F 2F 1F 两点.则下列说法正确的是（ ）A ．△ABF 2的周长为12BC ．的最大值为D ．△ABF 2面积最大值为22||AF BF +263203第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共计20分）13．圆：与圆：没有公共点，则的取值1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=m 范围为__________.14．的展开式中含项的系数为___________.4(2)(3)y x --3x y 15．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确15答案的概率是___________.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右22221(0,0)x y a b a b -=>>()()12,0,,0F c F c -支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=四、解答题17（10分）．已知圆，其圆心在直线上．22:220(R)C x y mx y m ++--=∈0x y +=(1)求的值；m (2)若过点的直线与相切，求的方程．(1,4)l C l 18（12分）．（1）解不等式．288A 6A x x -<（2）若，求正整数n ．2222345C C C C 363n +++⋅⋅⋅+=（3）从正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为？19（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面111ABC A B C -11AAC C 平面，，，点是的中点，ABC ⊥11AAC C 3AB =5BC =E BC(1)求证：平面；(2)求证：平面；1A B 1AC E 1A C ⊥1ABC (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值.1BC D 1AD A B⊥1BDBC 20（12分）．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.21（12分）．如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，面1111ABCD A B C D -面，，.11ADD A ⊥1111D C B A 114AADD ==1136A D AD ==(1)求到平面的距离；1B 11CDD C (2)求二面角的正弦值.111B CC D --22（12分）．已知C ：，过椭22221x y a b +=12圆左焦点作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：F ，过点M 作垂直于直线m 交直线m 于点E .2x a =-ME (1)求椭圆C 的标准方程：(2)①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求面积的最大值.OEN参考答案：1．D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，OABC OA a = OB b = OC c = 23OM OA=，BN NC = 如图，所以，1122ON OB OC=+ 所以，21211()32322MN MO ON OA OB OC a b c=+=-++=-++ 故选：D 2．C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，直线恒过10l y +=k =120 2:10l kx y -+=点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或()0,11l 2l 60︒2l 60 0 k ，0k =故选：C3．D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.(2,2,1),(3,1,1)【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；2213531322C C C A 90A ⋅=②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.3113521322C C C A 60A ⋅=综上，选法共有.9060150+=故选:D.4．A【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为220c =y ，利用即可得解.()22046x y λλ-=<222c a b =+【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，2211636x y +=y 2361620c =-=又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，22146x y -=所以设所求双曲线为，即，()22046x y λλ-=<22164y x λλ-=--则，解得，26420c λλ=--=2λ=-所以所求双曲线为.221128y x -=故选：A.5．C【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.1x t +=【详解】令，则，1x t +=1x t =-故，()()()445525012512221x x t t a a t a t a t -+=-+-=++++ 中得系数为，中得系数为，()42t -2t ()224C 224-=()51t -2t ()335C 110-=-所以，224204a =-=故选：C.6．D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，3414即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝．]1434137．A【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得.211x y --+=【详解】因为，2DO xOA yOB OC =+- 所以，又点D 在确定的平面内，2OD xOA yOB OC =--+ ABC 所以，即，211x y --+=22x y =-所以，()222222445422855455x y y y y y y ==-+⎛⎫+-+-⎪=+≥⎝⎭所以当时，的有最小值.45y =22x y +45故选：A.8．B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A 在甲社团B 在乙社团和A 在乙社团B 在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A 在甲社团B 在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲14C 24C 社团有4人有种方案，共种方案；34C 123444C +C +C 46414=++=当B 在甲社团A 在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14+14=28.故选：B 9．ABC【分析】由已知，选项A ，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B ，可根据基底的定义和性质来判断；选项C ，可先假设，，共面，得到无解，即可+a b b c - 2c a +判断，，组成基底向量；选项D ，由，，不共面可知，不存在这样的+a b b c - 2c a + a b c 实数.【详解】选项A ，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若,,x y z 0a b c，则，该选项正确；0xa yb zc ++=0x y z ===选项B ，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两a b c a b c共面，但，，不共面，该选项正确；a b c 选项C ，假设，，共面，+a b b c - 2c a +则，此时，无解，+()(2)a b k b c c a λ=-++ 1=2=1=k k λλ⎧⎪⎨⎪⎩所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；+a b b c - 2c a +选项D ，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.a b cx y a xb yc =+ 故选：ABC.10．