第四讲 椅子放稳模型
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θ
B,D 两脚与地面的距离之和为()g θ
由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：
已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
椅子能在不平的地面放稳的数学模型
椅子能在不平的地面放稳的数学模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗
长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？【问题提出】日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释．【模型假设】为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的．【建立模型】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
桌子四脚落地的方案
桌子四脚落地的方案摘要本文对的椅子在不平地面上能否放稳的问题进行细致的分析，应用了数学分析中的零点定理，将相对两点到地面的距离之和看做一个函数，以坐标原点为旋转中心，证明了椅子在不平地面可以放稳。
主要结果是在不平地面上椅子通过旋转一定的角度可以将椅子放稳。
我们通过将四个函数合并为两个函数减少了计算量，从而节省时间，使问题得到简化。
用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。
关键词：零点定理几何画板坐标系一、问题重述在日常生活中通常会遇到这样的情况：在不平的地面上放椅子，通常只有三只脚着地，放不稳，但是挪动几次就可以使四只脚都同时着地，椅子就放稳了。
这个现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？二、模型假设1.把不平的地面看作数学中的曲面，并且地面是连续的（没有出现阶梯形的曲面），地面没有深沟形或明显凸出的部分。
2.假设椅子的四只脚长度一样，把椅子与地面接触的四点顺次连接，构成的图形看作长方形。
3.地面相对平坦，椅子放在地面至少三只脚同时落地。
二、符号说明与模型建立把椅子的四只脚与地面的接触点分别看作A、B、C、D，将A、B、C、D构成的长方形放在坐标系中，使对角线AC落在X轴上；绕坐标原点旋转α，旋转后的图形为A`B`C`D`使B`D`与CA重合，旋转角度为θ。
设f(θ)为A到地面的距离与C到地面的距离之和，g(θ)为B 到地面的距离与D到地面的距离之和。
由假设1，f和g都是连续函数。
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f(θ)和g(θ)中至少有一个为零。
当θ=0时不妨设g(θ)=0，f(θ)>0。
这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：已知f(θ)和g(θ)是θ的连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0,f(0)>0.证明存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.三、模型求解将椅子旋转α，对角线AC与BD互换。
2.2椅子放稳
π
π
π
π
π
由介值定理，有
θ 0 ∈ (0, ) ，使 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) 2
π
（1）
又对 θ , f (θ ) g (θ ) = 0, 且 f (θ ) 、 g (θ ) 至少一个为 0。 故 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0 ，即经转动 θ 0 角度后椅子放稳了。 问题 1、对四只脚为长方形的椅子，结论是否成立？ 2、某人早 8 时从山下上山，于晚 5：00 到达山顶，次日上 午 8 时又从山顶下山，于晚 5：00 又回到山下，是否可认为他 在两天的同一时刻位于山上同一地点。
椅子放稳
一张正方形椅子，它的四任何位置都至少有三只脚同时着地。是否可以经过 稍挪动几下，就能四只脚同时着地？ 假设以椅子中心为原点 o ，椅子的挪动绕 o 旋转，则对角线 AC 与 x 轴夹角 θ 表示了椅子的位置。记： B B＇ A＇ f (θ ) ——A、C 两脚与地面距离之和， f (θ ) ≥ 0 。 θ C A g (θ ) ——B、D 两脚与地面距离之和， g (θ ) ≥ 0 。 C＇ 由于 θ 的连续变化， f (θ ) 、 g (θ ) 均为 θ 的连续 D＇ D h (θ ) = f (θ ) g (θ ) 。 函数，记 考虑 θ 从 0 → π 2 ， 对角线 AC 与 BD 互换， 不妨假设 f (0) = 0 ， g (0) > 0 ， 则 且
椅子放稳问题另解
ｏ ｈ ｈ ｉ ａ ｄｔ ｅ ｆ ｏ ｄ ｅｗｈ ｔ ｅ ｈ ｇ ｆ ｈ ｈ ｉ ｔ ｕ ｈ ｄｔ ｅｆ ｏ ．Ｉ ｉ ｐ ｐ ｒ ａ ｏ ｈ ｒｗ ｙｉ ｕ ｅ ｏｐ ｏ ｅｔ ａ ｈ ｈ ｉ ｆ ｅｃ ａｒ ｎ ｈ ｌ ｒｔ ｊ ｇ ｅ ｈ ｒ ｅｌ ｓｏ ｅｃ ａ ｃ ｅ ｈ ｌ ｒ ｎ ｔ ｓ ａ ｅ ， ｎ ｔ ｅ ａ ｓ ｓ ｄｔ ｒｖ ｈ ｔ ｅｃ ａｒ ｔ ｏ ｏｕ ｔ ｅ ｔ ｒｏ ｏ ｈ ｔ ｓａ ｄ ｔａ ｉ ｙ ｍｏ ｉｇ ａ ｉ ｌ ，ｗ ｉｈｉ ｔ ｓ ｅ ｎ ｌ ｅｗｅ ｎｔ ｅｌ ｓ ｆ ｈ ｈ ｉ ａ ｄｔ ｅ ｐ ｒｉｅ ｔ ｉ ｏ ａ ｔ ｄ ｅｗｈ ｔ ｅ ｈ ｇ ｔ ｎ ｓｓｅ ｄｌ ｂ ｖ ｔ ｅ ｈ ｃ ｏｕ ｅ ｈ ｇｅｂ ｔ ｅ ｈ ｇ ｅ ａｒ ｎ ｈ ｅ ｔ ｎ ａ ｎ ｌ ｏｊ ｇ ｅ ｈ ｒｔ ｅｌ ｓ ｙ ｎ ｌｔ ｓ ｔ ａ ｅ ｏｔ ｃ ｎ ｄｇ ｕ ｅ
ＣＨＥ Ｘｕ ．ｉ Ｎ ｅ １
（ ｅＭ ａｔ ｔｆ Ｒｏ ｍ ，Ｚｈ Ｊａ ｇ ｅ ｈ ｉａ Ｈｅ ，Ｐｏ ｔａ ｌｃ ｍ ｍｕ ｉａｉｎ Ｔｈ ｈＳａ ｏ ｅ ｉｎ Ｔ ｃ ｎ ｃｌＣｏ ｇｅＤ ｓ ｎｄ Ｔｅｅ ｏ ｎｃ ｔｏ ｓ。Ｓ ａ ｘ ｎ ３ ２ １ Ｃｈｎａ ｈ ｏ ｉｇ １ ０ ６， ｉ ）
