动力学基础
第7章 化学动力学基础
例：有一化学反应aA+bB=C在298K时，将AB溶液按
不同浓度混合。得到下列数据。
A的初始浓度 B的初始浓度 1.0 1.0 2.0 1.0 4.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 4.0 求其速率方程? 初始速度（mol/l· s） 1.2×10-2 2.3×10-2 4.9×10-2 1.2×10-2 4.8×10-2 1.9×10-1
( H O ) C (H O ) C (H O ) v t t
2 2 2 2 2 1 2 2
作出H2O2的 c — t 的曲线，得到 0 — 40
min的平均速率：
v 0.20 0.80 0.20 0.80 0.015mol dm 3 min 1 t 40
求该反应的反应级数m+n和速度常数k?
解：由速度方程v=k[CO]m· 2]n [Cl 得：v1=k[CO]m· 2]1n v2=k[CO]m· 2]2n [Cl [Cl
n v1 [Cl 2 ]1 v2 [Cl 2 ]n 2
2 v1 1.2 10 lg lg v2 4.26 10 3 0.45 1.5 n [Cl 2 ]1 0.10 0.30 lg lg [Cl 2 ]2 0.050 v1 1.2 10 2 lg lg v3 6.0 10 3 1 m [CO ]1 0.10 lg lg [CO ]3 0.050
解：由v=k[A]m· n [B] v1=k×1m×1n=k=1.2×10-2
v2=k×2m×1n=k×2m=2.3×10-2
v1 1 1.2 10 2 1 m 2 v2 2 2.3 10 2
v4=k×1m×1n=1.2×10来自2 v5=k×1m×2n=4.8×10-2 ∴k×2n=4.8×10-2 2n=4.8×10-2/k=4=22 ∴n=2
热力学基础、动力学基础、化学平衡知识要点
热力学基础、动力学基础、化学平衡知识要点—大众化学补充一、热力学基础（研究化学反映方向、程度（进行的可能性），反映涉及的能量） 对于化学反映：其中B ν为物质B 的化学计量数。
反映物的化学计量数为负，产物的化学计量数位正。
反映进度： 单位为mol.反映进度必需对应的化学计量方程式。
热和功1.2.1热---系统与环境之间由于存在温差而传递的能量。
系统吸热：Q >0； 系统放热：Q <0。
功---系统与环境之间除热之外以其它形式传递的能量；系统对环境做功，W <0（失功）；环境对系统做功，W >0（得功）。
功的分类：体积功（膨胀功）、非体积功（如表面功、电功）。
1.2.2热力学第必然律： 焓： 1.3.1反映的标准摩尔焓变：r △,一个反映的焓变必需对应的化学计量方程式。
标准状态：气体：T ，p =100kPa ；液、固体：T ，1个大气压下，纯物质；溶液：溶质B ，b B =1mol·kg -1，,C B =1mol·L -1，1.3.2 f H △(B,相态,T )，单位是kJ·mol -1:在温度T 下,由参考状态单质生成物质B(νB =+1)的标准摩尔焓变，称为物质B 的标准摩尔生成焓。
参考态单质的标准摩尔生成焓为零。
1.3.3 c △相态,T )，单位是kJ·mol -1：在温度T 下, 物质B (νB = -1)完全氧化成指定产物时的标准摩尔焓变，称为物质B 的标准摩尔燃烧焓。
燃烧产物和O2的标准摩尔燃烧焓均为零。
1.3.4 Hess 盖斯定律:化学反映无论是一步完成仍是分几步完成，其反映焓变老是相同的对于化学反映：a A + b B → y Y + z Zr △T ) = ∑νBf H △:焓变=生成物的生成焓之和—反映物的生成焓之和；r △T ) =- ∑νB焓变=反映物的燃烧焓之和—生成物的燃烧焓之和； 自发转变：在没有外界(即没有非体积功)作用下，系统自身发生转变的进程。
动力学的基本原理和公式
动力学的基本原理和公式动力学是研究物体运动规律的学科，它是物理学中的一个重要分支。
在物理学和工程学中，动力学常被用来研究物体的运动及其背后的力学原理。
本文将讨论动力学的基本原理和公式，并且探讨它们的应用。
一、牛顿第一定律牛顿第一定律，也被称为惯性定律，是动力学的基础。
它表明一个物体如果处于力的作用下保持静止或匀速运动，那么该物体的质量的大小会影响这个运动的性质。
这个定律可以用公式表示为：F = ma其中，F为物体所受到的力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
二、牛顿第二定律牛顿第二定律是动力学中最为重要的定律之一。
它表明一个力作用在一个物体上时，物体将发生加速度的变化。
其数学表达式为：F = ma根据牛顿第二定律，如果一个力作用在一个物体上，那么物体的质量越大，所产生的加速度就越小；而如果力不变，质量越小，所产生的加速度就越大。
