最新对角化矩阵的应用本科
矩阵对角化的一些应用

d x
I =a
l l X 1 . t . al 2 x 2 +… 。l
df
角 化 很 方便 求 得 A I _ 例 2 : 设 对 称 矩 阵 A 是正 定 的 , 证 明存 在 可 逆 矩 阵 , 使 得
一 2
f 3 2 4 i ,
故 【 4 2 3 J
二、 矩阵对角化在一些计算和证明中的应用
9 2 5
,
解: 二 次 型 的矩 阵为 A ={ 2 0 2} , 显然 A是 对称
得 得 阵 , A 的 特 征 值 为 A l = 8 , A 2 = A 3 — 1 , 对 应 特 征 向 量 为
P
一
。一 击
一
{ y p , 化 二 次 型 为 户 8
,
‰ %
3
、 / l 2
3 、 /
} 4 _ 1 _l + 2 4 , 显 然 直接 计 算 A I I 是很麻烦 的 , 利 用 对
l 一 1
4—2 4
四、 矩 阵 的 对 角 化 在 求 解 线 性 微 分 方程 组 中 的应 用
A
其中 x - ( x I , x 2 , …, x n ) T x , ( i - 1 , 2 , …, n ) 是关于 t 的待定函数 .
0l 1 a1 2 02 2
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、 / A 2
on l nl l 2
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:
可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题,可对角化矩阵作为一类,特殊的矩阵,在理论上和应用上有着十分重要的意义。
下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。
1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间,12,εε是一组基,线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110⎛⎫⎪-⎝⎭,试计算kA 。
解:首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵,这里()()121211,,12-⎛⎫ηη=εε ⎪-⎝⎭,且σ在12,ηη下的矩阵为1112111212111111210121110121----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然110101kk⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,再利用上面得到的关系11121111112101201---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以得到121111111111211101201121201111kkk k k k k ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪------+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.利用特征值求行列式的值。
例:设n 阶实对称矩阵2A =A 满足,且A 的秩为r ,试求行列式2E A -的值。
解:设AX=λX ,X ≠0,是对应特征值λ的特征向量,因为2A A =,则22X X λE =AE =A =λ,从而有()20Xλ-λ=,因为X ≠0,所以()1λλ-=0,即λ=1或0,又因为A 是实对称矩阵,所以A 相似于对角矩阵,A 的秩为r ,故存在可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭=B ,其中rE 是r 阶单位矩阵,从而11022202r n r n rE E A PP PBP E B E -----=-=-==23由特征值与特征向量反求矩阵。
若矩阵A 可对角化,即存在可逆矩阵P 使,其中B 为对角矩阵,则例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为,对应的特征向量为,求矩阵A 。
矩阵的对角化及其在高等数学中的应用

矩阵的对角化及其在高等数学中的应用矩阵是高等数学中的基础概念之一,它在解决线性方程组和矩阵变换问题中具有重要作用。
在实际问题中,矩阵常常需要进行对角化处理,以便更方便地求解问题。
本文将介绍矩阵的对角化及其在高等数学中的应用。
一、什么是矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵变换为对角形式的过程,使得矩阵的主对角线上为非零元素,而其余元素均为零。
举个例子,一个2×2的矩阵A可以进行对角化,其对角化后的形式可以写成:> P^-1 * A * P = D其中P是一个可逆矩阵,D为对角矩阵。
对角矩阵只有主对角线上有非零元素,其他位置都为零。
通过对角化,矩阵变得更加简单,容易处理。
二、如何进行矩阵的对角化对于一个n×n的矩阵A,要进行对角化处理,需要满足以下条件:1.矩阵A必须有n个线性无关的特征向量,这些特征向量组成的矩阵可以写成P=[v1,v2,···,vn]。
2.对于对角矩阵D,其主对角线上的元素必须是矩阵A的n个特征值。
基于这些条件,可以得到矩阵A的对角化公式:> P^-1 * A * P = D其中P=[v1,v2,···,vn],D=[λ1,λ2,···,λn]为对角矩阵。
λ1、λ2···λn为A的特征值,v1、v2···vn为对应的特征向量。
三、高等数学中的应用在高等数学中,矩阵的对角化在求解一些实际问题中具有重要作用。
1. 矩阵的对角化在求解差分方程中的应用线性差分方程是数学中的一种经典问题。
对于一个n阶线性差分方程,其解法是先对其进行离散化处理,变成一个线性方程组。
接着,对该线性方程组进行矩阵形式的表示,就可以得到一个n×n矩阵。
通过矩阵的对角化,可以将线性方程组解放到主对角线上,从而得到差分方程的通解。
2. 矩阵的对角化在离散傅里叶变换中的应用离散傅里叶变换是一种将时域上信号变换为频域上信号的重要算法。
关于线性变换的可对角化问题—数学本科毕业论文设计

本科毕业论文(设计)题目:关于线性变换的可对角化问题学生:学号: 学院:专业: 入学时间:年月日指导教师:职称: 完成日期:年月日诚信承诺我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成,没有抄袭行为,凡涉及其他作者的观点和材料,均作了注释,若有不实,后果由本人承担。
承诺人(签名):年月日关于线性变换的可对角化问题摘要:线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用,并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词:线性变换可对角化;特征值;特征向量;最小多项式;矩阵可对角化;实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems.Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Matrix diagonalization; Real symmetric matrices目录1 引言........................................................ . (1)2 可对角化的概念 (1)3 判定方法 (1)4 两个矩阵同时合同对角化 (4)5 几类特别的可对角化矩阵 (6)6 应用........................................................ . (6)6.1 矩阵相似的判断 (6)6.2 方阵高次幂 (7)6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵 (7)6.4 求特征值 (8)6.5 经典例题 (8)7 小结........................................................ .. (9)参考文献........................................................ ..101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义[8] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 为δ在某一组基下的矩阵且A 与矩阵B 相似,其中矩阵B 是对角形矩阵,则称A 可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B 叫做A 的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理1[8] 设n 维线性空间内有一个线性变换,且A 为它在某一组基下的矩阵,要是A 为对角形矩阵,那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000300031A 是δ在基321,,ααα下的矩阵,由于1A 为对角形矩阵,可知δ可对角化.3.2 定理2[1] 设δ是n 维线性空间内的一个线性变换,且δ有n 个线性无关的特征向量,则δ可对角化.证明 “必要性” 假设δ可对角化,令=),,,(21n αααδ ),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21. 即i i i αλαδ=)( ,n i ,2,1=;特征值为n λλλ 21,,则 n ααα,,,21 是δ的特征向量,由已学知识可知n ααα,,,21 是不相关的.“充分性” 设有n 个不相关的向量n ααα,,,21 ,并且它们都是δ的特征向量,设i i i αλαδ=)( ,其中n i ,2,1=; 将n ααα,,,21 作为线性空间中的一组基,则满足:)(,),(),((21n αδαδαδ )),,,(2211n n αλαλαλ ==),,,(21n ααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m λλλ 21.即δ在基n ααα,,,21 下的矩阵为对角形矩阵,从而δ可对角化.例2[2] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是δ在基321,,ααα下的矩阵,试利用定理2判断δ是否可对角化.解 由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλA E ,A 的特征值为:4,2321-===λλλ.对于221==λλ,由()02=-X A E 知基础解系是:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012和⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101. 由已学知识可知它们是线性无关的,故它们对应的特征向量为:2112ααε+-=, 312ααε+=.对于43-=λ,由()04=-X A E 知基础解系是:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-13231.由已学知识可知它是线性无关的,故它对应的特征向量为:32133231αααε+-=. 由以上可知δ包含三个特征向量1ε,2ε,3ε,并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数,由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2] 设δ是n 维线性空间V 的一个线性变换,若在数域P 中δ的特征多项式包含n 个互不相等的根,那么δ可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换δ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3102A 是它在基21,αα下的矩阵,试利用推论1判断δ是否可对角化.解 由3102---=-λλλA E )3)(2(--=λλ知A 的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的,所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3 推论2[5] 设n 维线性空间V 内有一个线性变换δ,其中δ的特征值是n λλλ ,,21,并且它们是不相同的.用iir i i ααα,,,21 来表示i λ对应的i r 个特征向量,;,,2,1k i =那么:[]1 n r r r i =+++ 21,则δ可对角化.[]2 n r r r i <+++ 21,则δ不可对角化.例4 已知 ,4001300132⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4000301033A ,试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算02=-A E λ和03=-A E λ知32,A A 的特征值是相同的,它们全部为31=λ(二重),42=λ.首先讨论2A ,对于31=λ(二重),由()032=-X A E 知它的基础解系是:()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根,但只对应一个特征向量,故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少,由推论2知2A 不可对角化.最后讨论3A ,对于31=λ(二重),由()033=-X A E 知它的基础解系是:()()T T 01000121,,和,,==εε . 对于42=λ,由()043=-X A E 知它的基础解系是:()T 1013,,=ε;故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的,特征向量的个数与空间维数相等,由推论2知3A 可对角化.3.4 定理3[7] 在数域P 上,设k λλλλ,,,, 3,21是矩阵A 的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----E A E A E A E A k λλλλ ,那么A 可以对角化.例5 设有一个线性变换δ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵,试利用定理3判断δ能否可对角化. 解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ,故4-2与是矩阵A 的所有不同特征值.又()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-00000000036322212736324212142E A E A . 通过定理3知A 可以对角化.3.5 定理4[9] A 是复数域上的矩阵,当矩阵A 的最小多项式没有重根时,则A 可以对角化.例6 设一个线性变换δ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163222123A 是它在基321,,ααα下的矩阵,试利用定理4判断δ是否可对角化.解 由上面例2知()()422+-=-λλλA E ,则A 的最小多项式有以下两种可能:()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-E A E A 推出A 的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A 可对角化.4[10] 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义[10] 设矩阵A ,B n n R ⨯∈,若存在可逆矩阵P ,使AP P T 和BP P T 同时为对角形矩阵,则A 、B 可同时合同对角化.4.2[10] 同时合同对角化的计算方法下面是以A 为n 阶实对阵正定矩阵,B 为n 阶实对阵矩阵为例给出计算步骤:(1)求出A 的n 个特征值,再求出特征向量;(2)对于每个不一样的特征值,把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n 阶正交阵1P ,那么()n T diagAP P λλλ,,, 2111=,令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d ia g P P λλλ111211,,, , 则P 是可逆的,同时满足AP P T E =;(3)解出BP P T ,再求出它的n 个特征值i μ和它的n 个特征向量i η;(4)对每个不同的特征值,把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q ,则()()n T T diag Q BP P Q μμμ,,, 21=; (5)记PQ T =,则()n T T diag BT T E AT T μμμ,,,, 21==.例7设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011010200021012B A ,,求可逆矩阵T 将A 、B 可同时合同对角化.解 计算0=-A E λ可知321321===λλλ,,为A 的特征值.对于11=λ,由()01=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T0111,,-=ξ; 对于22=λ,由()02=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 1002,,=ξ;对于33=λ,由()03=-X A E λ得出它的一个特征向量为()T 0113,,=ξ.将其单位化得()TT T ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,2110002121321,,,,,,,,ααα.则正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01021021210211P ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32111AP P T . 记⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02106102161021312111P P ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210321010321021AP P T . 其特征方程为()031131=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-μμμμBP P E T . 它们的特征值为31131321==-=μμμ,,.由()01=-X BP P E T μ知()T23011-=,,η是1μ的一个特征向量; 由()02=-X BP P E T μ知()T0102,,=η是2μ的一个特征向量;由()03=-X BP P E T μ知()T23013+=,,η是3μ的一个特征向量; 将其单位化,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+-=322322032223010322103221Q ; 于是有:()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=31131Q BP P Q TT .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+--==021032613032613326103261PQ T ,则T 可逆,且()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-====31131BT T E EQ Q Q AP P Q AT T T T T T T ,, 故T 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4] 如果一个矩阵为实对称矩阵,那么该矩阵可以对角化. 命题 4.2[4] 如果一个矩阵为对合矩阵()E A =2,那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4] 如果一个矩阵为周期矩阵)(E A m =,那么该矩阵可以对角化.命题 4.4[7] 如果一个矩阵为幂等矩阵()A A =2,那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7] 如果一个矩阵为循回矩阵,那么该矩阵可以对角化. 命题4.6[4] 如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠m A A ,,那么该矩阵不可以对角化.解 通过计算01=-A E λ,02=-A E λ和03=-A E λ知321,,A A A 的特征值相同,它们全部为31=λ(二重),42=λ;其中1A 已经是对角形矩阵,所以只需判断2A ,3A 是否可对角化.首先讨论2A ,对于31=λ(二重),由()032=-X A E 知它的基础解系是:()T 0,0,11=α.因为31=λ是2A 的特征值而且是二重根,但只对应一个特征向量,故2A 只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少,由推论2知2A 不可对角化,则1A 与2A 不相似.最后讨论3A ,对于31=λ(二重),由()033=-X A E 知它的基础解系是:()()T T 01000121,,和,,==εε . 对于42=λ,由()043=-X A E 知它的基础解系为:()T 1013,,=ε,故3A 有3个特征向量而且它们是线性无关的,特征向量的个数与空间维数相等,由推论2知3A 可对角化, 则1A 与3A 相似.参考文献:[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京,2003:299.[2] 邱森.高等代数.武汉:武汉大学出版社,2008:216-219.[3] 张禾端,郝炳新.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,2000.[4] 李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法[J].北京:科学出版社,2008:204.[5] 唐忠明,戴桂生.高等代数[M].南京:南京大学出版社,2000:146-147.[6] 张正成.可对角化矩阵的应用[J].科技资讯,2007.252(2):252-253.[7] 冯莉.矩阵对角化的若干方法[J].赤峰学院学报(自然科学版),2011,27(9):9-11.[8] 徐新萍.有关对角化问题综述[J].江苏教育学院学报(自然科学),2010,26(6):44-46.[9] 李至琳.关于矩阵可对角化的问题[J].黔东南民族师专学报,1998,16(5):1-3.[10] 周立仁.矩阵同时对角化的条件[J].理工学院学报,2007,20(1):8-10.内部资料仅供参考。
线性代数课件4-1矩阵的对角化

对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$,解方程 组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$,解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换,将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩 阵,从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式,可以直接求解各 个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化,可以避免对原始系数矩阵 进行复杂的运算,从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计 算,进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性:$A sim A$(任何矩阵都与自身相似)。
04
对称性:若$A sim B$,则$B sim A$。
05
传递性:若$A sim B$且$B sim C$,则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性 无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义:对于n阶方阵A,如果存在一个可逆 矩阵P,使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵,则称A为 Jordan可约的,对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准 型。 性质
可对角化矩阵的应用

以#有2个 异特 .这两个特
1) D,P2 =( -2,1) D,则 $ = (P1 ,P2 ) = ( 1
11 =4,1 =1,此,#可相 的特征向量分别取为P1 =(1,
)0
1,
)=( —1 ;
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二+( ), 二卫 ( ) $1 =P1 &D
1 2 $2 &2 D = 1 —1 —2 ,
,P ( )( 2)++ A 二$!$- (P1 2) 0 1
令 7 = c”+ +…+ L1 + +L,考虑矩阵函数7 #)=
C”#" + …+L1 # +L0(,则 7 #) =$(!) $# ==( 11 ) $1 ++( 1 ) $2 + …++(1) $*.