ｏ ｈ ｈ ｉ ｏ ｃ ｈ ｌ ｏ ． ｆｔ ｅ ｃ ａ ｒ ｔ ｕ ｈ ｔ ｅ ｆｏ ｒ Ｋｅ ｒ ｓ ｈ ｉ ；ｔ ｕ ｈ ｔ ｅ ｆｏ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ａｒ ｏ ｃ ｈ ｌ ｏ ；ｍｏ ｅ ；ｐ ｒ ｌ ｌ ｇ ａ ；ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕ ｃ ｉ ｎ ｄ ｌ ａ ａｌ ｏ ｒ ｍ ｅ ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｆ ｎ ｔｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈｅ ｔ ｉ ｗｈ ｔ ｅ ｈ ｉ ｓｐ ｎ ｔ ｅ ｆ ｏ ｔ ａ ｉ ｆｅ ｅ ｔ ｌ ｅ ｂ ｕ ．Ｐｅ ｌ ｓ ｄ ｔ ｅ ｓ ｒ ｈ ｉｔ ｎ ｅｂ ｔ ｅ ｈ ｅ ｓ ｏｐ ｃ ｅ ｈ ｒａ ｃ ａｒ ｉ ｕｔ ｈ ｌ ｒ ｓ ｅ ｄ ｌ ｉ ｏ ｔ ｎ ｂ ａ ｋ ｄ ａ ｏ ｔ ｏ ｏ ｙｓ ｏｐ ｅ ｕ ｅ ｏ ｍ ａ ｕ ｅ ｔ ｅ ｄ ｓ ａ ｃ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｅ ｌｇ
椅子能在不平的地面上放稳吗
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题
通常我们在不太平的地面上放一把椅子时， 如果没有放稳，转一转就可以了，能通过建 模解释吗？
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
分析
这里涉及的事物有地面和椅子。首先对地面 的状况和椅子的形状应该进行合理的假设： 象台阶那样的地面是绝对不能放稳的，所以 地面不能在局部起伏过大；椅子应该是标准 的，不能少腿，一般是四条腿儿；
放置的状况通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
模型假设
此假设是为了满足 我们后面要利用连 续函数的性质建模 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 的数学上要求。 连线呈正方形; 椅子的要求
数学 问题
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的 基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面的要求
椅子放平稳问题-数学建模
椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。
因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。
由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。
则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解 （找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。
则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ； 又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。
简单数学建模应用例子
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建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
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建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
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建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
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建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
第四讲 椅子放稳模型
第四讲椅子放稳模型在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地,而使椅子不平稳。
但我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形，矩形或等腰梯形。
请你通过建立模型解释这一现象。
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。
我们通过建立模型分别解决以下问题：1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。
稳。
假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有台阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。
假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
这个距离是变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。
但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。
设A、C两脚与地面的距离之和为f(θ) ，B、D两脚与地面的距离之和为g(θ), 显然f(θ) 、g(θ) ≥0。
由假设2知f(θ) 、g(θ)都是连续函数。
在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f(θ) 、g(θ)中至少有一个为零。
当θ= 0 时，不妨设f(θ) > 0、g(θ)=0。
另一方面，由对称性知道，旋转p/2的角度后，相当于AC和互换一个位置.故有f(p/2)=0，g(p/2)>0，这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。