三、牛顿第三定律牛顿第三定律表明对于任何两个物体之间的相互作用，力的大小相等，方向相反。
换句话说，如果一个物体对另一个物体施加了一个力，那么另一个物体也会产生一个大小相等、但方向相反的力。
这个定律可以用以下公式表示：F₁₂ = -F₂₁其中，F₁₂代表物体1对物体2施加的力，F₂₁代表物体2对物体1施加的力。
四、动能公式动能是物体具有的由于运动而产生的能力。
根据动力学的原理，动能可以用以下公式计算：K = 1/2mv²其中，K代表动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
五、动量公式动量是物体运动的性质之一，它表示物体在运动中具有的一种量。
动量可以用以下公式计算：p = mv其中，p代表动量，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
六、引力公式引力是动力学中另一个重要的概念，它是地球或其他天体对物体的吸引力。
引力可以用以下公式计算：F =G × (m₁m₂)/r²其中，F代表引力的强度，G代表万有引力常数，m₁和m₂代表两个物体的质量，r代表两个物体之间的距离。
动力学基本定律（牛顿定律）
1.第⼀定律——惯性定律
任何质点如不受⼒的作⽤，则将保持静⽌或匀速直线运动状态。
这个定律表明了任何质点都有保持静⽌或匀速直线运动状态的属性。
这种属性称为该质点的惯性。
所以第⼀定律叫做惯性定律。
⽽质点作匀速直线运动称为惯性运动。
由惯性定律可知.如果质点的运动状态(静⽌或匀速直线状态)发⽣改变，即有了加速度，则质点上必受到⼒的作⽤。
因此，⼒是物体运动状态改变的原因。
2.第⼆定律——⼒与加速度的关系定律
质点受⼀⼒F作⽤时所获得的加速度a的⼤⼩与⼒F的⼤⼩成正⽐，⽽与质点的质量成反⽐;加速度的⽅向与作⽤⼒⽅向相同，即
ma=F (4-3-1)
如果质点同时受⼏个⼒的作⽤，则上式中的F应理解为这些⼒的合⼒,⽽a应理解为这些⼒共同作⽤下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为
ma=ΣFi (4-3-2)
式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动⼒学基本⽅程。
3.第三定律——作⽤与反作⽤定律
两质点相互作⽤的⼒总是⼤⼩相等，⽅向相反，沿同⼀直线，并分别作⽤在两质点上。
这些定律是古典⼒学的基础，它们不仅只适⽤于惯性坐标系，且只适⽤于研究速度远少于光速的宏观物体。
由于⼀般⼯程问题中，⼤多问题都属于上述的适⽤范围，因此以基本定律为基础的古典⼒学在近代⼯程技术中仍占有很重要的地位。
车辆动力学基础
车辆动力学基础第一章1．车体在空间的位置由6个自由度的运动系统描述。
浮沉、摇头、点头、横摆、伸缩、侧滚2．轴重：铁道车辆的轴重是指车辆每一根轮轴能够承受的允许静载。
3．轴距：是指同一转向架下两轮轴中心之间的纵向距离。
4．轴箱悬挂：是将轴箱和构架在纵向、横向以及垂向联结起来、并使两者在这三个方向的相对运动受到相互约束的装置。
5．中央悬挂：是将车体和构架/侧架联结在一起的装置，一般具有衰减车辆系统振动、提高车辆运行平稳性和舒适性的作用。
6．曲线通过：曲线通过是指车辆通过曲线时，曲线通过能力的大小，反映在系统指标上，主要表现为车辆轮轨横向力、轮对冲角以及轮轨磨耗指数等的大小上。
7．自由振动：是指在短时间内，由于某种瞬间或过渡性的外部干扰而产生的振动，其振动振幅如果逐渐变小，该系统将趋于稳定；相反，若振幅越来越大，则系统将不稳定。
第二章1．车辆的动力性能主要包括运行稳定性（安全性）、平稳性（舒适性）以及通过曲线能力等。
2．车辆脱轨根据过程不同大体可分为爬轨脱轨、跳轨脱轨、掉道脱轨。
3．目前我国车辆部门主要采用脱轨系数和轮重减载率两项指标。
4．当横向力作用时间t小于0.05s时，用0.04/t计算所得的值作为标准值。
5．不仅仅依靠脱轨系数来判断安全性的原因：（1）轮重较小时与其对应的横向力一般也较小，计算脱轨系数时受到轮重和横向力的测量误差的影响就较大，因此要获得正确的脱轨系数比较困难。
（2）垂向力较小时，使用该垂向力和与其对应的横向力得到的脱轨系数很容易达到脱轨限界值；另一方面，单侧车轮轮重减小时，另一侧车轮轮重一般会增大，此时极小的轮对冲角变化会导致较大的横向力，从而加大了脱轨的危险性。
（3）根据多次线路试验来看，与其说脱轨系数值较大容易导致列车脱轨，还不如说轮重减少的越多越容易导致列车脱轨。
6．评价铁道车辆乘坐舒适性最直接的指标就是车体振动加速度。
第三章1．轮对的组成：轮对由一根车抽和两个相同的车轮组成。
《动力学基础》课件
动力学研究物体之间的能量转化过程，例如动能转化为势能。
工作和功
