一元二次方程及解法归类
一元二次方程解法大全
一元二次方程解法大全一元二次方程是数学中的一个基本概念，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c 是常数，x 是未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
具体如下：1、直接开平方法：形如x²=p 或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化为x²=p（p≥0）的形式，那么可得x=±√p;如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±√p。
2、配方法解一元二次方程：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1)把原方程化为的形式；2)将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4)再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5)若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3、公式法一个一元二次方程经过整理化成ax²+bx+c=0（a≠0）后，其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0 时，将a、b、c 代入式子x=(−b±√b2−4ac）/2a 就得到方程的根。
这个式子叫作一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
4、因式分解法解一元二次方程的步骤:1)将方程右边化为0；2)将方程左边分解为两个一次式的积；3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.。
二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念2一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 4、简单的分式不等式的解法(1)ax ＋bcx ＋d＞0(＜0)∅(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0). (2)ax ＋bcx ＋d ≥0(≤0)∅⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)，cx ＋d ≠0. 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 6、利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． （3）求解所列出的不等式(组)． （4）结合题目的实际意义确定答案． 7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：∅关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.∅关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ∅关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．特别地，形如y 1y 2＞a (a ≠0)的分式不等式，可同解变形为12y 2＞0，故可转化为解y 2(y 1－ay 2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0)；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0).(2)在解关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意． 13、解不等式应用题的步骤考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合{}|1M x x =>-，{}260N x x x =--<∣，则M N ⋂= ．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（ ） A ．{x |2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x 的不等式2230x x --<解集是 ．考点二 含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. （二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式210x ax ++<． 11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x 的不等式2210x mx m -++>. （三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数2()(21)2f x ax a x =-++. (1)当2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x 的不等式： (1)22(1)40ax a x -++< (2)(1)(2)02a x a x -+->-考点三 根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．10B ．6C ．0D ．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式250ax x b -+>的解集是{}32x x -<<-，则a b +的值为（ ）A ．7-B ．7C ．17-D ．1718．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣ C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭ 21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ）A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤∣的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么43b =或4b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么4b a -= 23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数()()2f x x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <≤ B ．12a << C ．12a ≤< D ．11a -<<25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式11x<-的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ． 28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x 的不等式2340+->x x ； （2）解关于x 的不等式115xx -≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．34．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .考点六 一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =-+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 .38．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,639．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练一、一元二次方程的解法归类：1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。