) 例 1 令# = ( 1 2 ,/( + =+ +2+,求#!和/(#).
1 解 \AI-AI = 11- 2 1—23 | = (1-4)( 1-1),
高教视野
"/ =#"_% 二…=AI = 1 -1. 、! =12 -1.81+0.5!+0.72, 0. 5 1 — 0. 6
则#的特 为1 = 0. 9 士 /0. 09-0.5!.当捕杀率 !=0, 16时,#的特 为1% =1,1 =0.8,对应的特征向量 分别取为P% =(4,5)D,p2 =(2,5)D,因此,#
…0
6
、0 0 …1"丿 、6丿
=11P1 &D +心2 &D + …+5&D. 将上式中 相同的放在一起,提出系数,则有
矩阵对角化在物理学中的应用

矩阵对角化在物理学中的应用
矩阵对角化在物理学中有着广泛的应用,它可以帮助研究者们更快地解决复杂的物理问题,这也是科学家们为什么将它作为一种有效的计算工具的原因。
矩阵对角化是一种解决复杂物理问题的有效工具,它可以将复杂的物理问题变成一系列有解的简单问题,而这些简单问题的解可以用矩阵来表示。
这种方法的最大优势在于,它可以大大减少计算时间和计算量,使得科学家们可以更快地得出结果。
此外,矩阵对角化在物理学中还有另一个重要的应用,即用于求解量子力学问题。
量子力学是一门复杂的物理学,其中的问题通常很难解决,但矩阵对角化技术可以有效地帮助研究者们解决这些问题。
矩阵对角化可以将量子力学问题转换为一系列简单的等式,从而极大地减少了计算时间和计算量,使得科学家们可以解决量子力学问题。
总而言之,矩阵对角化在物理学中是一种重要的计算工具,可以大大减少计算时间和计算量,并有助于解决复杂的物理问题和量子力学问题。
矩阵对角化技术的出现给物理学研究带来了巨大的便利,正逐步成为物理学研究中不可或缺的一部分。
可对角化矩阵的应用两例【优秀资料】

可对角化矩阵的应用两例【优秀资料】(可以直接使用,可编辑完整版实用资料,欢迎下载)可对角化矩阵的应用两例1 Fibonacci数列研究的矩阵方法在预备知识§3的例6中.我们已经证明了著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通项公式,同学们自然会问,这个公式是如何发现的?下面利用矩阵特征值、对角化工具来回答这个问题,并求.这个数列的递推关系为,k=0,1,2, (1)初始条件为.令因为,所以. (2)取,则(2)式成为. (3) 由(3)式得出. (4) 于是,欲求Fibonacci数列的通项公式,只要计算,我们利用A的相似简化来计算.A的特征多项式为||=,它的两个根:,,是A的特征值.因此A可对角化.解齐次线性方程组得到它的一个基础解系.同理可得的一个基础解系是.令,则.于是(5) 从(4)式及初始条件得. (6) 比较(6)式两边的第2个分量得. (7) 这就是Fibonacci数列的通项公式.容易算出:. (8)以上极限的近似值0.618在最优化方法中有重要应用.一些实际问题常常可归结为求目标函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值(或最小值),其中y=f(x)的解析表达式并不知道.假定y=f(x)在[a,b]上只有一个极值点(否则可将区间[a,b]划分),这时称y=f(x)是单峰函数.为了求单峰函数y=f(x) 在[a,b]上的最大值点,可以在区间[a,b]的若干点上做试验求出函数值,再比较函数值的大小.如何选取这些试验点,使得所做试验次数比较少,又能迅速找出最大值点?可采用如下的优选方法:第一个试点t1=a+0.618(b-a),第二个试验点=a+0.382(b-a),即是点t1关于区间[a,b]中点的对称点,比较与,若>,则由于y=f(x)是单峰函数,其最大值点不可能出现在区间[a,]里,从而可以去掉[a,],剩下区间[,b].第三个试验点t2=+0.618(b-),第四个试验点=+0.382(b-).比较f(t2)与f(),如果f(t2)<f(),则去掉区间[t2,b],剩下区间[,t2].依次进行下去,当剩下的区间长度比指定的正数 小时,就取剩下区间的中点作为所要求的点,称它为最优点(与真正的最大值点很接近的点).上述方法称为0.618法,也称为黄金分割法.它的优点是可以迅速缩短搜索区间,以便找出最优点.2 某地区居民色盲遗传情况的研究每一个人都有46个染色体.染色体是成对的,有22对是常染色体,一对是性染色体.男性的一对性染色体是(X,Y);女性的一对性染色体是(X,X).基因位于染色体上,因此基因也是成对的.在一对染色体的某一点位上的一对基因称为两个等位基因.显性的基因用A表示,隐性的基因用a表示.色盲基因是隐性的,且只位于X染色体上.一个女性居民若她的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a X A(包括X A X a这一情形,以下同)或X a X a,则她患色盲,其中X a表示色盲基因.若她的点位P上的两个等位基因是X A X A,则她不患色盲.设N个女性居民中有N1个人的点位P上的两个等位基因是X A X A,N2个人的点位P上的两个等位基因是X A X a,N3个人点位P上的两个等位基因是X a X a.则这N个女性居民中色盲基因的频率为. (9)令,,. (10)则r,2s,t为这N个女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A,X A X a,X a X a的人所占的比例,这些比例记成(r,2s,t).显然有r+2s+t=1.用这些记号,则这N个女性居民中色盲基因的频率为s+t.类似地,一个男性居民若他的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是X a Y,则他患色盲;若他的点位P上的两个等位基因是X A Y,则他不患色盲.设M个男性居民中有M1个人的点位P上的两个等位基因是X A Y,M2个人的点位P上的两个等位基因是X a Y,则这M个男性居民中色盲基因的频率为.令p=,q=. (11)则这M个男性居民中色盲基因的频率为q.这里p,q为这M个男性居民中点位P上的等位基因分别为X A Y,X a Y的人所占的比例,这些比例记成(p,q).显然有p+q=1.由此可见,男性居民的色盲基因频率等于男性色盲者的比例q.现在设某地区第一代男性居民中,点位P上的等位基因分别为X A Y,X a Y的人所占的比例为(p,q);女性居民中点位P上的等位基因分别为X A X A,X A X a,X a X a的人所占的比例为(r,2s,t) .则第一代男性居民,女性居民的色盲基因频率分别为q,s+t.我们来求该地区第二代男性居民,女性居民的色盲基因频率.这里假设第一代男性居民与女性居民的结合是随机的.设第二代男性居民共有L人,其中具有等位基因X A Y的人,由于他的基因X A来自母亲,而第一代女性居民中,基因X A的频率为. (12)因此具有等位基因X A Y的人的数目为L(r+s).同理,具有等位基因X a Y的人的数目为L(s+t).因此第二代男性居民中色盲基因的频率(它等于男性色盲者的比例)为. (13)由此看出,第二代男性居民中色盲基因的频率等于第一代女性居民中色盲基因的频率.设第二代女性居民共有W人,其中具有等位基因X A X A的人的数目为Wp(r+s),具有等位基因X A X a的人的数目为W[p(s+t)+(r+s)q],具有等位基因X a X a的人的数目为Wq(s+t).由此得出,第二代女性居民色盲基因的频率为. (14)由(14)式看出,第二代女性居民中色盲基因的频率等于第一代男性居民和女性居民的色盲基因频率的算术平均值.我们用,分别表示该地区第i代男性居民和女性居民的色盲基因频率,由上述知道. (15)其中i=2,3,….若知道了b1,c1,我们来求b n,c n.从(15)式得. (16) 把(16)式右端的系数矩阵记作B.从(16)式容易得出. (17)由此可见,求b n,c n归结为求出B n-1.为此我们来化简B,求其特征多项式,得B的特征值1,-.由此看出,B可对角化:解齐次线性方程组(I2-B)X=0,得到它的一个基础解系:;解齐次线性方程组(-I2-B)X=0,得到它的一个基础解系:.令,则.于是. (18) 因此. (19) 由(19)式得. (20)这说明,尽管第一代男性居民、女性居民的色盲基因频率可能不相同,但是经过好几代(每一代都是随机结合)之后,两个性别的居民的色盲基因频率将接近相等.(本文摘自庄瓦金编著的《高等代数教程》, 国际华文出版社)第四节 实对称矩阵的对角化一个n 阶矩阵A 具备什么条件才能对角化?这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A 为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★ 实对称矩阵的性质 ( 1 ) ★ 实对称矩阵的性质 ( 2 ) ★ 对称矩阵对角化的方法★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-4 ★ 返回内容要点:定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵A ,因其特征值i λ为实数, 故方程组0)(=-X E A i λ是实系数方程组, 由0||=-E A i λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量.定理2 设21,λλ是对称矩阵A 的两个特征值, 21,p p 是对应的特征向量. 若21λλ≠, 则1p 与2p 正交.定理 3 设A 为n 阶实对称矩阵,λ是A 的特征方程的k 重根,则矩阵E A λ-的秩k n E A r -=-)(λ,从而对应特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.定理4 设A 为n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P ,使 Λ=-AP P 1,其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似,根据上述结论,可求正交变换矩阵P 将实对称矩阵A 对角化的步骤为:(1) 求出A 的全部特征值s λλλ,,,21 ;(2) 对每一个特征值i λ, 由0)(=-X A E i λ求出基础解系(特征向量); (3) 将基础解系(特征向量)正交化;再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P ,使 Λ=-AP P 1.注:P 中列向量的次序与矩阵Λ对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲:例1 (讲义例1) 设实对称矩阵,320222021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求正交矩阵P , 使AP P 1-为对角矩阵.例2 (讲义例2) 设有对称矩阵,310130004⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.例 3 (讲义例3) 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a A 2020002(其中0>a )有一特征值为1, 求正交矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵.例4 (讲义例4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112A , 求.nA课堂练习1.设实对称矩阵,020212022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 试求出正交矩阵P , 使AP P 1-为对角阵.2.设n 阶实对称矩阵A 满足A A =2,且A 的秩为r , 试求行列式|2|A E -的值.学院2021届本科毕业论文(设计)矩阵的对角化及其应用学生姓名:学号:专业:数学与应用数学指导老师:A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021Diagonalization of the Matrix and its ApplicationsStudent Name Student No.:Specialty:Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具,在很多方面应用矩阵能简化描述性语言,而且也更容易理解,比如说线性方程组、二次方程等.矩阵相似是一个等价关系,利用相似可以把矩阵进行分类,其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要,这类矩阵有很好的性质,方便我们解决其它的问题.本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手,探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题,给出判定方法,研究判定方法间的相互关系,以及某些特殊矩阵的对角化,还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.关键词:对角矩阵,实对称矩阵,幂等矩阵,对合矩阵,特征值,特征向量,最小多项式IAbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix,real symmetric matrix,idempotent matrix,involutory matrix,the eigenvaule,the feature vector,minimal polynomialII目录摘要 (I)Abstract (II)绪言 (1)课题背景 (1)目的和意义 (1)国内外概况 (1)预备知识 (2)相关概念 (2)矩阵的对角化 (4)特殊矩阵的对角化 (14)矩阵对角化的应用 (22)总结……………………………………………………………………………………… 24 致谢………………………………………………………………………………………25 参考文献 (26)独创声明 (28)III1 绪言本课题研究与矩阵的对角化相关的问题,从对角化的判定展开论述,结合其它学术期刊的结论加上自己的体会,希望能让读者更好的理解矩阵及其对角化的妙处.1.1 课题背景在由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版社出版的《高等代数》一书中,我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念.在线性方程组的讨论中我们看到,线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结为矩阵问题以后却是相同的.在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质,引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在向量空间中用矩阵研究线性变换的性质,引入矩阵相似的概念,这是一种等价关系,利用它我们把矩阵分类,其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意,由此我们对线性变换归类,利用简单的矩阵研究复杂的,方便我们看待问题,进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.本文主要由矩阵定义和向量空间研究矩阵的对角化,从不同角度揭示矩阵对角化的判定及其性质,还给出特殊矩阵的对角化及其相应的应用.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义:(1) 研究矩阵对角化的判定定理及应用,为其它学术研究提供便捷的工具;(2) 比较全面的介绍矩阵的对角化,方便读者的整体理解和应用;1.3 国内外概况实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟,涉及特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善,四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就,矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破.实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善,矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中.矩阵的同时对角化、同时次对角化,以及对角化与秩的恒等式等方面的研究基本完善. 12 预备知识给出本文内容所涉及的一些定义,方便对后面定理证明的理解.定义1 常以Pm⨯n表示数域P上m⨯n矩阵的全体,用E表示单位矩阵.定义2n阶方阵A与B是相似的,如果我们可以找到一个n阶非奇异的方阵矩阵T∈Pn⨯n,使得B=T-1AT或者A=T-1BT.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系:①反身性:A=E-1AE;②对称性:若A相似于B,则B相似于A;③传递性:如果A相似于B,B相似于C,那么A相似于C.定义3n阶方阵A与B是合同的,如果我们可以找到一个n阶非奇异方阵T∈Pn⨯n,使得B =TTAT或者A=TTBT.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系:①反身性:A=ETAE;②对称性:由B=TTAT即有A=(T-1)TBT-1;③传递性:由A1=T1AT1和A2=T2TA1 T2有A2=(T1T2)TA(T1T2).⎛b10 0b2 定义4 式为 00⎝⋯⋯⎫⎪⎪⎪的m阶方阵叫对角矩阵,这里bi是数⎪⋯bm⎪⎭000T(i=1,2,⋯⋯m).定义5 方阵A∈Pn⨯n,若A=T-1BT,T非奇异,B是对角阵,则称A可相似对角化. 定义6 方阵A∈Pn⨯n,若A=TTBT,T非奇异,B是对角阵,则称A可合同对角化. 定义7 矩阵的初等变换:⑴互换矩阵的第i行(列)于j行(列);⑵用非零数c∈P乘以矩阵第i行(列);⑶把矩阵第j行的t倍加到第i行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三 2种初等矩阵:①单位矩阵经过初等变换⑴得P(i,j)且P(i,j)-1=P(i,j);②单位矩阵经过初等变换⑵得P(i(t))且P(i(t))-1=P(i(1/t);③单位矩阵经过初等变换⑶得P(i,j(t))且P(i,j(t))-1=P(i,j(-t)).定义9 设方阵B∈Pn⨯n,若B2=E,就称B为对合矩阵.定义10 设方阵A∈Pn⨯n,若Am=A,就称A为幂幺矩阵.定义 11 设方阵C∈Pn⨯n,若C2=C,就称C为幂等矩阵.定义 12设方阵A∈Pn⨯n,λ∈P,若存在向量,满足Al=λX,我们就称λ是A的特征值,X 是A属于特征值λ的特征向量.定义13A∈Pn⨯n,定义mA(λ)为矩阵A的最小多项式,mA(λ)的一个根为A而且比其他以A为根的多项式的次数都低,mA(λ)首项系数是1.33 矩阵的对角化本章介绍数域P上n阶方阵阵的对角化问题.先给出矩阵对角化几个一般的充要、充分条件及其证明.引理1 如果μ1,…,μk是矩阵Q的不同的特征值,而αi1,…,αiri是属于特征值λi的线性无关的特征向量,i=1,2…,k,那么α11,…,α1r,…,αk1,…,αkr也线性无1k关.证明:假设t11α11+t12α12+…+t1r1α1r1+…+tk1αk1+…+tkrkαkrk=0,令ti1αi1+…tij∈P ,+tikiαiki=ηi,则Qηi=λiηi(i=1,2...,k),且 η1+η2+...