力在物体上所做的功，用于描述能量的转移和转化。
动力学方程和解析解
动力学方程是用于描述物体运动的数学方程，通过解析解可以计算物体的位 置、速度和加速度随时间的变化。
运动状态和轨迹描述
运动状态
位置、速度和加速度是描述物体运动状态的关键参数。
牛顿力学与运动定律
1
第一定律
任何物体在受力平衡的情况下，将保持静止或匀速直线运动。
2
第二定律
物体运动的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
3
第三定律
对于每一个作用力，存在一个大小相等、方向相反的反作用力。
动力学中的力和能量
力的分类
重力、摩擦力、弹力、电磁力等，作用于物体上的力会影响其运动状态。
《动力学基础》PPT课件
本PPT课件将介绍动力学基础的定义和概述，牛顿力学与运动定律，动力学中 的力和能量，动力学方程和解析解，运动状态和轨迹描述，动力学应用举例， 以及结论和总结。
动力学基础：定义和概述
动力学是研究物体运动的学科，涵盖了力、速度、加速度等关键概念。本节将介绍动力学的基本定义，并概述其在 物理学中的重要性。
轨迹描述
物体的轨迹可以是直线、曲线、圆周等各种形状。
动力学应用举例
1 机械系统
2 天体运动
3 生物力学
动力学理论在机械工程中的 应用，如车辆运动和机械结 构设计。
通过动力学模型解，如人体运动和力学特性 研究。
结论和总结
本次《动力学基础》PPT课件系统地介绍了动力学的定义和概述，牛顿力学与 运动定律，动力学中的力和能量，动力学方程和解析解，运动状态和轨迹描 述，动力学应用举例，并总结了课件内容。感谢各位的聆听！
动力学基础知识
动力学基础知识动力学是研究物体运动及其产生的原因和规律的学科。
它是力学的一个重要分支，主要研究物体在力的作用下的运动规律。
了解动力学的基础知识对于理解物体的运动行为和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍动力学的基本概念、Newton定律以及重要的运动学公式。
一、动力学基本概念1. 力与质量在动力学中，力是导致物体运动变化的原因。
力的大小和方向决定了物体的运动状态。
常见的力包括重力、摩擦力、弹力等。
质量是物体所固有的属性，代表物体对于外力改变运动状态的抵抗能力。
质量越大，物体对力的抵抗能力越大。
2. 加速度与力的关系根据Newton第二定律，力的大小与物体的质量和加速度有关。
力的大小等于质量乘以加速度，即F=ma，其中F表示力，m表示质量，a表示加速度。
根据这个定律，当力增大时，物体的加速度也会增大，反之亦然。
3. 动量守恒定律动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。
动量守恒定律指出，在没有外力作用下，一个系统的总动量保持不变。
这意味着在碰撞等过程中，物体的总动量在碰撞前后保持相等。
二、Newton定律Newton定律是描述物体运动规律的基本原理，共有三条：1. Newton第一定律（惯性定律）：一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动的状态。
这意味着物体的速度将保持不变，或者保持匀速直线运动。
2. Newton第二定律（动力学定律）：物体受到的合力等于物体的质量乘以加速度，即F=ma。
这个定律揭示了力对物体运动状态的影响，描述了力与物体运动和加速度的关系。
3. Newton第三定律（作用-反作用定律）：所有相互作用的物体之间都会产生相等大小、方向相反的作用力。
这意味着对于任何一个物体施加的力，都会受到同样大小、方向相反的反作用力。
三、运动学公式运动学公式描述了物体运动的规律，其中包括位移、速度和加速度的关系。
1. 位移和速度的关系位移是物体从初始位置到最终位置的位移变化量。
动力学的基本原理与运动方程推导
动力学的基本原理与运动方程推导动力学是物理学中研究物体运动的学科，它的基本原理和运动方程推导是了解和掌握动力学的关键。
本文将介绍动力学的基本原理，并推导出运动方程，以帮助读者更好地理解这一领域的知识。
一、动力学的基本原理动力学的基本原理包括牛顿三定律和能量守恒定律。
1. 牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着物体的速度只有在受到外力作用时才会改变。
2. 牛顿第二定律：物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
数学表达式为F=ma，其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
3. 牛顿第三定律：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