如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+=±=-=-x x x x2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562=+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。
因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。
如：455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+--=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122=-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-⨯⨯-=-ac b ∴431±-=x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x②运用平方差公式：))((22b a b a b a -+=-如0)12(22=--x x 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+-如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(2122===-=-+x x x x④十字相乘法：如：0652=++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x xx 2x 3x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x又如：035682=-+x x 解：47,25,0)74)(52(21=-==-+x x x x x 2 5x 4 7-x x x 62014=+-0)74)(52(=-+x x二、十字相乘法专题练习：（1）01072=++x x （2）0672=++x x（3）0862=+-x x （4）01582=+-x x（5）01662=-+x x（6）0122=--x x（7）03722=++x x（8）071362=+-x x（9）0101962=++x x（10）0351162=--x x三、用恰当的方法解方程：（1）02732=-x（2）142=-x x （3）42)2(3-=-x x x（4）01522=+-x x （5）01492=+-x x （6）07252=--x x。
一元二次方程的解法(知识梳理)
一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
一元二次方程的解法汇总
一元二次方程的解法汇总一元二次方程是一个常见的数学问题，它的解法有多种方法。
在本文中，我将汇总一些常用的解法，并对其进行详细介绍。
一、因式分解法一元二次方程的一种解法是因式分解法。
通过将方程进行因式分解，可以得到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过因式分解的方法将方程进行分解，得到方程的解。
二、配方法配方法是解一元二次方程的另一种常用方法。
通过将方程进行配方，可以得到一个完全平方。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过配方的方法将方程进行变形，得到一个完全平方。
最后，通过求解完全平方，可以得到方程的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的一种常用方法。
通过求根公式，可以直接计算出方程的解。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
其中，a、b、c为方程的系数。
将方程的系数代入求根公式中，即可得到方程的解。
四、图像法图像法是解一元二次方程的一种直观方法。
通过绘制方程的图像，可以直观地找到方程的解。
首先，将一元二次方程转化为标准形式ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
然后，通过绘制方程的图像，可以观察到方程的解在坐标系中的位置。
最后，根据图像的形状和位置，可以确定方程的解。
五、完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法。
通过将方程转化为完全平方的形式，可以直接得到方程的解。
一元二次方程的完全平方公式为(a±√b)^2=a^2±2a√b+b。
将方程进行变形，使其符合完全平方的形式，然后根据完全平方公式，可以直接得到方程的解。
六、求解方法的选择在解一元二次方程时，根据具体的情况选择合适的解法非常重要。
因式分解法适用于方程可以进行因式分解的情况；配方法适用于方程可以通过配方得到完全平方的情况；求根公式适用于一般的一元二次方程；图像法适用于通过观察图像找到方程解的情况；完全平方公式适用于方程可以转化为完全平方的情况。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它可以通过求解来确定方程的根或解。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、图像法等。
本文将对这些方法进行归纳总结，以便读者更清晰地理解和应用一元二次方程的解法。
一、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，它基于一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0。
一元二次方程的解可通过求根公式得到。
求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
1. 判别式D = b^2 - 4ac。
- 当D > 0时，方程有两个不相等的实根。
- 当D = 0时，方程有两个相等的实根。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
2. 根据判别式的情况，求解一元二次方程的根。
- 当D > 0时，方程的两个根为 x1 = (-b + √D)/(2a) 和 x2 = (-b -√D)/(2a)。
- 当D = 0时，方程的两个根为 x1 = x2 = -b/(2a)。
- 当D ＜ 0时，方程没有实根。
公式法适用于所有一元二次方程，但需注意的是，当D ＜ 0时，方程没有实数解，因此解为复数，需要用复数域来表示。
二、配方法对于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方差、平方差、求负等，可以通过配方法将其转化成更容易求解的方程，进而求得解。
1. 完全平方差形式对于形如(x ± a)^2 = b的方程，可利用完全平方差公式，将其转化为(x ± a) = √b的形式，然后解得解x。
2. 平方差形式对于形如x^2 - a^2 = b的方程，可通过配方法将其转化为(x + a)(x -a) = b的形式，然后选取合适的值求解。
3. 求负对于形如x^2 + px = q的方程，可通过将方程两边同乘以负一进行转化，变为x^2 - px = -q的形式，然后应用配方法解方程。
配方法是解特殊形式一元二次方程的有效方法，通过将方程转化为更简单的形式，能够简化解的过程。
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。
一元二次方程解法总结