北京工业大学工程数学-实验1-数学建模入门
解答：
根据题中描述可知，坐乙站发的车的概率为甲站的九倍。可以理解为从乙站发车经过丙站的时刻要比另一个晚9分钟（或者叫做早1分钟）。
某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。
（1）为了公平性，评委对本单位选手不给分；
（2）每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；
（3）评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。
（4）评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
(1,0,0,0)
(1,0,0,1)
(1,0,1,0)
(1,1,0,0)
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
1
2
3
4
5
6
7
8
(1,1,1,1)
(0,1,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,1,0)
(1,0,1,0)
(0,0,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,0)
（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
椅子在不平地面放稳问题
椅子在不平地面放稳问题
1、问题提出
有四条腿成长方形的椅子，往往不能一次就平稳的放在不平的地面上，有时甚至放很久也放不稳，只好在某一条腿下面垫一点东西。
因此就产生这样一个问题，四腿椅子是否一定能在地面上放稳？
2、模型假设
假设椅子四条腿一样长，且设地面光滑（即把地面看做一个光滑曲面），旋转椅子时，保持椅子中心不动。
设椅子的四条腿分别是D C B A 、、、四点，取对角线AC 为χ轴，AC 与BD 的交点为原点O 。
用θ表示AC 绕O 点转动后与χ轴的夹角，用ϕ（对每件椅子是常数）表示对角夹角中小于︒90的角，如图2
3、符号说明
设()θg 表示为C A 、两点与地面距离之和，()θf 表示为D B 、两点与地面距离之和。
因为地面光滑，椅子转动时，()θg 、()θf 均为转角的连续函数，而三条腿总能同时着地，则对任意θ，有()()0g =⋅θθf 。
4、建立模型
设0=θ时，()()0000g >=f ，，证明：存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，使()()0g 00==θθf 。
5、模型求解
证明：令()()()θθθf g h -=，显然它是连续函数，且()()()0<-=θθθf g h ，将椅子保持中心不动顺时针旋转ϕ（即将AC 换成BD ），可得()()0g 0>=ϕϕ，f 。
因而()()()0>-=ϕϕϕf g h ，由连续函数的介值定理知，必存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，
使得()()()0000=-=θθθf g h ，即()()00θθf g =。
又因为()()000=⋅θθg f ，所以()()000==θθf g。
幼儿园团队合作案例：建立稳定的椅子塔
幼儿园团队合作案例：建立稳定的椅子塔
幼儿园团队合作案例：建立稳定的椅子塔
领导者：李老师
团队成员：李老师、两位教师、十位4岁的幼儿园学生
背景：在李老师的看护下，十名幼儿园学生尝试在教室内合作建立一个稳定的椅子塔。
目标：在更好的沟通协调，相互信任和合作中建立起一个稳定的椅子塔。
步骤：
1. 讨论与规划：李老师首先向学生解释了建立椅子塔的目的，并将其分为每个学生担任的角色。
2. 椅子选择：因为需要椅子是稳定的，李老师让学生们选择最好用的
椅子并向他解释为什么。
3. 通信与信任：每个学生被赋予一个任务，包括掌握椅子的方向和角度。
在开始建立的时候，每个学生都经历很多挑战，因为他们需要相互沟通，以确保塔的稳定。
他们学习了如何倾听和合理表达自己的想法，这是建立信任和稳定的团队关系的关键。
4. 团队建设：其余的学生帮助维护稳定性，例如保持一定距离，以确保塔不会倒塌，他们也学会了如何接受责任，并在团队中互相支持。
结果：团队及时地协调了每个人的角色，使塔得以稳定地建立在地面上。
每个学生都非常骄傲他们的合作取得了成功。
这项活动增强了他们的信任和协作能力，建立了一个稳定的和谐的团队。
在不平的地面放稳椅子
在不平的地面放稳椅子摘要针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。
将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。
对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。
对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。
对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在]2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。
文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。
关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在1.问题的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。
问题1：椅子四脚连线呈正方形；问题2：椅子四脚连线呈长方形；问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。
2.问题的分析当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。
3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设（1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。