这意味着物体之间的相互作用力总是成对出现的。
4. 能量守恒定律：在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
能量可以在不同形式之间相互转化，但总能量保持恒定。
二、运动方程的推导在了解了动力学的基本原理之后，我们可以推导出物体的运动方程。
假设一个物体在一维空间中运动，且只受到一个力的作用。
根据牛顿第二定律，我们知道物体的加速度与作用在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
可以将牛顿第二定律表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
根据运动学的定义，加速度可以表示为速度的变化率。
假设物体的初始速度为v0，加速度为a，时间为t，物体的速度可以表示为：v = v0 + at同样地，速度的变化率就是位移的变化率。
假设物体的初始位移为x0，位移为x，时间为t，物体的位移可以表示为：x = x0 + v0t + 1/2at^2这就是物体的运动方程，它描述了物体在给定时间内的位移。
通过上述推导，我们可以看到物体的运动方程与物体的质量、加速度、速度和位移之间的关系。
在实际应用中，我们可以通过测量物体的运动参数，来计算物体的质量或者力的大小。
三、动力学的应用动力学的原理和运动方程在很多领域都有广泛的应用。
4第四章 化学动力学基础-2007
2NO(g) + O2 (g) → 2NO2 (g)
r = kc ( NO
)
2
c(O2 )
2+1 2+1 2+1 2+2 1+1 1+3
( 2NO g) + 2H2 (g) → N2 (g) + H2O(g) r = kc2 ( NO) c ( H2 )
2 S2 O 8 (aq ) + 3I (aq ) →
B
2. 化学反应速率方程
r = k∏c
B
nB B
k ---反应速率系数，比速常数，其物理意义是 反应速率系数， 反应速率系数 比速常数， 各反应物的浓度均等于单位浓度时的反应速率。 各反应物的浓度均等于单位浓度时的反应速率。 k的量纲与反应级数有关，为[浓度1-n 时间-1]。 的量纲与反应级数有关， 浓度 的量纲与反应级数有关 。
t/s p / kPa 0 20 50 80 100 120 150 180 200 50.65 46.60 41.03 35.43 33.43 30.39 26.85 23.81 21.78
作图， 作 ln p~ t 作图， k1 = - m = 4.2×10－3 s-1 ×
t1/ 2
ln 2 = = 165 s k1
S2 O + 3I → 2SO + I k1 2 ① S2 O8 + I 2S2 O8 I3 (慢 ) → 3 2 ② 2S2 O8 I + I → 2SO 4 + I 2 (快) ③ I + I 2 → I3 (快)
2 8
2 4
3
二、化学反应速率的表示
1. 反应速率：——单位体积反应体系中反应进度 反应速率： 单位体积反应体系中反应进度
物理学中的动力学理论
物理学中的动力学理论动力学是物理学中一个重要的分支，其研究的是物体运动的规律和动力学定律。
在牛顿力学中，动力学被赋予了重要的地位，牛顿的三大定律正是动力学的基础。
而在现代物理学中，动力学依然占据着重要的地位，成为了现代科学和技术发展的重要基础。
一、牛顿动力学牛顿动力学是经典的动力学理论，是现代物理学的基础之一。
牛顿三大定律是牛顿动力学的重要内容，这三大定律描述了物体运动的基本规律。
牛顿第一定律：一个物体将保持原有的匀速直线运动状态，直到有外力作用使其改变状态。
牛顿第二定律：物体所受合力等于物体的质量乘以加速度。
牛顿第三定律：对于任何相互作用的物体，作用力总是相等而反向的。
即对于物体A对物体B施加了一个力，那么物体B对物体A也会施加一个大小相同，但方向相反的力。
基于这三大定律，牛顿动力学可以描述物体在不同的运动状态下所受到的力的作用，进而推导出物体的运动规律。
二、量子力学中的动力学理论量子力学是20世纪最重要的科学之一，是现代物理学的基础。
在量子力学中，动力学的研究对象是微观粒子的运动规律和动力学定律。
量子力学中的动力学理论受到波动力学的影响。
在波动力学中，粒子的行为可以被描述为波动函数，波动函数可以用薛定谔方程来描述。
在薛定谔方程中，波动函数的演化规律可以被描述为哈密顿量作用下的时间演化。
动力学定律在量子力学中同样适用，其中包括牛顿第二定律。
但是，由于量子力学中的粒子具有波粒二象性，因此动力学中的某些概念和原则需要重新考虑。
三、相对论中的动力学理论相对论是现代物理学的另一重要分支，主要研究物体在高速运动状态下的特性和运动规律。
在相对论中，动力学理论不再适用牛顿的三大定律，而是采用了爱因斯坦的相对论动力学。