一元二次方程解法总结一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有以下几种：公式法、配方法、因式分解法和图像法。
1. 公式法：公式法是解一元二次方程最常用的方法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的解可以用下面的公式表示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
这个公式称为一元二次方程的求根公式，通过将方程中的a、b、c带入公式中，可以计算出方程的两个解x1和x2的值。
其中，b^2-4ac称为判别式，通过判别式的值可以判断方程的解的性质：- 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；- 当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；- 当判别式小于0时，方程没有实数解，有两个共轭的复数解。
2. 配方法：配方法是一种通过将方程变形的方法来解一元二次方程的方法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(x+p)^2=q的形式，然后通过开平方的方式求解。
具体步骤如下：- 将方程移到等号右边，即ax^2+bx=-c；- 对方程进行配方，即在方程两边同时加上一个适当的常数p，使得左侧可以完全平方；- 然后再次移项得到(x+p)^2=q的形式，其中q=c-(b^2)/(4a)；- 对方程两边同时开平方，得到x=-p±√q；通过配方法得到的解与公式法得到的解是一致的。
3. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果能够将它因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就可以通过因式分解得到。
具体步骤如下：- 对方程进行因式分解，即将方程因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式；- 然后求解方程(a1x+b1)=0和(a2x+b2)=0，得到x的值；由于一元二次方程的解要满足原方程，因此需要将求得的x值代入原方程进行检验。
4. 图像法：图像法是通过观察一元二次方程在坐标系上的图像来解方程的方法。
一元二次方程的三种主要解法
一元二次方程的三种主要解法一元二次方程是数学中常见的方程形式，其一般形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。
解这类方程主要有三种方法：因式分解法、公式法和配方法。
下面分别介绍这三种方法：1. 因式分解法因式分解法适用于那些可以容易地分解为两个一次因式乘积的二次方程。
具体步骤是：1.将方程ax2+bx+c=0 的左侧进行因式分解，得到(px+q)(rx+s)=0 的形式。
2.根据“两式乘积为0，则至少有一个因式为0”的原则，得到两个一元一次方程：px+q=0 和rx+s=0。
3.分别解这两个一元一次方程，得到x1 和x2。
示例解方程x2−5x+6=0●因式分解得：(x−2)(x−3)=0●解得：x1=2,x2=32. 公式法对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0，当不易直接因式分解时，可以使用求根公式求解。
求根公式为：x=−b±√(b2−4ac)/2a其中，Δ=b2−4ac 称为判别式。
●当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
●当Δ=0时，方程有两个相等的实根（即一个实根）。
●当Δ<0时，方程无实根，但在复数范围内有两个根。
示例解方程2x2+3x−2=0●计算判别式：Δ=32−4×2×(−2)=9+16=25●使用求根公式：x=(−3±√25)/2×2=(−3±5)/4●解得：x1=21,x2=−23. 配方法配方法是通过将二次方程转化为完全平方的形式来求解。
具体步骤是：1.将方程ax2+bx+c=0 的常数项移到等号右边，得到ax2+bx=−c。
2.方程两边同时除以a，得到x2+bx/a=−c/a。
3.方程两边同时加上(b/2a)2，使左边成为完全平方，得到(x+b/2a)2=(b2−4ac)/4a2。
4.开方求解x。
示例解方程x2+4x+3=0 •移项得：x2+4x=−3 •配方得：(x+2)2=1 •开方得：x+2=±1•解得：x1=−1,x2=−3。
一元二次方程的解法归纳总结
一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法.在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法.我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解.一、直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x . 例2. 解下列方程:（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x 33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x ()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x ∴232,23221-=+=x x . 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 【 】（A ）032=-x （B ）()0412=--x （C ）022=+x （D ）()()2221-=+x 习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=ba 【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .习题5. 解下列方程:（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）二、因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:（1）移项 把方程的右边化为0;（2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;（3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;（4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.例1. 用因式分解法解方程:x x 32=.解:032=-x x()03=-x x∴0=x 或03=-x∴3,021==x x .例2. 用因式分解法解方程:()()01212=---x x x . 解:()()0211=---x x x()()()()011011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x∴1,121-==x x .例3. 解方程:121232-=-x x .解:0121232=+-x x()()023044322=-=+-x x x∴221==x x .例4. 解方程:332+=+x x x .解:()0332=+-+x x x()()()()0310131=-+=+-+x x x x x∴01=+x 或03=-x∴3,121=-=x x .因式分解法解高次方程例5. 解方程:()()0131222=---x x . 解:()()031122=---x x()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x∴2,2,1,14321=-==-=x x x x .例6. 解方程:()()0343222=+-+x x . 