（2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。
（3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。
3．2 符号说明符号一：D C B A ,,,为四边形上四点，',',','D C B A 为旋转后四边形上四点。
符号二：O 为四边形的中心。
符号三：θ为旋转角度。
4．模型的准备连续函数零点存在定理：对)(x F ∀，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且0)()(≤⋅b F a F ，则],[b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF .5．模型的建立与求解5．1 问题1的模型建立与求解模型建立：1.正方形ABCD 为椅子四脚的连线，2.椅子中心为O 点，3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从正方形ABCD 变为正方 形''''D C B A ，旋转角度为θ.设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。
§1.3.1 椅子的摆放问题
1.3 一些基本的数学建模示例1.3.1椅子的摆放问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。
模型准备仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。
如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。
为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。
（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）根据上述假设做本问题的模型构成：模型构成Array用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。
图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。
于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函数。
注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。
本题引入两个函数即可以描述椅子四个脚是否着地情况。
记函数f(θ)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。
函数g(θ)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。
则显然有f(θ)≥0、g(θ)≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）。
由假设3，对任意的θ，有f(θ)、g(θ)至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f(0)>0、g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：数学命题（问题1的数学模型）已知f(θ)、g(θ)都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，且f(0) >0、g(0)=0 ，则有存在θ0，使f(θ0)= g(θ0)=0。
稳固的椅子科学教案中班
稳固的椅子科学教案中班标题：构建稳固的椅子——科学教案在中班的应用价值导语：在中班阶段的教学中，科学教学是培养幼儿科学思维和探究精神的重要一环。
本文将从科学教案的重要性、科学教案的设计、科学教案的实施与评估等方面探讨如何构建稳固的椅子科学教案，旨在为中班教师提供借鉴和参考。
1. 椅子：孩子与日常生活密切相关的事物在设计科学教案时，可以从幼儿熟悉的事物入手，引导他们体验、观察和思考。
椅子是幼儿日常生活中常见的家具，通过设计以椅子为主题的科学教案，可以激发幼儿的学习兴趣，增强他们对科学知识的掌握和理解。
2. 科学教案的设计：由浅入深，循序渐进在构建稳固的椅子科学教案时，需要按照一定的教学顺序和层次，由浅入深地引导幼儿进行学习和探究。
可以从椅子的形状、材料、坚固性等方面入手，让幼儿通过观察、比较和实践，逐步了解椅子的特点以及稳固与不稳固的原因。
3. 科学教案的实施：开展多样化的活动在实施椅子科学教案时，可以结合幼儿园的实际情况，开展多样化的活动。
设计制作简易椅子模型，让幼儿亲自动手，体验折纸、搭建等技巧；设置椅子比赛，让幼儿在团队中合作解决问题；观察身边的椅子，了解不同椅子的特点等。
通过这些活动，幼儿将在实践中对椅子的稳固性有更深入的认识。
4. 科学教案的评估：个别性评价与总结回顾在进行科学教案的评估时，不仅要注重幼儿的个别性评价，还要进行总结回顾，以便全面、深刻地理解幼儿在学习过程中的收获和进步。
通过观察幼儿在活动中的表现、听取他们的思考和观点，以及进行小组讨论、展示等形式，帮助幼儿巩固所学知识，提高他们的探究能力和科学思维。
5. 个人观点与理解：培养幼儿全面发展的关键时期中班是培养幼儿全面发展的关键时期，科学教育不仅可以丰富幼儿的知识量，更重要的是培养他们的观察力、动手能力、解决问题的能力和创新精神。
稳固的椅子科学教案的设计与实施，将帮助幼儿逐步建立科学思维的框架，培养他们的好奇心和求知欲，为将来的学习打下坚实的基础。
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三、建模与分析
其次，要把椅子着地用 数学符号表示出来。如果用 某个变量表示椅脚与地面的 竖值距离，那么当这个距离 为零时就是椅脚着地了。椅 子在不同的位置时，椅脚与 地面的距离不尽相同，所以 这个距离是变量 的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅
脚和地面都有一个距离。但由假设3以及正方形关于中心
区间上连续函数的介质性定理, 必存在一个0 [0 , /2],
使h(0)=0，即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0，所以f(0)
= g ( 0) = 0 .
