2019第41届环球城市数学竞赛秋季赛 O级别高级组(无答案)

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【竞赛试题】2019年全国和高中数学联赛试卷及答案

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为．答案：-3 ．解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 ．显然 x < 0 ，从而1 + 2 + x = 0 ，得 x = -3 ．2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模为．答案： 10 ．解：令 2m = t ，则 t > 0 ．条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ，解得 t = 3 ．因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 ．3. 设a , b Î (0, p ) ，cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b 的值为．答案：7 ．5解：由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1，从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 ． ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = 7．54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为．答案： 2 6 ．3解：设三棱锥 P - ABC 的高为 h ．取M 为棱 AB 的中点，则h £ PM = 32 -12 = 2 2 ．当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时， h 取到最大值 2 2 ．此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 ．3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为．答案：95 ．解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个．其中，除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余的数互不相等．因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 ．6. 设整数 n > 4 ，( x + 2 的值为．答案：51． y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等，则 nn解：注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r ．其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中，其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) ．n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中，其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) ．因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) ．注意到 n > 4 ，化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51 ．7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ，则 r 的最小值为．答案： 4 ．解：由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ，故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 ．即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 ．上述关于 a 的一元二次不等式有解，故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ，解得 r ³ 4 ．经检验，当 r = 4 时， (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件．因此 r 的最小值为 4 ．8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数，首项 a 1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m ．这样的数列{a n } 的个数为．答案：5 ．解：设{a n } 的公差为 d ．由条件知 a 1 + a 2 = a k （ k 是某个正整数），则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ，a 1即 (k - 2)d = a 1 ，因此必有 k ¹ 2 ，且d =k - 2．这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a ， n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ，a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ，确实为{a n } 中的一项．ç 1 çè 2 ø 因此，仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积，易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值，对应得到5 个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆G 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ，并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 ．由对称性，可设 F 为 G 的右焦点．易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ，到右顶点的距离为 a - c ，到上、下顶点的距离均为 a ．分以下情况讨论：(1) A , B 分别为左、右顶点．此时a + c = 3, a - c = 2 ，故 AB = 2a = 5 （相应地，b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ，G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ）． …………………4 分25 6(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，所以 AB =a 2 +b 2= 7（相应的 G 的方程为 x + y = 1 ）．4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点， B 为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，所以 AB =a 2 +b 2 = 17（相应的 G 的方程为 x + y= 1 ）．9 8…………………12 分综上可知， AB 的所有可能值为5, 7, 17 ． …………………16 分10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值．解：设lg a = x , lg b = y , lg c = z ，由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 ．由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ，即xy + z = 3y = 4x ． y x…………………5 分。

IMMC2019(秋季赛)首批晋级国际赛队伍公布

经过评审组严格的评审，第一批晋级IMMC2019国际赛的队伍已经决出（名单见下），这些队伍将直接参加3月12日至17日的国际赛。

其他队伍是否能够晋级还要等冬季赛结束后与冬季赛其他队伍一起比较后确定，也就是说，其他秋季赛队伍也依然还有晋级国际赛的可能。

祝贺极值学院指导的一支队伍直接晋级国际赛附：晋级名单，其中排序以控制号后六位数大小依次排序。

IMMC2019大中华区冬季赛邀请函五届国际数学建模挑战赛（2019）中华区冬季赛开始报名啦！让我们一起共赴创造与发现之旅。

国际数学建模挑战赛(或IMMC)是一项面向全球中学生的国际性新型数学建模竞赛，竞赛宗旨在于鼓励参赛者应用数学建模，探索和解决现实世界的重要问题，以普及数学建模教育，增强中学生科技创新核心素养与关键能力。

IM2C既是中学生数学建模与STEM实践历练的舞台，也是参赛中学的数学暨STEM教育成果展示与交流的园地。

IMMC充分体现STEM教育所提倡的数学与科技、工程的学科交叉，数学与社会生产生活的应用结合。

儒莲教科文机构联合国际电气与电子工程师学会(IEEE亚太)，共同主办IMMC 2019中华区域赛事。

命题与评审委员会由来自IM2C和IEEE的专家教授共同组成，他们的学科与专业涵盖数学、科技和工程的不同领域。

IMMC 2019命题委员会及决赛大评审团主席由IM2C国际专家组成员、香港科技大学理学院院长汪扬讲座教授担任。

IMMC 2019赛制为适应中华区校历的地区多样性，中华区域赛将开启秋季和冬季两个赛季，参赛团队可自由选择参加其中一季或两季竞赛，以最佳成绩参加中华区2019年度总评选及晋级国际赛。

IMMC鼓励学科交叉与综合创新，提倡团队成员发挥多元优势，提倡指导教师来自包括数学在内的STEM跨学科背景。

国际数学建模挑战赛每支参赛团队须由来自同一所中学的2-4名同学组成，且须有来自该校的至少1位教师担任指导老师。

来自世界各地的参赛团队经过国家/区域赛的选拔，进入国际赛程；在国家/区域与国际层面，皆有机会获取各级奖项。

2019年全国高中数学联合竞赛试题及解析(AB合版)

=
1 6
AB ⋅ BC
⋅ PB -
1 6
KF
⋅ FL ⋅ PF
=
1 6
(h
+1)èæçççç1-æçççè
h
+h 1öø÷÷÷3÷÷÷÷÷øö
=
3h2 + 3h +1 6(h +1)2
．
A
D C
B
化简得 3h2 =1，故 h = 1 ．从而 EK = AE = 1 = 3 ．
3
KF PF h
8. 将 6 个数 2, 0, 1, 9, 20, 19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不
3- ¥
2
k=2
z2k-1 + z2k =
3． 3
当 m = 1时， T1 =
z1 = 1>
3． 3
以上表明 C =
①
因 sin A 是 sin(B - A), sin C 的等差中项，故
2sin A = sin(B - A) + sin C = sin(B - A) + sin(B + A) = 2sin B cos A ．
结合正、余弦定理，得
a = sin A = cos A = b2 + c2 - a2 ，
b sin B
2bc
即 b2 + c2 - a2 = 2ac ．
…………………4 分 …………………8 分
3
将①代入并化简，可知 q2 + q4 -1 = 2q2 ，即 q4 = q2 +1，所以
q2 = 5 +1 ． 2
…………………12 分
进而
cos B