ACD【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A 的正误；利用捆绑法，可判断B 的正误；利用插空法，可判断C 的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有13C 33A 种排法，故A 正确；1333C A 对于B ：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种33A 55A 排法，所以共有种排法，故B 错误；5335A A 对于C ：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排44A 35A 法，所以共有种排法，故C 正确；4345A A 对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，4345A A 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，3334A A 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D 正4345A A 3334A A 确.故选：ACD11.ACD [将原图补为正方体不难得出只有B 错误，故选ACD ．]12. ACD【分析】A 由椭圆定义求焦点三角形周长；B 根据椭圆离心率定义求离心率；C 当轴求出最小值，即可得最大值；D 令直线代入椭圆，AB x ⊥||AB 22||AF BF +:2AB x ky =-应用韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可.2ABF S k 【详解】A ：由三角形的周长为，正确；221212||||||||||||||412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==B ：由，故椭圆的离心率为，错误；3,2a c ===23c a =C ：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时22||12||AF BF AB -+=||AB AB x ⊥，故，正确；2min 210||3b AB a ==22max 26(||)3AF BF +=D ：令直线，代入椭圆方程整理得：，:2AB x ky =-22(95)20250k y ky +--=所以，且，，2900(1)0k ∆=+>22095A B k y y k +=+22595A By y k =-+而，2121||||602ABF A B S F F y y =⋅-==令，则，211t k =+≥260ABF S ==≤= 当且仅当时等号成立，显然等号不成立，45t =又在上递增，即时最小，此时最大为，正确.1625y t t =+[1,)+∞1t =y 2ABF S 203故选：ACD 13．()(),164,20-∞-⋃【分析】先用配方法确定圆心和半径，两圆没有公共点，说明它们内含或者外离，找出圆心距和半径之间的关系可得参数的范围.【详解】圆：，圆：1C ()2211x y ++=2C ()()222420x y m-+-=-两圆没有公共点，则两圆外离或内含.若两圆外离，则，∴12121C C r r >+=420m <<若两圆内含，则，∴.12121C C r r <+=16m <-综上：.()(),164,20m ∈-∞-⋃故答案为：()(),164,20-∞-⋃14．12-【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--3x y 4(3)y x -展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，444(2)(3)(3()2)3y x x x y ---=--的展开式中项为：，4(3)y x -3x y ()3334C 312y x x y ⋅⋅-=-的展开式中没有项，4)2(3x --3x y 故的展开式中含项的系数为，4(2)(3)y x --3x y 12-故答案为：.12-15．##120.5【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得A B ()()()141|()(|1,55452P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=故()()()115|.225P AB P B A P A ===故答案为：1217．(1)；2m =(2)或.1x =512430x y -+=【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心l ()41y k x -=-到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，C 222(1)324m m x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭所以，圆心为.,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线上，得.0x y +=2m =所以，圆的方程为：.C 22(1)(1)4x y ++-=（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；l l 1x =当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，l k l ()41y k x -=-即，40kx y k --+=由于直线和圆，l C 2解得：，代入整理可得.512k =512430x y -+=所以，直线方程为：或.1x =512430x y -+=18．（1）；（2）；（3）588x =13n =【分析】（1）根据排列数公式求解；（2）由组合数的性质求解；（3）由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算．【详解】（1）由题意，且，，经验8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--116(10)(9)x x <⨯--28x ≤≤N *x ∈算可解得；8x =（2）22223222232223453345445C C C C C C C C C 1C C C C 1n n n +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-3223551C C C 1C 1n n +=++⋅⋅⋅+-==- 原方程为，，满足题意，且是在且31363C n-=()()113646n n n +-=13n =31C n +*n ∈N 时递增的，因此是唯一解；4n ≥13n =（3）58 [从8个顶点中任取4个有C 种方法，从中去掉6个面和6个对角面，48所以有C －12＝58个不同的四面体．]4819．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析，.1925BD BC =【分析】(1)连接，，记两直线的交点为，证明，根据线面平行判定定1AC 1AC F 1//EF A B 理证明平面；1A B 1AC E(2)证明，，根据线面垂直判定定理证明平面；11AC A C ⊥1A C AB ⊥1A C ⊥1ABC (3) 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设A AC AB 1AA x y z ，由垂直关系列方程求出即可.()101BDBC λλ=≤≤λ【详解】（1）连接，，记两直线的交点为，因为四边形是正方形，所以1AC 1AC F 11AAC C为的中点，又点为的中点，所以，平面，平面F 1ACE BC 1//FE A B 1A B ⊄1AC E FE ⊂，所以平面；1AC E1A B 1ACE （2）因为，，，所以，所以，3AB =5BC =4AC =222BC AB AC =+AB AC ⊥又平面平面，平面平面，平面，ABC ⊥11AAC C ABC ⋂11AAC C AC =AB ⊂ABC 所以平面，因为平面，所以，因为四边形是AB ⊥11AAC C 1AC ⊂11AAC C 1AB A C ⊥11AACC 正方形，所以，又，平面，平面，所以11AC A C ⊥1AC AB A = 1AC ⊂1ABC AB ⊂1ABC 平面；1A C ⊥1ABC （3）因为平面，，故以为原点，，，为，，AB ⊥11AAC C 1AC AA ⊥A AC AB 1AA x y 轴建立空间直角坐标系，则，，，，z ()10,0,4A ()0,3,0B ()14,0,4C ()10,3,4A B =-，()14,3,4BC =-设在线段上存在点，使得，且， 则，1BC D 1AD A B ⊥()101BD BC λλ=≤≤1BD BC λ= 所以，()()()14,3,44,33,04,3,0AD AB BD AB BC λλλλλ=+=+=-=+-因为，若，则，解得：，()10,3,4A B =-1AD A B ⊥199160AD A B λλ==⋅-- 925λ=所以在线段上存在点，使得且.1BC 364836,,252525D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AD A B ⊥1925BD BC =20．解 设事件A 表示“飞机被击落”，事件B i 表示“飞机被i 人击中”(i=0,1,2,3)，则B 0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B 0)=0，P(A|B 1)=0.2,P(A|B 2)=0.6, P(A|B3) = 1。
