求通项公式的几种方法与总结

睿博教育学科教师讲义讲义编号： LH-rbjy0002 副校长/组长签字：签字日期：

问题转化为求数列{c n }的前2010项和的平均数．

所以12010∑=+20101

i i i )b (a ＝12010×2010×?3＋4021?

2＝2012. ? 探究点四 数列的特殊求和方法

数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{a n b n }的特征为{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．

例4 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 【解答】 (1)设{a n }公比为q ，由题意得q >0，

且⎩⎨

⎧

a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，

即⎩⎨⎧

a 1?q －2?＝3，2q 2

－5q －3＝0，

解得⎩⎨

⎧

a 1＝3，q ＝3

或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1

＝－6

5，q ＝－12(舍去)，

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N *.

(2)由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n ·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1.②

②－①得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1 ＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n ·3n ＋1，

＝－3?1－3n ?1－3＋n ·3n ＋1＝32

(1－3n )＋n ·3n ＋1

＝32＋⎝

⎛

⎭⎪⎫n －123n ＋1.

所以数列{a n b n }的前n 项和为S n ＝34＋2n －14

3n ＋1

.