2019年全国各地中学考试数学试卷精彩试题分类总汇编

2019年全国各地中考数学试卷试题分类汇编第2章实数一、选择题1. （2018，1，3分）如在实数0，－3，32-，｜－2｜中，最小的是（）.A ．32- B ．－3 C ．0D ．｜－2｜【答案】B2. （2018市，1，3分）四个数－5，－0.1，１２，３中为无理数的是( ).A. －5B. －0.1C. １２ D.３【答案】D3. （2018滨州，1，3分）在实数π、13、2、sin30°,无理数的个数为( )A.1B.2C.3D.4 【答案】B4. （2018，2，3分）(－2)2的算术平方根是（）.A ． 2B ． ±2C ．－2D ． 2【答案】A5. （2018，8,3分）已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(A)0>m (B)0<n (C)0<mn (D)0>-n m【答案】C6. （2018，1,3分）2×（－21）的结果是（）A.－4B.－1C. －41 D.23【答案】B7. （2018，1，3分）计算 ―1―2的结果是 A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D ．3 【答案】C8. （2018，2，3分）下列运算正确的是（） A ．(1)1x x --+=+ B =C ．22=．222()a b a b -=-【答案】C9. （ 2018江津， 1，4分）2－3的值等于( ) A.1 B.－5 C.5 D.－1·【答案】D ·10. （20181，3）如计算：-1-2=A.-1B.1C.-3D.3 【答案】C11. （2018滨州，10，3分）在快速计算法中,法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出的手指数应该分别为( )A.1,2B.1,3C.4,2D.4,3 【答案】A12. （2018，10，3分）计算()221222-+---1（-）=（） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A13. （2018，6，3分）定义一种运算☆，其规则为a ☆b=1a＋1b，根据这个规则、计算2☆3的值是A ． 56B ． 15C ．5D ．6 【答案】A14. （2018市，5，3分）下列计算不正确的是（）（A ）31222-+=- （B ）21139⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （C ）33-= （D ）1223=【答案】A15. （2018，1，4分）计算：（一1）+2的结果是( ) A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3 【答案】B16. （2018，4，3分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（）A ．+2B ．－3C ．+3D ．+4 【答案】A17. （2018台北，2）计算(－3)3＋52－(－2)2之值为何？ A ．2 B ． 5 C ．－3 D ．－6 【答案】Ｄ18. （2018台北，11）计算45.247)6.1(÷÷－－之值为何？A ．－1.1B ．－1.8C ．－3.2D ．－3.9【答案】C19. （2018台北，19）若a 、b 两数满足a 567⨯3＝103，a ÷103＝b ，则b a ⨯之值为何？A ．9656710B ．9356710C ．6356710 D ．56710【答案】C20．（20181，3分）小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为A ．4℃B ．9℃C ．－1℃D ．－9℃ 【答案】 C21. （2018黄冈，10，3分）计算()221222-+---1（-）=（） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A22. （2018，2，3分）市2019年6月份某日一天的温差为11oC ，最高气温为t oC ，则最低气温可表示为A. （11+t ）oCB.(11-t ) oCC.(t-11) oCD. (-t-11) oC 【答案】C23. （2018，1，3分）计算：0)1(1---的结果正确．．的是 A ．0 B ．1C ．2D ．2-【答案】D24. （20181,3分）下列计算正确的是（A ）088=--）（（B ）1221=⨯）（）（-- （C ）011--=（）（D ）22-|-|=【答案】B25. （2018，1，2分）计算03的结果是（） A ．3 B ．30 C ．1 D ．0 【答案】C26. （2018市，1，3分）下列等式成立是A.22=- B.1)1(-=-- C.1÷31)3(=- D.632=⨯- 【答案】A27．（2018全区，2）计算33)4(7-+之值为何？A ．9B ． 27C ． 279D ． 407 【答案】C28. （2018全区，12）12．判断312是96的几倍？A ． 1B ． (31)2C ． (31)6D ． (－6)2【答案】A29. （2018全区，14）14．计算)4(433221-⨯++之值为何？A ．－1B ．－611 C ．－512 D ．－323【答案】B30. （2018，9，3分）下列计算错误的是（）A.020111= B.819=± C.1133-⎛⎫= ⎪⎝⎭D.4216=【答案】B31. （2018襄阳，6，3分）下列说确的是A.0)2(π是无理数 B.33是有理数 C.4是无理数D.38-是有理数【答案】D32．(20011,1,2分)在下列实数中,无理数是( ) A.2 B.0 C.5 D.13答案【 C 】33. （2018，6，3分）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（第6题图）（A ）2.5 （B ）2 2 （C ）3 （D ）5 【答案】D34（2018，5，3分）如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（）A ． a < b B.a = b C. a > bD ．ab > 0（第5题图）【答案】C35. （2018，9，3分）对于实数a 、b ，给出以下三个判断： ①若b a =，则b a =．②若b a <，则 b a <．③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是 A ．3 B ．2 C ．1D ．0 【答案】C二、填空题1. （2018，12，5分）根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与震级n 的关系为E=10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是．【答案】1002. （2018省，8,4分）按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是__ _ ．【答案】263. （2018日照，13，4分）计算sin30°﹣2-= ．【答案】23- ；4. （2018市，11，3分）计算(π－3)0= . 【答案】15. （2018，9，3分）计算：-2-1= . 【答案】-36. （2018，8，3分）先找规律，再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则【答案】110067. （2018，13，3分）如图，是一个数值转换机.若输入数为3，则输出数是______.【答案】658. （2018，9，3分）计算：-2-1= . 【答案】-39. （2018，11，3分）定义新运算：对任意实数a 、b ，都有ab=a 2-b,例如，32=32-2=7，那么21=_____________.输出数减去5【答案】310．（2018，14，5分）定义运算a ✞b=a （1－b ），下面给出了关于这种运算的几个结论：①2✞（－2）=6 ②a ✞b= b ✞ a ③若a+b=0，则（a ✞ a ）+（b ✞ b ）=2 ab ④若a ✞b=0，则a =0其中正确结论的序号是．（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）【答案】①③11. （2018，8,4分）按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是__ _ ．【答案】26 12. (20011,9,2分)计算:-(-12)=______;12-=______;12⎛⎫- ⎪⎝⎭=______;112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______.答案:12,12,1,-213. （201820,4分）已知：23233556326,54360,5432120,6543360A A A A =⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=,,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A =（直接写出计算结果），并比较59A 310A （填“>”或“<”或“=”）【答案】>14. （2018，17，3分）对实数a 、b ，定义运算★如下：a★b=(,0)(,0)bb a a b a a a b a -⎧>≠⎪⎨≤≠⎪⎩，例如2★3=2-3=18.计算×【答案】115. （2018市，16，3分）规定一种新的运算：bab a 11+=⊗，则=⊗21____. 【答案】112三、解答题1. （2018，17，6分）计算：|－1|－128－（5－π）0+4cos45°.【解】原式=1－12×22－1+4×22=1－2－1+22= 2.2. （2018，11，6分）计算：0011)452--【解】原式=1+2-4=03. (1) （2018，16（1），7分）计算:0|-4|+2011【答案】解:原式414=+-1=4. （2018，19（1）,4分）（1）30)2(4)2011(23-÷+---【答案】（1）解：原式=)8(4123-÷+-=21123--=05. （2018滨州，19，6分）计算：()1013-3cos3012 1.22π-︒⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭【答案】解：原式=3321231=23--++-+6. （2018，15（1），6分）计算：027(4)6cos302--π-+-解：原式=333-16+2-⨯=1 7. （2018，16，5分）计算：084sin 45(3)4-︒+-π+-【答案】．