江西省抚州市2022-2023学年高二上学期学生学业质量监测数学试题
江西省抚州市2022-2023学年高二上学期学生学业质量监测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、未知
三、单选题
5．已知圆2260
+-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）x y x
A．1 B．2
C．3 D．4
四、未知
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1
13
五、多选题
七、填空题
22
八、解答题
17．已知点()1,2P -，圆22:(3)8C x y -+=．
(1)若直线l 过点P ，且圆C 上任意一点关于直线l 的对称点也在圆C 上，求直线l 的方程； (2)若直线l 过点P ，且直线l 与圆C 交于M N 、两点，若MC NC ⊥，求直线l 的方程． 18．现要安排8名医护人员前往四处核酸检测点进行核酸检测，每个检测点安排两名医护人员前往.已知甲､乙两人不能安排在同一处检测点. (1)求不同的安排方法总数；
(2)记四处检测点分别为,,,A B C D ，若甲不能前往A 检测点，乙不能前往B 检测点，求不同的安排方法数.
19．如图在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1AC 的中点．
（1）求异面直线EF 与1CD 所成角的大小．。
江西省2022高二数学上学期期末考试试题 文
南昌二中2022—2021学年度上学期期末考试高二数学〔文〕试卷一、选择题〔每题5分，共12小题，共60分〕z 满足z 〔1+i 〕＝2﹣i ，那么复数z 在复平面内对应的点所在象限为〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.以下最新命题的说法错误的选项是〔 〕A ．命题“假设x 2﹣3x +2＝0，那么x ＝2〞的逆否命题为“假设x ≠2，那么x 2﹣3x +2≠0〞B ．“a ＝2〞是“函数f 〔x 〕＝a x在区间〔﹣∞，+∞〕上为增函数〞的充分不必要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0〞的否认是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0〞D ．“假设f ′〔x o 〕＝0，那么x o 为y ＝f 〔x 〕的极值点〞为真命题 的离心率为，那么其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ． 4.吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命. 据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，那么他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为〔 〕A ．67B ．2125C ．4950D ．不确定 C ：1〔a ＞b ＞0〕的离心率为，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，那么椭圆C 的标准方程为〔 〕A ．1B ．C ．1D ．6.下面四个推理,不属于演绎推理的是( )A. 函数)(sin R x x y ∈=的值域为[−1,1]，因为R x ∈-12,所以))(12sin(R x x y ∈-=的值域也为[−1,1]B. 昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C. 在平面中,对于三条不同的直线a ,b ,c ,假设a ∥b ,b ∥c 那么a ∥c ，将此结论放到空间中也是如此D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论f (x )=x 3-x 2+mx +1不是R 上的单调函数,那么实数m 的取值范围是 ( )A. B. C. D.8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量〔单位：厘米〕，左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为〔 〕A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系x ∈R ，那么“ln 0x <〞是“12x +<〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,f '(x )是f (x )的导函数,且总有f (x )>xf '(x ),那么不等式f (x )>xf (1)的解集为( ) A. (-∞,0) B. (0,1)C. (0,+∞) D.(1,+∞)11.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为.21,F F ,假设在直线a x 2=上存在点P 使线段1PF 的中垂线过点2F ,那么椭圆的离心率的取值范围是( ) A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛320， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛210， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2112.定义在R 上的函数)(x f 满足),()x f x f =-（且对任意的不相等的实数[)有+∞∈,0,21x x0)()(2121<--x x x f x f 成立，假设最新x 的不等式)312()3(2)3ln 2(++--≥--nx mx f f x mx f在]3,1[∈x 上恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+66ln 1,e 21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+36ln 2,e 1 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+33ln 2,e 1 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+63ln 1,e 21 二、填空题〔每题5分，共20分〕13.实数x ，y 满足不等式组，那么z ＝2x ﹣3y 的最小值为．xoy 中，点A 在曲线x y e =〔e 为自然对数的底数〕上，且该曲线在点A处的切线经过原点，那么点A 的坐标是______.F 1与双曲线的右支交于点P ，且PF 2与x 轴垂直〔F 2为右焦点〕，那么此双曲线的离心率为．16.函数f (x )的导函数f '(x)是二次函数，且y =f '(x )的图像最新y 轴对称，f'(3)=0，假设f (x )的极大值与极小值之和为4,那么f (0)=.三、解答题〔共5小题，共60分〕17.〔本小题12分〕命题p ：最新x 的方程在上有实根；命题q ：方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆． 〔I 〕假设p 是真命题，求a 的取值范围；〔II 〕假设是真命题，求a 的取值范围．18. 〔本小题12分〕2022年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取方法．该市教育管理部门为了了解市民对该招生方法的赞同情况，随机采访了440名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表.