解:()()043322=-++x x()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x∵032>+x∴()()011=-+x x∴01=+x 或01=-x∴1,121=-=x x .用十字相乘法分解因式解方程对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=∆≥0且∆的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程.例7. 解方程:0652=+-x x .分析:()124256452=-=⨯--=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x∴02=-x 或03=-x∴3,221==x x .例8. 解方程:03722=++x x .分析:25244932472=-=⨯⨯-=∆,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式.解:()()0312=++x x∴012=+x 或03=+x ∴211-=x ,32-=x . 例9. 设方程()012012201420132=-⨯-x x 的较大根为a ,方程020*******=-+x x 的较小根为b ,求b a -的值.解:()012012201420132=-⨯-x x ()()()()()()()0120131011201301201320130112013120132013222222=+-=-+-=-+-=--⨯+-x x x x x x x x x x∴01=-x 或0120132=+x ∴22120131,1-==x x ∵a 是该方程的较大根∴1=a020*******=-+x x()()020121=+-x x∴01=-x 或02012=+x∴2012,121-==x x∵b 是该方程的较小根∴2012-=b∴()201320121=--=-b a .习题1. 方程x x 22=的根是__________.习题2. 方程()022=-+-x x x 的根是__________.习题3. 方程0442=+-x x 的解是__________.习题4. 方程()()232+=-+x x x 的解是__________.习题5. 如果()0211+=--x x x ,那么x 的值为 【 】 （A ）2或1- （B ）0或1（C ）2 （D ）1-习题6. 方程()x x x =-2的根是__________.习题7. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程0862=+-x x 的根,则该三角形的周长为__________.习题8. 解下列方程:（1）()()x x x -=-2223; （2）()1232+=+x x ;（3）()222344x x x -=+-; （4）2422-=-x x .习题9. 解下列方程:（1）0322=--x x ; （2）0452=+-x x .习题10. 解方程:()()01122122=++++x x .三、配方法解用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例1. 用配方法解方程:0142=--x x .解:142=-x x()5252414422±=-=-+=+-x x x x ∴52=-x 或52-=-x ∴52,5221-=+=x x .例2. 解方程:03232=-+x x .分析:按照用配方法解一元二次方程的一般步骤,在移项之后,要化二次项系数为“1”. 解:3232=+x x910319119132132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+x x x x x 31031±=+x ∴31031=+x 或31031-=+x ∴31031,3103121--=+-=x x . 例3. 用配方法解关于x 的方程:02=++q px x （q p 42-≥0）.解:q px x -=+224244244222222q p p x q p p x p q p px x -±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++∴242,24222q p p x q p p x --=+-=+ ∵q p 42-≥0 ∴24,242221q p p x q p p x ---=-+-=. 说明: q p 42-≥0既是二次根式q p 42-有意义的条件,也是一元二次方程02=++q px x 有实数根的前提.因此把q p 42-叫做一元二次方程02=++q px x 的根的判别式.习题1. 用配方法解方程0142=++x x ,配方后的方程是 【 】（A ）()322=+x （B ）()322=-x （C ）()522=-x （D ）()522=+x 习题 2. 若方程082=+-m x x 可以通过配方写成()62=-n x 的形式,那么582=++m x x 可以配成 【 】（A ）()152=+-n x （B ）()12=+n x （C ）()1152=+-n x （D ）()112=+n x 习题3. 用配方法解方程:（1）012=-+x x ; （2）01632=+-x x ;（3）0652=--x x ; （4）011242=--x x .四、公式法一元二次方程的求根公式一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0） 当042<-ac b 时,一元二次方程无实数根.例1. 证明一元二次方程的求根公式.分析:用配方法可以证明一元二次方程的求根公式.证明:02=++c bx axaac b a b x a ac b a b x ab ac a b x a b x ac x a b x cbx ax 2424424422222222222-±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+-=+ ∴a ac b a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ ∴aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-= 即一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根为a ac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 注意:当ac b 42-≥0时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,方程无实数根.公式法解一元二次方程的一般步骤:用公式法解一元二次方程的一般步骤是:（1）把一元二次方程化为一般形式;（2）确定c b a ,,的值,包括符号;（3）当ac b 42-≥0时,把c b a ,,的值代入求根公式求解;当042<-ac b 时,方程无实数根.例1. 用公式法解方程:0622=-+x x .分析:用公式法解一元二次方程时要先将方程化为一般形式,并正确确定c b a ,,的值,包括符号.解:6,1,2-===c b a∴()496241422=-⨯⨯-=-ac b ∴4714491±-=±-=x ∴2471,2347121-=--==+-=x x . 例2. 解下列方程:（1）242=+x x ; （2）x x x 8110442-=++.解:（1）0242=-+x x()24244422=-⨯-=-ac b ∴6226242244±-=±-=±-=x ∴62,6221--=+-=x x ;（2）091242=++x x014414494412422=-=⨯⨯-=-ac b ∴80128012±-=±-=x ∴2321-==x x . 说明:当042=-ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根. 例3. 解方程:0162=+-x x .解:()3243646422=-=--=-ac b ∴22322462326±=±=±=x ∴223,22321-=+=x x .