+ηk=0 (1)分别用E,Q,Q2,…,Qk-1左乘以(1)两端,再由引理4得:Qmηi=λiηi,(m=1,2...k-1 ;i=1,...,t),由此有ηk=0,⎧η1+η2+...⎪λη+λη+...λη=0,Kk⎪1122⎪222⎨λ1η1+λ2η2+...λKηk=0,⎪...................................⎪k-1k-1k-1⎪λη+λη+...λ1122kηk=0.⎩该线性方程组的系数矩阵为111⎫⎛1⎪λλ λ 2k⎪D= 1,D为范德蒙行列式,又由λi(i=1,2...k)互异有D≠0. ⎪ k-1⎪k-1k-1⎪λλ2 λk⎭⎝1根据克拉默法则就有ηi=0,即ti1αi1+…+tikiαiki=0,再由αi1,...,αiri线性无关得:ti1=ti2=...=tiki=0(i=1,2...k) ,故α11,...,α1r1...,αiri...,αkrk线性无关.推论1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 定理1Q∈Pn⨯n与对角阵相似⇔Q有n个特征向量,它们是线性无关的.证明:Q可以对角化⇔存在可逆矩阵T=(T1,T2,…,Tn)使得40⎫0⎫⎛λ1⎛λ1 ⎪⎪λλ ⎪⎪22T-1QT= QT=T,即⎪⎪⇒⎪⎪ 0⎪ λn⎭λn⎪⎝⎝0⎭(QT1,QT2,…,QTn)=(λT1,λT2,…,λTn).因此Q可以对角化⇔存在Ti(i=1,2…,n)∈P使得QTi=λiTi,也即Q有n个线性无关的特征向量.根据这个定理判定一个方阵是否可以对角化,必须从求解这个矩阵的特征多项式入手,虽然很直接,但考虑其计算量很大,加之特征值与特征向量只能分开求解,下面会介绍更简便的方法.推论2如过方阵Q∈Pn⨯n有n个不同的特征值,那么该矩阵可对角化.证明:由Q有n个不同的特征值及引理1的推论有Q有n个线性无关的特征向量,再由定理1即有Q可以对角化.注意:该推论为对角化的充分条件.定理2 μ1,μ2,...,μt(互不相同)是B∈Pn⨯n的特征值,μi∈P(i=1,2,...,t),B可对角化⇔∑r(μiE-B)=(t-1)n (r表示矩阵的秩).i=1t证明:(μiE-B)X=0的基础解系的一组基向量的个数为:n-r(μiE-B),我们可以得到关于μi的线性无关的特征向量的个数是n-r(μiE-B)(i=1,2,...,t),再由引理1推出矩阵B有∑(n-r(μiE-B))个线性无关的特征向量.i=1t根据定理1就有:n阶方阵B可对角化⇔B有n个线性无关的特征向量⇔⇔∑(n-r(μE-B))=n, ii=1tt∑r(μE-B)=(t-1)n. ii=1定理3 Q∈Pn⨯n与对角矩阵相似的充要条件:λi∈P(i=1,2...,t)且n-(λiE-Q)=ri(ri表示λi的代数重数).证明:设λi的线性无关的特征向量为βi1,βi2,...,βiri,由引理1有:5β11,β12,...,β1r,...,βir,...,βtr线性无关. 1it若r1+r2+...+rt=n,那么Q就有n个线性无关的特征向量⇔Q可以对角化.若Q与对角矩阵相似,则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n.否则根据定理1就可以推出λ1,λ2,...,λt线性相关,矛盾.相较于定理1,定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数,方便了许多,也易于计算.下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.引理2 设n阶方阵A,B∈Pn⨯n,则有r(A+B)≤r(A)+r(B).证明:先证rank[A,B]≤rank(A)+rank(B)……(2). 根据矩阵秩的定义有r[A,B]≤n⨯2n阶矩阵[A,B]的线性无关的行数≤方阵A的线性无关的行数+方阵B的线性无关的行数≤r(A)+r(B).⎡E⎤对方阵矩阵B+A=[B,A]⎢⎥,由(2)式有r(B+A)≤r[A,B],所以⎣E⎦r(A+B)≤r(A)+r(B).引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)≥r(A)+r(B)-n.⎛CO⎫⎛CT⎫证明:先证r(C)+r(D)=r OD⎪⎪≤rOD⎪⎪……(3),其中T为任意n阶方阵.⎝⎭⎝⎭显然当C,D中有一个为O时结论成立;另设r(C)=p,r(D)=q,则C有p阶子式M1≠0,D有q阶子式M2≠0.⎛CT⎫于是 OD⎪⎪有p+q阶子式⎝⎭M1*=M1M2≠0, OM2⎛CT⎫因此r OD⎪⎪≥p+q=r(C)+r(D). ⎝⎭要证r(AB)≥r(A)+r(B)-n,只需证明:运用分块矩阵的初等变换有:6 r(AB)+n≥r(A)+r(B)⎛En O⎝O⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝AO⎫⎛En⎪→ AB⎪⎭⎝A-B⎫⎛-BEn⎫⎪→ ⎪ O⎪,O⎪A⎭⎝⎭有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有:⎛-BEn⎫⎪ r(AB)+n=r ≥r(A)+r(B). O⎪A⎭⎝⎛Ep另证:令r(A)=p,则存在可逆矩阵C,D使得CAD= O⎝OO⎫-1O⎫-1⎛⎪D ⎪,若令C ⎪⎪O⎭⎝OEn-p⎭=H,则r(H)=n-p以及A+H=C-1D-1.又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩,因此r(B)=r(C-1D-1B)=r(AB)+r(HB)≤r(AB)+r(H)≤r(AB)+n-p.引理3的一般形式:(Syl希尔维斯特不等式)设A,B,C∈Pn⨯n分别为i⨯j,j⨯k,k ⨯t矩阵,则r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B).证明:要证r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B)只需证明r(ABC)+r(B)≥r(A B)+r(BC),因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩,而O⎫⎛EA⎫⎛ABCO⎫⎛EO⎫⎛OE⎫⎛AB ⎪⎪⎪⎪ = OE⎪ O⎪ -CE⎪ EO⎪ B-BC⎪⎪,B⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也即AB⎫⎛ABO⎫⎛ABCO⎫⎛ABCAB⎫⎛O ⎪⎪⎪⎪, →→→ O⎪⎪⎪⎪B⎭⎝OB⎭⎝-BCB⎭⎝B-BC⎭⎝再有定理(3)就得O⎫⎛ABCO⎫⎛AB⎪⎪rank =rank≥rank(AB)+rank(BC). O⎪⎪B⎭⎝⎝B-BC⎭推论3设B1,B2,...,Bt为数域P上的n阶方阵,则r(B1)+r(B2)+...+r(Bt)≤(t-1)n+r(B1B2...Bt).定理4 设n阶方阵Q∈Pn⨯n,μ1≠μ2,且(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0,则Q可对角化. 7证明:由μ1≠μ2,(μ1E-Q)(μ2E-Q)=0有矩阵Q的特征值为μ1或μ2,根据引理2,引理3得:r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)=n,从而Q的特征向量(线性无关)共有n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)=n个.由定理1即得矩阵Q可对角化.定理4' 设n阶方阵Q∈Pn⨯n,μ1,μ2,...,μt两两互不相等,若(μ1E-Q)(μ2E-Q)⋯(μt-1E-Q)(μtE-Q)=0则Q与对角阵相似.r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n,从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q)=tn-(r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q))≥tn-(t-1)n=n.又因为r(Q)≤n,故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n,由此矩阵Q可对角化. 推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论:r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)=(t-1)n.定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件,若矩阵阶数较高,计算量依然很大,特征值仍然需要计算,下面给出类似于定理4的充要条件.定理5设μ1,μ2,...,μt(互不相同)是Q∈Pn⨯n的的特征值,重数分别为s1,s2,...,st且s1+s2+ ...+st=n,Q可对角化⇔∏(μE-Q)=0. ii=1t证明:先证明必要性⎛μ1 Q与V= ⎝μ2⎫⎪⎪⎪相似,则存在非奇异矩阵T满足⎪μT⎪⎭8⎛ μ1E1⎫Q=TVT-1=T μ⎪2E2⎪⎪T-1,⎝μ⎪tEt⎪⎭其中Ei(i=1,2,...t)为si阶单位矩阵,于是(μiE-Q)=T(μiE-V)T-1⎛ (μi-μ1)E1⎫=T (μi-μ2)E⎪2⎪-1⎪T,⎪⎝(μi-μt)Et⎪⎭从而有∏tt(μ-1iE-Q)=∏T(μiE-V)Ti=1i=1⎛⎫∏(μi-μ1)E1⎪i=T ∏⎪(μi-μ2)E2⎪i⎪T-1.⎪⎝∏(μi-μ⎪t)Eti⎪⎭由于∏(μi-μj)Ej=0(j=1,2,...,t),因此i∏(μiE-Q)=0. i再证充分性:对于n阶矩阵Q,存在可逆矩阵T,使得⎛ J1⎫Q=TJT-1 J⎪=T 2⎪⎪T-1,⎝J⎪t⎪⎭Ji(i=1,2,...,t)是Jordan块,若Jj=μjEj(j=1,2,...t),Q就可以对角化,而(μiE-Q)=T(μiE-J)T-1⎛ (μi-J1)E1⎫=T (μJ⎪i-2)E2⎪⎪T-1,⎪⎝(μi-Jt)Et⎪⎭9⎛∏(μi-J1)E1 i (μE-Q)=T∏i i ⎝i∏(μii-J2)E2⎫⎪⎪⎪T-1. ⎪⎪(μi-Jt)Et⎪∏⎪i⎭所以,若(μiE-Q)=0,则因T可逆有∏(μiEi-Jj)=0(j=1,2,...,t),又因为当i≠j时,(μi≠μj)≠0,(μiEj-Jj)可逆,所以(μjEj-Jj)=0,即μjEj=Jj(j=1,2,...,t). 引理4X∈Pn⨯n,∂1,∂2…∂m...是X的关于特征值λ的特征向量,我们有∑ki∂ii=1m(ki,i=1,2,...,m不全为0,ki∈P)也是X的关于λ的特征向量.证明:已知X∂i=λ∂i,则kiX∂i=kiλ∂i,也即Xki∂i=λki∂i,因此X∑ki∂i=λ∑ki∂i,i=1i=1mm又ki不全为0,因此∑ki∂i≠0,由特征向量的定义有∑ki∂i是矩阵X的属于特i=1mmi=1征值λ得特征向量.定理6μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值,它们的代数重数依次是s1,s2,...,st ,则方阵Q与对角矩阵相似⇔r(Aj)=sj(j=1,2,...,t),Aj=∏(μiE-Q).i≠j证明:先证必要性.Q可对角化⇒存在可逆矩阵T使得Q=Tdiag(μ1,μ2,...,μt)T-1,从而Aj=∏(μiE-Q)i≠j⎛∏(μi-μ1)E1 i≠j =T ⎝∏(μi≠ji-μ2)E2⎫⎪⎪⎪-1⎪T ⎪(μi-μt)Et⎪∏⎪i≠j⎭10⎛O1 =T ⎝∏(μi≠ji-μj)Ej⎫⎪⎪⎪-1⎪T,⎪⎪Ot⎪⎭其中Oj为sj阶0矩阵,Ej为sj阶单位矩阵((j=1,2,...,t). 因T可逆,且μi≠μj,所以有r(Aj)=r(∏(μi-μj)Ej)=r(Ej)=sj(j=1,2,...,t).i≠j再证充分性:用反证法.假设方阵Q不与对角矩阵相似,由几何重数≤代数重数得:至少存在一个整数q,使得r(μqE-Q)>n-sq,于是当j≠q时,由引理3有sj=r(∏(μiE-Q))≥∑r(μiE-Q)-(t-2)n>∑(n-sj)-(t-2)ni≠j=(t-1)n-(t-2)n-∑sii≠j=n-(n-sj)=sj.矛盾,假设不成立,故Q与对角矩阵相似.定理7μ1,μ2,...,μt(互不相同)是n级方阵Q∈Pn⨯n的所有特征根,若对任意m∈Z+满足r(μi E-Q)m=r(μiE-Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.证明:设μ1,μ2,...,μt的重数分别为s1,s2,...,st,由Cayley-Hamilton第三版,高等教育出版社)得:定理(高等代数(μ1E-Q)s1(μ2E-Q)s2...(μtE-Q)st=O,再有引理3的推论就有r(μ1E-Q)s1+r(μ2E-Q)s2+...+r(μtE-Q)st≤(t-1)n+r((μ1E-Q)s1...(μtE-Q)st)=(t-1)n.11对任意正整数m,有r(μiE-Q)m=r(μiE-Q),因此r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...+r(μtE-Q)≤(t-1)n.从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n-r(μ1E-Q)+n-r(μ2E-Q)+...+n-r(μtE-Q) =tn-[r(μ1E-Q)+r(μ2E-Q)+...r(μtE-Q)]≥tn-(t-1)n=n.又r(Q)≤n,从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n,因此Q共有n个线性无关的特征向量,再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似.接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似⇔矩阵Q的最小多项式mQ(μ)无重根.证明:先证必要性.Q和对角阵相似⇒存在非奇异矩阵T∈Pn⨯n,满足⎛μ1Q=TVT-1=T⎝⎫⎪⎪-1T,⎪⎪μn⎪⎭从而有T-1QmT=Vm,令μ1,μ2,...,μt(t≤n)是方阵Q的互不相同的特征值,记f(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)..μ.(-μt) =μt+s1μt-1+...+st-1μ+st. 因为T-1f(Q)T=T-1(Qt+s1Qt-1+..+.st-1Q+stE)T=T-1QtT+s1T-1Qt-1T+...+st-1T-1QT+stT-1ET=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE=f(V).又 f(V)=Vt+s1Vt-1+...+st-1V+stE⎛μ1t= ⎝tμ2⎫⎛s1μ1t-1⎪⎪ + ⎪⎪ t⎪ μn⎭⎝t-1s1μ2⎫⎛st⎪⎪ +...+⎪⎪ t-1⎪ s1μn⎭⎝st⎫⎪⎪⎪⎪st⎪⎭12⎛μ1t+s1μ1t-1+...+sk = ⎝⎛f(μ1) = ⎝f(μ2) tt-1μ2+s1μ2+...+sk⎫⎪⎪⎪⎪tt-1μn+s1μn+...+sk⎪⎭⎫⎪⎪⎪=0.⎪f(μn)⎪⎭所以f(Q)=0,于是mQ(μ)f(μ),然而f(μ)无重根,故mQ(μ)无重根.再证充分性:mQ(μ)的互不相同的根是μ1,μ2,...,μt,由mQ(μ)无重根就有:mQ(μ)=(μ-μ1)(μ-μ2)...(μ-μt-1)(μ-μt),于是mQ(Q)=(μ1E-Q)(μ2E-Q)...(μtE-Q)=0.令r(μiE-Q)=qi,则μi的特征子空间的维数为n-qi,因此Q总共有(n-q1)+(n-q2)+..+.(n -qt)=s个线性无关的特征向量,且s≤n. 又因为q1+q2+...+qt≤(t-1)n,故s=(n-q1)+(n-q2)+...+(n-qt)≥n.从而s=n,也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量,由定理1就得Q可以对角化.134某些特殊矩阵的对角化4.1 实对称矩阵的对角化问题实对称矩阵这种矩阵很特别,在诸多方面的到运用,如常用来研究对称变换,对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化,是进行分类的初步.引理5 ]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似,并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A∈Cn⨯n,可逆矩阵T,使得*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪T-1AT= ,其中λ1,λ2,...,λn是矩阵A的特征值. ⎪⎪ λn⎪⎝⎭引理6 实对称矩阵的特征值为实数.证明:设λ0实对称矩阵A的一个特征值,则存在非零向量⎛x1⎫⎪ x⎪η= 2⎪,⎪ x⎪⎝n⎭满足 Aη=λ0η.令⎛1⎫⎪⎪= 2⎪,i称为xi的共轭复数(i=1,2,...n),则=0. ⎪⎪⎝n⎭观察下面式子'(Aη)=A'η=(A)'η=(Aη)'η,上式左边等于λ0'η,右边等于0η,故0'η=λ0'η,又'η=1x1+...+nxn≠0,14故λ0=0,即λ0是一个实数.引理7 设M,N为n⨯n实方阵,我们有如下结论:M,N在实数域上相似⇔M,N在复数域C上相似.证明:必要性显然,下面证明充分性.M,N在复数域上相似⇒∃n级可逆复矩阵,使得M=P-1NP.令P=A+iD,A ,D∈Rn⨯n,则(A+iD)M=N(A+iD)⇒AM=NA,DM=ND.所以对任意λ属于R都有(A+λD)=N(A+λD) (4)记h(x)=A+λD(实数系多项式),因为h(i)=A+iD=P≠0,所以h(x)≠0.因此,A+λD有有限个实数根,则存在η属于R,使得A+ηD≠0.由(4)式得M=(A+ηD)-1N(A+ηD), 也即M,N在实数域上相似.定理9⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数⇔存在正交矩阵T,满足T-1AT=T'AT=D,D 是上三角矩阵.⑵A正交且特征值全是实数⇒A是对称矩阵.证明:先证明必要性,根据引理5有,存在可逆矩阵P,使得*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2P-1AP= ⎪. ⎪ λn⎪⎝⎭再根据引理7,矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似,因此可以令P=Q T为实矩阵,Q乃正交矩阵,T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数,于是就有*⎫⎛λ1 ⎪λ2 ⎪Q-1AQ=T(P-1AP)T-1= ⎪⎪ λn⎪⎝⎭由T是上三角矩阵知他的逆T-1也是上三角矩阵,再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q-1AQ为上三角矩阵.再证充分性:A为n阶实矩阵,且存在正交矩阵Q使得Q-1AQ=Q'AQ为上三角矩阵,即15*⎫⎛λ1 ⎪λ ⎪2Q-1AQ= =Q'AQ,⎪⎪ λn⎪⎝⎭由此易知λ1,λ2,...,λn为实数且为A的特征根.⑵由⑴容易得到Q-1AQ=Q'AQ=D为上三角矩阵(Q是正交矩阵),又正交矩阵的积为正交矩阵,从而D为正交矩阵.因而D'=D-1,但是D-1是上三角矩阵,而D'为下三角矩阵,故D必为对角矩阵.从而A'=(QDQ')'=QD'Q'=QDQ'=A,也即A为对称矩阵.引理8 设A是对称变换,V1是A-子空间,则V1的正交补也是A-子空间. 定理10对任意n级实对称矩阵A,存在n阶正交矩阵T,使得T'AT=T-1AT为对角矩阵.证明定义A是与A对应的对称变换,只要证A有一组标准正交基(n个向量组成).下面用数学归纳法进行证明.当n=1时结论明显成立.假设对n-1结论成立.对n维欧氏向量空间Rn,β1为线性变换A的一个特征向量,对应的特征值是λ1.将β1单位化,并记为α1,再作α1的生成向量空间L(α1)的正交补,记为V1,由引理8有V1是对称变换A的不变子空间,他的维数为n-1,显然A限制在V1上仍然是对称变换A1,根据假设A1有特征向量α2,α3,...,αn做成V1的标准正交基,从而α1,... ,αn使Rn的标准正交基,又是A的n个特征向量.根据归纳假设定理得证.例4.1 已知⎛011-1⎫⎪10-11 ⎪A= , 1-101⎪⎪ -1110⎪⎝⎭求正交矩阵T使得T-1AT为对角矩阵.解:第一步,求矩阵A的特征值. 由16-1-11-1μ1-1 μE-A=μ-11μ-11-1-1μ0μ-1μ-11-μ2=0μ-10μ-100μ-1μ-11-1-1μ11-1-μ=-(μ-1)3101011=(μ-1)3(μ+3)由此有1(3重),-3为A的特征值.第二步,求特征值1对应的特征向量. 将μ=1带入下式⎧⎪μx1-x2-x3+x4=0,⎪⎨-x1+μx2+x3-x4=0,⎪-x1+x2+μx (5)3-x4=0,⎪⎩x1-x2-x3+μx4=0.得基础解系为μ1=(1,1,0,0),μ2=(1,0,1,0),μ3=(-1,0,0,1)..将基础解系正交化,得β1=(1,1,0,0),β12=(,-122,1,0),β1113=(-3,3,3,1)..再将上式单位化,有17η1=(11,,0,0), 22η2=(η3=(-112,-,,0), 6661113,,,). .上式为属于特征值1(三重)的三个标准正交特征向量.同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为η4=(1/2,-1/2,-1/2,1/2).特征向量η1,η2,η3,η4构成R4的一组标准交基,所求正交矩阵',η2',η3',η4'), T=(η1此时⎛1⎫⎪ 1⎪T-1AT= ⎪. 1 ⎪ -3⎪⎝⎭4.2幂等矩阵⎛Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵 O⎝O⎫⎪相似. ⎪O⎭证明:根据A2=A有,矩阵A的最小多项式mA(λ)整除λ2-λ.因λ2-λ=0无重根,由引理5 就有mA(λ)无重根,再由定理8就得矩阵A可对角化.4.3对合矩阵定理12对合矩阵A可对角化.证明:A2=E⇒mA(λ)λ2-1,易知λ2-1=0无重根,根据引理5得mA(λ)无重根,再根据定理8,A能够对角化.18。
