动力学基础

一个力学系统，如果仅受到完整约束的作用，那么，这种系统称为 完整系统。如果受到的约束有非完整约束，则这种系统称为非完整 系统。
上一页 下一页
4.单面约束和双面约束。若质点系虽然受到约束，但在某些方向可以 脱离约束的限制，则这类约束称为单面约束（又称可解约束非固执约 束。单面约束方程的一般形式为：
上一页 下一页
图2-4 例4图示
返回
3.完整约束和非完整约束 几何约束和可积分为有限形式的运动约束（这两种约束的数学形式
不显含质点坐标对时间的导数），统称为完整约束。所谓非完整约 束，就是指不可积分的运动约束。
例5 半径为的圆盘沿着水平面内某一曲线作铅锤运动，如图2-5所 示，下面写出圆盘的约束方程。
这就是约束方程。由于方程中不显含时间变量t，所以是稳定约束。 例2 被限制在铅直面内摆动的单摆，如图2-2所示。设单摆的原长
为，若另一端拉动绳子的速度为常数。在选取了图示的坐标系后， 单摆中质
点M的约束方程应为
x2 y2 (lo v0t)2
由于约束方程中明显包含了时间变量t，所以是非稳定约束。
i 1
（2－7）
其微分形式为：
n aijdxi bijdyi cijdzi d jdt 0 ( j 1,2, , s)
i 1
（2－8）
所谓非线性非完整约束，就是指该非完整约束的约束方程不能展开 为速度分量的线性函数。非完整约束也可以按坐标求导的次数分为 一阶非完整约束和高阶非完整约束。
i 1
虚位移原理的优点在于：当解决具有理想约束的复杂系统的平衡问题 时，只需考虑主动力而不必考虑未知的约束反力，因而使问题的求解
上一页 下一页
例13 在图2-20所示的铰接四 连杆机构的连杆OA上作用一力F。 为使机构在给定的位置上平衡， 求作用于长度为r的连杆O1B上
M F •rA 2Fr
完整系统: n=独立的坐标数=独立的坐标变分数=系统的自由度 非完整系统: n=独立的坐标数≠独立的坐标变分数=系统的自由度 例9 如图2-10一平面曲柄连杆机构，A、B两点的位置可确定系统的
位形，分析其自由度。
图2-10 例9图示
上一页 下一页
三、
xi xi (q1, q2, qk ,t) yi yi (q1, q2 , qk ,t) zi zi (q1, q2 , qk ,t) (i 1,2, , N; k 3N l) 或写成 ri ri (q1, q2, qk ,t) 例10 试分析一端被约束在水平面上运动的细杆具有的自由度，并 用广义坐标确定细杆的位置（图2-11）。已知杆长。
xc rsin
yc r cos
上一页 下一页
图2-5 例1图示
返回
非完整约束按速度的幂次可分为线性非完整约束和非线性非完整约 束。所谓线性非完整约束，就是指该非完整约束的约束方程可以展 开为速度分量的线性函数。它的一般形式为：
n aij xi bij yi cij zi d j 0 ( j 1,2, , s)
例12 图2-15为一双摆。两质 点A和B用两同长度的刚性杆铰 接。试分析系统的虚位移。
xA l sin yA l cos xA l sin l sin yB l cos l cos
图2-15 例12图示
上一页 下一页
五、 虚位移原理 虚位移原理是分析静力学的理论基础，根据这一原理，可以很方便地
f j x1, y1, z1, , xn, yn, zn, x1, y1, z1, , xn, yn, zn,t 0 (或 0) （2－9）
若质点系受到在任何方向都不能脱离的约束，则这种约束称为双面约 束（又称不可解约束、固执约束）。
例6 一质点被限制在半径为R的固定球壳内运动，在选取如图2－6所 示的坐标系后，约束方程为：
ri ri (q1, q2, , qn ,t) （2－10）
上一页 下一页
图2-7
返回
（1） 速度的广义坐标。设N个质点组成的系统有n个广义坐标
是
q j ( j 1,2, , n) 且 q j q j (t) ,则系统中第i个质点的速度
vi
ri
n i 1
ri qi
q
j
ri t
（2－11）
上一页 下一页
图2-1 例1图示
返回
图2-2 例2图示
返回
2.几何约束和运动约束 所谓几何约束，是指约束只限制系统中各个质点在空间的位置，即
在约束方程中不显含质点坐标的导数。几何约束方程的一般形式为：
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn ,t 0 （2－3）
所谓运动约束，是指约束对质点的运动参数（如速度、加速度等） 进行限制，即在约束方程中，显含质点坐标的导数。运动约束的约 束方程一般形式为：
x2 y2 z2 R2
例7 图2－6中被限制在某一空间固定曲面上运动，但不能沿任何方 向脱离曲面的质点M，就是受到双面约束的限制。其约束方程为
f (x, y, z) 0
上一页 下一页
图2-6 例6、7图示
返回
二、自由度和广义坐标 系统的几何位置（即位形）可以用坐标参数来描述，坐标参数的选取
rI rI (t0 t) rI (t0 )
dri dt
t t0
t
1 2!