用公式法解一元二次方程获得的启示对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,可以用c b a ,,的值确定方程解的情况以及方程的解,并且求根公式里面的二次根式ac b 42-有意义的条件即为方程有解的条件:当ac b 42-≥0时,二次根式ac b 42-,一元二次方程有实数根;当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,一元二次方程无实数根.（1）当042>-ac b 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根.把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示,所以ac b 42-=∆.在不解方程的前提下,可以由∆的符号确定一元二次方程根的情况.习题1. 解方程:（1）622=-x x ; （2）21342-=--x x x ;（3）0222=+-x x ; （4）()122-=+x x .习题2. 已知a 是一元二次方程0142=+-x x 的两个实数根中较小的根.（1）求201842+-a a 的值; （2）化简并求值:aa a a a a a a 112121222--+---+-.五、换元法解某些高次方程或具有一定结构特点的方程时,我们可以通过整体换元的方法,把方程转化为一元二次方程进行求解,从而达到降次或变复杂为简单的目的.换元法的实质是换元,关键是构造元和设元,体现的是转化化归思想.用换元法解某些高次方程例1. 解方程:03224=--x x .分析:这是一元四次方程,可设y x =2（注意:y ≥0）,这样通过换元就把原方程转化为关于 y 的一元二次方程.解:设y x =2,则有:y ≥0∴0322=--y y()()031=-+y y∴01=+y 或03=-y∴3,121=-=y y∵y ≥0∴3=y （1-=y 舍去）∴32=x ∴3,321-==x x .用换元法解具有一定结构特点的方程例2. 解方程:()()022322=+---x x . 分析:注意到该方程中整体()2-x 出现了两次,可整体设元,从结构上简化方程.解:设t x =-2,则有:0232=+-t t()()021=--t t∴01=-t 或02=-t∴2,121==t t∴12=-x 或22=-x∴4,321==x x .例3. 解方程:()()0128222=+---x x x x . 分析:本题中的方程若展开整理,则得到的是一个高次方程,但方程本身具有非常明显的结构特点,可整体换元,不用展开即可得到一个简洁的一元二次方程.解:设y x x =-2,则有:01282=+-y y()()062=--y y∴02=-y 或06=-y∴6,221==y y∴22=-x x 或62=-x x解方程22=-x x 得:2,121=-=x x ;解方程62=-x x 得:3,221=-=x x综上,原方程的解为3,2,2,14321=-==-=x x x x .例4. 解方程:112122=+-+x x x x . 分析:方程中21xx +与12+x x 互为倒数,若设t x x =+21,则t x x 112=+,经过这样的换元,最后可把原方程转化为关于t 的整式方程,且为一元二次方程.解:设t x x =+21,则有:12=-tt 整理得:022=--t t()()021=-+t t∴2,121=-=t t ∴112-=+x x 或212=+x x 由112-=+xx 得:012=++x x ,此时方程无解; 由212=+xx 得:0122=--x x ,解之得:1,2121=-=x x . 综上,原方程的解为1,2121=-=x x .例5. 解方程:01122=+++xx x x .分析:设y x x =+1,则22112222-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+y x x x x .解:01122=+++x x x x02112=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设y x x =+1,则有:022=-+y y()()021=+-y y∴01=-y 或02=+y∴2,121-==y y ∴11=+x x 或21-=+x x 由11=+x x 得:012=+-x x ,此时方程无解; 由21-=+x x 得:0122=++x x ,解之得:121-==x x .综上,原方程的解为121-==x x .本题变式: 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是【 】 （A ）1或2- （B ）1-或2 （C ）1 （D ）2-例6. 已知()()1212222=+++y x y x ,求22y x +的值.分析:整体设元:设m y x =+22,则m ≥0,据此注意根的取舍.解:设m y x =+22,则有:m ≥0∴()121=+m m整理得:0122=-+m m解之得:4,321-==m m∵m ≥0 ∴3=m∴22y x +的值为3.习题1. 解下列方程:（1）()()6222=+++x x x x ; （2）()()061512=+---x x .习题2. 解方程:1222=---xx x x .习题3. 阅读下面的材料,回答问题:解方程04524=+-x x ,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是: 设y x =2,则原方程变形为:0452=+-y y ①解之得:4,121==y y当1=y 时,12=x ,解之得:1±=x ;当4=y 时,42=x ,解之得:2±=x .综上,原方程的解为:2,2,1,14321-==-==x x x x .（1）在由原方程得到方程①的过程中,利用_________法达到_________的目的,体现了数学的转化思想;（2）解方程:()()0124222=-+-+x x x x .特殊一元二次方程的解法举例某些方程的解需采用特殊的处理和方法,下面列举几例.例1. 解方程:()()7751522=++++x x x x .分析:若把该方程展开并整理,会得到一个一元四次方程,这不是我们想看到的结果.可使用换元法解该方程:设t x x =++152,这样就能把原方程转化为关于t 的一元二次方程. 解:设t x x =++152,则原方程可转化为:()76=+t t∴0762=-+t t()()071=+-t t∴01=-t 或07=+t∴7,121-==t t∴1152=++x x 或7152-=++x x由1152=++x x 得:052=+x x ,解之得:5,021-==x x ;由7152-=++x x 得:0852=++x x ,此时方程无解.综上,原方程的解为5,021-==x x .例2. 解方程:022=-+x x .解法1:当x ≥0,原方程可化为:022=-+x x ,解之得:1=x （2-=x 舍去）;当0<x 时,原方程可化为:022=--x x ,解之得:1-=x （2=x 舍去）.综上所述,原方程的解为1,121-==x x .解法2:原方程可化为:022=-+x x ∴()()021=+-x x ∵02>+x ∴1,01==-x x∴1,121-==x x∴原方程的解为1,121-==x x .解法3:（图象法）原方程可化为:x x =+-22 设x x g x x f =+-=)(,2)(2,在同一平面直角坐标系中画出二者的图象如图所示.∵两个函数的图象有两个交点()1,1-和()1,1 ∴方程x x =+-22有两个实数根,且根为1,121=-=x x∴原方程的解为1,121=-=x x .习题1. 参照例2的解法,解方程:03362=+---x x x .例3. 解方程:()()()()484321=----x x x x .解:()()()()483241=----x x x x∴()()48654522=+-+-x x x x设t x x =+-552,则有:()()4811=+-t t∴49,48122==-t t∴7,721-==t t当7552=+-x x 时,解之得:2335,233521-=+=x x ; 当7552-=+-x x 时,此时方程无解.综上所述,原方程的解为2335,233521-=+=x x . 习题2. 方程027422=-+-x x 的所有根的和为_________.习题3. 已知实数x 满足01122=+++x x x x ,那么x x 1+的值是 【 】 （A ）1或2-（B ）1-或2 （C ）1（D ）2-。