相对论动力学基于爱因斯坦的质能关系式 E=mc²，当物体的速度接近光速时，其质量将增加，从而导致牛顿定律不再适用。
相对论动力学中的定律包括：守恒定律，质点运动规律和速度叠加原理等。
在相对论中，动力学定律的推导依赖于洛伦兹变换和洛伦兹因子等概念。
第一章动力学基础
(2.1 - 13)
➢ 关键组分k的消耗速率：
rk
1 V
dnk dt
(2.1 - 14)
➢ 以反应程度表示的反应速率与以摩尔数表示的反应速率
之间的关系：
对于 aA bB pP sS
有 (rA ) (rB ) rP rS 1 d r
a
b
p s V dt
(2.1 - 15)
所以r rI (rk ) (2.1 -16)
2
3
33.3%
必须是反应物
2NH3
关键组分K
属பைடு நூலகம்
该组分在原料中的量按化学计
性
量方程计算能完全转化掉，即转
化率最大值为100%。
Chemical Reaction Engineering
关键组分 转化率xK
＝
nK 0 nK 100% nK 0
(2.1 - 6)
反应程度 与 转化率 的关系
结合反应程度的定义： nK nK 0 K
(2.1 - 5)
（1）ξ=f(time)； （2）ξ是一个累积量，其值恒为正； （3）ξ是以具有广度性质的量，其值与体系的量有关，若希 望其具有强度性质时，可用单位体积的反应程度来表示。
Chemical Reaction Engineering
3、 转化率
3H2
t0
2
t t
0
转化率 100%
N2 1
(rA
)
k
C C n1 n2 AB
反应动力学
包含反应级数的浓度项
反应速率常数（温度项）
Chemical Reaction Engineering
四、影响化学反应速率的温度效应
反应动力学基础知识点总结
反应动力学基础知识点总结动力学是研究物体运动规律的一个重要学科，在物理学、工程学、生物学等领域都有着广泛的应用。
动力学的基础知识点涵盖了运动学、牛顿力学、静力学、动力学、作用和反作用定律、牛顿三定律等内容。
本文将对动力学的基础知识点进行总结，希望能够帮助读者对动力学有更深入的了解。
一、运动学运动学是动力学的基础，它研究的是物体的运动规律，主要包括位置、速度、加速度和时间等物理量。
在运动学中，我们主要关注的是物体在运动过程中的轨迹和速度加速度的变化规律。
经典力学中的三大定律（牛顿三定律）可以用运动学的知识来进行解释。
1.1 位置、速度和加速度位置是一个物体在空间中的坐标，它可以用矢量来描述。
速度是位置矢量对时间的导数，它描述了物体在单位时间内位移的大小和方向。
加速度是速度矢量对时间的导数，它描述了速度随时间变化的大小和方向。
在运动学中，我们通过对位置、速度和加速度的研究，来了解物体在空间中的运动规律。
1.2 运动学的应用运动学的知识在实际生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在交通工程中，我们通过对车辆的运动学参数进行分析，来优化道路设计和交通管理。
在机械工程中，我们通过对机器臂的运动学特性进行研究，来设计和控制机器人的运动。
在航天工程中，我们通过对火箭的运动学特性进行分析，来计算飞行轨迹和着陆位置。
总之，运动学的知识对我们理解和控制物体的运动具有重要的意义。
二、牛顿力学牛顿力学是动力学的重要组成部分，它研究物体的运动规律和受力情况，主要包括牛顿运动定律、牛顿万有引力定律、牛顿的合力原理、牛顿动力学等内容。
牛顿力学是研究物体在受力情况下的运动规律，它是经典力学的基础。
2.1 牛顿三定律牛顿三定律是牛顿力学的核心内容，它包括惯性定律、动量定律和作用和反作用定律。
（1）惯性定律牛顿第一定律也称惯性定律，它阐述了物体静止或匀速直线运动状态不变的规律。
即物体如果不受外力作用，将保持原来的状态，包括保持静止或匀速直线运动。
7章化学动力学基础
化学动力学基础
1．掌握化学反应速率的基本概念及表 示方法。 2．掌握反应机理概念，掌握有效碰撞 理论，了解过渡状态理论，掌握活化 能、活化分子的概念及其意义。 3．掌握影响反应速率的因素和应用阿 伦尼乌斯公式进行有关计算。
热力学：过程的能量交换(rH)、过程 的方向(rG)、过程的限度(K) 动力学：反应速率（快慢）、反应机 理（怎样进行） 化学动力学：研究化学反应速率和反应 机理的学科。 7-1 化学反应速率
aA bB dD eE
实验测得速率方程式为：
r k[ A] [ B]
m
n
则m称为反应物A的分级数
Hale Waihona Puke n称为反应物B的分级数（m+n）为反应的级数
例1：基元反应 CO (g) + NO2 (g) = CO2 (g) + NO (g) r= k [CO ][NO2] 对CO：1级反应；对NO2：1级反应；
对lnk与1/T作图得直线.