〔I〕根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取方法与近三年是否家里有小升初学生有关；〔II〕从上述调查的不赞同小升初录取方法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出6人，再从这6人中随机抽出3人进行回访，求3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率.附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dκ-=++++，其中n a b c d=+++.19.〔本小题12分〕函数f〔x〕＝x2+2alnx．(I)假设函数f〔x〕的图象在〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1，求实数a的值；(II)假设函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．20.〔本小题12分〕点F是抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，假设点P〔x0，4〕在抛物线C上，且．〔I〕求抛物线C的方程；〔II 〕动直线l ：x ＝my +1〔m ∈R 〕与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点其中D 〔t ，0〕〔其中t ≠0〕，使得k AD +k BD ＝0？〔k AD ，k BD 分别为直线AD ，BD 的斜率〕假设存在，求出点D 的坐标；假设不存在，请说明理由．21. 〔本小题12分〕函数f (x )=-ln x .(I)求f (x )的最小值;(II)假设最新x 的不等式e x -1+1-f (x )>在(1,+∞)上恒成立,求整数k 的最大值.四、选做题〔共10分〕 xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔I 〕写出1C 的极坐标方程；〔II 〕设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后得到曲线C 3，曲线(0)3πθρ=>分别与1C 和3C 交于A ，B 两点，求AB ．()3f x x =-.〔Ⅰ〕求不等式()32f x x ≥--的解集；〔Ⅱ〕假设()24f x m x ≤--的解集非空，求m 的取值范围．高二数学〔文〕期末考试参考答案7.C8．D 11.B12、D13.-614.()1,e 15.e17.令，那么，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，的最小值，故假设p 为真命题，那么；是真命题，那么p ，q 均为真命题，q 为真命题，即方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，那么，由知，p 为真命题时，所以是真命题，那么．18.〔1〕假设是否赞同小升初录取方法与近三年是否有家里小升初学生无关，的观测333.18355220220120320)1404018080(44022≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，因为18.33310.828＞ 所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取方法与近三年是否家里有小升初学生有关.〔2〕设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出x 人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出y 人，由分层抽样的定义可知61204080x y ==，解得2x =，4y =. 设事件M 为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生．在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的2人，分别记为1A ，2A ，近三年家里有小升初学生的4人，分别记为1B ，2B ，3B ，4B ，那么从这6人中随机抽出3人有20种不同的抽法，所有的情况如下：{1A ，2A ，1B }，{1A ，2A ，2B }，{1A ，2A ，3B }，{1A ，2A ，4B }，{1A ，1B ，2B }，{1A ，1B ，3B }，{1A ，1B ，4B }，{1A ，2B ，3B }，{1A ，2B ，4B }，{1A ，3B ，4B }，{2A ，1B ，2B }，{2A ，1B ，3B }，{2A ，1B ，4B }，{2A ，2B ，3B }，{2A ，2B ，4B }，{2A ，3B ，4B }，{1B ，2B ，3B }，{1B ，2B ，4B }，{1B ，3B ，4B }，{2B ，3B ，4B }. 其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况有12种，分别为：{1A ，1B ，2B }，{1A ，1B ，3B }，{1A ，1B ，4B }，{1A ，2B ，3B }，{1A ，2B ，4B }，{1A ，3B ，4B }，{2A ，1B ，2B }，{2A ，1B ，3B }，{2A ，1B ，4B }，{2A ，2B ，3B }，{2A ，2B ，4B }，{2A ，3B ，4B }，所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为12()0.620P M ==.19．(1)由f '〔2〕＝1，解得a ＝﹣3．…(2)由得，…由函数g 〔x 〕为[1，2]上的单调减函数，那么g '〔x 〕≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．令，在[1，2]上，所以h 〔x 〕在[1，2]为减函数.，所以．20.〔1〕由题意得：抛物线的准线方程：x ，∵点P 〔x 0，4〕在抛物线C 上，∴42＝2px 0，所以x 0，所以|PF |＝x 0﹣〔〕，所以由题意：p 〔p ＞0〕，解得：p ＝2，所以抛物线C 的方程：y 2＝4x ；〔2〕由题意得m ≠0，假设存在D 〔t ，0〕使得k AD +k BD ＝0，设A 〔x ，y 〕，B 〔x '，y '〕，整理得：y 2﹣4mx ﹣4＝0，∴y +y '＝4m ，yy '＝﹣4，k AD ，k BD ，由k AD +k BD ＝0得：0⇒2myy '+〔1﹣t 〕•〔y +y '〕＝0⇒2m 〔﹣4〕+〔1﹣t 〕4m ＝0⇒m 〔﹣1﹣t 〕＝0，m ≠0∴t ＝﹣1时，使得k AD +k BD ＝0， 即D 点的坐标：〔﹣1，0〕．21.(1)由(1)知f'(x )=e x-1-.当x>1时,f'(x )>0;当0<x<1时,f'(x )<0.故当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1.(2)e x-1+1-f (x )>,即1+ln x>,即>k 在(1,+∞)上恒成立,记h (x )=,那么h (x )在(1,+∞)上的最小值大于k. h'(x )=,记g (x )=x-2-ln x ,那么当x ∈(1,+∞)时,g'(x )=>0,所以g (x )在(1,+∞)上单调递增.又g (3)=1-ln 3<0,g (4)=2-ln 4>0,所以g (x )=0存在唯一的实根a ,且满足a ∈(3,4),g (a )=a-2-ln a=0,即ln a=a-2,当x>a 时,g (x )>0,h'(x )>0,当1<x<a 时,g (x )<0,h'(x )<0,所以h (x )min =h (a )===a ∈(3,4),故整数k 的最大值是3.22.解：〔1〕将22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=， 即221:40C x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， 所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．〔2〕因为1,2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，所以得到2,x x y y '=='⎧⎨⎩，将2,x x y y '=='⎧⎨⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=．3C 的极坐标方程为1ρ=，所以1OB =． 又4cos23OA π==，所以1AB OA OB =-=．23.〔Ⅰ〕因为()32f x x ≥--，即为323x x -+-≥， 当2x ≤时，得253x -+≥，那么1x ≤，当23x ＜＜时，无解,当3x ≥时，得253x -≥，那么4x ≥，综上][()14x ∞∞∈-⋃+，，； 〔Ⅱ〕因为()24f x m x ≤--的解集非空即432x x m -+-≤有解， 等价于()243min m x x ≥-+-， 而()()43431x x x x -+-≥-+-=．∴21m ≥，12m ≥．。
