高等代数第九章检测题

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高等代数习题答案

高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。

证因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s，即证存在0≠X ，使0<'A X X 。

13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。

证因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。

高等代数第九章单元测试

高等代数第九章单元测试高等代数第九章单元测试一、选择题1. 设A 是欧氏空间V 的正交变换，A 是A 在V 的一组标准基下的矩阵，则( ) A.±=A 1 B. A 的特征值是1 C. 秩)(A =±1 D. A 的迹是12. 设A 是n 维欧氏空间V 的对称变换，s λλλ,,,21 是A 的所有不同特征值，i V λ是A 的特征子空间，则 ( )A.∑=s 1i 维n V i <)(λ B.∑=s1i 维n V i =)(λ C.∑=s 1i 维n V i >)(λ D.∑=s 1i 维n V i ≠)(λ 3. 设A 是欧氏空间V 中的一组基n εεε,,,21 的度量矩阵，向量α与β在这组基下的坐标分别为),,,(n 21x x x X =,),,,(n 21y y y Y =,则( )A.AX Y /),(=βαB./),(XAY =βαC.X Y /),(=βαD./),(XY =βα 4. 设n 21εεε,,, 与n 21ηηη,,, 是欧氏空间V 的两组基，A 与B 分别是这两组基的度量矩阵，则A 与B 的关系是 ( )A.相似B.合同C.相等D.不等价5. ),(),,(2121b b a a ==βα是实数域上线性空间2R 中任意向量，如下定义的二元函数，使2R 作成欧氏空间的是 ( )A.1221b a b a +=),(βαB.221121b a 2a b a a )()(),(+++=βαC.2211b a b a -=),(βαD.1b a b a 2211++=),(βα6.如下定义的3R 的线性变换中是正交变换的为 ( )A.A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=B. A ),,(),,(3321321x x x x x x x +=C. A ),,(),,(3221321x x x x x x x +=D.A ),,(),,(321321x x x x x x -= 1 7.若A ,B 是欧氏空间V 的对称变换，以下变换1．A+B 2. AB 3. A 2 4. AB +BA中对称变换的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.设A 是n 维欧氏空间的对称变换，则 ( )A. A 关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. B . A 关于V 的任意基的矩阵是对角矩阵.C. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对称矩阵. D. A 关于V 的任一组标准正交基的矩阵是对角矩阵二、判断题1．设V 是欧氏空间，V ∈≠α0,如果向量V ∈β满足0=),(αβ,则0=β. （）2．在n 维欧氏空间V 中，一组基1ε,2ε,…..,n ε的度量矩阵必定是正定矩阵. （）3．在R 3中，对于任意向量α=(a 1,2a ),β=(b 1,b 2),定义(βα,)=a 1b 2+a 2b 1，那么R 2对于定义的内积构成欧氏空间.（）4．在欧氏空间V 中，如果向量β与向量组1α,2α,…..,s α中的每一个正交，那么β与1α,2α,…..,s α的任意一个线性组合也正交. （）5．正交向量组是线性无关的. （）6．正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵. （）7．实对称矩阵都相似于对角形矩阵. （）8．定义R 3上线性变换σ:σ(x 1,x 2,x 3)=(x 3,x 2,x 1)，则σ是对称变换. （）三、计算题1．设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组标准正交基321,,εεε下的矩阵为------=312132220A ,（1）求A 的特征值及相应的一组线性无关的特征向量.（2）求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.（3）写出V 的一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵.2．求矩阵--θθθθco s sin 0sin co s0001在复数域上的特征值与特征向量（θ≠ k π）. 3.1α=(1, 1, 0, 1),2α=(-1, 0, 0, 1)是R 4的一组向量,V 1=L(1α,2α),求⊥1V 的一组基.四、证明题1．设R[x]3是次数小于3的多项式函数及零多项式构成的线性空间.验证:内积(f(x),g(x))=?-11)()(dx x g x f ,3][)(),(x R x g x f ∈?使得R[x]3成为一个欧氏空间.2．设欧氏空间V 中)0(,,≠γγβα线性相关且α与γ正交，β与γ正交，证明：α与β线性相关.3．两对称变换之积是对称变换的充要条件是它们的乘法可交换.4．设A 是反对称矩阵，那么A+E 可逆，且1))((-+-=A E A E U 是正交阵.。