高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用

高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用高考数学知识点解析:矩阵的相似对角化与应用在高考数学中,矩阵的相似对角化是一个较为重要的知识点,它不仅在数学理论中有着深刻的意义,而且在实际应用中也具有广泛的用途。
本文将对矩阵的相似对角化进行详细的解析,并探讨其在高考数学中的常见应用。
一、矩阵相似对角化的基本概念首先,我们来了解一下什么是矩阵的相似。
设 A、B 是两个 n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 P,使得\(P^{-1}AP = B\),则称矩阵 A 与矩阵 B 相似。
而矩阵的相似对角化,就是指对于一个 n 阶矩阵 A,如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵\(Λ\)(对角线上的元素为矩阵 A 的特征值),使得\(P^{-1}AP =Λ\),则称矩阵 A 可相似对角化。
为了实现矩阵的相似对角化,我们需要求出矩阵的特征值和特征向量。
特征值\(λ\)满足方程\(|A λE| = 0\)(其中 E 为单位矩阵),而对应的特征向量\(x\)满足\(Ax =λx\)。
二、求矩阵特征值和特征向量的方法对于一个 n 阶矩阵 A,计算其特征值的具体步骤如下:首先,写出矩阵\(A λE\)的行列式,然后求解方程\(|AλE| = 0\),得到的解即为矩阵 A 的特征值\(λ\)。
求出特征值后,将每个特征值代入方程\((A λE)x = 0\),通过解线性方程组来求得对应的特征向量。
这里需要注意的是,对于一个特征值,可能存在多个线性无关的特征向量。
三、矩阵可相似对角化的条件一个 n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是:矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。
如果矩阵 A 的特征值互不相同,那么一定可以相似对角化。
但如果存在重特征值,就需要判断其对应的线性无关的特征向量的个数。
例如,对于一个 2 阶矩阵,如果有两个不同的特征值,那么它一定可以相似对角化;如果只有一个特征值,且对应的特征向量只有一个,那么就不能相似对角化。
矩阵对角化的实际意义

矩阵对角化的实际意义矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念和技术,具有广泛的实际应用。
它可以将一个矩阵转化为对角矩阵,简化矩阵的计算和分析,并且揭示了矩阵的一些重要性质和特征。
在本文中,我们将探讨矩阵对角化的实际意义及其应用。
1. 矩阵对角化的定义和基本概念在介绍矩阵对角化的实际意义之前,我们先来回顾一下矩阵对角化的定义和基本概念。
给定一个n×n的方阵A,如果存在一个可逆矩阵P,使得P^-1 * A * P = D,其中D是对角矩阵,那么我们称矩阵A是可对角化的,P是对角化矩阵。
对角化的目的是将矩阵A转化为对角矩阵D,使得矩阵的计算和分析更加简单和方便。
对角矩阵的特点是非对角元素都为0,对角元素即为矩阵的特征值。
2. 矩阵对角化的实际意义矩阵对角化在实际中有很多应用,下面我们将介绍其中几个重要的实际意义。
2.1 矩阵的相似性和相似变换矩阵对角化揭示了矩阵的相似性和相似变换的重要性。
如果两个矩阵A和B相似,即存在一个可逆矩阵P,使得P^-1 * A * P = B,那么它们具有相同的特征值。
因此,通过对角化可以判断两个矩阵是否相似,并且可以找到相似变换矩阵P。
相似变换在很多实际问题中都有应用,比如在物理学中,相似变换可以用来描述不同坐标系下的物理量之间的关系;在机器学习中,相似变换可以用来降维和特征提取等。
2.2 矩阵的特征值和特征向量矩阵对角化将矩阵的特征值和特征向量从矩阵中解耦出来,使得它们更容易计算和分析。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质,它们可以揭示矩阵的很多信息。
特征值表示矩阵的特征,它可以用来描述矩阵的性质和行为。
比如在物理学中,矩阵的特征值可以用来描述系统的稳定性和振动频率等;在网络分析中,矩阵的特征值可以用来描述网络的连通性和聚类结构等。
特征向量是矩阵的重要性质,它可以用来描述矩阵的变换性质和模式。
比如在图像处理中,矩阵的特征向量可以用来表示图像的纹理和形状等;在社交网络分析中,矩阵的特征向量可以用来表示用户的兴趣和关系等。
矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要:矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象。
对角矩阵作为一种特殊的矩阵,在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。
本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析,并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件,同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法,最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词:对角化;特征值;特征向量;相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1:如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为=diag(,,,)定义2:把矩阵A(或线性变换)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换)的初等因子。
定义3:设A是数域P上的n级矩阵,如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0,则称f(x)以A为根,在以A为根的多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。
定义4:设V是P上的线性空间,是V上的一个变换,如果对任意V和P都有,则称为V的一个线性变换定义5:设是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果存在P中的一个数和V中非零元素使得,则称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量,由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间,称为的一个特征子空间。
定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵,如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=AX,则称A相似于B,记为A B,并称由A变到B得变换为相似变换,称X为相似变换矩阵。
二.矩阵对角化条件常用的充要条件(1)可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量;(2)可对角化当且仅当特征子空间维数之和为;(3)可对角化当且仅当的初等因子是一次的;(4)可对角化当且仅当的最小多项式无重根。
最新对角化矩阵的应用本科20545928

对角化矩阵的应用本科20545928毕业论文(设计)对角化矩阵的应用毕业论文(设计)承诺书本人郑重承诺:1、本论文(设计)是在指导教师的指导下,查阅相关文献,进行分析研究,独立撰写而成的.2、本论文(设计)中,所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文(设计)中除引文和致谢的内容外,不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文(设计)如有剽窃他人研究成果的情况,一切后果自负.学生(签名):2015 年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件,可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用,包括求方阵的高次幂,反求矩阵,判断矩阵是否相似,求特殊矩阵的特征值,在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵,运用线性变换把矩阵变为对角矩阵,求数列通项公式与极限,求行列式的值.【关键词】对角化;特征值;特征向量;矩阵相似;线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.[Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation目 录引 言 (1)1矩阵对角化 (1)1.1矩阵对角化的几个条件 ................................................................................ 1 1.2对角化矩阵的性质 ........................................................................................ 3 1.3 矩阵对角化的方法 ........................................................................................ 5 2对角化矩阵的应用 (6)2.1求方阵的高次幂 ............................................................................................ 6 2.2反求矩阵 ........................................................................................................ 6 2.3判断矩阵是否相似 ........................................................................................ 7 2.4求特殊矩阵的特征值 .................................................................................... 7 2.5在向量空间中应用 ........................................................................................ 8 2.6在线性变换中应用 ........................................................................................ 8 2.7求数列通项公式与极限 .. (9)例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nnn q p ∞→lim. (9)2.8求行列式的值 (11)2.9对角化矩阵在其他方面的应用 (13)参考文献 ............................................................................................................................ 15 致 谢 .. (16)引 言现如今,我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵(或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的),当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去,因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件,以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质,来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时,我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的,其原理是指通过矩阵的一系列初等变换(指:行、列变换)后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零,然而其他位置的数则是全部为零(那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵),这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是,我们所学过的矩阵并非都能对角化的,这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件引理]1[1 设n n P B A ⨯∈,,且,2A A =,2B B =BA AB =,则存在可逆矩阵P ,使B A ,可同时对角化.引理]2[2 如果n n n P diag P ⨯∈=),,,(21λλλ 的n 个对角元互不相同,矩阵n n P B ⨯∈,那么BP PB =当且仅当B 本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵)(2A A A =一定相似于一个对角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即∑==ni i i A A 1λ,其中i λ是矩阵A 的特征值,矩阵i A 为幂等矩阵,那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢?有如下结论:定理]3[1 若,2211n n k k k A ∆++∆+∆=n k k k ,,,21 是n 个数,n ∆∆∆,,, 21是n 个幂矩阵,并且他们两两可替换,)(,j i i j j i ≠∆∆=∆∆,则矩阵A 可对角化.证明 若n ∆∆∆,,, 21是n 个幂矩阵,并且两两可换,则一定有一个可逆矩阵1P ,使得n∆∆∆,,, 21,可同时对角化.n n n n P D P P D P 111111--=∆=∆,,)(1是对角矩阵,,n D D , P D k D k D k P P D k P P D k P P D k P k k k A n n n n n n )()()()(2211112211112211+++++++=∆++∆+∆=---- ,由是对角矩阵,,n D D 1知 n n D k D k D k +++ 2211同样是对角矩阵,即矩阵A 为对角化的矩阵.定理]4[2 如果n n P A ⨯∈,21λλ,是它两个不相同的特征值,那么矩阵A 可对角化⇔一定有幂等矩阵∆,满足∆-+=)(121λλλE A .证明 必要性:如果A 是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P ,满足∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2211111E E AP P λλ是一个对角阵.()()()121211121211111211000-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==P E P E P E P P E P P E P PAP A λλλλλλλλλ, 并且∆相似于2121212000∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---P E P P E P P E P , 若∆为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵∆满足∆-+=)(121λλλE A .充分性:若存在∆使得∆-+=)(121λλλE A ,因为∆是幂矩阵,所以一定会有一个T ,满足T E T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆-210,()()T E E T T E E T T E T E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---2211112121121)0(0λλλλλλλλ, 因此,T E E T AT T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--221111λλ, 即矩阵A 为可对角化的.