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高二数学上学期期末考试试卷 理一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1．已知命题:,tan 1P x R x ∃∈=，下列命题中正确的是( ) A. :,tan 1p x R x ⌝∃∈≠ B. :,tan 1p x R x ⌝∃∉≠C. :,tan 1p x R x ⌝∀∈≠D. :,tan 1p x R x ⌝∀∉≠2．若(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ） .1A - .0B .1C .2D - 3．对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（ ） A.相等 B.不相等 C.无法确定 D.与抽取的次数有关4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a AA c BC b ===，则下列向量与BM 相等的是（ ） A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++C. 1122a b c --+D. 1122a b c -+5．如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A. 8584，B. 8485，C. 8684，D. 8486，6．计算机执行下面的算法步骤后输出的结果是( )()()()()()11;23;3;4;5.a b a a b b a b a b ===+=-输出，A.4，－2B.4,1C.4,3D.6,07．过点(0,2)P 且与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条8．一个均匀的正方体玩具的各面上分别标以数1,2,3,4,5,6 (俗称骰子)，将该玩具向上抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现奇数(指向上的一面的数是奇数)，事件B 表示向上的一面的数不超过3，事件C 表示向上的一面的数不少于4，则（ ） A. A 与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C.B 与C 是对立事件 D. A 与C 是对立事件9．有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上， 35人在90-100分， 10人低于90分.现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m 比赛的6名同学公平安排跑道.就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ）A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 10．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果1320S=，那么判断框中应填入()A. 10?K<B. 10?K ≤C. 9?K <D. 11?K ≤11．如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ︒∠=，则二面角 A PB C --的平面角的余弦值为（ ） A. 17 B. 17- C. 12 D. 12-12．已知P 是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(00)x y a b a b =>>－，的一个交点， 12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， 12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率,1223F PF π∠=，则22124e e +的最小值为( ) A. 13223- B. 13223+C. 1343-D. 1343+二、填空题(每小题5分,共4小题20分) 13．在△ABC 中，已知15(1,2,3),B(2,2,3),(,,3)22A C --，则AB 边上的中线CD 的长是__________．14．设双曲线C 的两个焦点为(2,0)-，(2,0)，一个顶点为(1,0)，则C 的方程为__________15．已知一组数据4.7 , 4.8 , 5.1 , 5.4 , 5.5 ，则该组数据的方差是__________.16．已知,A B 是椭圆22221x y a b +=和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，其中0a b >>， P是双曲线上的动点， M 是椭圆上的动点（,P M 都异于,A B ），且满足()PA PB MA MB λ+=+（R λ∈），设直线,,,AP BP AM BM 的斜率分别为1234,,,k k k k ，若123k k +=，则34k k +=_______.三、解答题(第17题10分,其余各题12分,共6小题70分) 17.商店名称 A B C D E 销售额x/万元 3 5 6 7 9 利润额y/万元23345(1)求y 关于销售额x 的回归直线方程；(2)当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额(万元)．附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-18.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． （1)求所选2人中恰有一名男生的概率； （2)求所选2人中至少有一名女生的概率．19.设:p 实数x 满足22430(0),q :x ax a a -+<>实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围; (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于14-． （1）求顶点C 的轨迹方程；（2）若斜率为1的直线l 与顶点C 的轨迹交于M ，N 两点，且l 的方程．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,//AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点.（1）证明： BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.22.设椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，左顶点M 到直线1x ya b +=的距离45d =，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于AB 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求AOB ∆的面积S 的最小值.数学试卷答案。
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第一学期高二理科数学期末联考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求。
请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）第I 卷（选择题)1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)--。