高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章欧氏空间1.设a ij是一个n阶正定矩阵,而(x1,x2,,x n),(y1,y2,,y n),在nR中定义内积(,),1)证明在这个定义之下,nR成一欧氏空间；2)求单位向量1(1,0,,0),(0,1,,0)2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解1)易见(,)是nR上的一个二元实函数，且(1)(,)()(,)，(2)(k,)(k)k()k(,)，(3)(,)()(,)(,)，(4) (,)aij xy，iji,j由于A是正定矩阵，因此i,j a ij xyij是正定而次型，从而(,)0，且仅当0时有(。

,)02)设单位向量11,00),(0,1,,0)(,,2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵为()Bb，则ija 11 a12a1nbij (,)(0,,ij1,(i)0)a22a22a2n 1 ( j)=a ij，(i,j1,2,,n)，an1an2ann 0因此有BA。

4)由定义，知(,) a ij xy(,)a ij x i x jij (,)a ij y i y ji,j，i,ji,j，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为axyaxxayyijijijijijiji,ji,ji,j2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。

解1)由定义,得(,)21123(1)210，所以,2。

2)因为(，,)1321253118(,)11222233 18，(，,)3311223336cos,1818 36 2 2，所以,。

4 3)同理可得(,(,)17,(,)3, ,)33 cos,，7731,cos所以77。

3.d(,)通常为,的距离，证明；d。

(,)d(,)d(,)证由距离的定义及三角不等式可得d(,)()()d(,)d(,)。

(完整版)高等数学第九章课外习题

第九章习题A 组1． xyy x y x 1sin)(lim 2200+→→是（）（A ）∞；（B ）1；（C ）0；（D ）振荡地不存在 2．xzy u =，则xu∂∂＝（）（A ）12-x zy x z ；（B ）121--x zy x；（C ）y y x z x zln 2-；（D ）y y x x zln 12- 3．设(,)()(,)w f x y g x h x y =+，其中,,f g h 均为可微函数，则xw∂∂=（）（A ）x h g f +'⋅；（B ）x x h g f +⋅；（C ）x x h g f +'⋅；（D ）x x h g f g f +'⋅+⋅ 4．设(,)z f x y =，()x y y ϕ=+，其中,f ϕ是可微函数，则dzdx＝（）（A ）()yf x ϕ++'11；（B ）()y f f y x ϕ'+'+'1；（C ）()[]y f x ϕ'++'1；（D ）()[]y f f y x ϕ'+'+'15．设()22ln z x y =+，则)1,1(|dz ＝（）（A ）dx dy +；（B ）1()2dx dy +；（C ）22y x dydx ++；（D ）06．若z xy e z-=，则yz∂∂＝（）（A ）zxe-；（B ）()zex --1；（C ）1+ze x ；（D ）ze -1 7．曲线t z t y t x cos ,sin ,sin 2===在相应于4π=t 的点处一个切线向量与z 轴正方向成锐角，则此向量与y 轴正向的夹角余弦为（）（A ）21-；（B ）21；（C ）22-；（D ）228．曲面22y x z +=在点(1,2,5)处的切平面方程为（）（A ）2411x y z ++=；（B ）245x y z --+=-；（C ）2415x y z --=-；（D ）245x y z -+=-9．函数223246u x y y x z =-++在原点沿(2,3,1)OA =u u r的方向导数为（）（A ）148-；（B ）148；（C ）68-；（D ）6810．设22z xy u -=，则u 在点(2,1,1)-处的方向导数的最大值为（）（A ）62；（B ）4；（C ）22；（D ）24 11．若yxy x y x f arcsin)1(),(2-+=，则)1,2(x f = 12．函数)ln(1xy z -=的定义域为 13．设tanxy yz e x=，则z y ∂=∂ ________ 14.设()1x y z f x =+，其中()f u 可导，则z x ∂=∂15．设xy z =，而)(x y φ=是可导的正值函数，则=dxdz16．设yx ez 23+=，而t x cos =，2t y =,则dtdz=17．设()z f u =，yu xy x=+，()f u 可导，则y z ∂∂=18.设2y xu =，则du =19.已知sin(21)xyu e x y =++,则du =________20.设函数()zu xy =，则(1,2,1)du =21.设()xyey x f z ,22-=，则dz ＝22.已知(,)z z x y =是由0zx y z e +++=所确定，则z x∂∂＝23.设),(z y x x =由方程1)arctan(=+zz ye xe 确定，则=∂∂zx24.由方程xyz +=所确定的函数(),z z x y =在点()1,0,1-处的全微分()1,0,1________dz -=25．设023=+-y xz z 确定了),(y x z z =，则)1,1,0(-dz = 26.曲线2,sin ,cos3x t y t z t ===在()0,0,1处切线的方程为________27．曲线t e x t cos = t e y tsin = te z 2= 在相应于t ＝0点处的切线方程为28.曲线22x y z x ⎧=⎨=⎩上点()1,1,1-处的法平面方程是 29.曲线⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 由方程组⎩⎨⎧=-+=++46222222z y x z y x 所确定，则此曲线在点(2,1,1)处的切线方程为_______________30.曲面2222312x y z ++=在点()1,2,1处的切平面方程为31.曲面arctanyz x=在点(1,1,)4P π处的切平面方程为32.曲面2132222=++z y x ，在点(1,2,2)-处的法线方程为 33．曲面32=+-xy e z z在点()0,2,1处的切平面与平面1342=+-z y x 的相互关系为34.已知曲面224z x y =--上的点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 的坐标是________35．