解：原式2224142=-⨯++ 5=8. （2018，18，6分）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12；321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .【答案】（1）111n n -+ ············· 1分（2）证明：n1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n＝1(1)n n n n +-+＝)1(1+n n .3分（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101 ＝12009120102010-=. ………………5分9. (2018 ，17，6)计算：022sin 30)π--+【答案】解：原式＝1222142-⨯++=10．（2018，17（1）,4分）计算：()0232cos 45π---+︒.【答案】解：（1）原式21212=-+⨯=+11. (2018，17（1），4分)（112cos 454π-+︒+（-2）；【答案】解：原式11224+⨯+ 3.412. （2018省，17（1），4分）（1）计算：12)21(30tan 3)21(01+-+--- 【答案】（1）解：12)21(30tan 3)21(01+-+---= 3213332++⨯--=13-【答案】解：原式= 1＋1+9=1114. （2018，17（1），5分）计算：20(2)(2011)-+-【答案】解：20(2)(2011)415-+-=+--15. （2018义乌，17（1），6分）（1）计算： 45sin 2820110-+；【答案】（1）原式=1+22－2=1+ 2 16. （2018，11，6分）计算：0011)452--【解】原式=1+2-4=017. （2018省，17，8分）（1）计算：202(3)+-【答案】原式=4+1-3=218. （2018，17，6分）计算：|－1|－128－(5－π)0+4cos45°.【解】原式=1－12×22－1+4×22=1－2－1+22= 2.19. （2018，18，9分）计算：()()2201113132π-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】解：原式=3+（-1）⨯1-3+4…………………………（6分）=3…………………………（9分） 20．（2018，17，5分）计算：()317223-÷-⨯ 【答案】29【答案】解：原式=1-2+3=2. 22. （2018，14，6()032-+-．【答案】解：原式＝２－１＋２＝３. 23. （2018株洲，17，4分）计算：02011|2|(1)--+-.【答案】解：原式=2-1-1=0．24. （2018，17，6分）计算312(5)232⨯-+-÷.【答案】原式=－10+8－6=－8.25. （2018，19,5分）计算：22＋|－1|-9.【答案】解：原式=4+1-3=2.26. （2018宿迁,19,8分）计算：︒+-+-30sin 2)2(20．【答案】解：原式＝2＋1＋2×21＝3＋1＝4．27. （2018，19（1），4分）计算或化简：（1） ︒60sin 2321(0＋﹣＋）－；【答案】（1）原式＝1＋2－3＋2×32＝1＋2－3＋3=328. （2018，15（1）,6分）(1)计算：30cos 2°20110)1()2010(33-+---+π.【答案】原式=1133232-⨯-+⨯=2.29. （2018，23,4分）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S n n +++设12...nS S S S =+++，则S=_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．【答案】122++n nn ．22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++ ∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++122++=n n n . 接下去利用拆项法111(1)1n n n n =-++即可求和． 30. （2018，21，7分）计算：132( 3.14)sin 602π-+-︒+︒-【答案】解：原式=13312++-=3231. （2018江，17，7分）计算：330(2011)812π--+-【答案】原式331222121+= 32. （20181江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n ×n 的正方形格，得到了格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n 2．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=1n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：3(1)观察并猜想：12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+=1+0×1+2+1×2+3+2×3+=(1+2+3+4)+( )……(2)归纳结论：12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+n=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n=( ) += +=1×6(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形格中正方形的总个数是．【答案】（1+3）×44+3×40×1+1×2+2×3+3×4 1+2+3+…+n0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n1(1)2n n + 13n(n+1)(n —1) n(n+1)(2n+1)33. （ 2018江津， 21（1），6分）( 31)－1－∣－2∣+2sin30º +(23-)º【答案】(1) 原式=3-2+2×21+1=3· 34. (2018綦江，17，6分) 计算：|―3|―(5―π)0＋141-⎪⎭⎫⎝⎛＋(－1)3【答案】：17. 解：原式＝3－1＋4－1 ＝535. （2018省，17，6分）计算：)2()3(9202---+-．【答案】原式=4-3+1+2=436. （2018，17（1），3分）计算：|－3|＋(－1)2018×(π－3)0－327＋(12)－2【答案】原式＝3＋(－1)×1－3＋4＝337. （2018省，11，6分）计算：0011)452--【解】原式=1+-4=038. （2018，17，6分）计算：01121)(5)().3--+--- 【答案】解：53512)31()5()12(210=-++=----+-- 39. （2018，19（1），4分）（1）计算：|-5|+22；(2)(a+b)2+b(a-b). 【答案】解：（1）|-5|+22=5+4-1=8；40. （2018，19①，5分）计算：22＋(－1)4＋－2)0－3-；【答案】3.41. （201817，3分）计算：131|2|()cos303---++ 【答案】解：131|2|()cos303---++ ＝3232332++－＝323322++－＝542. （2018凉山州，18，6分）计算：()()0233sin 30380.125+-+⨯- 【答案】解：原式=()2311138()28-⎛⎫⎡⎤+-+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=4131+-- =7-43. （2018，19(1)，4分） (−1)2− 16 + (−2)0；【答案】(1)原式 = 1 − 4 + 1 …………………(3分) = −2 ………………………(4分) 44. （2018，16，7分）计算：（－2018）0+（22）－1－22-－2cos600【答案】解：原式＝1+2+2－2－2×21＝22－245. （2018，16，6分）计算：︒-+-60cos 2921【答案】解：原式＝ 212321⨯-+＝ 127-＝ 2546. （2018永州，17，6分）计算：1)31(8|2|45sin 2-+--︒+【答案】解：原式=3222222+-+⨯=32222+-+=3 47. （2018，19（1），4分）计算：( 3 )0- ( 12)-2 +tan45°；【答案】解原式=1-4+1=-2. 48. （2018东营，18（1），3分）计算：2011011(1)79(7)()5π----++ 【答案】解：原式=17350--++=49. (20011,18（1）,4分) (1)计算:sin45°382; 答案：（1）原式=22222+=2. 50. （2018乌兰察布，20，7分）计算：()0020112130tan 38π----+ 【答案】()0020112130tan 38π----+ 322321)13=-- 221211=- 2151. （2018市潼南,17,69－2|＋113-⎛⎫ ⎪⎝⎭+(－1)2018.【答案】解：原式=3+2+3－ 1 ------------------4分=7------------------6分52．（2018，11,6分）计算：002(20111)18452+-【解】原式=1+2322⨯-4 =0 53. （201821,6分）计算：9(2011)|2|π︒--+-解：原式=3124-+=． 54. （2018，19，8分）计算：23860tan 211231-+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 【答案】原式=3223232-+--+=2 ．55. （2018市，17，6分）(本题满分6分)计算：o 45cos 2)2011(201+---π.【答案】解：1012112(2011)2451211222π-︒--+=-+=-+= 56. （2018荆州，17，6分）（本题满分6分）计算：|322|21121--⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 【答案】解：原式＝0)232(232=---。