若以圆点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是A ．(1,)3π-B ．5(2,)3π C ．(2,)3π-D ．4(2,)3π 2．双曲线18x -4y 22=的渐近线方程是（ ） 2 . 2A y x =±x y B 2 . ±= x y C 2 . ±= 1 . 2D y x =± 3．条件:1p x ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 可以是（ ）A ．1x >B ．0x >C ．2x ≤D ．10x -<<4．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，那么()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若实数,x y 满足21021050x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则3x y +的最大值是（ ）A.9B.10C.11D.126．下列说法不正确的是（ ）A ．若“且”为假,则,至少有一个是假命题.B ．命题“”的否定是“”.C ．设是两个集合,则“”是“”的充分不必要条件.D ．当时,幂函数在上单调递减.7．函数在区间(-1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[)0,+∞B ．[)3,-+∞C ．(-3 ，＋∞)D ．8．函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数-1在区间上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．C ．D ．[)2,+∞10．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则()2f ＝( )A ．0B ．-4C ．4D ．811．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x ='，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.给出下列四个函数：①()2f x x =，②()xf x e-=，③()ln f x x =，④()tan f x x =，其中有“巧值点”的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数， ()()()2,01f f f x x '+>=,则不等式()ln 2ln 3f x x +->⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．复数21ii -=+14．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画12条线段，将圆最多分割成______部分．15．已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为_________16．点p 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点p 到直线y=x-3的距离最小值是_________. 三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．设：函数在是增函数；：方程表示焦点在x 轴上的双曲线． (1)若为真，求实数的取值范围；(2)若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数m 的取值范围18．设函数f（x）=ae x lnx+，（1）求导函数f′（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x﹣1）+2求a，b．．19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为（1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最小值.20.设函数.（1）若在上存在单调递减区间，求的取值范围；（2）若是函数的极值点，求函数在上的最小值.21．已知抛物线的焦点坐标为1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求抛物线的标准方程.（2）若过(2,4)-的直线与抛物线交于两点，在抛物线上是否存在定点,使得以为直径的圆过定点.若存在，求出点,若不存在，说明理由.22．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有参考答案第I卷（选择题)一、选择题1-12 DADBC CAAAB BA二、填空题13.1322i14.79 15. -3 16.322三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）对函数求导，根据函数在上递增可知，导函数恒为非负数，结合二次函数判别式列不等式，可求得的取值范围.（2）先求得真时，的范围.“且”为假命题，“或”为真命题，也即一真一假，故分为“真假”和“假真”两类，求得实数的取值范围. 【详解】（1）易知的解集为R，则，解之得。
江西省2022学年高二数学上学期期末考试试卷文
高二数学上学期期末考试试卷 文一、选择题（每小题5分，共60分）1.命题“()1ln ,,0000-=+∞∈∃x x x ”的否定是( )A ．()1ln ,,0000-≠+∞∈∃x x xB ．()1ln ,,0000-=+∞∉∃x x xC ．()1ln ,,0-≠+∞∈∀x x xD ．()1ln ,,0-=+∞∉∀x x x2.为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为 ( )A.50B.40C.25D.203.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,84.已知椭圆125222=+my x (m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9 5、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 、2B 、32C 、53 D 、856．已知随机变量,x y 的值如下表所示，如果x 与y 线性相关，且回归直线方程为29ˆ+=bx y，则实数b 的值为( )A. 12-B.12C. 16-D. 167.曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为（ ） A ．1y x =+B ．-3y x =+C ．2y x =D ．4-2y x =8．如果数据12,,n x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s ，则1243,43,,43n x x x ++⋅⋅⋅+的平均数和方差分别为（ ）A. ,x sB. 243,x s +C. 2,16x sD. 243,16x s +9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 41，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 ( )A.1613B ．81C.43D ．41 10．已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4±11．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()2,-+∞12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()20f =，当0x >时，()()0xf x f x ->'，则不等式()0xf x >的解集是( )A. ()(),22,-∞-⋃+∞B. ()2,2-C. ()()2,02,-⋃+∞D. 以上都不正确二、填空题（每小题5分，共20分）13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.5，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___． 14.已知是a 函数()x x x f 123-=的极大值点，则a =_______.15．有下列四种说法：①x R ∀∈，2230x x -+>均成立；②若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“若0a b >>，则110b a>>”的逆否命题是真命题；④“1a =”是“直线0x y +=与直线0x ay -=互相垂直”的充分条件．其中正确的命题有__________．16．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为_____三、解答题（70分）17.（10分）有200名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；（3）用分层抽样的方法从这200名同学中抽取10人，求样本中成绩在[80,100)中的学生人数.18．