设(1,1,2)-是曲面(,)z f x y =上一点，若3)1,1(=-x f ，在任一点(,)x y 有),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在这一点的切平面方程是________________36.曲面222()ax by cz f x y z ++=++在点000(,,)M x y z 处的法向量是_____ 37.arctan yx u z =在点()1,0,1A 处沿点A 指向点()3,2,2B -方向的方向导数为____________38.函数xyz u =在点M (5,1,2)处沿点(5,1,2)到点()9,4,14的方向的方向导数为____________ 39.设222lnz y x u ++=，则grad u =__________40．z y x xy z y x u 42432222-+-+++=在点(1,2,3)A 处的梯度是______ 41．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（１,1-）取得极值，则常数=a42.判断点(1,0)P 是否函数y x y xy x z +-+-=222的极值点______ B 组 1．设zy xu =，则=∂∂)2,2,3(yu（）（A ）3ln 4；（B ）3ln 8；（C ）3ln 324；（D ）3ln 162 2．若曲线cos x t t =+，1y t =+，1sin z t =-在02t π≤≤上的对应P 点处的切线向量与三个坐标轴正向的夹角相等，则P 点对应的t 值为( ) （A ）0；（B ）2π；（C ）2π；（D ）π 3．曲线sin x t =，2cos y t =，sin cos x t t =在对应于π=t 那点处的切线与xoy 面的夹角是( ) （A ）2π；（B ）4π；（C ）3π；（D ）31arccos 4．函数223333y x y x z --+=的极小值点是（）（A ）(0,0)；（B ）(2,2)；（C ）(0,2)；（D ）(2,0)5.设()(),,y x g y x y x f -++=若()20,x x f =，则()y x f ,＝6.由曲线2232120x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为____________.7.设)(x y xy f z +=，其中f 可导，求yx zx z ∂∂∂∂∂2,.8.设(),f u v 二阶偏导数连续，()sin ,x z f e y x y =-，求2z x y∂∂∂.9.设2(2,)y z xf x x =，f 具有二阶连续的偏导数，求2z x y ∂∂∂.10.设22(,)z f x y xy =-，f 有二阶连续偏导，求x z∂∂，y x z ∂∂∂2．11.已知(2,)w f x y xy =+，f 有二阶连续偏导，求2w x y∂∂∂. 12.,ϕψ有连续二阶导数, ()()()1122y axy ax z y ax y ax t dt ϕϕψ+-=++-+⎡⎤⎣⎦⎰, 证明:222220z z a x y∂∂-=∂∂. 13．设)()(x y xg y x yf u +=，其中g f ,二阶连续可导，求yuy x u x 2222∂∂+∂∂.14．设),(v u f 可微，0),32(=-+xyz z y x f 确定了),(y x z z =，求y zx z ∂∂∂∂,. 15．设方程0),,(=+xz z y xy F 确定),(y x z z =，其中F 可微，求yz x z ∂∂∂∂,. 16．设0),(=--z y z x ϕ确定),(y x z z =，其中),(v u ϕ可微，求yzx z ∂∂+∂∂. 17． .,,2yx z x z z xy e z∂∂∂∂∂-=求若 18．设由()ln 2xyz yz -=-确定(),z f x y =，求()01y z '，，()0,1yx z ''. 19.设(),z z x y =是由222()yx y z xf x++=确定的隐函数，f 可微，求z x∂∂．20．设函数),(y x z z =是由0)sin(2=+-z x eyx 所确定，求dz .21．设()y x f z ,=是由方程yx z xex y z -++-=所确定，求dz .22．设函数),(y x z z =由)(z y x f z ++=所确定，f 可导，1≠'f 求dz . 23．),(y x z z =由),(zy z x g z =确定，),(v u g 具有连续偏导数，求dz .24.设3,xu e yz =其中(),z z x y =是由方程230zx y e xyz +-+=所确定的隐函数，求()1,1,0x u .25.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x cos sin 2 )20(π≤≤t 平行于平面1y z +=的切线方程.26.求曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点()01,2,1M -处的切线与法平面方程.27．在第一卦限内求曲面z xy =上一点，使过该点的切平面垂直于平面230x y z ++=，且与三个坐标面所围立体的体积为61.28.平面λ=-+z By Ax 是曲面2232y x z +=在点115(,,)224处的切平面，求λ.29.设平面123=-+z y x λ与曲面1222=-++xz z y x在点(0,22处的切平面垂直，求λ. 30．设方程2222=+++z y x xyz 确定了),(y x z z =，求曲面),(y x z z =在点()1,0,1-处的法线方程.31.过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程．32．证明：曲面1=xyz 上任一点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体体积为常数. 33．证明：锥面322++=y x z 的所有切平面都通过锥面的顶点.34.证明:曲面,0y b x a f z c z c -⎛⎫-= ⎪--⎝⎭的切平面总通过一定点(其中(),f u v 可微分,,,a b c 均为常数).35.设),,(000z y x M 是曲面)(xyxf z =上任一点，试证明在这点处曲面的法线垂直于向径OM ，其中(),f u v 是可导函数.36．设曲面方程为0)((≠++=a cz by f ax z 、c 、b 都是常数），)(u f 可微.证明该曲面的任一切平面都与一常向量(,,)b c b a=-A 平行.37．设曲面方程为0),(=--by z ax z F ，（b a ,为正常数）。