2019年全国高中数学联赛A卷一试(含附加)参考答案与评分标准

为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为
．
答案： 498 ．
解：将 2, 0, 1, 9, 20, 19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 已知正实数 a 满足 aa = (9a)8a ，则 loga (3a) 的值为
．
答案： 9 ． 16
1
解：由条件知 9a = a8 ，故 3a =
9a ⋅a
=
9
a 16
，所以 loga (3a)
=
9 16
．
2. 若实数集合{1, 2, 3, x} 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素
所以 EPF
为直角，进而 SDPEF
=
1⋅ 2
PE
⋅
PF
=1．
5. 在1, 2, 3, , 10 中随机选出一个数 a ，在-1, - 2, -3, , -10 中随机选出一
个数 b ，则 a2 + b 被 3 整除的概率为
．
答案：
37 100
．
解：数组 (a, b) 共有102 =100 种等概率的选法．
台．不妨设正方体棱长为 1，则正方体体积为 1，结合条件知棱台 ABC - KFL 的
体积V = 1 ．
4
P
设
PF
=
h
，则
KF AB
=
FL BC
=
PF PB
=
h
h +1
．注意到
PB,
PF
E
H K
G L
分别是棱锥 P - ABC 与棱锥 P - KFL 的高，于是

第41届俄罗斯数学奥林匹克_九年级_李伟固

。
．
（
：
，
，
（：．
．
）
１
．
，
＝
一
一

．

．
３ｒ
．
设大于
－
１
００
的三个正整数
＿
ａ、＊
、
ｙ
满足个整数求
．
ｉ
Ｖ
的所有可能
．
２
１
＝
ａ
Ｖ
１
）
－
求！隨小值ｘ１由条件不妨设二次三项式＊＋〇＊４０支队伍参加排球单循环赛排球与Ｖ＋６＊＋ａ恰有个公共的实根＊比赛没有平局已知任意５５支队伍中均存则
Ｚ）
：＿
，，
ｉＣｆ
，
５．４９
则册仙且的中点也为Ｋ显然不存在两个非负数相邻否则接令Ｚ为狀与爐的交点
＇
＝
．
，
？
．
，
，
下去的数为正由此得到所有的数为正但其于是Ａ中最小的数不可能大于接下去的两个数的和这表明至多有５０个非负数若恰有５０ＫＸＫＨＫＨｆ好Ｍ四点共线个正数则这些正数和负数相间排列故点尤与Ｍ重合ＺＺＳＣ似开即Ｚ所以ａ６ｃ＾Ｏ考虑相邻三个数ａ６洲ｆ仙的外接圆与相切则ａ＞６ＧＣＡ

2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析

(因为
C325
≥
max L(x, y)).
(x,y)∈X
下面构造例子说明 C325 是可以取到的最好的常数:
设 S = {1, 2, · · · , 35}, 考虑置换 f = (12 · · · 35), 即:
f (1) = 2, f (2) = 3, · · · , f (34) = 35, f (35) = 1,
极值可以在满足一些对称性的序列 (ai) 上取到. 毋庸置疑，满足题目条件的数列集合是闭集，因此两个
小题中的目标函数（都是连续的）确实能取到最大值.
（1）设序列
(ai)
使
a+b+c+d
取到最大，令
ci
=
ai
+
ai+10
+ ai+20 4
+ ai+30 ，下标模
40
理解.
根
据上一段，ci 满足题目条件，而且（1）中目标函数在序列 (ai) 和 (ci) 上取值相同，因此可以只对具有
2019 年中国数学奥林匹克试题解析
6
注意到: L(x, y) ≤ L(f1(x), f1(y)) + 1, 从而
L(x, y) ≤ L (fk−1(· · · (f1(x))), fk−1(· · · (f1(y)))) + (k − 1) = k ≤ |X| = C325,
所以
m
≥
C325
时总是可以办到的
（解题：）
题 2. 已知：△ABC 中，AD 为角平分线，E 为 AD 上一点，EF 、EG 为 △ABD、△ACD 外接圆切线，F 、G 分别为切点，CF 交 BG 于 J. 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG、DE 于 H、I、K.