由斜率可求出Ea
Ea 直线斜率= R
Ea =-（斜率）×R
直线的截距为lnA lnk-1/T 图
② 计算法
两组实验数据：T1时k1；T2时k2。 lnk1=
Ea RT1 RT2
+lnA
+lnA
lnk2= Ea
二式相减得：
k2 Ea T2 T1 ln k1 R T2T1
A：指前因子(单位与k相同)
对于一定条件下的给定反应，在一定温度范 围内，A、Ea为常数。 二、Ea的求算
实验测定出不同温度下对应的k值(不同温 度下单位浓度时的反应速率)。然后：
①、斜率法
Ea ln k ln A RT
动力学的基础与原理研究
动力学的基础与原理研究动力学是物理学中重要的一个分支，涉及到运动的物理特性和力学规律。
其研究对象包括质点、刚体等物体在运动过程中的性质和规律。
动力学不仅能够用于解释宏观世界中的运动和变化，也可以应用于微观领域的分子动力学模拟等研究。
本文将从动力学的基础和原理两个方面入手，深入探讨动力学研究的意义以及其应用领域。
一、动力学的基础动力学的基础主要建立在我们对物体运动的观察和实验基础之上。
在运动过程中，物体的运动可以通过其速度、加速度等相关参数进行描述。
同时，我们通过实验也可以观察运动物体之间的相互作用和影响，如牛顿第三定律所描述的相互作用力的平衡等。
动力学在这些基础上，通过分析和理论推导，建立了一系列数学模型和公式，可以用于预测和计算物体的运动轨迹和运动参数。
动力学的基础还包括能量守恒和动量守恒定律。
能量守恒定律表明，在物体间的相互作用和运动过程中，能量总量保持不变。
这意味着能量可以从一种形态转化为另一种形态，但总量不会发生改变。
动量守恒定律则表明，物体间的相互作用和运动过程中，动量总量也保持不变。
这两个定律为我们理解物体运动的过程和规律提供了重要的理论依据。
二、动力学的原理动力学的基础为我们提供了理论框架，而其原理则深入探讨了物体间的相互作用和影响。
对于单个物体的运动，我们可以应用牛顿定律进行描述。
这包括质点在均匀直线运动和匀变速直线运动中的情况，以及自由落体运动等。
对于多个物体之间的相互作用，我们需要应用牛顿定律中的相互作用力和相互作用加速度进行分析和计算。
动力学的原理还包括牛顿引力定律和万有引力定律。
前者是指两个物体之间存在的万有引力，其大小与两个物体间的距离和质量有关。
后者则是指物体间引力的普遍性规律，涉及到所有物体间的万有引力相互作用。
这两个定律为我们理解宏观天体和星系间的相互作用和运动，提供了重要的理论依据。
三、动力学研究的意义和应用动力学的研究对于我们理解物体运动的过程和规律具有重要的意义。
力学第十二章 动力学基本方程
第三节 质点运动微分方程
例12-2 研磨细矿石所用的球磨机可简化为如图12-3所示。当圆筒 绕水平纵轴O转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转到 一定角度α时，开始和筒壁脱离而沿抛物线下落，借以打击矿石。 打击力与α角有关，且已知当α＝５０°４０′时，可以得到最大的 打击力。设圆筒内径d=3.2m，问圆筒转动的转速n应为多少? 解 取研究对象：钢球M。 三、质点动力学第二类基本问题
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
B120206.TIF
4.转动惯量的平行移轴定理
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
图 12-7
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
投影到轨迹的切线和法线上，即自然坐标轴上，得 二、质点动力学第一类基本问题
图 12-2
第三节 质点运动微分方程
例12-1 电梯以匀加速度a上升，如图12-2所示，电梯的重量为W， 在电梯地板上放重物G，求绳索所受张力和重物对地板的压力。 解 1)求绳索所受张力F。 ２)求重物对地板的压力。
图 12-３
图 12-6
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
(2)均质圆盘对于通过中心的垂直轴的转动惯量 设圆盘单位面积 的质量为γ，z轴过重心(图12-6)。 2.回转半径
工程上为了表达和运算的方便，经常引用回转半径的概念。 将刚体的转动惯量Jz设想为刚体的总质量m与某一长度ρ的平方的 乘积，即 3.常用的几种简单形状刚体的转动惯量计算公式(见表12-2)
图 12-9
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
动力学的基本定律
动力学的基本定律动力学是研究物体运动和运动变化规律的科学，是物理学的一个重要分支。
在动力学中，有三条基本定律被广泛接受和应用，它们分别是牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
一、牛顿第一定律：惯性定律牛顿第一定律又称为惯性定律，它表明若物体处于静止状态，则会继续保持静止；若物体处于匀速直线运动状态，则会继续保持匀速直线运动，除非有外力作用于它。
简单来说，物体的运动状态不会自发改变，除非有力使它改变。
二、牛顿第二定律：运动定律牛顿第二定律是描述物体运动状态变化的原因，它表明物体所受合力与物体的加速度成正比，且方向与合力相同。
其数学表达式为F=ma，其中F表示物体所受合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
这个定律说明了物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，且与物体的质量成反比。
三、牛顿第三定律：相互作用定律牛顿第三定律又称为相互作用定律，它规定当物体A对物体B施加力时，物体B一定会对物体A施加同大小、反方向的力。
这意味着所有的力都是成对出现的，且两个相互作用力的大小相等、方向相反，并作用在不同的物体上。
换句话说，如果有一个物体对另一个物体施加了力，那么这两个物体之间一定存在相互作用力。