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

高等代数第9章习题参考答案

第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ijy x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

高等代数例题(全部)

高等代数例题第一章多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。

3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。

5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。

8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。

求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。

10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。

我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。

证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。

11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为。

高等代数欧几里得空间知识点总结

第九章欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。

除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。

二、考点精讲：三、首师大真题：（一）欧氏空间1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质：（1）(,)(,)αββα=；（2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。

2.α的长度，记为α。

3.非零向量,αβ的夹角,β规定为(,),arccos ,0,ααββπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。

5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。

（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。

6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量α1,α2,α3为例.①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R 上欧氏空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有一个1-1上的映射σ，适合（1）()()()σαβσασβ+=+（2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。

高等代数(北大版第三版)习题答案

高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

第九章欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。

( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。

( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。

( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变（）6、度量矩阵是正定的（）7、正交矩阵的行列式等于1 （）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。

10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。

( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。

( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为。

5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为。

高等数学第九章练习题答案

第九章练习题一、填空第一节1、 22222)1ln(),(y x y x y x f --+-+=的定义域是2122≤+<y x ．2、 2222911),(y x y x y x f --+-+=的定义域是9122≤+<y x ．3、 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→＝ 0 ． 4、=+-→→xyxy y x 93lim0 16- ．5、、函数y x z -=的定义域是 (){}y x y x y x ≥≥≥2,0,0/,6、函数()12ln 2+-=x y z 的定义域是 0122>+-x y7、()()=+-→11lim0,0,xy xy y x 2-. 19. ()()=-+→xyxy y x 24lim0,0,41. 8、求极限()()()yxy y x tan lim0,2,→= 29、 2210ln()lim y x y x e x y →→++= ln 2 . 第二节1、设z =zx ∂∂2、设z arctan(xy )=，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ ．22,1()1()y x xy xy ++ 3、设223z x xy y =++，则(1,2)zx ∂∂= 8 ，(1,2)z y ∂∂= 7 .4、设y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dtdz()22sin 6cos 3t t e t t -- 5、设y x z =，而te x =，12-=t e y ，则=dt dz ()2231-+-t t t e e e6、设(1)y z xy =+，则zx∂∂= 21(1)y y xy -+ 7、设(1)xy z x =+，则zy∂∂=(1)ln(1)xy x x x ++ 8、设y x z y3⋅=，求=∂∂∂y x z 2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y 13ln 3 。