一元二次方程四种解法总结
一元二次方程四种解法总结一元二次方程是高中数学必修课，尤其是高考数学中比较常见的题型，因此，有必要了解一元二次方程的解法，以便在解题中更加熟练。
本文将总结一元二次方程的四种解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法，为大家提供参考。
首先，解析解法是一种解决一元二次方程的最基础的方法。
它的基本思路是将原方程化为两个一元一次方程，用整体求解的方法求出根。
它有两个特点：一是消元法的思想，二是有良好的解析性。
但是，它也有一些局限性，它不适合处理一些三角函数等不定方程。
其次，因式分解法是用因式拆解的方法求出一元二次方程的解。
它的特点在于将多项式中的每一项拆开，再通过求解简化的子问题来得到结果，同时可以去除多项式中的因子，因此能够简化计算过程。
但是，它也有其缺点，它只适用于特定的一元二次方程，对于一些复杂的一元二次方程无能为力。
第三，配方法是一种特殊的解法，它采用一元二次方程的原有方程格式，保证了方程的特点，在其基础上，利用变形来求出根。
配方法需要考虑原方程的特点，把原方程变形成同类方程来求解：即恒等变换和代数变换。
其优点是解析度极高，对于复杂的一元二次方程也可以解出，但是，它也有一些局限性，即它只能用于特定的一元二次方程，只要输入原式方程，就可以求出它的解。
最后，求根公式法是一种求解一元二次方程的简便方法，重点在于记忆求根公式，求根公式是一元二次方程的基本解法。
它有三个特点：一是可以直接求得一元二次方程的解；二是计算过程容易；三是有效果、简便。
但是，它也有局限性，即当系数发生变化时，求根公式的解法就不适用了。
总之，一元二次方程有四种常见的解法：解析解法、因式分解法、配方法和求根公式法。
从上面可以看出，这四种方法各有优点，也各有缺点，只有综合考虑，才能更好地求解一元二次方程。
同时，各位考生在备考中也可以根据不同类型的题目，选择不同的解法，以节省时间，提高效率。
一元二次方程的解法分类与介绍
一元二次方程的解法分类与介绍一元二次方程是高中数学中重要的概念之一，它在数学建模和实际问题求解中起着至关重要的作用。
解一元二次方程是求出方程的根或解集，本文将对一元二次方程的解法进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和应用。
解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，如果该方程可以因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，则方程的根即为m和n。
这种解法适用于方程的系数和常数项较为简单的情况。
解法二：配方法当一元二次方程无法使用因式分解法进行求解时，可以使用配方法求根。
以方程ax^2 + bx + c = 0为例，若系数a不为0，则可以通过将该方程两边同乘以一个适当的常数k，使得方程可以重写为(kx + m)^2 = n的形式。
然后通过展开、移项、取平方根等操作，求得方程的根。
配方法适用于系数较为复杂或方程无法因式分解的情况。
解法三：求根公式求根公式是一种较为普适和简便的解法，适用于任意形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程。
一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据求根公式，我们可以直接计算出方程的根。
然而，求根公式的前提是方程系数已知，且方程可解。
解法四：图像法一元二次方程的解还可以通过图像法来确定。
通过绘制一元二次方程的图像，辅助观察方程与x轴的交点，即可找到方程的根。
图像法直观、易于理解，并且可以通过调整坐标轴范围来观察方程根的位置和性质。
综上所述，一元二次方程的解法主要包括因式分解法、配方法、求根公式和图像法。
不同的解法适用于不同的情况，读者可以根据方程的具体形式和已知条件选择合适的解法进行求解。
在实际应用中，了解并熟练掌握这些解法，能够帮助我们更好地解决数学问题和实际应用中的方程求解。
通过不断练习和巩固，我们可以提高解题的效率和准确性，更好地应对各种数学挑战。
初三数学一元二次方程解法整理,附全面解析
初三数学一元二次方程解法整理，附全面解析1一元二次方程详细的解法配方法(可解全部一元二次方程)如：解方程：x^2-4x+3=0把常数项移项得：x^2-4x=-3等式两边同时加1(构成完全平方式)得：x^2-4x+4=1因式分解得：(x-2)^2=1解得：x1=3,x2=1小口诀：二次系数化为一;常数要往右边移;一次系数一半方;两边加上最相当。
公式法(可解全部一元二次方程)首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b^2-4ac)}/2a来求得方程的根关于高三数学中一个二次方程的解法，我也更新了自己非常有效的学习经验，包括如何调动孩子的学习积极性，自主学习，思维提升等等。
欢迎来我的主页看更多分析！尤其是首页的第一篇文章，我花了很多时间总结整理！希望能帮到你！因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：(x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-1代数法(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]2初三数学学习方法提高数学思维在复习过程中，系统复习初中数学知识后，以反复练习和测试为主，充分发挥学生的主体作用，使学生掌握各种题型的解题方法和技巧，提高学生的综合解题能力。
一元二次方程解题技巧与方法
一元二次方程解题技巧与方法一、直接开平方法。
1. 解方程(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x - 3=±4。
- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。
- 当x - 3=-4时，解得x=-4 + 3=-1。
- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。
2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0- 解析：- 首先对原方程进行化简，2(x + 1)^2=8，则(x + 1)^2=4。
- 然后根据直接开平方法，x+1=±2。
- 当x + 1 = 2时，x=2 - 1=1。
- 当x + 1=-2时，x=-2 - 1=-3。
- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-3。
二、配方法。
3. 解方程x^2+6x - 7 = 0- 解析：- 对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先进行配方。
- 在x^2+6x中加上一次项系数一半的平方，即((6)/(2))^2=9。
- 原方程变形为x^2+6x + 9-9 - 7 = 0，即(x + 3)^2-16 = 0。
- 移项得(x + 3)^2=16。
- 根据直接开平方法，x + 3=±4。
- 当x+3 = 4时，x = 1；当x + 3=-4时，x=-7。
- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-7。
4. 解方程2x^2-5x+2 = 0- 解析：- 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x + 1 = 0。