评注和思考
假设条件的本 质与非本质
关键
和 f()， g()的确定
如果椅子四脚连线呈 长方形，又将如何？
C( R cos 2 , R sin 2 )
D( R cos 3 , R sin 3 )
C o B
如果让椅子绕O点转动，则A、B、 A( R cos , R sin ) C、D四点将同时绕O点转动，并且 B( R cos( （取逆时针方向 1 ), R sin( 1 )) 转过同样的角度 为正），则转动后 、C C ( R cos( 2A ),、 RB sin( 、 D 四 2 )) 点对应的点分别为A’、B’、C’、D’。
证 A, B , C , D 四点共面的充要条件是向量
的混合积[ AB AC AD] 0。不妨设
F ( ) [ AB AC AD]
AD R cos( 3 ) R cos , R sin( 3 ) R sin , ( 3 ) ( )
椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。
假设1显然是合理的。否则
即便放在平面上也不会是椅子放 稳。 假设2相当于给出了椅子能 够放稳的必要条件，因为如果地
面高度不连续（比如在有台阶或
裂缝的地方）是无法使椅子四只 脚同时着地。 假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的 尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变 化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
的对成性，只要设两个距离就可以了。设A、C两脚与地 面的距离之和为 f( ) ， B、 D两脚与地面的距离之和为 g( ), 显然f( ) 、 g( ) 0。由假设2知f( ) 、 g( )都是 连续函数。在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只
脚着地，所以对于任意的 ， f( ) 、 g( )中至少有一个
五、模型的分析及推广
1. 模型分析 模型的优点在于用一元变量表示了椅子的位置，用 的两个函数表示了椅子四只脚与地面的距离，充分运用了 正方形关于中心的对称性，使得问题得到了极大的简化， 并得到了逻辑上的求解。 缺点在于运用了正方形关于中心的对称性，使模型
的适应范围受到了一定的局限，如对一般四边形是否也适
可以看到， 引入变量 和
函数 f( ) 、 g( ) ， 就把模型的
假设条件和椅脚同时着地的结论 用简单而精确的数学语言表示出 来，从而构成了这个实际问题的 数学模型。
四、模型求解
令h()= f()–g()，则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f ( ) ， g ( ) 的连续性知 h () 为[0 ， /2] 上连续函数，根据必
三、建模与分析
首先，根据假设1， 椅脚连线 B B ´ 呈正方形,而正方形以中心为对称, A´ 即正方形绕中心的旋转可以表示椅 A C 子位置的改变，于是可以用旋转角 O x 度这一变量表示椅子的位置。如图 D´ 1，椅脚连线为正方形ABCD，在图 C ´ D 1所示的坐标系下对角线AC与ox轴 正方形ABCD 重合,椅子绕中心o 旋转角度 后, 绕O点旋转 正方形 ABC D转至的位置，如图 2所示，即对角线AC与ox轴的夹角 表示了椅子的位置。
A( R cos , R sin , ( ))
B( R cos( 1 ), R sin( 1 ), ( 1 )) C ( R cos( 2 ), R sin( 2 ), ( 2 )) D( R cos( 3 ), R sin( 3 ), ( 3 ))
由假设4，椅子四脚A、B、C、D共圆，设其半径为 R，则这四点必在圆周x2+y2=R2上。不妨设OB、OC、 OD分别与ox轴的正向夹角分别为1、 2、 3 . 这三个
夹角应满足条件0< 1< 2< 3 < 2 .
