一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料

一、一元二次方程及其相关概念

1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元

二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做

________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________.

典型例题：

1. 下列方程是一元二次方程的有___________

(1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2

33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( )

A. x 2+2x+1=0

B. x 2=1-3x

C. +1=0

D. x 2+x=(x+1)(x-2)

2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是

________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系

数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________.

3.

; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程

(m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。

【变式练习】已知m 是方程012=--x x

的一个根，则m m -2=（ ） A.

-1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________

【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k

的一个根是0，则k=_______

二、直接开平方法

若x 2

=25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____;

从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______

、

解下列方程：（1）1)

3(2=+x （2）18)54(22=-x

三、配方法

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

① 化二次项系数为1；

② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方；

④ 把原方程变为n m x =+2)(的形式；

⑤ 如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。

◆ 在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式：

|

22_____)(x _____8+=++x x

22_____)(x _____5-=+-x x 22_____)-(x _____2

3=+-x x

22_____)(x _____+=++bx x 典型例题：

1： 将下列方程转化为a =2)

(的形式。 （1）522=+x x （2）0342=+-x x

2：用配方法解方程011242=--x x

【变式练习】用配方法解下列方程

（1）0132=+-x x （2）06822=--x x

（3）22_____)2(25________4+=++m m m

; <

若m x x ++642为完全平方式，则m=_________;

若92++mx x 为完全平方式，则m=_________.

【例3】 用配方法求代数式752+-x x 的最小值。

【变式练习】用配方法证明10422-+-x x

的值恒小于0.

四、公式法

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x . 根的判别式：ac b 42-=∆

（1）当ac b 42-=∆

>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当ac b 42-=∆

=0时，方程有两个相等的实数根 ；

(3) 当ac b 42-=∆

<0时，方程没有实数根。

"

典型例题：

【例】用求根公式法解下列方程：

（1）0622=-+x x

；

（2）242=+x x

用求根公式法解下列方程：

（1）0622=-+x x

（2）0132=+-x x （3）21342-=--x x x

【

五、因式分解法

（1）提公因式法：ma+mb+mc = m (a+b+c)

（2）公式法：① 平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b);

② 完全平方公式：a2±2ab+b2 =(a ±b)2;

（3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)

因式分解的步骤：

一“提”：先看多项式的各项有没有公因式，若有公因式必须先提出公因式；

二“套”：再看能不能用公式法分解；

三“查”：看是否每一个因式都不能再分解。

、

典型例题： 1）________________42=-x

2）_______________22=-x x 3）_____________962

=+-x x 4）___________322=--x x （十字双乘法） 【例】用因式分解法解下列方程：

（1）0232=+x x （2）x x 32=

（3）04)

1(2=-+x （4）09)2(42=--x

【练一练】用因式分解法解下列方程：

（1）)1(332+=+x x

（2）0322=--x x