定理]5[3 设矩阵n n P A ⨯∈存在n 个不同的特征值,则对于矩阵n n P B ⨯∈,BA AB =,当且仅当矩阵B A ,同时可以对角化.证明 必要性 若矩阵A 存在n 个特征值,且这些特征值是互不相同的数,则矩阵A 为对角化的矩阵.设AP P T 1-=,其中),,,(21n diag T λλλ =,则ABP P BP APP P BP P T 1111)(----==T BP P AP BPP P )(111---==,即T 与BP P 1-是可以进行交换的,因此得知BP P 1-是对角矩阵,且矩阵B 也是为对角化的矩阵.充分性 如果矩阵B A ,可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P ,使得P D P A 11-=,P D P B 21-=(其中为21D D ,对阵),BA P D PP D P P D D P P D D P P D PP D P AB =====------11211212112111,因此我们可以通过上述的一系列条件,来求出A 的特征值,且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件:如果∆=∆2这个条件成立,那么就认为矩阵A 可对角化,否则就认为矩阵A 不能可对角化,其中)(/)(21λλλ--=∆E A . 1.2对角化矩阵的性质定理]6[4 设A 为数域P 上的一个n 阶的矩阵,且它为可对角化的,tλλλ,,,21 是A 的相互不同的特征根,则一定会有n 阶的t A A A ,,,21 满足(1)t t A A A A λλλ+++= 2211;(2)E E A A A t ,21=+++ 是单位矩阵;(3)i i A A =2;(4)j i A A j i ≠=,0,其中1-=T TB A i i . 证明 (1)如果A 可对角化,那么在数域P 上一定会存在一个可逆矩阵T ,并且它的阶数为n 阶,满足B AT T t =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-λλλ00211 , 其中i λ的重数为i s ,由于矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110000111 tB λλ,将它记为t t B B B λλλ+++ 2211,因此,)()()(1111122111----++=+++==T TB T TB T B B B T TBT A t t t t λλλλλ ,将其记为t t A A A λλλ+++ 2211,其中1-=T TB A i ,所以t t A A A A λλλ+++= 2211.(2)如果每个i B 为对角形的幂矩阵,那么E B B B t =+++ 21,E TET T TB T TB T TB A A A t t ==+++=+++----11121121 ,故E A A A t =+++ 21.(3)如果1-=T TB A i i ,那么i i i i i i i i i i A T TB T TB T B TB T TB T TB T TB T TB A ======-------112111112))((,故i i A A =2.(4)当j i ≠时,0))((11111====-----T B TB T TB T TB T TB T TB A A j i j i j i j i ,0为零矩阵,故j i A A j i ≠=,0.例1 在数域P 上,若已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6788152051115A 的三个特征根分别是3,2,1,则一定会有一个⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211243132T ,满足B AT T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3000200011,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1111342561T ,将矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10030102001B , 记32132B B B ++,则,3211321132)32(A A A T B B B T TBT A ++=++==--其中1-=T TB A i i ,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=222222111,134412163912,2566151841012321A A A , 并且满足:(1)32132A A A A ++=;(2)E A A A =++321;(3))3,2,1(2==i A A i i ; (4)j i A A ji ≠=,0.可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域P 上,一个n 维空间V ,研究和探讨它能否可以找到一组基,并且在此基的作用下,所有的矩阵都是对角化的矩阵;发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵A 不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后,化简出矩阵A ,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵E Q Q Q T s s 111111-----= ,做如下的初等变换,则可以将矩阵A 化简为对角形矩阵B ,并且可以求得T 或由B 求A 的一系列特征值.1.3.2 求解齐次方程组的方法设矩阵A 是实对称矩阵,则求证交矩阵T 使得),,,(211n diag AT T λλλ =-的问题,一般的解法为: (1)求其特征值;(2)求其对应的特征向量;(3)写出矩阵T 及),,,(211n diag AT T λλλ =-.从而可以求出正交矩阵T ,可以避免了商的繁琐运算.定理]7[5 设A 是实对称矩阵,则有)1(21重,-n λλ,n αααβ,,,, 321对应于21λλ,,记)(1βL 由1β生成的一个空间,且)(32n L ααα,,, 由n ααα,,, 32生成的空间.2对角化矩阵的应用2.1求方阵的高次幂例2 设在数域P 上,有一个二维的线性空间V ,21ξξ,是这个线性空间V 的一组基,那么线性变换σ在21ξξ,这组基的作用下的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ,试通过上述给出的条件计算出矩阵k A .解 通过分析上述的条件,我们应该先计算线性变换σ在线性空间V 的另一组基21ηη,作用下的矩阵,令[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111,,2121ξξηη, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011211122111011221111, 易知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011011k k,再运用上面得出的几个关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011221111, 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11111210121112111101121-1-101-121kk k k k k k.2.2反求矩阵例3 设有一个实对称矩阵A ,且它的阶数为3阶,已知11321==-=λλλ,,1λ对应于T P )1,1,0(1=,求解A .解 根据矩阵A 是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A 可以对角化的结论,即得出矩阵A 是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且132==λλ对应于T X X X P ),,(321=,因为它和1P 正交,即003211=++=⋅X X X P P ,所以可以求出T T P P )1,1,0()0,0,1(32-==,,它们分别对应132==λλ.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000100011-01101010),,(321B P P P P ,, 则B AP P =-1,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-010********210001212101000100011011010101PBP A . 2.3判断矩阵是否相似例4 请判断下述三个矩阵是否会相似⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020102,300120012,300020002321A A A .解 我们可以很容易的得出三个矩阵321,,A A A 的特征值分别都是21=λ(二重),32=λ,其中矩阵1A 已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵32,A A 是否都可以对角化.通过21=λ,0)2(2=-X A E ,可以推出T )0,0,1(1=α,因为21=λ,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵2A 与矩阵1A 不相似的结论.通过21=λ,0)2(3=-X A E ,得出T T )0,1,0(,)0,0,1(21==ηη,通过32=λ,0)3(3=-X A E ,得出T )1,0,1(3=η,通过上述所推出的结论,我们可知矩阵3A 有三个线性无关的特征向量,即矩阵3A 与矩阵1A 这两个矩阵相似. 2.4求特殊矩阵的特征值例]8[5 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数为n 阶,满足A A 22=,n r A r <=)(,求出A 的全部特征值.解 假设λ为矩阵A 的一个特征值,而我们令ξ为矩阵A 的特征向量,它对应于特征值λ,因为λξξ=A ,所以ξλλξξ22==A A ,又因为A A 22=,所以λξξξ222==A A ,即λλ22=,由此我们可以推出02或=λ,根据矩阵A 是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A 一定能够进行对角化,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0022~ B A ,与r A r =)(,所以A 的秩数就是2的个数,以及A 有r 个2和)(r n -个0的特征值. 2.5在向量空间中应用例]9[6在n 维的V 空间中,有一个复矩阵,并且它的阶数为n 阶,还有一个复数α,令{}{}0)(,)(21=-∈=∈-=βαβββαA E V W V A E W ,则矩阵A 相似于对角阵,并且{}021=⋂W W .证明 因为对于任意一个210W W X ⋂∈,则有βα)(0A E X -=和0)(0=-X A E α,所以0)(2=-βαA E .又因为发现矩阵A 相似于对角阵,所以我们可以推出0)(0=-X A E α与0)(2=-βαA E 两个的解空间是完全相同的,即{}021=⋂W W .2.6在线性变换中应用例]10[7 设()1][>n X P n 是数域P 上的一个全体,且它是一个次数小于n 的多项式与零多项式,则请通过所学的进一步判断在n X P ][的任一组基下,矩阵通过微分变换τ能否变为对角形矩阵.证明 如果取()!1!211--n X X X n ,,,, , 那么矩阵可以表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001-n E ,所以有n A E λλ=-. 如果在某一组基的作用下,微分变换τ的矩阵B 为对角矩阵,由已知的矩阵B A ~可推出矩阵A 可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T 能够使得B AT T =-1,所以1-=TBT A .通过已知的微分变换τ的全为零,可以推出0=B ,0=A 这是不可能的,所以在n X P ][的任何一组基的作用下,微分变换τ的矩阵都不可能成为对角阵.2.7求数列通项公式与极限例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nn n q p∞→lim .解 把已知条件中的几个递推关系组n n n n n n q p q q p p +=+=++11,2,通过化简改写成下面的列矩阵的形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++111111211121q p q p q p nn n n n ,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121A 和0=-A E λ,可以求出A 的21,2121-=+=λλ,并且21λλ,分别对应T T X X )1,2(,)1,2(21-==.取),(21X X X =,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21212211X ,1210021-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=X X A , 从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-++2)21()21(2)21()21(112100211111111n n n n nn n X X q p ,因此2)21()21(nn n p -++=,2)21()21(n n n q --+=,并且2)21()21()21(2)21(2lim lim =--+-++=∞→∞→n n nn n nn n q p . 例9 已知),2,1(2,2),(,11111 =+=+=>==+++n ba b b a a b a n n n n n n βαβα这四个条件,请证明n n n n b a ∞→∞→lim lim 及存在并且相等,给出证明过程,同时请求出这两个的极限值.证明 把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出434,2211n n n n n n b a b b a a +=+=++, 然后再改写为另一种矩阵的形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11114341212143412121b a b a b a nn n n n ,由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=43412121A 和0=-A E λ,可以求出A 的14121==λλ,,并且21λλ,分别对应()()TTX X 11,1221,,=-=,取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1112,21X X X ,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-323131311X ,110041-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=X X A , 因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1004111X b a n n ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅-+⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-βα324131314131324231314231111n nn n b a X ,所以βα⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n a ,βα⋅⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n b ,即n n n n b a ∞→∞→=+=lim 3231lim βα. 例10 设有10=x ,e x =1,)1(11≥⋅=-+n x x x n n n 这三个条件,请求出n n x ∞→lim .解 从已知的三个条件可以推出),2,1(0 =>n x n ,以及)ln (ln 21ln 11-++=n n n x x x ,令n n x a ln =,则00=a ,11=a ,)1()(2111≥+=-+n a a a n n n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0111012121012121a a a a a a nn nn n , 由⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=012121A 和0=-A E λ,求得A 的21121-==λλ,,并且21λλ,分别对应TT X X )121(,)11(21,,-==.取),(21X X X =,令⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-11211321X ,121001-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=X X A ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n nn n XX a a )21(1)21(1320121001111, 从而推出:))21(1(32nn a --=,即))21(1(32n e x n --=,32lim e x n n =∞→.例11 设11=x ,nn x x +=+111,求n n x ∞→lim .解 令1+=n n n a a x ,根据条件nn x x +=+111,将其简化为n n n a a a +=++12,然后再写成矩阵)2(0111011112111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n a a a a a a n n n n n ,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 和0=-A E λ,求出A 的βλαλ=-==+=25125121,,且21λλ,分别对应的是TT X X )1(,)1(21,,βα==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==11),(21βαX X X ,则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X A βα, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+112211511100n n n n nn n X X a a βαβαβα, 即2151)()(1lim lim lim lim 1122111-==--=--==++∞→++++∞→+∞→∞→ααββααββαβαn n n n n n n n n n n n n a a x . 