9、函数222234x y z x ++=，则z x ∂=∂ 23z x x z∂-=∂，z y ∂=∂ 。

高数下第九章例题及答案

复习三重积分1．了解二重的几何意义, 会交换二次积分的次序.例1．设D 为闭圆域x 2+y 2≤R 2, 则Dσ⎰⎰= .解: 此积分表示以半径为R 的半球体的体积, 即33142233R R ππ⋅=.例2．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得( ).(A )⎰⎰100),(2dx y x f dy x ; (B )⎰⎰110),(y dx y x f dy ;(C )⎰⎰ydx y x f dy 010),(; (D )⎰⎰112),(x dx y x f dy .解: 积分区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x 2}, 积分区域又可表示为 }1 ,10|) ,{(≤≤≤≤=x y y y x D , 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(2yx dxy x f dy dy y x f dx .2．会利用直角坐标和极坐标计算二重积分, 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分.例1．计算σd e x Dy ⎰⎰-22, 其中D 由x =0, y =1, y =x 围成.解: 因为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰--=1102222xy Dy dye dx x d e x σ, 计算无法进行.因为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰----===1022103021222226131dy e y dy e y dx x dy ed exy y yy Dy σ)21(61|616161|6161101021021022222ee e dy e e y de y y y y y -=--=+-=-=----⎰⎰. 例2．计算⎰⎰=Ddxdy yyI sin , 其中D 由曲线x y =、直线y =x 围成.解: 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, y 2≤x ≤y }, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2ydyy dx y y dy dxdy y yI y y D=1-sin1.例3．将⎰⎰-12),(x x dyy x f dx 化成极坐标形式的二次积分 .解: 积分区域为}0 ,10|) ,{(2x x y x y x D -≤≤≤≤=, 在极坐标下}cos 0 ,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D , 所以⎰⎰⎰⎰=-θπθθθc o s20100)s i n ,c o s (),(2r d r r r f d dy y x f dx x x .例4．计算二重积分⎰⎰--Dy xdxdye 22,其中D 为x 2+y 2=1所围成的闭区域.解:⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----===1210120222222dr e rdr erdr ed dxdy er r r Dy x ππθπee r πππ-=-=-10|2. 例5．计算三重积分⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz , 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0,x +y +z =1所围成的四面体. 解: 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x d x d y d z⎰⎰⎰---+++=yx xdz z y x dy dx 103101)1(1⎰⎰--++=xdy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=1]8183)1(21[)852(l n 21-=.例6．计算三重积分dv y x ⎰⎰⎰Ω+)(22其中Ω为x 2+y 2=2z 及z =2所围成的闭区域.解: 在柱面坐标下积分区域可表示为 Ω: 0≤θ≤2π, 0≤r ≤2, 2212≤≤z r ,于是316)212(2)(22322122020222ππθπ=-=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdr r r rdz r dr d dv y x r.例7．计算三重积分dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解: 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是 dv z y x )(222++⎰⎰⎰Ωθϕϕd d r dr s i n 4⋅=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=1420s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.3．会计算立体的体积, 会计算曲面的面积, 会计算质心或形心.例1．求由抛物柱面z =2-x 2及椭圆抛物面z =x 2+2y 2所围成的立体的体积. 解: ππθπ=-=-=+--=⎰⎰⎰⎰104210220222]21[2)22()]2()2[(r r rdr r d dxdy y x x V D. 例2．求锥面22y x z +=被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面面积. 解: 曲面22y x z +=与z 2=2x 的交线在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧==+0222z xy x .所求曲面在xOy 在上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤2x }. π22122=='+'+=⎰⎰⎰⎰DDy x dxdy dxdy z z A .