初中数学动态几何问题

初中数学动态几何问题

发表时间：2011-01-14T17:29:06.670Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2011年第2期供稿作者：郭兴淑

[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线

摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。

关键词：二次函数；动点；动线；动态

作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。

一、以二次函数为背景的动态问题

1.单动点与二次函数

例l，(2009年深圳)已知：Rt△ABC的斜边长为5。斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA

(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

(2)如图2，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0，n>0，连接DP交BC于点E．

①当△BDE为等腰三角形时,接写出此时点E的坐标.

②又连结CD、CP(如图3)，△CDP是否有最大面积?若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

分析:通过三点确定了抛物线的解析式；在分析△BDE是等腰三角形时，要抓住等腰三角形的特征，分三种情况来讨论，即BD=BE DB=DE，EB=ED时；结合等腰三角形的三线合一来解题．由于是求△CDP的最大面积，所以要与二次函数的最值问题联系在一起，故要以△CDP的面积为因变量来建立二次函数．

在此题中用到三角形相似对应线段成比例求出AO,BO的长这是一种在求解线段长度问题中比较常用的方法，再用二次函数交点式方程求出二次函数的解析式，二次函数的表达式有三种要根据题意适当选择方程，此外第二个题又考察了分类思想，最终最值问题又转化为了二次函数的最值问题来求解。

2.双动点与二次函数

例2，(2009年河南)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，O)、C(8，0)、D(8，8)。抛物线过A、C两点。

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PEAB交AC于点E。

①过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEG是等腰二角形?请直接写出相应的t值。解(1)点A的坐标为(4,8)．将A(4，8)、C(8，0)

评析:由矩形的性质可知A点的坐标，进一步求得二次函数的解析式，为以下各问埋下伏笔；随着点P和点Q的运动，EF与抛物线的交点

G始终在点E的上方，故EG的长等于G的纵坐标与E的纵坐标之差且它们的横坐标相同，所以可以建立二次函数来求最值。对于等腰三角形，根据P、Q两点的运动分三种情况讨论即可。

二、单纯的几何图形变化的动点问题

1.单动点的图形变化

例:在平行四边形ABCD中∠A＝120°，E是BC上不与B点重合的点，AB＝4，AD＝3，过E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，设，△DEF的面积为，求与之间的函数关系式。

分析：要求面积只需取某条线段为底，再找一条高，它们要么是常量要么是关于自变量的代数式，因此，以EF为底DG为高，求解。

（1）设运动时间为x，用含x的代数式表示AE和ED；

（2）如Q点在BD上移动；

（3）Q运动时能否与E、D够成直角三角形，如能求出的值。

分析：（1）中求线段之间的关系常用的方法为比例线段和勾股定理，此处可用比例线段；

（2）中求三角形的面积同样只需找底与高即可（底与高，可能为常量，也可能为含的代数式）DQ为底，PC为高；

（3）这是明显的动中求静的问题，可假设能够成直角三角形，把各线段的长求出来，再用勾股定理求解，如有合题意的解，则说明

能够成直角三角形。

注意：到由于此题为双动点问题，当点Q到C停止时，由于AB＝BC，则点P到A也就停止了，因此只有一种情况，在此题中，求线段我们再次用到了比例线段求线段的长，分别表示出底和高之后，面积也就迎刃而解了。

通过以上例子,我们可以看到动态问题对学生的综合能力要求较高, 解题方法灵活多变，其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法。考查学生利用动静结合、图形变换的规律分析、解决问题的能力，有效地考查了考生观察、猜想、归纳、验证、推理等思维能力, 要求学生要会将问题各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系。同时考查了学生的数学功底和探究心理。

动态问题在初中阶段还有动面的问题主要考察平移，旋转，和轴对称，在此不做分析。

总之，解决这类问题的关键在于如何在“静中取动”或在“动中求静”在“静中求解”。（作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中）

参考文献：

[1]赵春雷.以二次函数为背景的动态几何问题[J].维普中文期刊，2010(5).