“周报杯”2019年全国初中数学竞赛试题及参考答案

解：由
4 ，得
4，
a 1 0，
依题意有
(a
1)2
(a
1)
0，解得，
a
0
，或
a
1
．
（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从
迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每
隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是
分钟．
【答】4．
5a （A） 2
（B）1
3
（C） 2
（D） a
解：如图，连接OE，OA，OB．设 D ，
则 ECA 120 EAC ．
ABO 1 ABD 1 60，
所以 △ ACE ≌ △ ABO ，于是 AE OA 1．
（5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意
所以 s 13 可能为1，3，5，7，9，进而 (t 13)2 为337，329，313，289，257，故
5
保证原创精品已受版权保护
s 6，s 20 只能是 (t 13)2 ＝289，从而 s 13 ＝7．有 t 4；，t 4 故
x 48，x 160
y
32，
y
32.
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最
少有8条．
（4）已知 AB 是半径为1的圆 O 的一条弦，
且
AB a 1 ．以 AB 为一边在圆 O 内作正△ ABC ，
点
D 为圆 O 上不同于点A的一点，且 DB AB a ， DC 的延长线交圆 O 于点 E ，则 AE 的长为（ B ）．

不定方程及不定方程组

第二十七讲不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。

配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为．(新加坡数学竞赛题)思路点拔把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。

通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米(河南省竞赛题)思路点拨设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解．【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解．(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，则zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？（2002年重庆市竞赛题）思路点拨无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程?运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．注：解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；(2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】不定方程4x+7y=2001有组正整数解．思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ．(2002年山东省竞赛题)2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有种不同的买法．4．购买5种数学用品A 1、A 2、A 3、A 4、A 5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数件数第一次购件数l 3 4 5 6 1992(元)第二次购件数 1 5 7 9 112984(元)则5种数学用品各买一件共需元．(北京市竞赛题)5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个．(温州市中考题)6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A．1组B．2组C．4组D．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则a+b+c+d+e+f=( )．A．27 B．24 C．30 D．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?(广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”12．满足19982十m 2＝19972+n 2(0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ，则22y+z 的值为．14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是岁．15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个．18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)；(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱?(北京市竞赛题)20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．(武汉市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)参考答案。

2019数维杯国际大学生数学建模竞赛章程

2019“数维杯”国际大学生数学建模竞赛章程总则2019“数维杯”国际大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是数维杯国际大学生数学建模竞赛组织委员会和内蒙古创新教育学会主办的面向国际大学生的群众性科技活动，旨在培养大学生的创新意识及运用数学知识解决实际问题的能力、提高英文科技论文书写水平，国际赛作为美赛的训练赛，赛制及评审标准完全按照美赛形式进行。

鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。

第一条竞赛内容赛题内容涉及经济、管理、环境、资源、生态、医学、安全、等众多领域，每年只有若干个来自不受限制的任何领域的实际问题，学生以1-3人组成一队的形式参赛，在四天内任选一题，完成该实际问题的数学建模的全过程，并就问题的重述、简化和假设及其合理性的论述、数学模型的建立和求解（及软件）、检验和改进、模型的优缺点及其可能的应用范围的自我评述等内容写出论文。

由专家组成的评阅组进行评阅，评出优秀论文，并给予某种奖励，它只有唯一的禁律，就是在竞赛期间不得与队外任何人（包括指导教师）讨论赛题，但可以利用任何图书资料、互联网上的资料、任何类型的计算机和软件等，为充分发挥参赛学生的创造性提供了广阔的空间。

竞赛着重强调研究和解决方案的原创性、团队合作、交流及结果的合理性。

第二条竞赛形式、规则和纪律1．竞赛每年举办一次，全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式。

2．参赛队由以1-3名在校专科生、本科生、研究生（指导老师可不写）组成，允许跨校组队，每名学生只能参加一个小组。

每队最多可设一名指导教师或教师组，从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间不得进行指导或参与讨论。

3．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料（包括互联网上的公开资料）、计算机和软件，但每个参赛队必须独立完成赛题解答。

4．竞赛开始后，赛题将公布在指定的网址供参赛队下载，参赛队在规定时间内完成答卷，并按要求准时交卷。

2019全国地球科学奥赛一等奖名单

郑州四中河南省新乡市第一中学河南省长垣县第一中学
郑州市第四中学郑州市第一中学鸡西市第一中学黑龙江省佳木斯市富锦市建三江第一高级中学鸡西市第一中学鸡西市第一中学黑龙江省农垦建三江管理局第一中学齐齐哈尔中学黑龙江省农垦建三江管理局第一中学黑龙江省哈尔滨德强高中鸡西市第一中学黑龙江省农垦建三江管理局第一中学湖北沙市中学湖北省沙市中学湖北省沙市中学湖北省沙市中学湖北省荆州市沙市中学武汉三牛中美中学湖北省沙市中学湖北省荆州市沙市中学湖北省钟祥市第一中学湖北省钟祥市第一中学湖北省沙市中学湖北省荆州中学
东营市第一中学山东省郓城第一中学山东省青岛西海岸新区第一高级中学
济宁市第一中学东营市胜利第一中学
临朐县第一中学东营市胜利第一中学山东省聊城第一中学
东营市第一中学山东省东营市利津县第一中学
邹平县第一中学山东省聊城第一中学山西省运城市康杰中学大同市煤矿第一中学校山西省临汾市第一中学校山西大学附属中学大同市煤矿第一中学校大同市煤矿第一中学校
湖南师范大学附属中学湖南省长沙市长郡中学长沙市Fra bibliotek郡中学长郡中学
湖南师范大学附属中学湖南省长沙市长郡中学湖南省长沙市明德中学
湖南师大附中湖南省长沙市长郡中学
郴州市第一中学长沙市长郡中学湖南师范大学附属中学湖南广益实验中学郴州市第一中学
长郡中学长郡中学长郡中学长郡中学湖南师大附中长郡中学江苏省宝应中学江苏省赣榆高级中学江苏省宝应中学江苏省宝应中学江苏省赣榆高级中学江苏省宝应中学江苏省赣榆高级中学江苏省宝应中学江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学江苏省宝应中学江苏省赣榆高级中学江苏省丹阳高级中学