点A、B、C、D的坐标依次
A( R,0)
B( R cos1 , R sin 1 )
2 2 2 2
椅子四只脚构成一菱形ABCD，对角线的长度分别为 AC=8，BD=6。根据球面的特点，要使得菱形ABCD的顶 点至少有三个在球面上，则其三个顶点必在同一个圆上。
不妨取菱形 ABCD 所在的平面与球面的截痕及菱形，在
xoy面上投影图如示图，其圆周的半径为
25 R 8
25 2R 8 AC 4
D( R cos( 3 ), R sin( 3 ))
A D
o
由假设2，地面可视
为数学上的连续曲面 , 因 此，如果取过原点 O, 垂 直于 xoy 面向上的轴为 oz 轴 , 则在此空间直角坐标
系下地面的方程便可写
成z=f(x，y) ,其中f(x，y) 是二元连续函数。特别 地，在圆周上 z 必为旋 转角 的以 2 为周期的
由对称性知道，旋转/2的角度后，相当于AC和BD互换 一个位置.故有f(/2)=0 ，g(/2)>0，这样，改变椅子位 置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。
为零。当 = 0 时，不妨设f( ) > 0、 g( ) = 0。另一方面，
已知f( )和g( )是 的连续函数，对任意的 ，有f( )• g( )=0 ，且 f(0 )>0 、 g(0)=0， g( ) 0 、 2 f ( ) 0 ，则存在 0 [0 , ] ，使得f(0 )= g( 0 ) =0 . 2 2 命题1
f( )表示相邻两脚A、B与地面的距离之和，g( )表示相邻
转 180°度的角后，相当于AB和CD互换一个位置。这样，
3. 模型的进一步分析与推广 由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转， 可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点 绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正
2 2
这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子
四脚连线所构成的四边形不是园内接四边形，通过旋转不
可能将椅子放稳。
下面我们来讨论另一个问题。 众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚 连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任 意园内接四边形的椅子是否也能在不平的平面上放稳？为 解决此问题我们重新建立模型。
1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放
稳这一现象；
2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适
当的“挪动”能够放稳吗？ 3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子 放稳？最后对模型进行了分析和推广。
二、模型假设
为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设： 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对 2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会 出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数 学上的连续曲面； 3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相
数学建模
第四讲 椅子放稳模型
在日常生活中，将一张
四条腿一样长的椅子放在不 平的地面上， 通常只有三只 脚着地,而使椅子不平稳。但 我们的祖先为什么把都把椅
子做成四脚连线呈正方形 ，
矩形或等腰梯形。请你通过 建立模型解释这一现象。
一、问题重述
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平 的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们 通过建立模型分别解决以下问题：
4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形， 即椅子四脚共圆。
5．挪动仅只是旋转。
模型建立 将椅子放在地面任何一个 位置，并使至少三只脚同时着 地。这时以椅子四脚共圆的圆 心O为原点，四脚连线所在的 平面为xoy坐标面，并使椅脚 之一（如椅脚A）在ox轴的正 半轴上建立平面坐标系图.
C o
B
A
D
B A
D
C
25 R 6
这说明A、C两点必 有一点在球面之外。
2 25 2 D(0, 11 , 10000 10000 ( 6 6 ) )
于是D点到底面即球面的距离为
7 11 25 d 10000 10000 0 10000 6 6
1 、 2 、 3 是满足不等式0< 1 < 2 < 3 < 2 的任意常 数， 则一定存在0 [0 , 2] ,使当 = 0时，A, B , C , D
四点共面。
AB R cos( 1 ) R cos , R sin( 1 ) R sin , ( 1 ) ( ) AC R cos( 2 ) R cos , R sin( 2 ) R sin , ( 2 ) ( )
模型假设
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对 椅子所占的地面面积可视为一个点。
2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会 出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数 学上的连续曲面。
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相 对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。
应，未能作出回答；而且也未能考虑到平行移动的情形。
2. 如果椅脚连线呈矩形，其结论也成立。事实上，