- 配方：x^2-(5)/(2)x+((5)/(4))^2-((5)/(4))^2+1 = 0。
- 即(x-(5)/(4))^2-(25)/(16)+1 = 0，(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。
- 根据直接开平方法，x-(5)/(4)=±(3)/(4)。
- 当x-(5)/(4)=(3)/(4)时，x = 2；当x-(5)/(4)=-(3)/(4)时，x=(1)/(2)。
解一元二次方程的方法总结
解一元二次方程的方法总结一元二次方程是高中数学中的重要知识点，在各种数学问题中都有广泛的应用。
解一元二次方程的方法有多种，本文将对常见的几种方法进行总结和分析。
一、因式分解法对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+m)(a2x+n)=0的形式，那么方程就可以简化为两个一次方程相乘的形式，进而求得方程的解。
这种方法要求我们能够巧妙地分解方程，并利用因子之间的关系进行求解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为(x+2)(x+3)=0，进而得到x=-2和x=-3两个解。
二、配方法当方程无法直接因式分解时，我们可以考虑使用配方法。
配方法的关键是通过加减恰当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。
具体而言，对于形如ax^2+bx+c=0的方程，我们可以通过添加或减去b^2/4a，将方程的左侧转化为(a*x^2+b*x+b^2/4a)的形式，从而可以化简为(a*x+b/2a)^2=0的形式，进而求得方程的解。
例如，对于方程x^2+4x+4=0，我们可以通过配方法将其转化为(x+2)^2=0的形式，进而得到x=-2的解。
三、求根公式求根公式是解一元二次方程的基本方法之一。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，它的解可以由以下公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)这里的±表示两个解，即正负两个可能的值。
通过代入方程的系数a、b和c，我们可以求得方程的根。
例如，对于方程x^2+3x+2=0，通过求根公式，我们可以得到x=-1和x=-2两个解。
四、图像法一元二次方程的解还可以通过图像法得到。
我们可以将方程表示为y=ax^2+bx+c的二次曲线方程，进而绘制出对应的抛物线图像。
方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。
通过观察抛物线的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点，我们可以直观地得到方程的解。
综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法、配方法、求根公式和图像法。
一元二次方程解法归纳总结
一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。
本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。
一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。
二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。
具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。
例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。
在本例中，我们需要加上5。
所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。
一元二次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________.典型例题：1. 下列方程是一元二次方程的有___________(1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x; (3)233432-+x x =0;【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( )A. x 2+2x+1=0B. x 2=1-3xC. 0.1x 2-x+1=0D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2.方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是________，常数项是______.【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3.当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。
【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 4.关于x 的方程01)1(1=+++-kx xk k 是一元二次方程，则k 的值为________【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-kx x k 的一个根是0，则k=_______二、直接开平方法若x 2=25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 解下列方程：（1）1)3(2=+x （2）18)54(22=-x三、配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1；② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④ 把原方程变为n m x =+2)(的形式；⑤ 如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
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寒假培训八年级下数学资料
一、一元二次方程及其相关概念
1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做
________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________.
典型例题：
1. 下列方程是一元二次方程的有___________
(1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2
33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( )
A. x 2+2x+1=0
B. x 2=1-3x
C. +1=0
D. x 2+x=(x+1)(x-2)
2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是
________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系
数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________.
3.
; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程
(m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。
【变式练习】已知m 是方程012=--x x
的一个根，则m m -2=（ ） A.