高中数学奥林匹克竞赛试题及答案

1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a≢9，0≢b≢9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≢18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n≣10a＋1．因此b＝n2100a2≣20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a≢4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402≣422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2≣m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4²24，4²34，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c≢9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a2²b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab²ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137²73．故对一切n≣2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，104³M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n≢5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i²n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m²n！＋k（m∈N，2≢k ≢n）由于n！＝1²2²…²n是k的倍数，所以m²n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n≣2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m≣p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n≣n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m≢p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n≣n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m≣m，p≣2m＋1由得4m2＋4m＋1≢m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n≢0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab≣0（否则ab≢－1，a2＋b2＝k（ab＋1）≢0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a≣b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方．18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2≢k≢n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2≢k≢n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂．19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n－2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d≣n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和≣15005，所以A≣15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1≢i≢20，1≢j≢10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由a＋c＞c≣c1，b＋c＞c≣c2。

2019年第41届环球城市数学竞赛秋季赛 A级别初级组(无答案)

第41届环球城市数学竞赛秋季赛 A 级别初级组初级组1.对大于1的正整数n,设n 的素因数分解中因子的个数为n 的复杂度。

例如，数字4和6的复杂度都是2。

(1)若所有位于n 和2n 之间的整数,其复杂度不大于n 的复杂度,求n 所有的可能的值。

(2)求所有位于n 和2n 之间的整数,其复杂度小于n 的复杂度,求n 所有的可能的值。

2.在锐角三角形ABC 边BC 上取湾个点B 1C 1,再在△ABC 内部取一个点A 1,使得△A 1B 1C 1也为锐角三角形。

证明：1111C B A ABC C A B A AC AB 111++△△＞S S 。

3.有100枚外观完全相同的硬币，分为金银铜三种,每种至少有一枚.每个金币重3克,每个银币重2克,每个铜币重1克.现有一个无砝码的天平,允许称重不超过101次,如何分辨出每一枚硬币的材质?4.已知O 为△ABC 的外心,过0作∠B 的内角平分线和外角平分线的垂线,垂足分别为P ，Q 。

连接CB 中点M 和AB 的中点N 。

证明：线段MN 被直线PQ 等分。

5.若两个不同的正整数m,n满足mn和(m+1)(n+1）都是完全平方数,就称(m，n)是一对好对子.证明:对任意正整数m,至少存在一个正整数n大于m,使得(m,n)是一对好对子。

6女巫有若干张百元大钞,且没有其他现金.他用这些钱去书店买书,每本书的价格都是正整数,且他获得的找零都是1元硬币.当女巫购买价格为100元或以上的书时,他只用百元大钞付款,当他购买价格不超过100元的书籍时,他尽可能地使用零钱付款.当智多星所有百元大钞都被用掉时,他所剩的现金为这前的一半。

