人教版高中数学高二必修五第二章《数列》质量检测

对应阶段质量检测P
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．112 B ．12 2 C ．13 2
D ．14 2
解析：∵a 1＝－2，d ＝2， ∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2. 答案：C
2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *
)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．2
解析：由递推关系式得a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0， a 5＝－1，
∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1. 答案：A
3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )
A ．33个
B ．65个
C ．66个
D ．129个
解析：设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，
即
a n ＋1－1a n －1
＝2.
∴a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 答案：B
4．(2012·潍坊质检)设S n 为等差数列{a n }的前n
项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( )
A.14
B.94
C.13
4
D.174
解析：由题意可知，⎩⎨⎧ 8a 1
＋8×(8－1)d
2＝30，
4a 1
＋4×(4－1)d
2
＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝14d ＝1
，故a 4＝a 1＋3＝13
4
.
答案：C
5．(2011·山西四校第二次联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1
2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n
的取值范围为( )
A ．[1
2，2)
B ．[1
2，2]
C ．[1
2
，1)
D ．[1
2
，1]
解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，
1
2为公比的等比数列，所以S n ＝12(1－1
2n )1－12
＝1－12n ，所以S n ∈[1
2，1)．
答案：C
6．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．①
解析：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．
答案：C
7．(2012·泰安高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －3
3a n ＋1
(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3
D.3
2
解析：由a 1＝0，a n ＋1＝
a n －3
3a n ＋1
(n ∈N *)， 得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3， ∴a 20＝a 2＝－ 3. 答案：B
8．若数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )
A ．4 017
B ．4 018
C ．4 019
D ．4 020
解析：由a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0及a 1>0得a 2 009>0，a 2010<0且|a 2 009|>|a 2 010|， ∴S 4 017＝4 017(a 1＋a 4 017)2
＝4 017a 2 009>0. S 4 018＝4 018(a 1＋a 4 018)
2
＝4 018(a 2 009＋a 2 010)2>0，
S 4 019＝4 019(a 1＋a 4 019)
2
＝4 019a 2 010<0. 答案：B
9．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ
3n }为等差数
列的实数λ＝( )
A ．2
B ．5
C ．－12
D.12
解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ
3
n ，
则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ
27，
∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－1
2.
答案：C
10．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 19
D ．S 20
解析：∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0. S 20＝
20(a 1＋a 20)
2＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝
19(a 1＋a 19)2＝19
2
·2a 10<0. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，
∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1
＝2.
将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1＝n (n ＋1)2
＋1. 答案：
n (n ＋1)
2
＋1 12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3
2a n －3，则数列{a n }的通项公式是________．
解析：n ≥2时，S n ＝3
2a n －3，①
S n －1＝3
2
a n －1－3，②
①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝3
2
a n －1，
∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3得S 1＝a 1＝32a 1－3，
故a 1＝6，∴a n ＝2·3n . 答案：a n ＝2·3n
13．数列{a n }的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a 值构成，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________.
解析：由框图知a 1＝0＋1＝1，a 2＝a 1＋2＝1＋2， a 3＝a 2＋3＝1＋2＋3，…， a n ＝a n －1＋n ，
即a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)
2.
答案：
n (n ＋1)
2
14．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a
100
元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．
解析：设第二层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a
100，
共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为1
23
(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2.
答案：
1
23(a 1
＋a 2＋23.1a )元/m 2 三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2009年底，将当地沙漠绿化了40%，从2010年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)
解析：设该地区总面积为1,2009年底绿化面积为a 1＝2
5，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，
设2009年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另
一部分是新绿化的12%·b n ，所以a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋3
25
，
即a n ＋1－35＝45(a n －3
5
)，
∴{a n －35}是以－15为首项，4
5为公比的等比数列．
则a n ＋1＝35－15(45)n .
∵a n ＋1>50%，∴35－15(45)n >1
2.
∴(45)n <12
. n >log 4512＝lg 21－3lg 2
＝3.
则当n ≥4时，不等式(45)n <1
2恒成立．
所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
16．(本小题满分12分)(2011·临沂高二检测)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}
{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝1－(－1)n 2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.
解析：(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，
又∵{a 1，a 2，a 3} {－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1. ∴q ＝a 2a 1＝24＝1
2，
∴a n ＝a 1q n －1＝8
2
n .
(2)由已知得b n ＝8[1－(－1)n ]
2n ＋1
，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .
即b n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，(n ＝2k ，k ∈N *
)
a n ，(n ＝2k －1，k ∈N *)
∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1 ＝4[1－(14
)n ]
1－14
＝163[1－(14)n ]<163
. 17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(4－a n )q n －
1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4
. 解得a 1＝3，d ＝－1.∴a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得，b n ＝n ·q n －1，
则S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1①
若q ≠1，将上式两边同乘以q 得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ② ②－①得，(q －1)S n ＝nq n －1－q －q 2－…－q n －1 ＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.
∴S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1
(q －1)2
，
若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2.
综上S n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n (n ＋1)2，q ＝1
nq n ＋1
－(n ＋1)q n ＋1
(q －1)2
，q ≠1.
18．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ， 设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .
解：(1)由a n ＋S n ＝1，得a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减得 a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0， ∴2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝1
2a n .
又n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝1
2.
又a n ＋1a n
＝12，
∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列．
∴a n ＝a 1q n －1＝12·(12)n －1＝(12)n
.
(2)b n ＝3＋log 4(12)n
＝3－n 2＝6－n 2.
当n ≤6时，b n ≥0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (11－n )
4；
当n >6时，b n <0，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n ) ＝6×54－[(n －6)(－12)＋(n －6)(n －7)2·(－12)]
＝n 2－11n ＋604
.
综上，T n
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
n (11－n )4 (n ≤6)
n 2
－11n ＋604 (n ≥7)
.。