2.8求行列式的值例]12[12 设有一个n 阶的行列式,化简并求出它的值.)0(sin cos 21001cos 2100000001cos 21000001cos 21000001cos 2≠=ααααααn D ,解 按照第一列展开的21cos 2---=n n n D D D ,可以写成矩阵的另外一种形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---211011cos 2n n n n D D D D α, 记矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011cos 2αA ,则 )2(122211≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----n D D A D D A D D n n n n n , 通过0=-A E λ,我们可以计算出矩阵A 的ia ia e e -==21λλ,,且21λλ,分别对应T ia T ia e X e X )1(,)1(21,,-==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-11),(21ia ia e e X X X ,则100--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X e e X A ia ia, 推出()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----ααcos 21cos 40021221X e e X D D n ia n ia n n , 即)0(sin sin )1sin(≠+=αααn D n .例13 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数是n 阶,满足条件A A =2,且r 为矩阵A 的秩,通过上述条件求出行列式A E -2的值.解 因为A A =2,X X A AX X 22λλ===,所以有0)-(2=X λλ.因为0≠X ,所以0)1-(=λλ,10或=λ.因为矩阵A 是一个n 阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵A 的秩为r ,所以一定会存在一个可逆矩阵P ,可以使得B E AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001,其中矩阵r E 表示的是r 阶单位矩阵,所以可以推出)(22022211r n E E B E PBP PP A E rn r-==-=-=----.2.9对角化矩阵在其他方面的应用例14 在某个城市的就业数据中显示,一共有30万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商,假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示:(1)在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人,工业的有9万人,经商的有6万人;(2)在投身于农业的人中,每年大概有%10的人转行去经商,%20的人转行去做工业;(3)在投身于工业的人中,每年大概有%20的人转行去干农业,%10的人转行去经商;(4)在投身于经商的人中,每年大概有%10的人转行去做工业,%10的人转行去干农业.现在请大概预测一下,在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势.解 第i 年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个3维的向量i X 去表示它,则T X )6,9,15(0=.如果想要求21X X ,,并且能够很精确地考察在∞→n 时,nX的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个3阶矩阵)(ij a A =,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0A ,通过矩阵的乘法法则,我们可以得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===-2.79.99.12001AX X A X T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===04.823.1073.110212X A AX X , 所以01X A AX X n n n ==-,如果要继续进一步精确地分析n X ,那么必须要事先计算矩阵A 的n 次幂n A ,所以我们先可以将矩阵A 进行对角化,)5.0()7.0()1(8.01.01.01.07.02.01.02.07.0λλλλλλλ---=---=-E A ,所以能够得出特征值5.0,7.0,1321===λλλ,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量321,,q q q ,于是令),,(321q q q Q =,则就会有矩阵1-=QBQ A ,从而推出1-=Q QB A n n ,0X A X n n =,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.07.01B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n nn B 5.07.01, 当∞→n 时,矩阵n B 将趋向于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,从而推出矩阵n A 将趋向于1001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Q Q , 因为矩阵n X 跟我们已经确定下来的常量*X 非常接近,所以可以得出1-n X 亦必趋于*X ,再通过1-=n n AX X 的转化,就能够准确得知*X 必需要满足条件**AX X =,进而可以推断出*X 是矩阵A 属于特征值11=λ的一个特征向量T T t t t t X ),,()111(*==,,,,303==++t t t t 10=t ,按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后,那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等, 三者平均下来为10万人.参考文献[1] 北京大学教学系几何与代数教研室.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[2] 胡显佑主编.线性代数挚习指导[M].天津:南开大学出版社,1997.[3] 刘九兰,张乃一,曲问薄主编.线性代数考研[M].天津:天津大学出版社,2000.5.[4] 谢国瑞主编.线性代数及应用[M].北京:高等教育出版社.1999.[5] 张学元主编.线性代数能力试题题解[M].武汉:华中理工大学出版社,2000.[6] 徐仲主编.线性代数典型题分析解集[M].西北工业大学出版社,1998,6.[7] 樊辉,钱吉林主编,代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出艋社.1994,12.[8] 曹锡皓.高等代数[M].北京:北京师范大学出版社,1987.[9] 张远达.线性代数原理[M].上海:上海科学出版社,1981.[10] Kline Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. New York: OxfordUniversity Press, 1972.[11]Rebollo-Neira L,Fernandez Rubio J.On the Inverse Windowed Fourier transform[M].IEEETranks on Information Theory,1999.[12] Babaie-Zadeh,M. Jutten, C.,Mohimani, H. On the Error of Estimating the Sparsest Solution ofUnderdetermined Linear Systems[M].2011.致谢在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢.王老师的严谨治学态度让我受益匪浅.在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文.与此同时,我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友.毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
矩阵的正交对角化及其应用分析

矩阵的正交对角化及其应用分析矩阵是线性代数中重要的概念之一,广泛应用于各个领域。
在矩阵理论中,正交对角化是一种重要的矩阵分解方法,它在解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题中具有重要的应用。
正交对角化是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵,并且这个相似变换矩阵是正交矩阵的过程。
具体而言,对于一个n阶方阵A,如果存在一个正交矩阵P,使得P^(-1)AP=D,其中D为对角矩阵,那么我们称A可被正交对角化。
为了实现正交对角化,我们需要先找到矩阵A的特征值和特征向量。
设λ为A的一个特征值,x为对应的特征向量,那么有Ax=λx。
通过求解特征方程det(A-λI)=0,我们可以得到A的所有特征值。
对于每个特征值,我们可以通过求解(A-λI)x=0得到对应的特征向量。
接下来,我们需要将特征向量组成一个矩阵P,使得P的每一列都是A的一个特征向量。
然后,我们可以计算P^(-1)AP,得到一个对角矩阵D。
这个过程中,我们需要确保特征向量的线性无关性,以及特征向量的单位化。
正交对角化的应用非常广泛。
首先,它可以用于解决线性方程组。
对于一个矩阵A,如果它可被正交对角化,那么我们可以通过正交对角化将线性方程组转化为对角方程组,从而更加方便地求解。
其次,正交对角化可以用于求解特征值和特征向量。
通过正交对角化,我们可以将一个矩阵转化为对角矩阵,对角矩阵的对角线元素就是原矩阵的特征值。
同时,对角矩阵的每一列就是原矩阵的特征向量。
此外,正交对角化还可以用于矩阵的相似变换。
相似矩阵具有相同的特征值,因此通过正交对角化,我们可以将一个矩阵转化为对角矩阵,从而更容易进行矩阵的运算和分析。
需要注意的是,并非所有的矩阵都可以被正交对角化。
一个矩阵可被正交对角化的充要条件是它是对称矩阵。
对称矩阵具有一些特殊的性质,例如它的特征值都是实数,特征向量之间正交等。
总结来说,矩阵的正交对角化是一种重要的矩阵分解方法,它在解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题中具有广泛的应用。
02-矩阵对角化的应用举例(II)

§3 相似矩阵四、矩阵对角化应用举例(II))II)四、矩阵对角化应用举例(四、矩阵对角化应用举例(II定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A可以对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.例3判断下列实矩阵能否化为对角阵?解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A E A λ-由()()722+--=λλ0=λλλ-------=242422221.,得72321-===λλλ()由,代入2将2101=-==X E A λλλ⎪⎪⎪⎫⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛--=0 02-21~-4 422 2- 1-2-00E A 得基础解系.,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11010221αα⎭⎝⎝0 44 2 0()由,代入-7将330=-=X E A λλ⎪⎪⎪⎫⎛⎪⎪⎪⎫ ⎛-=+1 12101~4 5 22 2- 8 700E A 得基础解系.2 2-1-3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α⎪⎭⎝⎭⎝0 5 4 2 0,-- 由于0211210102≠.线性无关,,所以321ααα.可对角化因而,个线性无关的特征向量有即A A 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=163053064A 设A 能否对角化?若能对角化,则求出可逆矩阵P 例4.为对角阵使AP P 1-解λλλλ-------=-163053064E A ()()212+--=λλ.,的全部特征值为所以21321-===λλλA()由,代入将0121=-==X E A λλλ⎪⎪⎪⎫⎛⎪⎪⎪⎫ ⎛--=006030600021~6 3 -E A 得基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0121ξ.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002ξ⎭⎝⎭⎝--0030()由,代入将023=--=X E A λλ T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+00011010363033062 1~ 6 E A ().得基础解系为,,1113-=ξ.线性无关,,由于321ξξξ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==110101102321ξξξ,,令P . 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2000100011AP P 所以可对角化.A注意()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0121,,若令13110102ξξξP ⎛0即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应..12- 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝=-0001001AP P1. 求出矩阵的所有特征值;小结(矩阵对角化的一般步骤) 2. 求出所有特征值对应的线性无关的特征向量;3. 若能对角化,则构造可逆矩阵P ,使为对角矩阵.AP P 1课后作业课本:P.139, 16.。
矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要:矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象。
对角矩阵作为一种特殊的矩阵,在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。
本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析,并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件,同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法,最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用•关键词:对角化;特征值;特征向量;相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似\ 0 »0 - 0定义1:如下形式的nXn矩阵A = 1° 0…入J称为对角矩阵简记为AL 1. X=diag(一,◎,,一)定义2:把矩阵A (或线性变换T )的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幕的乘积,所有这些一次因式方幕(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换T )的初等因子。
定义3:设A是数域P上的n级矩阵,如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=O,则称f(x)以A为根,在以A为根的多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。
定义4:设V是P上的线性空间,°是V上的一个变换,如果对任意①卩£ V和上€ P都有点咽丽心阶㈣ 5何,则称。
为V的一个线性变换定义5:设0是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果存在P中的一个数A 和V中非零元素CL使得加,则称玄为0的一个特征值,而称亿为0的属于特征值k的一个特征向量,由0的属于特征值2的全部特征向量再添上零元素构成的集合叫一匕|。
何一丄观创构成V的一个子空间,称为0的一个特征子空间。
定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵,如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B二X "AX,则称A相似于B,记为M' B,并称由A变到B得变换为相似变换,称X为相似变换矩阵。
矩阵的可对角化及应用

矩阵的可对角化及应用矩阵的可对角化是线性代数中一个重要的概念,它在解决线性方程组、求解特征值和特征向量等问题中有着广泛的应用。
本文将从可对角化的定义、判定条件、可逆矩阵的可对角化以及应用等方面进行论述。
首先,我们来定义可对角化矩阵。
一个n阶方阵A称为可对角化的,如果存在一个可逆矩阵P,使得P^-1AP=D,其中D是一个对角矩阵。
那么如何判定一个矩阵是否可对角化呢?根据线性代数基本定理,一个n阶方阵A可对角化的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量。
具体地说,对于特征值λ及其对应的特征向量v,如果A存在n个线性无关的特征向量v1,v2,...,vn,对应特征值λ1,λ2,...,λn,则A可对角化。
需要注意的是,A不一定有n个不同的特征值,但是至少要有n个线性无关的特征向量。
关于可对角化矩阵,还有一个重要的结论是:若A可对角化,且λ1,λ2,...,λn是A的n个特征值,则A的k次幂矩阵A^k可对角化,且对应的特征值是λ1^k,λ2^k,...,λn^k。
下面我们来讨论可逆矩阵的可对角化。
对于一个可逆矩阵A,它可以写成对角化的形式A=PDP^-1,其中D是对角矩阵,P是可逆矩阵。
根据可逆矩阵的性质,P^-1A=DP^-1,即A和D有相似的特征值和相同的特征多项式。
在实际应用中,矩阵的可对角化具有许多重要的应用。
首先,对于一个可对角化的矩阵A,我们可以很方便地求解线性方程组Ax=b。
我们可以先通过对A进行对角化,得到A=PDP^-1,然后将方程组转化为DP^-1x=P^-1b,令y=P^-1x,则有Dy=P^-1b,由于D是对角矩阵,所以这个方程组的解可以很容易地得到。
最后通过y=P^-1x,我们可以求得方程组Ax=b的解x。
其次,可对角化矩阵在求解特征值和特征向量的问题上也有着重要的应用。
对于一个n阶可对角化矩阵A,我们可以通过对A进行对角化,得到A=PDP^-1。