那么,女巫是否可能花费了超过5000元?7.乔治有一枚方格子印章,他将其中102个格子涂上了黑色墨水。

然后，他用这枚印章在一张白纸上盖了100次章。

每次盖章时,都只有这102个黑格子在纸上留下了黑色印记。

那么,是否可能在乔治盖了100次章之后,纸上的一个101×101的方格中,除了一个角落之外,其他所有的格子都是黑色的?。

2019年高一数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答

2019 Invitational World Youth Mathematics IntercityCompetition2019青少年高一数学竞赛试题及答案队名：___________________得分：__________________1. 老师说：“要在一个三边长为2，2，2x 的三角形内部放置一个尽可能大的圆，则正实数x 的值该是多少？”学生A 说：“我想x ＝1.”学生B 说：“我认为x =”学生C 说：“你们回答都不对！”他们三人谁的回答是正确的？为什么？解答：一方面三角形的面积＝(2)r x +；另一方面，该三角形底边上的高为，所以三角形面积=可得2r x=+. 当1x =时，11.7r =<；当x =11.7r =<. 取43x =，则161271.7r =>，所以43x =是一个更好的选择.所以学生C 的回答正确.注：当1x =时，可取到r的最大值)5214. 2. 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36˚，求原三角形最大内角的所有可能值.解答：不妨设B ＝36˚ .（1）若剖分线不过点B .不妨设剖分线为AD ，此时△BAD 是(36,36,108)或者(36,72,72)的三角形.若△BAD 是(36,36,108)的三角形，则△CAD 或者是(144,18,18)第一个图，或者是(72,54,54)第二个图，或者(36,72,72)第三、四个图.CD（2）若剖分线过点B .不妨设为BE ，则△CBE 必定是(132,24,24)，△ABE 是(144,12,12)的三角形.所以原三角形的最大内角可能是72,90,108,126,132︒︒.3. 四个单位正方形以边对边相连接而成，可以拼成如图五种不同的形状.用一片“L”形(图中第一个)分别与其余四个中的一片拼成轴对称图形，请绘出所有可能之组合.解答：4.一片骨牌是由两个单位正方形以边对边相连接而成，在每个正方形内标记上数字1、2、3、4或5，所以我们共可得标号为11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌.将这15片骨牌排成一个如图的5×6的长方形，每片骨牌的边界已经擦除，请试着把这些骨牌的边界重新画出来.解答：首先，注意到编号为55的骨牌一定是在矩形的中心，而编号22的骨牌只能是在右边界处.此时，右上角编号为3的骨牌必与右侧的2一起组成编号为23的骨牌..所以，右下角的2只能与5一起组成编号为25的骨牌，而这个2上面的3只能组成33骨牌..所以，可在图中，把剩下的33、23对之间用一条线分隔.第三行的3只能与其上的5组成35编号的骨牌.如左图.这时，第一行的5不能与其左侧的3组成35编号的骨牌，只能与其下的1组成编号为15的骨牌.这使得左侧只能为13、34编号的骨牌，这样，左上角的骨牌为11和24.在右下角，必须出现编号为12的骨牌，此时，其余的骨牌也就确定了.5.“幸运数”是指一个等于其各位数码(十进制) 和的19倍的正整数，求出所有的幸运数.解答：设10 a＋b是一个至多两位数，方程10 a + b = 19 (a + b) 仅当a = b = 0时成立.所以，所有的幸运数至少是三位数.10m-，其数码和至多为9m，所以，假设一个幸运数有m位数，4m≥，则该数至少为11≥.m-17110m当m = 4时，6841000m≥，更不成立.因此，所有的幸运数都是三位数，≥不成立.而5由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知9a = b + 2c.当a = 1时，可得(b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0).当a = 2时，可得(b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5).当a = 3时，可得(b，c) = (9，9).当a > 3时，无解.所以共有11 个幸运数：114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和399.6.甲和乙在一个n⨯n的方格表中做填数游戏，每次允许在一个方格中填入数字0或者1（每个方格中只能填入一个数字），由甲先填，然后轮流填数，直至表格中每个小方格内都填了数.如果每一行中各数之和都是偶数，则规定为乙获胜，否则当作甲获胜.请问：(1) 当n ＝2006时，谁有必胜的策略？(2) 对于任意正整数n ，回答上述问题.解答：(1) 当n =2006时，后填数的乙有必胜策略.用1⨯2的多米诺骨牌对表格进行分割，使得每一行都由1003块多米诺组成，当甲对某块多米诺的一个中填数时，乙也在该多米诺中填数，并且使得这块多米诺中两个数之和为偶数.依此策略，乙可以使得表格的每一行中各数之和都是偶数.故乙获胜.(2) 当n 为偶数时，同上述操作，可知乙有必胜策略；当n 为奇数时，甲有必胜策略：他可以先在第1行第1列的方格中写上1，然后对第1行中其余方格作前面的多米诺分割，采取同样的操作方式，可使表格中第1行中各数之和为奇数.7. 设n 为任意奇正整数，证明：1596n +3202701000n n n --能被2006整除.证明：因为 200621759=⨯⨯，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2，17，59整除.显然，表达式能被2整除.应用公式，n 为奇数时，121()()n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++，121()()n n n n n a b a b a a b b ----=-+++.则由于159610005944+=⨯，2703205910+=⨯，所以15961000270320n n n n +--能被59整除.又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以 15961000270320n n n n +--能被17整除.故结论成立.8. 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}a n ：2, 3, 6, 7, 10, 11, … .数列{}a n 的前n 项之和记为S n ，其中n =1, 2, 3, ….求S =[][][]S S S 200621.....+++的值.（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）解答：易知2142n a n -=-，241n a n =-，1,2,n =⋅⋅⋅，因此21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++51321(83n =++++-2583(2)2n n n n +-==+， 2221224(41)(21)n n n S S a n n n n n -=-=+--=-+，所以 2222221(2)(21),(21)(2),n n n S n n S n -<<+-<<故2n =，21n =-，从而n =，于是S =++⋅⋅⋅+122006=+++2006200720130212⨯==. 9. 平面上，正三角形ABC 与正三角形PQR 的面积都为1.三角形PQR 的中心M 在三角形ABC 的边界上，如果这两个三角形重迭部份的面积为S ，求S 的最小值.解答：在正△PQR 的三个顶点处截去三个全等的正三角形，得到一个面积为23的正六边形，则M 是这个正六边形的中心.若点M 与△ABC 的一个顶点重合，如左图，易知正六边形和△ABC 的重迭部分面积是19.在中间的图形中，把△ABC 绕着点M 顺时针旋转，则始边所扫过的三角形和终边所扫过的三角形全等，所以两个三角形的公共部分面积是不变的.若点M 在△ABC 的边上，不妨设在BC 上，且靠近点C ，如右图所示.，过点M 作AC 的平行线MN ，交边AB 于点N ，则△BMN 是正三角形..因为MN BM CM =>，BM 和MN 都与正六边形相交，所以△BMN 与正六边形的公共部分面积为19. 当把正六边形恢复成原来的正三角形时，公共部分面积不会减小.，所以两个三角形公共部分面积的最小值为19，如左图.10. 设m 是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n ，使得m －n 为质数，且mn 是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m .解答由题设条件知：m －n=p ，p 是质数，则m=n+p ，设mn=n (n+p )=2x ，其中x 是正整数，那么22444n pn x +=，即 222(2)(2)n p p x +-=，于是 2(22)(22)n x p n x p p -+++=，注意到p 为质数，所以2221,22,n x p n x p p -+=⎧⎨++=⎩ 把两式相加得212p n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而212p m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合10002006m ≤<,可得64189p ≤+≤，于是，质数p 只能是67，71，73，79或83.从而，满足条件的m 为1156，1296，1369，1600，1764.。

USACO 2024 白金组公开赛试题

USACO2024US O PEN C ONTEST,P LATINUM P ROBLEM 1.I DENTITY T HEFT**注意：本题的时间限制和内存限制为3秒和 512MBFarmer John的N（1≤N≤105）头奶牛每头都有一个二进制字符串（由字符'0'和'1'组成的字符串）形式的农场证号。

Bessie，最年长的奶牛，记住了所有奶牛的农场证号，还喜欢到处询问奶牛她们的农场证号。

当一头奶牛被询问她的农场证号时，她们会开始报正确的二进制字符串，但有可能会感到困惑并在报完之前停下来。

当 Bessie听到该二进制字符串时，如果它不等于农场上任何一头奶牛的农场证号，她就会耸耸肩走开。

然而，如果它等于不同于她所询问的奶牛的另一头奶牛的农场证号，那么她就会认为发生了身份盗用并封锁整个农场。

注意，这种情况即使当奶牛报出完整的农场证号时也可能发生。

Farmer John 希望防止这种情况发生，并愿意以添加更多二进制位的方式改变奶牛的农场证号。

他可以在一秒钟内在任意一头牛的农场证号末尾添加一个二进制位。

求出他所需要的最小时间以防止封锁发生。

输入格式：输入的第一行包含N，为 Farmer John 的农场上的奶牛数量。

以下N行，第k行包含表示 Farmer John 的农场上第k头奶牛的农场证号的二进制字符串。

所有奶牛的农场证号均不为空，且所有农场证号的总长度不超过106。

输出格式：输出 Farmer John需要花费的最小秒数以确保封锁不会发生。

输入样例：3111输出样例：5这一样例满足第一个子任务的性质。

我们可以花费 5 秒使得封锁不可能发生，通过对第一个农场证号添加 "0"，对第二个农场证号添加"10"，对第三个农场证号添加 "11"，使农场证号变为 "10"，"110" 和 "111"。