通过牛顿的三个基本定律，我们可以对物体的运动进行分析和预测。
牛顿的运动定律不仅适用于地球上的物体，也适用于宇宙中的天体运动。
这些定律为我们解释了许多经典力学现象，如自由落体运动、弹簧振子的运动等。
除了牛顿力学外，还有其他形式的动力学定律，在研究微观领域的物理现象时起到了重要作用。
例如，量子力学描述了微观粒子的运动行为，而相对论则描述了高速运动物体的性质。
总结起来，动力学的基本定律是牛顿的三个定律，它们分别是牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
这些定律不仅在物理学领域发挥着重要作用，也被广泛应用于其他科学和工程领域，为我们理解和探索世界提供了坚实的基础。
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例14 由均质杆OA和AB组成的双摆机构，可在铅直面内运动，如图221所示。O和A均为光滑铰链，杆OA和AB长分别为l和l，质量分别为m1 和m2。在杆AB的B端施加不变的水平力F，求平衡时两杆与铅直线所成 的夹角α和β
F
cos
m2
1 2
m1
g
sin
0
F
一个力学系统，如果仅受到完整约束的作用，那么，这种系统称为 完整系统。如果受到的约束有非完整约束，则这种系统称为非完整 系统。
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4.单面约束和双面约束。若质点系虽然受到约束，但在某些方向可以 脱离约束的限制，则这类约束称为单面约束（又称可解约束非固执约 束。单面约束方程的一般形式为：
ri ri (q1, q2, , qn ,t) （2－10）
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图2-7
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（1） 速度的广义坐标。设N个质点组成的系统有n个广义坐标
是
q j ( j 1,2, , n) 且 q j q j (t) ,则系统中第i个质点的速度
vi
ri
n i 1
ri qi
q
j
ri t
（2－11）
xc rsin
yc r cos
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图2-5 例1图示
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非完整约束按速度的幂次可分为线性非完整约束和非线性非完整约 束。所谓线性非完整约束，就是指该非完整约束的约束方程可以展 开为速度分量的线性函数。它的一般形式为：
n aij xi bij yi cij zi d j 0 ( j 1,2, , s)
求解任意非自由质点系的平衡问题。下面首先介绍虚功和理想约束的
1.虚功 主动力虚功
n
w Fi • ri i 1
（2－35）
n
w Ni • ri
（2－36）
2.
i 1
理想约束的数学表达式为
n
Fi • ri 0 （2－37）
i1
（1） 光滑曲面约束。 （2） 连接两质点的无重刚杆。 （3） 连接物体的光滑铰链。 （4） 不可伸长的柔索约束。 （5） 刚体沿固定表面的只滚不滑。
下面介绍确定质点系虚位移的两种方法: （1） 几何法。图2－12和图2－13的虚位移就是这样确定的。 （2） 解析法。
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图2-13 单摆
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例11 平面内一质点A,由长度为l的刚性杆连接，如图2-14所示。试
rA xA 2 yA 2 l
图2-14 例11图示 上一页 下一页
N
(aj xi bj yi cj zi ) d 0 ( 1,2, , k) （2－19）
整理后可i得1
n
Ajqj B 0 ( 1,2, , k)
j 1
（2－24）
坐标的变分与坐标的微分是两个不同的概念。设某系统运动的微 分方程的解是
q1=q1(t),…,qn=qn(t)
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例4
半径为R的车轮沿固定直线轨道作纯滚动，取如图2-4的坐标系后，这 个限制条件表示如下。轮心C在平面内且与直线轨道的距离保持不变， 即
vc R 0
每一瞬时，车轮上与地面的接触点P必为图形的速度瞬心，即
或
xc R 0
xc R 0
第一个限制条件是几何约束，第二个限制条件就是运动约束。
把这种当质点系位于某个位置时（即在某个确定的瞬时），为约束所 允许的可能实现的任何无限小位移，称为质点系在该位置（该瞬时） 的虚位移 。
完整系统虚位移需满足的条件：
n
i1
f j xi
xi
f j yi
yi
f j zi
zi
0
( j 1,2, , l)
n
或
i1
f j ri
• ri
0
( j 1,2, , l)
完整系统: n=独立的坐标数=独立的坐标变分数=系统的自由度 非完整系统: n=独立的坐标数≠独立的坐标变分数=系统的自由度 例9 如图2-10一平面曲柄连杆机构，A、B两点的位置可确定系统的
位形，分析其自由度。
图2-10 例9图示
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三、
xi xi (q1, q2, qk ,t) yi yi (q1, q2 , qk ,t) zi zi (q1, q2 , qk ,t) (i 1,2, , N; k 3N l) 或写成 ri ri (q1, q2, qk ,t) 例10 试分析一端被约束在水平面上运动的细杆具有的自由度，并 用广义坐标确定细杆的位置（图2-11）。已知杆长。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3. 虚位移原理：具有双面、稳定、理想约束的静止质点系，能够继续保