由于D是对角矩阵,它的对角线元素就是A的特征值。
可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用
可对角化矩阵,又称为可变换矩阵,是指一种能够通过特定的线性变换由其他矩阵转
化来的矩阵,它的特点是它的主对角线元素的值都是一样的,另外的元素值多为零。
可对
角化矩阵是非常常用的线性代数工具,在很多领域都有应用。
1、利用可对角化矩阵可以求解线性方程组,这是最基本的应用。
因为可对角化矩阵
保留了线性方程组原有特征,又具有特殊的结构,使得解法容易实现。
2、可对角化矩阵在时域解析滤波器的设计中也有着广泛的应用,这一条也是可对角
化矩阵经常被引用的理由。
在滤波器的设计中,可以利用可对角化矩阵,从而更容易地实
现信号状态的连续变换,从而实现滤波器设计效果。
3、在优化计算中也有应用,由于可对角化矩阵具有特殊的性质,也就是主对角线上
的元素均等,其他元素均等,可以在优化计算中减少计算量,从而提升效率。
4、在概率论中,也有应用,可以将多元线性回归分析中的协方差矩阵进行可对角化,从而使分析更加容易。
此外,还可以经由可对角化矩阵来求解最大似然估计中的协方差矩阵。
总之,可对角化矩阵在线性代数,概率论,优化计算,滤波器等许多领域都有广泛的
应用,近年来随着数学计算在各个领域中广泛应用,这种矩阵也更加引人关注,得到了大
量研究。
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对角化矩阵的应用本科XXX学校毕业论文(设计)对角化矩阵的应用学生姓名学院专业班级学号指导教师2015年 4 月 25 日毕业论文(设计)承诺书本人郑重承诺:1、本论文(设计)是在指导教师的指导下,查阅相关文献,进行分析研究,独立撰写而成的.2、本论文(设计)中,所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文(设计)中除引文和致谢的内容外,不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文(设计)如有剽窃他人研究成果的情况,一切后果自负.学生(签名):2015 年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件,可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用,包括求方阵的高次幂,反求矩阵,判断矩阵是否相似,求特殊矩阵的特征值,在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵,运用线性变换把矩阵变为对角矩阵,求数列通项公式与极限,求行列式的值.【关键词】对角化;特征值;特征向量;矩阵相似;线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.[Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation目 录引 言 01矩阵对角化 01.1矩阵对角化的几个条件 ................................................................................ 0 1.2对角化矩阵的性质 ........................................................................................ 2 1.3 矩阵对角化的方法 ........................................................................................ 4 2对角化矩阵的应用 (5)2.1求方阵的高次幂 ............................................................................................ 5 2.2反求矩阵 ........................................................................................................ 5 2.3判断矩阵是否相似 ........................................................................................ 6 2.4求特殊矩阵的特征值 .................................................................................... 6 2.5在向量空间中应用 ........................................................................................ 7 2.6在线性变换中应用 ........................................................................................ 7 2.7求数列通项公式与极限 .. (8)例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nnn q p ∞→lim. (8)2.8求行列式的值 (10)2.9对角化矩阵在其他方面的应用 (12)参考文献 ............................................................................................................................ 14 致 谢 .. (15)引 言现如今,我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵(或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的),当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去,因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件,以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质,来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时,我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的,其原理是指通过矩阵的一系列初等变换(指:行、列变换)后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零,然而其他位置的数则是全部为零(那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵),这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是,我们所学过的矩阵并非都能对角化的,这个是有条件限制的. 1.1矩阵对角化的几个条件引理]1[1 设n n P B A ⨯∈,,且,2A A =,2B B =BA AB =,则存在可逆矩阵P ,使B A ,可同时对角化.引理]2[2 如果n n n P diag P ⨯∈=),,,(21λλλ 的n 个对角元互不相同,矩阵n n P B ⨯∈,那么BP PB =当且仅当B 本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵)(2A A A =一定相似于一个对角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即∑==ni i i A A 1λ,其中i λ是矩阵A 的特征值,矩阵i A 为幂等矩阵,那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢?有如下结论:定理]3[1 若,2211n n k k k A ∆++∆+∆=n k k k ,,,21 是n 个数,n ∆∆∆,,, 21是n 个幂矩阵,并且他们两两可替换,)(,j i i j j i ≠∆∆=∆∆,则矩阵A 可对角化.证明 若n ∆∆∆,,, 21是n 个幂矩阵,并且两两可换,则一定有一个可逆矩阵1P ,使得n∆∆∆,,, 21,可同时对角化.n n n n P D P P D P 111111--=∆=∆,,)(1是对角矩阵,,n D D , P D k D k D k P P D k P P D k P P D k P k k k A n n n n n n )()()()(2211112211112211+++++++=∆++∆+∆=---- ,由是对角矩阵,,n D D 1知 n n D k D k D k +++ 2211同样是对角矩阵,即矩阵A 为对角化的矩阵.定理]4[2 如果n n P A ⨯∈,21λλ,是它两个不相同的特征值,那么矩阵A 可对角化⇔一定有幂等矩阵∆,满足∆-+=)(121λλλE A .证明 必要性:如果A 是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P ,满足∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2211111E E AP P λλ是一个对角阵.()()()121211121211111211000-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==P E P E P E P P E P P E P PAP A λλλλλλλλλ, 并且∆相似于2121212000∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---P E P P E P P E P , 若∆为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵∆满足∆-+=)(121λλλE A .充分性:若存在∆使得∆-+=)(121λλλE A ,因为∆是幂矩阵,所以一定会有一个T ,满足T E T⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆-210,()()T E E T T E E T T E T E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---2211112121121)0(0λλλλλλλλ, 因此,T E E T AT T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--221111λλ, 即矩阵A 为可对角化的.定理]5[3 设矩阵n n P A ⨯∈存在n 个不同的特征值,则对于矩阵n n P B ⨯∈,BA AB =,当且仅当矩阵B A ,同时可以对角化.证明 必要性 若矩阵A 存在n 个特征值,且这些特征值是互不相同的数,则矩阵A 为对角化的矩阵.设AP P T 1-=,其中),,,(21n diag T λλλ =,则ABP P BP APP P BP P T 1111)(----==T BP P AP BPP P )(111---==,即T 与BP P 1-是可以进行交换的,因此得知BP P 1-是对角矩阵,且矩阵B 也是为对角化的矩阵.充分性 如果矩阵B A ,可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P ,使得P D P A 11-=,P D P B 21-=(其中为21D D ,对阵),BA P D PP D P P D D P P D D P P D PP D P AB =====------11211212112111,因此我们可以通过上述的一系列条件,来求出A 的特征值,且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件:如果∆=∆2这个条件成立,那么就认为矩阵A 可对角化,否则就认为矩阵A 不能可对角化,其中)(/)(21λλλ--=∆E A . 1.2对角化矩阵的性质定理]6[4 设A 为数域P 上的一个n 阶的矩阵,且它为可对角化的,tλλλ,,,21 是A 的相互不同的特征根,则一定会有n 阶的t A A A ,,,21 满足(1)t t A A A A λλλ+++= 2211;(2)E E A A A t ,21=+++ 是单位矩阵;(3)i i A A =2;(4)j i A A j i ≠=,0,其中1-=T TB A i i . 证明 (1)如果A 可对角化,那么在数域P 上一定会存在一个可逆矩阵T ,并且它的阶数为n 阶,满足B AT T t =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-λλλ00211 , 其中i λ的重数为i s ,由于矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110000111 tB λλ,将它记为t t B B B λλλ+++ 2211,因此,)()()(1111122111----++=+++==T TB T TB T B B B T TBT A t t t t λλλλλ ,将其记为t t A A A λλλ+++ 2211,其中1-=T TB A i ,所以t t A A A A λλλ+++= 2211.(2)如果每个i B 为对角形的幂矩阵,那么E B B B t =+++ 21,E TET T TB T TB T TB A A A t t ==+++=+++----11121121 ,故E A A A t =+++ 21.(3)如果1-=T TB A i i ,那么i i i i i i i i i i A T TB T TB T B TB T TB T TB T TB T TB A ======-------112111112))((,故i i A A =2.(4)当j i ≠时,0))((11111====-----T B TB T TB T TB T TB T TB A A j i j i j i j i ,0为零矩阵,故j i A A j i ≠=,0.例1 在数域P 上,若已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6788152051115A 的三个特征根分别是3,2,1,则一定会有一个⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211243132T ,满足B AT T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3000200011,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1111342561T ,将矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10030102001B , 记32132B B B ++,则,3211321132)32(A A A T B B B T TBT A ++=++==--其中1-=T TB A i i ,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=222222111,134412163912,2566151841012321A A A , 并且满足:(1)32132A A A A ++=;(2)E A A A =++321;(3))3,2,1(2==i A A i i ; (4)j i A A ji ≠=,0.可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域P 上,一个n 维空间V ,研究和探讨它能否可以找到一组基,并且在此基的作用下,所有的矩阵都是对角化的矩阵;发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵A 不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后,化简出矩阵A ,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵E Q Q Q T s s 111111-----= ,做如下的初等变换,则可以将矩阵A 化简为对角形矩阵B ,并且可以求得T 或由B 求A 的一系列特征值.1.3.2 求解齐次方程组的方法设矩阵A 是实对称矩阵,则求证交矩阵T 使得),,,(211n diag AT T λλλ =-的问题,一般的解法为: (1)求其特征值;(2)求其对应的特征向量;(3)写出矩阵T 及),,,(211n diag AT T λλλ =-.从而可以求出正交矩阵T ,可以避免了商的繁琐运算.定理]7[5 设A 是实对称矩阵,则有)1(21重,-n λλ,n αααβ,,,, 321对应于21λλ,,记)(1βL 由1β生成的一个空间,且)(32n L ααα,,, 由n ααα,,, 32生成的空间.2对角化矩阵的应用2.1求方阵的高次幂例2 设在数域P 上,有一个二维的线性空间V ,21ξξ,是这个线性空间V 的一组基,那么线性变换σ在21ξξ,这组基的作用下的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ,试通过上述给出的条件计算出矩阵k A .解 通过分析上述的条件,我们应该先计算线性变换σ在线性空间V 的另一组基21ηη,作用下的矩阵,令[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111,,2121ξξηη, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011211122111011221111, 易知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011011k k,再运用上面得出的几个关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011221111, 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11111210121112111101121-1-101-121kk k k k k k.2.2反求矩阵例3 设有一个实对称矩阵A ,且它的阶数为3阶,已知11321==-=λλλ,,1λ对应于T P )1,1,0(1=,求解A .解 根据矩阵A 是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A 可以对角化的结论,即得出矩阵A 是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且132==λλ对应于T X X X P ),,(321=,因为它和1P 正交,即003211=++=⋅X X X P P ,所以可以求出T T P P )1,1,0()0,0,1(32-==,,它们分别对应132==λλ.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000100011-01101010),,(321B P P P P ,, 则B AP P =-1,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-010********210001212101000100011011010101PBP A . 