d 2ri dt 2
t 2
vi0t
1 2mi
(Fi
FNi
)t 2
上一页 下一页
2.
非自由质点系因受到约束的限制，只能产生某些约束所允许的位移。 例如，图2-12所示的曲柄连杆机构中，在图示位置时，约束所允许的、 可能实现的无限小位移，就是曲柄OA的无限小转角δφ，对A点和B点 来说，就是图中的δrA和δrB。
N
(aj xi bj yi cj zi ) d 0 ( 1,2, , k) （2－19）
整理后可i得1
n
Ajqj B 0 ( 1,2, , k)
j 1
（2－24）
坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。设某系统运动的微 分方程的解是
q1=q1(t),…,qn=qn(t)
上一页 下一页
xA xA, yA yA, zA 0
xB xA l sin cos, yB yA l sin sin , zB l cos
上一页 下一页
图2-11 例10图示
返回
四、 1. 所谓实位移，就是指力学系统中某一质点在系统主动力和约束力作用
下，经过一极短的时间间隔（Δt Δri。这个位移矢量的大小和方向，根据质点的位移公式为
第二章 动力学基础
第一节 质点系统动力学 第二节 多刚体动力学 第三节 多柔体系统动力学基础理论
第一节 质点系统动力学
2.1.1 基本概念
一、约束及其分类 对于非自由系统来说，约束对系统中各个质点的运动提供了限制条件。
这些限制条件可以用数学方程表示出来，我们把用数学方程所表示的 约束关系称为约束方程。 约束的分类
1.稳定约束和非稳定约束。 稳定约束，就是指约束的性质不随时间变化，即在这种约束的约束方
程中，不显含时间参数t。稳定约束的约束方程一般形式为：
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn 0 （2－1）
非稳定约束，就是指约束随着时间参数t的改变而改变，反映在约束方 程中则是显含时间参数t，非稳定约束的约束方程一般形式为:
上一页 下一页
3. 虚位移原理：具有双面、稳定、理想约束的静止质点系，能够继续保
持静止的必要和充分条件是：所有主动力在质点系的任意虚位移中所 作的虚功之和为零。用数学表达式表示为
Fi • ri 0
虚功方程写成的解析表达式为：
n
Fixxi Fiyyi Fizzi 0 （2－39）
cos
Fra Baidu bibliotek1 2
m2 g
sin
0
上一页 下一页
图2-21 例14图示
返回
2.1.2
一、 动力学普遍方程
n
Fix mi xi x1 Fiy mi yi y1 Fiz mizi z1 0 (2-41)
i1
在动力学中，式（2-41）是有广泛用途的基础理论公式，许多重要的 基本原理和基本方程都可以以它为基础通过数学演绎方法推导出来。
返回
例4
半径为R的车轮沿固定直线轨道作纯滚动，取如图2-4的坐标系后，这 个限制条件表示如下。轮心C在平面内且与直线轨道的距离保持不变， 即
vc R 0
每一瞬时，车轮上与地面的接触点P必为图形的速度瞬心，即
或
xc R 0
xc R 0
第一个限制条件是几何约束，第二个限制条件就是运动约束。
（2－33）
（2－34） 上一页 下一页
图2-12 曲柄连杆机构
返回