（12分）一个盒子中装有5张编号依次为1，2，3，4，5的卡片，这5张卡片除号码外完全相同，现进行有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一张卡片． （1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果； （2）求事件“取出卡片的号码之和不小于7”的概率．19．（12分）已知命题:p “任意()21,2102x R x m x ∈+-+>”，命题q ：“曲线2216:12x y C m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题s ：“关于m 的不等式()()10m t m t ---<成立”（1）若q p 且为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若q 是s 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.20. （12分）中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝132，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，椭圆与双曲线的离心率之比为3∶7. （1）求这两曲线的方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，cos∠F 1PF 2值.21．（12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>()22，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1k 斜率为直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，已知OAB ∆的面积为34，求直线的斜率k .22.（12分）设函数()x a ax x f ln 2--=，()x eex x g -=1，其中R a ∈，...718.2=e 为自然对数的底数。
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南昌二中2019—2021学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3B ．1-C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩10.下列命题为真命题的个数是（ ）①e 1ln <ππ② 33ln ln >ππ ③33>e e A ．0 B ．1C ．2D ．311.双曲线:C 2214x y -=的左,右顶点分别是12,A A ，P 是C 上任意一点，直线12,PA PA 分别与直线:1l x =交于,M N ，则MN 的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．2D ．312．若函数1)(2-=x x f 与函数1ln )(-=x a x g 的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．),0(e B ．],0(eC ．)2,0(eD ．]2,0(e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'等于____________. 14.=+-⎰-dx x x 112)1(__________.15．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ―4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____．16.已知函数2ln )(--=x e x f x.下列说法正确的是___________. ①)(x f 有且仅有一个极值点； ②)(x f 有零点；③若)(x f 极小值点为0x ，则21)(00<<x f ； ④若)(x f 极小值点为0x ，则1)(210<<x f .三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题:q 方程14222=-++ay a x 表示焦点在y 轴上的椭圆．（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 为⎩⎨⎧== sin cos 2ϕϕy x （ϕ为参数）.在以O 为原点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线(0)4πθρ=≥与2C 除极点外的一个交点为M ，设直线l 经过点M ，且倾斜角为6π，直线l 与曲线1C 的两个交点为B A ,.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）求MB MA ⋅的值．19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(1)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(2)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分） 设函数x ax x x f +-=221ln )(． （1）当2=a 时，()f x k ≤恒成立，求实数k 的取值范围； （2）方程()2(1)2am mf x x =-有唯一实数解，求正数m 的值．21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA 与PB 的斜率之积为－12．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过定点．22.（本小题满分12分）已知函数1()ln a f x x x+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．高二数学（理）期末考试参考答案1．复数i z -=3的虚部为（ ）A ．3B ．1-C ．iD ．i - 【答案】B2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除 D ．a 能被5整除【答案】A3．函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 【答案】B试题分析：()cos sin x xf x e x e x -'=，令()1f x '=，则倾斜角为4π. 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤【答案】C5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ D ） A ．],43[ππ B ．]43,4[ππ C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．9【答案】A【解析】21232()40,0,4,(0)0,(4),(6)03f x x x x x f f f '=-===∴===. 8．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B依题意，322221121317|,ln |ln 2,|33x x S S x S e e e ⎛⎫======- ⎪⎝⎭，故213S S S <<，所以选B.9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩【答案】A10.下列命题为真命题的个数是（ C ）①e 1ln <ππ② 33ln ln >ππ ③33>e e A ．0 B ．1C ．2D ．311.双曲线:C 2214x y -=的左,右顶点分别是12,A A ，P 是C 上任意一点，直线12,PA PA 分别与直线:1l x =交于,M N ，则MN 的最小值是（ B ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．312．若函数1)(2-=x x f 与函数1ln )(-=x a x g 的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．),0(e B ．],0(eC ．)2,0(eD ．]2,0(e【答案】D13．