双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十)

[学业水平层次]

一、选择题

1．方程x 22＋m －y 2

2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( )

A ．－2＜m ＜2

B ．m ＞0

C ．m ≥0

D ．|m |≥2

【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A

2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )

A.x 29－y 2

16＝1 B.y 29－x 2

16＝1 C.x 29－y 2

16＝1(x ≤－3)

D.x 29－y 2

16＝1(x ≥3)

【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，

∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2

16＝1(x ≥3)． 【答案】 D

3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )

A.x 22－y 2

3＝1 B.x 23－y 2

2＝1

C.x 24－y 2

＝1 D ．x 2－y

24＝1

【解析】

由⎩⎨

⎧

|PF 1|·

|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2

5)2

，

⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，

即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C

4．已知椭圆方程x 24＋y 2

3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )

A.2

B. 3 C ．2

D ．3

【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2

1＝2.

【答案】 C 二、填空题

5．设点P 是双曲线x 29－y 2

16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.

【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.

(1)若点P 在双曲线的左支上，

则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或4

6．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)

①2；②－1；③4；④－3.

【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，则

c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52

2，∴①②满足条件．

【答案】 ①②

7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．

【解析】 由方程x 216－y 2

9＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.

在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |

sin P

＝

||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.

【答案】 4

5 三、解答题

8．求与双曲线x 24－y 2

2＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．

【解】 ∵双曲线x 24－y 2

2＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝

c 2＝4＋2＝6.

①

又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1上， ∴4a 2－1

b 2＝1.

②

由①、②联立，得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 2

3＝1.

9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．

【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；

(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2

－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；

(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 2

4＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；

(5)当k ＞1时，方程为x 24k

＋y 2

4＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．

[能力提升层次]

1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2

2＝1有相同的焦点，则a 的值为

( )

A ．1 B. 2 C ．2 D ．3

【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A

2．(2014·桂林高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，