如果系统是由一个质点组成的，则式fj(xi,yi,zi, t)=0可以理解为 该质点Mi的某一约束曲面方程。从式（2-34）可以看到，不管约束是 否稳定，虚位移永远是和约束曲面的法线相垂直。式（2-33）就是完 整系统虚位移所必须满足的条件。反之，由方程组（2-33）决定的任 意一组δri（i=1，2，…，n），必然符合约束条件，是质点系的一 组虚位移。
vi
n j 1
ri q j
q
j
（2－14）
例8 空间中的一动点M，若选取极坐标r、θ、φ为广义坐标，如 图2－8所示。于是，M点的速度为
v x2 y2 z2 r2 r2 2 r 2 sin 2
上一页 下一页
图2-8 例8图示
返回
用广义坐标表示的非完整约束方程。一阶线性非完整约束方程如
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn ,t 0 （2－2）
下一页
例1 被限制在空间球面上运动的质点M，在选取了图2-1所示的空 间直角坐标系后，质点的位置坐标（x，y，z）必须满足空间曲面 方程
x2 y2 z2 l2
把这种当质点系位于某个位置时（即在某个确定的瞬时），为约束所 允许的可能实现的任何无限小位移，称为质点系在该位置（该瞬时） 的虚位移 。
完整系统虚位移需满足的条件：
n
i1
f j xi
xi
f j yi
yi
f j zi
zi
0
( j 1,2, , l)
n
或
i1
f j ri
• ri
0
( j 1,2, , l)
有多种形式，一般选用笛卡儿直角坐标系。例如，图2-7所示的作平面 运动的动点M的几何位置可以用直角坐标（x，y）来描述；也可以用极 坐标（φ，r）来描述；还可以用（A，φ）这组参数来表示，其中A为 图中阴影部分的面积；还可以有其他的参数表示方法。为此，引入广 义坐标的概念。 所谓广义坐标，就是选择一组互相独立的参数，只要它们能够确定系 统的位形，而不管这些参数的几何意义如何。这种用来确定系统位形 的独立参数称为广义坐标。 广义坐标可以用下面的通式表示
下面介绍确定质点系虚位移的两种方法: （1） 几何法。图2－12和图2－13的虚位移就是这样确定的。 （2） 解析法。
上一页 下一页
图2-13 单摆
返回
例11 平面内一质点A,由长度为l的刚性杆连接，如图2-14所示。试
rA xA 2 yA 2 l
图2-14 例11图示 上一页 下一页
例f j3 x1图, y21-, 3z1所,示的xn质, y点n ,Mz由n ,刚x1性, y杆1,连z1,接，, x仅n能, y在n ,铅zn直,t平面0内（绕2固－定4） 点O摆动，杆长l不变。取如图所示的平面直角坐标系后，这个约束 条件可以表示为：
x2 y2 l2
上一页 下一页
图2-3 例3图示
求解任意非自由质点系的平衡问题。下面首先介绍虚功和理想约束的
1.虚功 主动力虚功
n
w Fi • ri i 1
（2－35）
n
w Ni • ri
（2－36）
2.
i 1
理想约束的数学表达式为
n
Fi • ri 0 （2－37）
i1
（1） 光滑曲面约束。 （2） 连接两质点的无重刚杆。 （3） 连接物体的光滑铰链。 （4） 不可伸长的柔索约束。 （5） 刚体沿固定表面的只滚不滑。
图2-20 例13图示
上一页 下一页
例14 由均质杆OA和AB组成的双摆机构，可在铅直面内运动，如图221所示。O和A均为光滑铰链，杆OA和AB长分别为l和l，质量分别为m1 和m2。在杆AB的B端施加不变的水平力F，求平衡时两杆与铅直线所成 的夹角α和β
F
cos
m2
1 2
m1
g
sin
0
F