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'等于____________.1 详解：函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()2(2)3f x cos x π∴=-， 将3x π=代入，得2'()2()213333f cos cos ππππ=-== 14.=+-⎰-dx x x 112)1(__________.2π 15．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____． 【答案】3画出图像,设焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义有1PF x =+,故1x PF =-.又PQ QC CP +≥当且仅当,,C Q P 共线且Q 为CP 与圆C 的交点时PQ 取最小值为1PC QC PC -=- .故PQ x +的最小值为112PC PF PC PF -+-=+-.又当P 为线段CF 与抛物线的交点时PC PF +取最小值,此时2222[1(2)](04)23PQ x PC PF CF +=+-=-=--+--=16.已知函数2ln )(--=x e x f x.下列说法正确的是___________. ①)(x f 有且仅有一个极值点； ②)(x f 有零点；③若)(x f 极小值点为0x ，则21)(00<<x f ④若)(x f 极小值点为0x ，则1)(210<<x f ①③17．命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题:q 方程14222=-++ay a x 表示焦点在y 轴上的椭圆．（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 试题解析：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，恒成立0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；关于命题q ，024>+>-a a 解得： 21a -<<，命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；． （2）非:21q a a ≤-≥或，所以31m m ≤-≥或18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 为⎩⎨⎧== sin cos 2ϕϕy x （ϕ为参数）.在以O 为原点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线(0)4πθρ=≥与2C 除极点外的一个交点为M ，设直线l 经过点M ，且倾斜角为6π，直线l 与曲线1C 的两个交点为B A ,.（1）求1C 普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）求MB MA ⋅的值.18.试题分析：（1）1C 的普通方程是2214x y +=. 由θρcos 4=得θρρcos 42=，所以2C 的直角坐标方程是0422=-+x y x（2）联立0422=-+x y x 与y x =得)2,2(M 或)0,0(M ，M 不是极点，)2,2(M ∴.依题意，直线l 的参数方程可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212232t y t x （t 为参数），代入2214x y +=得278)1604t t ++=,设B A ,点的参数是1,2t t ，则 76421=t t ，764||21==⋅∴t t MB MA 19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(1)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(2)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112S =， 又2212212a S S S S =-=+-，∴223S =， 同理334S =，445S =； （2）猜想()*N 1n nS n n =∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设()*,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1k k S k =+， 当1n k =+时，111112k k k k k a S S S S ++++=-=+-， ∴112k k S S +=-，∴11112221k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立. 由①②知1n n S n =+对任意的正整数n 都成立. 20．(本小题满分12分) 设函数x ax x x f +-=221ln )(． （Ⅰ）当2=a 时，()f x k ≤恒成立，求k 范围；（Ⅱ）方程()2(1)2am mf x x =-有唯一实数解，求正数m 的值． 20．【解析】（Ⅰ）当2=a 时，x x x f x x x x f 211)(,ln )('2-+=-+= ． 解0)('=x f 得1=x 或21-=x （舍去）．当)1,0(∈x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减 ． 所以)(x f 的最大值为0)1(=f ．故0k ≥．（Ⅱ）方程()2(1)2am mf x x =-即0ln 2=--x m mx x 解法1：设0ln )(2=--=x m mx x x g ，解02)('=--=x m m x x g 得4821m m m x +-=(<0舍去)，4822m m m x ++= )(x g 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，最小值为)(2x g因为2)(x x mf =有唯一实数解，)(x g 有唯一零点，所以0)(2=x g 由⎩⎨⎧==0)(0)('22x g x g 得01ln 222=-+x x ，因为1ln 2)(-+=x x x h 单调递增，且0)1(=h ，所以12=x . 从而1=m解法2：分离变量2ln 1xx x m += 21. 在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA与PB 的斜率之积为－12. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过定点．解：(1)由题知：yx ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)．(4分) (2)方法1：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.(7分) y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，(10分) 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2， ∴直线MQ 过定点(2,0)．(12分)方法2：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，(7分) x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，(10分) 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1y 1＋y 2＝x 1＋k x 1－1x 2－x 1k x 1＋x 2－2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．(12分)22．已知函数1()ln a f x x x+=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．解：（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x +-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+， 所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.现证：ln 1x x ax ≥-.设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥. 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到， 即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．。