2.3判断矩阵是否相似例4 请判断下述三个矩阵是否会相似⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020102,300120012,300020002321A A A . 解 我们可以很容易的得出三个矩阵321,,A A A 的特征值分别都是21=λ(二重),32=λ,其中矩阵1A 已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵32,A A 是否都可以对角化.通过21=λ,0)2(2=-X A E ,可以推出T )0,0,1(1=α,因为21=λ,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵2A 与矩阵1A 不相似的结论.通过21=λ,0)2(3=-X A E ,得出T T )0,1,0(,)0,0,1(21==ηη,通过32=λ,0)3(3=-X A E ,得出T )1,0,1(3=η,通过上述所推出的结论,我们可知矩阵3A 有三个线性无关的特征向量,即矩阵3A 与矩阵1A 这两个矩阵相似. 2.4求特殊矩阵的特征值例]8[5 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数为n 阶,满足A A 22=,n r A r <=)(,求出A 的全部特征值.解 假设λ为矩阵A 的一个特征值,而我们令ξ为矩阵A 的特征向量,它对应于特征值λ,因为λξξ=A ,所以ξλλξξ22==A A ,又因为A A 22=,所以λξξξ222==A A ,即λλ22=,由此我们可以推出02或=λ,根据矩阵A 是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A 一定能够进行对角化,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0022~ B A ,与r A r =)(,所以A 的秩数就是2的个数,以及A 有r 个2和)(r n -个0的特征值. 2.5在向量空间中应用例]9[6在n 维的V 空间中,有一个复矩阵,并且它的阶数为n 阶,还有一个复数α,令{}{}0)(,)(21=-∈=∈-=βαβββαA E V W V A E W ,则矩阵A 相似于对角阵,并且{}021=⋂W W .证明 因为对于任意一个210W W X ⋂∈,则有βα)(0A E X -=和0)(0=-X A E α,所以0)(2=-βαA E .又因为发现矩阵A 相似于对角阵,所以我们可以推出0)(0=-X A E α与0)(2=-βαA E 两个的解空间是完全相同的,即{}021=⋂W W . 2.6在线性变换中应用例]10[7 设()1][>n X P n 是数域P 上的一个全体,且它是一个次数小于n 的多项式与零多项式,则请通过所学的进一步判断在n X P ][的任一组基下,矩阵通过微分变换τ能否变为对角形矩阵.证明 如果取()!1!211--n X X X n ,,,, , 那么矩阵可以表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001-n E ,所以有n A E λλ=-. 如果在某一组基的作用下,微分变换τ的矩阵B 为对角矩阵,由已知的矩阵B A ~可推出矩阵A 可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T 能够使得B AT T =-1,所以1-=TBT A .通过已知的微分变换τ的全为零,可以推出0=B ,0=A 这是不可能的,所以在n X P ][的任何一组基的作用下,微分变换τ的矩阵都不可能成为对角阵.2.7求数列通项公式与极限例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nn n q p∞→lim .解 把已知条件中的几个递推关系组n n n n n n q p q q p p +=+=++11,2,通过化简改写成下面的列矩阵的形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++111111211121q p q p q p nn n n n ,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121A 和0=-A E λ,可以求出A 的21,2121-=+=λλ,并且21λλ,分别对应T T X X )1,2(,)1,2(21-==.取),(21X X X =,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21212211X,1210021-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=X X A , 从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-++2)21()21(2)21()21(11210021*******n n n n nn n X X q p , 因此2)21()21(nn n p -++=,2)21()21(n n n q --+=,并且2)21()21()21(2)21(2lim lim =--+-++=∞→∞→n n nn n nn n q p . 例9 已知),2,1(2,2),(,11111 =+=+=>==+++n ba b b a a b a n n n n n n βαβα这四个条件,请证明n n n n b a ∞→∞→lim lim 及存在并且相等,给出证明过程,同时请求出这两个的极限值.证明 把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出434,2211n n n n n n b a b b a a +=+=++, 然后再改写为另一种矩阵的形式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11114341212143412121b a b a b a nn n n n ,由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=43412121A 和0=-A E λ,可以求出A 的14121==λλ,,并且21λλ,分别对应()()TT X X 11,1221,,=-=,取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1112,21X X X ,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-323131311X ,110041-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=X X A , 因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1004111X b a n n ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅-+⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-βα324131314131324231314231111n nn n b a X ,所以βα⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n a ,βα⋅⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n b ,即n n n n b a ∞→∞→=+=lim 3231lim βα. 例10 设有10=x ,e x =1,)1(11≥⋅=-+n x x x n n n 这三个条件,请求出n n x ∞→lim .解 从已知的三个条件可以推出),2,1(0 =>n x n ,以及)ln (ln 21ln 11-++=n n n x x x ,令n n x a ln =,则00=a ,11=a ,)1()(2111≥+=-+n a a a n n n ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0111012121012121a a a a a a nn nn n , 由⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=012121A 和0=-A E λ,求得A 的21121-==λλ,,并且21λλ,分别对应TT X X )121(,)11(21,,-==.取),(21X X X =,令⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-11211321X ,121001-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=X X A ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n nn n X X a a )21(1)21(1320121001111, 从而推出:))21(1(32nn a --=,即))21(1(32n e x n --=,32lim e x n n =∞→.例11 设11=x ,nn x x +=+111,求n n x ∞→lim .解 令1+=n n n a a x ,根据条件nn x x +=+111,将其简化为n n n a a a +=++12,然后再写成矩阵)2(0111011112111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n a a a a a a n n n n n , 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 和0=-A E λ,求出A 的βλαλ=-==+=25125121,,且21λλ,分别对应的是T T X X )1(,)1(21,,βα==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==11),(21βαX X X ,则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X A βα, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+112211511100n n n n nn n X X a a βαβαβα, 即2151)()(1lim lim limlim 1122111-==--=--==++∞→++++∞→+∞→∞→ααββααββαβαn n n n n n n n n n n n n a a x . 2.8求行列式的值例]12[12 设有一个n 阶的行列式,化简并求出它的值.)0(sin cos 21001cos 2100000001cos 21000001cos 21000001cos 2≠=ααααααn D ,解 按照第一列展开的21cos 2---=n n n D D D ,可以写成矩阵的另外一种形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---211011cos 2n n n n D D D D α, 记矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011cos 2αA ,则 )2(122211≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----n D D A D D A D D n n n n n , 通过0=-A E λ,我们可以计算出矩阵A 的ia ia e e -==21λλ,,且21λλ,分别对应T ia T ia e X e X )1(,)1(21,,-==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-11),(21ia ia e e X X X ,则100--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X e e X A ia ia, 推出()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----ααcos 21cos 40021221X e e X D D n ia n ia n n ,即)0(sin sin )1sin(≠+=αααn D n .例13 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数是n 阶,满足条件A A =2,且r 为矩阵A 的秩,通过上述条件求出行列式A E -2的值.解 因为A A =2,X X A AX X 22λλ===,所以有0)-(2=X λλ.因为0≠X ,所以0)1-(=λλ,10或=λ.因为矩阵A 是一个n 阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵A 的秩为r ,所以一定会存在一个可逆矩阵P ,可以使得B E AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001,其中矩阵r E 表示的是r 阶单位矩阵,所以可以推出)(22022211r n E E B E PBP PP A E rn r-==-=-=----.2.9对角化矩阵在其他方面的应用例14 在某个城市的就业数据中显示,一共有30万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商,假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示:(1)在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人,工业的有9万人,经商的有6万人;(2)在投身于农业的人中,每年大概有%10的人转行去经商,%20的人转行去做工业;(3)在投身于工业的人中,每年大概有%20的人转行去干农业,%10的人转行去经商;(4)在投身于经商的人中,每年大概有%10的人转行去做工业,%10的人转行去干农业.现在请大概预测一下,在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势.解 第i 年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个3维的向量i X 去表示它,则T X )6,9,15(0=.如果想要求21X X ,,并且能够很精确地考察在∞→n 时,n X 的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个3阶矩阵)(ij a A =,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0A ,通过矩阵的乘法法则,我们可以得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===-2.79.99.12001AX X A X T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===04.823.1073.110212X A AX X , 所以01X A AX X n n n ==-,如果要继续进一步精确地分析n X ,那么必须要事先计算矩阵A 的n 次幂n A ,所以我们先可以将矩阵A 进行对角化,)5.0()7.0()1(8.01.01.01.07.02.01.02.07.0λλλλλλλ---=---=-E A ,所以能够得出特征值5.0,7.0,1321===λλλ,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量321,,q q q ,于是令),,(321q q q Q =,则就会有矩阵1-=QBQ A ,从而推出1-=Q QB A n n ,0X A X n n =,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.07.01B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n nn B 5.07.01, 当∞→n 时,矩阵n B 将趋向于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,从而推出矩阵n A 将趋向于1001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Q Q , 因为矩阵n X 跟我们已经确定下来的常量*X 非常接近,所以可以得出1-n X 亦必趋于*X ,再通过1-=n n AX X 的转化,就能够准确得知*X 必需要满足条件**AX X =,进而可以推断出*X 是矩阵A 属于特征值11=λ的一个特征向量T T t t t t X ),,()111(*==,,,,303==++t t t t 10=t ,按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后,那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等, 三者平均下来为10万人.参考文献[1] 北京大学教学系几何与代数教研室.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[2] 胡显佑主编.线性代数挚习指导[M].天津:南开大学出版社,1997.[3] 刘九兰,张乃一,曲问薄主编.线性代数考研[M].天津:天津大学出版社,2000.5.[4] 谢国瑞主编.线性代数及应用[M].北京:高等教育出版社.1999.[5] 张学元主编.线性代数能力试题题解[M].武汉:华中理工大学出版社,2000.[6] 徐仲主编.线性代数典型题分析解集[M].西北工业大学出版社,1998,6.[7] 樊辉,钱吉林主编,代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出艋社.1994,12.[8] 曹锡皓.高等代数[M].北京:北京师范大学出版社,1987.[9] 张远达.线性代数原理[M].上海:上海科学出版社,1981.[10] Kline Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. New York: OxfordUniversity Press, 1972.[11]Rebollo-Neira L,Fernandez Rubio J.On the Inverse Windowed Fourier transform[M].IEEETranks on Information Theory,1999.[12] Babaie-Zadeh,M. Jutten, C.,Mohimani, H. On the Error of Estimating the Sparsest Solution ofUnderdetermined Linear Systems[M].2011.致谢在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢.王老师的严谨治学态度让我受益匪浅.在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文.与此同时,我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友.。