例3．求由曲线ay =x 2, x +y =2a (a >0)所围成闭区域的形心. 解: 闭区域可表示为}21 ,2|),{(2x a y x aa x a y x D -≤≤≤≤-=.因为 3222121227)12(2a dx x a x a x dy xdxxdxdy aaxa xa aa D-=--==⎰⎰⎰⎰⎰---,324222212536)144(212a dx x a x ax a ydy dx ydxdy a a xa x a aa D =-+-==⎰⎰⎰⎰⎰---,22221229)12(2a dx x a x a dy dx dxdy aax a x aaaD=--==⎰⎰⎰⎰⎰---.所以a a a d x d yx d x d y x DD2129122723-=-==⎰⎰⎰⎰, aa adxdy ydxdyy DD282953623===⎰⎰⎰⎰.练习三1. 设区域D 为x 2+y 2≤a 2, 且π=--⎰⎰dxdy y x a D222, a =________.2. 设D 由y 2=x 及y =x -2所围成, 则⎰⎰=Dxyd I σ=( ).(A)⎰⎰+=422y y xydy dx I ; (B)⎰⎰-+=2122y y xydx dy I ;(C)⎰⎰⎰⎰--+=4121x x xxxydydx xydy dx I ; (D)⎰⎰-+=2122y y xydy dx I .3. 交换下列二次积分的顺序, 并画出积分区域草图. (1)⎰⎰--22),(0x a xa adyy x f dx ; (2)⎰⎰xe dy y xf dx ln 01),(; (3)⎰⎰---x x dy y x f dx 214262),(.4. 设D : |x |≤1, 0≤y ≤1, 则⎰⎰+Dyd y x σ)(3=________.5. 曲面x 2+y 2+z 2=R 2(z >0)和2R z =所围成的立体的体积可表为二重积分________.6. 计算二次积分⎰⎰+=131021x dy yxy dx I .7. 利用极坐标计算积分⎰⎰⎰⎰-+++=10212022222x x dy y x dx dy y x dx I .8. 计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(, 其中D : x 2+y 2≤2x .9. 计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ)cos(, D 是以点(0, 0),(0, π), (π, π) 为顶点的三角形区域.10. 计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2, 其中D 为直线y =x 和抛物线y =x 2所围成的平面区域.11. 计算二重积分σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )|a 2≤x 2+y 2≤b 2}.12. 计算二重积分⎰⎰+'Ddxdy y x f )(22, 其中D 为圆域: x 2+y 2≤R 2 .13. 求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周的曲面与平面z =4所围立体.14.计算⎰⎰⎰Ω+dVzx)(,其中Ω是由曲面22yxz+=与221yxz--=围成.15.求旋转椭球面2221449x y z++=所围成的旋转体的体积.16.求半圆域x2+y2≤a2,x≥0的形心.17.求圆锥面2z=+x2+y2=2x内部的曲面面积.。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章欧式空间【圣才出品】

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1．欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，记作（α，β），若（α，β）满足（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（k α，β）＝k （α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0．这里α，β，r 是V 中任意的向量，k 是任意实数，则称（α，β）为α和β的内积，并称线性空间V 为欧几里得空间．2．内积的简单性质V 为欧氏空间，∀α，β，γ，∀k ∈R ，则（1）(,)(,)k k =αβαβ；（2）(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ；（3）(0,)=0β．2．欧氏空间中向量的长度（1）向量长度的定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零；②|kα|＝|k||α|；③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，称此过程为把α单位化．3．欧氏空间中向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角<α，β>定义为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，则称α，β为正交或互相垂直，记为α⊥β．注：零向量才与自己正交．（4）勾股定理：当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n）有a ij＝a ji，则（α，β）还可写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC，则不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，称为正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．注：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，存在一组标准正交基η1，η2，…，η，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程．3．标准正交基间的基变换设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基一定也是标准正交基．三、同构。