持静止的必要和充分条件是：所有主动力在质点系的任意虚位移中所 作的虚功之和为零。用数学表达式表示为
Fi • ri 0
虚功方程写成的解析表达式为：
n
Fixxi Fiyyi Fizzi 0 （2－39）
xA xA, yA yA, zA 0
xB xA l sin cos, yB yA l sin sin , zB l cos
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图2-11 例10图示
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四、 1. 所谓实位移，就是指力学系统中某一质点在系统主动力和约束力作用
下，经过一极短的时间间隔（Δt Δri。这个位移矢量的大小和方向，根据质点的位移公式为
cos
1 2
m2 g
sin
0
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图2-21 例14图示
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2.1.2
一、 动力学普遍方程
n
Fix mi xi x1 Fiy mi yi y1 Fiz mizi z1 0 (2-41)
i1
在动力学中，式（2-41）是有广泛用途的基础理论公式，许多重要的 基本原理和基本方程都可以以它为基础通过数学演绎方法推导出来。
x2 y2 z2 R2
例7 图2－6中被限制在某一空间固定曲面上运动，但不能沿任何方 向脱离曲面的质点M，就是受到双面约束的限制。其约束方程为
f (x, y, z) 0
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图2-6 例6、7图示
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二、自由度和广义坐标 系统的几何位置（即位形）可以用坐标参数来描述，坐标参数的选取
第二章 动力学基础
第一节 质点系统动力学 第二节 多刚体动力学 第三节 多柔体系统动力学基础理论
第一节 质点系统动力学
2.1.1 基本概念
一、约束及其分类 对于非自由系统来说，约束对系统中各个质点的运动提供了限制条件。
这些限制条件可以用数学方程表示出来，我们把用数学方程所表示的 约束关系称为约束方程。 约束的分类
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图2-1 例1图示
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图2-2 例2图示
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2.几何约束和运动约束 所谓几何约束，是指约束只限制系统中各个质点在空间的位置，即
在约束方程中不显含质点坐标的导数。几何约束方程的一般形式为：
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn ,t 0 （2－3）
所谓运动约束，是指约束对质点的运动参数（如速度、加速度等） 进行限制，即在约束方程中，显含质点坐标的导数。运动约束的约 束方程一般形式为：
rI rI (t0 t) rI (t0 )
dri dt
t t0
t
1 2!
d 2ri dt 2
t 2
vi0t
1 2mi
(Fi
FNi
)t 2
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2.
非自由质点系因受到约束的限制，只能产生某些约束所允许的位移。 例如，图2-12所示的曲柄连杆机构中，在图示位置时，约束所允许的、 可能实现的无限小位移，就是曲柄OA的无限小转角δφ，对A点和B点 来说，就是图中的δrA和δrB。
1.稳定约束和非稳定约束。 稳定约束，就是指约束的性质不随时间变化，即在这种约束的约束方
程中，不显含时间参数t。稳定约束的约束方程一般形式为：
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn 0 （2－1）
非稳定约束，就是指约束随着时间参数t的改变而改变，反映在约束方 程中则是显含时间参数t，非稳定约束的约束方程一般形式为:
f j x1, y1, z1, xn , yn , zn , x1, y1, z1, , xn , yn , zn ,t 0 （2－2）
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例1 被限制在空间球面上运动的质点M，在选取了图2-1所示的空 间直角坐标系后，质点的位置坐标（x，y，z）必须满足空间曲面 方程
x2 y2 z2 l2
这就是约束方程。由于方程中不显含时间变量t，所以是稳定约束。 例2 被限制在铅直面内摆动的单摆，如图2-2所示。设单摆的原长
为，若另一端拉动绳子的速度为常数。在选取了图示的坐标系后， 单摆中质
点M的约束方程应为
x2 y2 (lo v0t)2
由于约束方程中明显包含了时间变量t，所以是非稳定约束。
例12 图2-15为一双摆。两质 点A和B用两同长度的刚性杆铰 接。试分析系统的虚位移。
xA l sin yA l cos xA l sin l sin yB l cos l cos
图2-15 例12图示
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五、 虚位移原理 虚位移原理是分析静力学的理论基础，根据这一原理，可以很方便地
i 1
（2－7）
其微分形式为：
n aijdxi bijdyi cijdzi d jdt 0 ( j 1,2, , s)
i 1
（2－8）
所谓非线性非完整约束，就是指该非完整约束的约束方程不能展开 为速度分量的线性函数。非完整约束也可以按坐标求导的次数分为 一阶非完整约束和高阶非完整约束。