高等代数第九章检测题

高等代数第九章检测题

一、选择题

1． 要使2R 作为一个欧氏空间，可以对向量),(21a a =α ),(21b b =β规定内积为：

（A ）1221),(b a b a +=βα （B ）2

211),(b a b a -=βα （C ）221153),(b a b a +=βα （D ）))((),(2121b b a a ++=βα

2．关于欧氏空间与线性空间的关系，下列说法错误的是（ ）

（A ） 欧氏空间是特殊的线性空间；

（B ） 如果一个空间是线性空间则它一定是欧氏空间；

（C ） 如果一个空间是欧氏空间则它一定是线性空间；

（D ） 线性空间比欧氏空间范围大。

3．下面变换属于正交变换的有（ ）

（A ）在V 2中，把向量旋转一个角Φ的线性变换；

（B ）R 3中，/A ),,(),,(321321x x x x x x =

（C ）位似变换；

（D ）对称变换.

4．设，/A ， /B ，是欧氏空间V 的两个正交变换，则

（A ）./A +/B 也是正交变换； （B ）./A B 也是正交变换；

（C ）.k k k ,⊂∀/A 也是正交变换； （D ）./A -1不是正交变换.

5．设/A 是欧氏空间的线性变换，则/A 是正交变换的必要而非充分的条件为（ ）

（A ）V ∈∀βα,（/A ,α/A β）=（βα,） （B ）V ∈∀α, αα=

/A

（C ）V ∈∀βα, /A α，/A β夹角与βα,夹角相等；

（D ）/A 在V 中任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 二、判断题

1．设n ααα ,,21是欧氏空间V 的一组基，如果V ∈β，且满足,2,1,0),(n i i ==αβ则0=β. （ ）

2．设321,,εεε是三维欧氏空间V 的一组基，332211332211,εεεβεεεαb b b a a a ++=++=则332211),(b a b a b a ++=βα. （ ）

3．设V 1，V 2是欧氏空间V 的两个子空间，如果{}021=⋂V V 则21V V ⊥. （ ）

4．设S ααα 21,是欧氏空间中两两正交的S 个向量，则S ααα 21,必线性无关。 （ ）

5．在n 维欧氏空间中，一组基的度量矩阵必是正定矩阵。（ ）

三、填空题

1．按内积通常定义的R 4中，向量α=（1，2，2，3）与β=（3，1，5，1）的夹角为 .

2．设V 1，V 2是欧氏空间V 的两个子空间，若V 2是V 1的正交补，则V = .

3．设A 是欧氏空间V 中的一组基 n εεε 21,的度量矩阵，向量α与β在这两组基下的坐标分别为),,(),,,(2121n n y y y Y x x x X ==则（βα,）= .

4.实二次型32222121321442),,(x x x x x x x x x f -+-=可经正交线性替换化为 .

5．设α，β是欧氏空间中两个线性无关的向量，则),(βα .

四、计算题

1．在欧氏空间5

R 中，已知三个向量1α=（1，-2，1，-1，1），2α=（2，1，-1，2，-3），

3α=（3，-2，-1，1，-2）

，求两个相互正交的向量21,γγ使它们都与321,,ααα正交。 2．求一个正交的线性替换，把二次型312322213212),,(x x x x x x x x f -++=化成标准型。 3．设321,,εεε是三维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=401021111A （1）求内积);,(),,(32121εεεεε+

（2）求21εε+

（3）求V 的一组标准正交基。

五、证明题

1．设n εεε ,,21是n 维欧氏空间的一个基，求证：n εεε ,,21是标准正交基的充要条件是：任意向量的坐标可由内积给出 n n εεαεεαεεαα),(),(),(2211+++=

2．若λ是正交矩阵A 的一个特征值，则λ1也是A 的特征值。

3．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且主对角线上的元素的1或者-1。