-1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________
【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k
的一个根是0，则k=_______
二、直接开平方法
若x 2
=25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____;
从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______
、
解下列方程：（1）1)
3(2=+x （2）18)54(22=-x
三、配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
① 化二次项系数为1；
② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方；
④ 把原方程变为n m x =+2)(的形式；
⑤ 如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
◆ 在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式：
|
22_____)(x _____8+=++x x
22_____)(x _____5-=+-x x 22_____)-(x _____2
3=+-x x
22_____)(x _____+=++bx x 典型例题：
1： 将下列方程转化为a =2)
(的形式。
（1）522=+x x （2）0342=+-x x
2：用配方法解方程011242=--x x
【变式练习】用配方法解下列方程
（1）0132=+-x x （2）06822=--x x
（3）22_____)2(25________4+=++m m m
; <
若m x x ++642为完全平方式，则m=_________;
若92++mx x 为完全平方式，则m=_________.
【例3】 用配方法求代数式752+-x x 的最小值。
【变式练习】用配方法证明10422-+-x x
的值恒小于0.
四、公式法
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x . 根的判别式：ac b 42-=∆
（1）当ac b 42-=∆
>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当ac b 42-=∆
=0时，方程有两个相等的实数根 ；
(3) 当ac b 42-=∆
<0时，方程没有实数根。
"
典型例题：
【例】用求根公式法解下列方程：
（1）0622=-+x x
；
（2）242=+x x
用求根公式法解下列方程：
（1）0622=-+x x
（2）0132=+-x x （3）21342-=--x x x
【
五、因式分解法
（1）提公因式法：ma+mb+mc = m (a+b+c)
（2）公式法：① 平方差公式：a2-b2 = (a+b)(a-b);
② 完全平方公式：a2±2ab+b2 =(a ±b)2;
（3）十字相乘法：x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)
因式分解的步骤：
一“提”：先看多项式的各项有没有公因式，若有公因式必须先提出公因式；
二“套”：再看能不能用公式法分解；
三“查”：看是否每一个因式都不能再分解。
、
典型例题： 1）________________42=-x
2）_______________22=-x x 3）_____________962
=+-x x 4）___________322=--x x （十字双乘法） 【例】用因式分解法解下列方程：
（1）0232=+x x （2）x x 32=
（3）04)
1(2=-+x （4）09)2(42=--x
【练一练】用因式分解法解下列方程：
（1）)1(332+=+x x
（2）0322=--x x
（3） 01322=+-x x （4） 0)1(3)1(=-+-x x x
● 一元二次方程的四种解法的灵活运用：
…
对于方程)04,0( 022≥-≠=++ac b a c bx ax
若b=0, 则宜用__________法解；
若c=0, 则宜用__________法解；
若b ≠0, c ≠0, 则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
① 方程化为标准形式 )0( 02≠=++a c bx ax
后，左边易于因式分解的用因式分解法. ② 若方程 )0( 02≠=++a c bx ax 中，a=1, b 是偶数，可以考虑用配方法.
③ 如果一元二次方程 )0( 02≠=++a c bx ax
的系数是无理数，而且因式分解困难，配方法也很麻
烦的，用公式法.
④ 用合适的方法解下列方程：
（1）02732=-x
(2) 522=+x x (3) 9)2(2=-x
—
(4) 70)
2)(1(=--x x (5) x x x 2)1)(1(=-+ (6) 222=-x t 巩固训练：
1. 方程022=+x x
的解为___________ 2. 方程x x
62=的根是（ ） A.6 ,021-==x x B.6 ,021==x x C.6 =x D.0=x
3. 已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x
的两根为2 ,121==x x ，则c bx x ++2分解因
式的结果是（ ） A. )2)(1(++x x B. )2)(1(--x x C. )2)(1(+-x x D. )2)(1(-+x x
4. 若a, b 是方程式15x 2＋7x －2＝0的两根，且a ＞b ，则a －b ＝ .
5. 若x 2＋3x ＝0之两根为a, b ，求(a ＋b)2－(a －b)2＝ .
6. 若(3x ＋1)(x －3)＝0，则3x ＋1＝ .
7．方程(3)3x x x +=
+的解是______________. '
8、已知()(2)80x y x y +
++-=，则x+y 的值（ ）
（A ）-4或2 (B)-2或4 (C)2或-3 (D)3或-2
9、一元二次方程20x px q ++=的两根分别是1和-2，那么将2x px q ++因式分解的结果为________________.
10、用因式分解法解下列方程：
（1）2(1)
2(1)x x +=+ （2）4(1)10x x -+=
（3）3(21)42x x x +=+ （4）22(1)(52)x x -=-
·
（
|。