高等数学课后习题答案--第九章

∞
∞ x 1 时，级数 ∑ pn 也收敛；又问当 0＜p≤ 2 n =1 n
1 时，结论是否仍然成立? 2
1
∞ x 1 1 x2 1 ⎛ 1 ⎞ 【解】利用 np ≤ ⎜ xn + 2 p ⎟ , 则当 P > 时级数 ∑ pn 收敛; 但 0 < p < 时, n n ⎠ 2 2 2⎝ n =1 n
《高等数学》参考资料第三篇多元函数微积分第九章级数 §1 数项级数习题 1.讨论下列级数的收敛性。若收敛，试求出级数之和。 ∞ ∞ 1 ( n + 1 − n ) ; ⑴ ∑ ⑵ ∑n ; n n =1 n =1 ∞ ∞ 2n − 1 ⑶ ∑ n ; ⑷ ∑( n + 2 − 2 n +1 + n) ; 3 n =1 n =1 ∞ ∞ 1 2n ; ⑸ ∑ ⑹ ∑ n =1 (5n − 4)(5n + 1) n =1 3n + 1 ∞ ∞ 1 1 ; ⑻ ∑ arctan 2 ; ⑺ ∑ 2n n =1 n( n + 1)( n + 2) n =1 【解】. (1) 发散; 1 (5) ; (6) 5 (3) 1 ; (4) 1 发散; (7) ; 4 π 1 1 1 , 提示: 利用 arctan 2 = arctan . − arctan 4 2n 2n − 1 2n + 1 (2) 发散;
1 1 , 因此 1 − x > . 2 2
2 n −1 ( k +1)π
x <2 x, 1− x
因此级数收敛. (2)
∑ ∫π
n =1
2 nπ
sin 2 x dx 的收敛性. x2
3 3
∫π

高等代数答案第九章

−1 −1
(3) 10.
f (α, α) = 0. α = (1, 1, 1, 1), 4 V = K , α = (x1 , x2 , x3 , x4 ), β = (y1 , y2 , y3 , y4 ), f (α, β ) = 3x1 y2 − 5x2 y1 + x3 y4 − 4x4 y3 .
11. :
f
n
V f (α, β ) = 0,
, α ∈ V,
: f
β = 0. : (⇒) W1 = {α ∈ V | f (α, β ) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f (β, α) = 0, ∀β ∈ V }. , 1.3 W1 W1 = 0, α = 0. f (α, β ) = 0∀α ∈ V α = 0, (⇐) f (α, β ) = 0 ∀α ∈ V W1 = 0, 1.3 W1 f . V 12. A ∈ Mm (K ), V = Mm,n (K ). f (X, Y ) = Tr(X T AY ), X, Y ∈ V. ; f 6 W2 = 0, f : W2 = 0.
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高等代数与解析几何陈志杰主编第二版课后答案
§1
· 61 ·
(α1 , α2 , α3 ) = (η1 , η2 , η3 )A, 1 1 −1 A = −2 0 1 . 1 1 1
(η1 , η2 , η3 ) = (α1 , α2 , α3 )A−1 ,
x1 f (x1 η1 + x2 η2 + x3 η3 ) = (f (η1 ), f (η2 ), f (η3 )) x2 x3 x1 −1 = (f (α1 ), f (α2 ), f (α3 ))A x2 x3 −1 −2 1 x1 1 1 3 = (2, 2, −1) · 3 2 1 x2 = x1 + x3 . 4 2 2 −2 0 2 x3 3. V η1 , η2 , η3 . g,

[高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

第九章欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。

（ ) 2、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。

（）3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。

（）4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基（ )5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 ( ）6、度量矩阵是正定的（）7、正交矩阵的行列式等于1 （）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（ )9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。

10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α。

( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( ）12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( ）13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵。

（）14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=.（ )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.（）二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα,其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为。