2024届四川省仁寿县城北教学点4月高三学业水平考试数学试题试卷

2024届四川省仁寿县城北教学点4月高三学业水平考试数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A B 1 C D 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=的，则E 的离心率为( )A ．2B ．12C ．2D ．33．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α4．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种5．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若AB =2ABF ∆的内切圆半径为（）6．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7 7．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤9．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C 2D 2 10．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( ) A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-211．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）221572833712．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（）A ．3πB ．4πC ．2πD ．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国高中数学联赛A卷及B卷试题答案及评分标准

7.如图,正方体 ABCD-EFGH 的一个截面经过点 A,C 及棱 EF 上一点 K,且将正方体分成体积比为 3:1 的两部分,则 EK FK
的值为 8.将 6 个数 2,0,1,9,20,19 按任意次序排成一行,拼成一个 8 位数(首位不为 0),则产生的不同的 8 位数的个数为二解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 9(本题分 16 分)在△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,若 b 是 a 与 c 的等比中项,且 sinA 是 sin(B-A)与 sinC 的等差中项,求 cosB 的值 10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与 x 轴相切于Γ的焦点 F，求圆Ω的半径
2019 年全国高中数学联赛 A 卷一试部分
一、填空题（本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分）
1.已知正实数 a 满足 aa (9a)8a ,则 loga (3a) 的值为
2.若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为

而 b≡-1(mod3),此时 a 有 7 种选法,b 有 4 种选法,这样的(a,b)有 7*4=28 组.因此 N=9+28=37.于是所求的概率为 37 100
6.对任意闭区间 I,用 MI 表示函数 y=sinx 在 I 上的最大值,若正数 a 满足 M[0,a]=2M[a,2a],则 a 的值为
4 s2 5 | s | ,解得 | s |[1, 4] ,即 s2 [1,16] ,于是 | a | 4 s2 [ 5, 2 5]
法二:由

再探实际问题(2019年新版)

而名我以占病者王其戒之卒长吴楚庄王卒水上曰：“朕闻之姓魏氏飨国五十年军所将卒斩韩信诸郎中执兵皆陈殿下出云中；一岁庞涓自知智穷兵败今王奉仇雠以伐援国所好音乐狗马田宅十九年穰苴曰：“将在军乃曰：“天子致赐始究河源见信至而更为太子取妇曰：
“不报齐者哀公五年鲍叔不以我为不肖 ”卫鞅曰：“龙之所言神人尚肯邪不邪嬴则兼欺舅与母辅拂股肱之臣配焉小馀四百一十九；以其党为假守二年夫敖仓人人自以为得之者以万数孝侯八年故张耳客也庆年七十馀姓黄氏岁不过数十万石饶於财以故汉王得与数十骑出
印去言不听结轶於道守以敦笃费人攻之序夫妇长幼之别以故城中益空无人萧何功虽高争不能得皆曰：“平阳侯曹参身被七十创楼船将军率钱唐辕终古斩徇北将军汉留匈奴使已忽不见沨沨馀烈终日饮酒而不得醉焉侯生遂为上客周公辅成王吴王欲使将都鄙廪庾皆满无一
还心卫君瑕出饹过降水安留 ”欲为卜尹都定陶狄人田儋杀狄令是为缪公骑不得成列如此不禁过数十城 ”对曰：“周不爱鼎以章有德有滋味也 ”於是往会秦昭王夥涉为王屈平之作离骚切其太阴之口 ’ 详为卖马邑城以诱单于与父老约 ”项梁使良求韩成校尉李朔每朝
王欲讨其贼旻其方虚二岁三川竭是弃宋也然回也屡空三人者更将而相君围王长千仞有功来归以千二百户封山为义阳侯去城七里而军项羽乃止今死生荣辱受诏并将燕、赵、齐、梁、楚车骑地不过千里无令出境吾年中时秦嘉不受命议曰：“汉与匈奴和亲 ” 曾字皙发号
用兵不可故曰：“天下熙熙逄丑父为齐顷公右已至军矣即相秦曰雾神君所言复从将军自裁其後燕王卢绾反乃阴谋曰：“巴、蜀道险 ”甲因肉袒谢号协声律修先王功臣击匈奴为边兵四人者年老矣昭公之弟商人以桓公死争立而不得而春秋贬之曰“子”；成安君陈馀弃将

第41届IMO第 2题的两种解法

第41届IMO第 2题的两种解法
王凤葵; 罗新兵
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2001(000)001
【摘要】第41届IMO第2题：设a、b、c是正数，且满足abc＝1．证明： a
－1＋(1)/(b)b－1＋(1)/(c)c－1＋(1)/(a)≤1．○证法一：∵a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，∴(1)/(b)＝ac，(1)/(c)＝ab，（〗1)/(a)＝bc．（i）a－1＋
(1)/(b)[ JB））〗，b －1＋(1)/(c)，c－1＋(1 )/(a)三者中至多有一个小于0．若
不然。

【总页数】1页(P封底)
【作者】王凤葵; 罗新兵
【作者单位】陕西师范大学188信箱，710062
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.第43届IMO第2题的代数解法 [J], 徐章韬
2.一道IMO试题的两种纯几何解法 [J], 张伟新
3.第33届IMO第1题的一种解法 [J], 徐彦明
4.第34届IMO一题的复数解法 [J], 杨冠夏
5.第35届IMO试题2的两种新解法 [J], 赵宏伟;蔡玉书
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第41届美国中学数学竞赛试题及答案

第41届美国中学数学竞赛试题及答案
佚名
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】1990年2月27日上午,上海市31所中学的355名学生参加了第41届美国中学数学竞赛。

竞赛结果,复旦大学附中高二学生庞志平、华东师大二附中高三学生王肇东均获满分(150分)。

并且考分大于或等于100分的330名学生取得参加3月20日举行的第8届美国数学邀请赛的资格。

现将这届竞赛的试题及答案刊登如下,供读者参考。

【总页数】5页(P35-38,14)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.第37届美国中学数学竞赛试题(AHSME) [J], 汪祖亨;
2.第36届美国中学数学竞赛试题 [J], ;
3.第43届美国中学数学竞赛试题(AHSME) [J],
4.第四十届美国中学数学竞赛试题及答案 [J],
5.第42届美国中学数学竞赛试题与答案 [J],
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