5、已知A 为n 阶正交阵,且｜A ｜〈0，则｜A ｜= 。

高等代数第九章检测题

高等代数第九章检测题一、选择题1．要使2R 作为一个欧氏空间，可以对向量),(21a a =α ),(21b b =β规定内积为：（A ）1221),(b a b a +=βα （B ）2211),(b a b a -=βα （C ）221153),(b a b a +=βα （D ）))((),(2121b b a a ++=βα2．关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（）（A ）欧氏空间是特殊的线性空间；（B ）如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间；（C ）如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间；（D ）线性空间比欧氏空间范围大。

3．下面变换属于正交变换的有（）（A ）在V 2中，把向量旋转一个角Φ的线性变换；（B ）R 3中，/A ),,(),,(321321x x x x x x =（C ）位似变换；（D ）对称变换.4．设，/A ， /B ，是欧氏空间V 的两个正交变换，则（A ）./A +/B 也是正交变换；（B ）./A B 也是正交变换；（C ）.k k k ,⊂∀/A 也是正交变换；（D ）./A -1不是正交变换.5．设/A 是欧氏空间的线性变换，则/A 是正交变换的必要而非充分的条件为（）（A ）V ∈∀βα,（/A ,α/A β）=（βα,）（B ）V ∈∀α, αα=/A（C ）V ∈∀βα, /A α，/A β夹角与βα,夹角相等；（D ）/A 在V 中任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

二、判断题1．设n ααα ,,21是欧氏空间V 的一组基，如果V ∈β，且满足,2,1,0),(n i i ==αβ则0=β. （）2．设321,,εεε是三维欧氏空间V 的一组基，332211332211,εεεβεεεαb b b a a a ++=++=则332211),(b a b a b a ++=βα. （）3．设V 1，V 2是欧氏空间V 的两个子空间，如果{}021=⋂V V 则21V V ⊥. （）4．设S ααα 21,是欧氏空间中两两正交的S 个向量，则S ααα 21,必线性无关。

第五-九章高等代数春季复习题

第五章二次型自测题一、填空题1.二次型4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的矩阵为 .2.n 元正定二次型的正惯性指数为 .二、选择题1.下列说法错误的是（）.A.若两个矩阵合同，则它们必等价B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形D.n 元正定二次型的矩阵与n 阶单位矩阵合同2.设A 、B 为n 阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（）.A.若A 正定，则A -1也正定B.若A 、B 正定，则A +B 也正定C.若0>A ，则A 正定D.若A 的主子式都大于0，则A 正定_______.二. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形：22212312232344x x x x x x x ++--；三、t 取什么值时, 下列二次型是正定的:2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+;第六章自测题一．填空题1.当_____λ时，),1,1(),2,3,1(),1,2,1(221λααα===线性相关.2.若向量组321,,ααα线性相关，则向量组1332212,2,2αααααα+++线性_______.3.L(),,(),,,2121n n L βββαααΛΛ=的充要条件.________4.数域P 上的n 维线性空间V 的三组基分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅰ到Ⅲ的过度矩阵为A ，Ⅱ到Ⅲ的过渡矩阵为B ，则Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为___________.5.1W 与2W 都是线性空间V 的子空间,则dim (1W +2W )=____________.二.选择题1.设}0,)0,,0{(2},0,)0,,0{(1≠∈+=≠∈=x R x y x V x R x x V ,则( )是3R的子空间.A.1VB. 2VC. 1V ⋂2VD. 1V +2V2.向量组线性相关的充要条件是( ).A.向量组中存在零向量B.任何非空部份组都线性相关C.向量组中每一个向量都是该向量的线性组合.D.向量组中至少一一个向量是其余向量的线性组合3.五元齐次线性方程组0543254321=++++x x x x x 的解空间的维数是( ).A.5B.1C.3D.44.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d b b a 在基,00011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,01002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,00103⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε,20004⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ε下的坐标是( ). A.2(a,b,c,d) B.(a,b,c,d) C.21(a,b,c,d) D.(a.b,c,21d) 5.设n ααα,,,21Λ与n βββ,,,21Λ都是数域P 上的线性空间V 的基，且（n βββ,,,21Λ）=（n ααα,,,21Λ）A ，其中A=n n j i a ⨯)(，而j β关于基n ααα,,,21Λ的坐标是（）。

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