数字积分法DDA

累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
无溢出
∆X∆Y同时溢出 ,修正Xi,Yi
101 101 110 011 111 011 010 1 100 101 011 100 100 8 100 110 100 100 111 9 100 010 1 011 100 011 101 011 10 101 111 011 011 11 101 100 1 010 011 6 7 010
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
初始状态
0 1 2 3 4 5
000 000 000 000 000 000 001 001 001 001 010 010 010 100 011
无溢出
∆X溢出修正Xi X到达终点。结 束插补。
Vy X
Y= ∑ (K Ye)∆t
i=1
O
Vx
由此可以得到直线插补的数字积分插补器： J Vx(K Xe)(被积函数寄存器) + ∆t J Rx(累加器) J Ry(累加器) + J Vy(K Ye)(被积函数寄存器) ∆Y Y轴溢出脉冲 X轴溢出脉冲 ∆X
设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： m X= i=1 (K Xe)∆t =KmXe =Xe ∑ Y= ∑ (K Ye)∆t = KmYe = Ye i=1 Y 由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为： X=Xe Y=Ye O A(Xe,Ye) V Vy Vx X
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补 如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为： ∆X=Vx∆t Y ∆Y=Vy∆t A(Xe,Ye) 若动点沿OA匀速移动， V、 Vx、Vy均为常数，则有： V V = Vx Vy = =K Vy OA Xe Ye 成立。 O Vx X
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
101 000 1
011 000
加工轨迹如下： Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
作业： 插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 1 2 X
101 101 000 101 101 101 101 101 010 101 101 111 101 101 100 101 101 001
1
101 101 100
第一次累加
∆Y ∆Y溢出,修正Yi , Yi
1 1
100 ∆X,∆Y无溢出 011 ∆Y溢出修正Yi 010
∆Y溢出修正Yi
插补计算过程如下：
110 110 110 110 110 110 110 110
000 110 100 1 010 1 000 1 110 100 1 010 1 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRy有进位， ∆Y溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 100 ∆X,∆Y同时溢出 011 ∆X,∆Y同时无溢出 ∆Y溢出 010 ∆Y溢出 001 000
圆弧积分插补器： J Vx(Y)(被积函数寄存器) + ∆t J Ry(累加器) J Rx(累加器) + J Vy(X)(被积函数寄存器) X轴溢出脉冲 ∆X ∆Y Y轴溢出脉冲
例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点 为B（0,５），用DDA法加工圆弧AB。 Y 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X
插补计算过程如下
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
101 000 101 101 101 010 101 111 101 100 101 001 101 110 101 011
1 1 1 1
二、数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算 速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输 入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲 线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系 统中得到广泛的应用。
m
确定K的取值： 根据每次增量∆X、∆Y不大于1，以保证每次分配的进给 脉冲不超过1，即需满足： ∆X=K Xe≤1 ∆Y=K Ye≤1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。 n 假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 – 1。 n 若取K=1/2 、则必定满足： n n K Xe = 2 – 1 / 2 <1 n n K Ye = 2 – 1 / 2 <1 由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： n m=1/K=2
O ∆t
t T
若∆t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： n-1 S=∑ Yi
i=0
(累加求和公式或矩形公式）
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现， 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
+ ∆Y
累加器（余数寄存器）
若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下： 被积函数寄存器用以存放Y值，每当∆t 出现一次，被积函 数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将 累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单 位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累 加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所 产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。 被积函数寄存器 ∆t 存放Y值
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
110 000
加工轨迹如下：
Y 6 5 4 3 2 1 O 1 2
A( 2 , 6 )
X
(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X
（一）数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表 示为：S=∫ 0 f(t)dt Y t 若将0～t的时间划分成时间 Y=f(t) 间隔为∆t的有限区间，当∆t 足够小时，可得公式： Yo n-1 0 S=∫ tf(t)dt = ∑ Yi ∆t
i=0
即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。
1
010 001
无溢出 1 000 ∆X∆Y同时溢出
,Y到终点停止迭代
∆X溢出修正Xi
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） Y终 X积分器 X终 Y积分器 JVx JRy 溢出 点计 Jvy JRx 溢出 点计 数器 （Yi) ∆X 数器 (Xi) ∆Y
备注
∆X溢出修正Xi
12 101 001 1 001 010 001 13 101 110 001 001 14 101 011 1 000 001 000
因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KXe∆t ∆Y=Vy∆t =KYe∆t 所以，可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补 V 近似表达式为： m X= ∑ (K Xe)∆t
i=1 m
A(Xe,Ye)
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
如图所示，可以得到： V Vx Vy = = =K R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： ∆X=Vx∆t=KYi∆t V Vy ∆Y=Vy∆t =KXi∆t 设∆t=1，K=1/2 n 则有：Y B(Xe,Ye) X = 1/2 ∑Yi
i=1
n
m
Vx R
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
010 000 010 010 010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 010 110 010 000 1
011 011 011 011 011 011 011 011
000 011 110 001 1 100 111 010 1 101 1
000 初始状态 111 第一次累加 110 JRx有进位， ∆X溢出 101 JRy有进位， ∆Y溢出 ∆X溢出 100 011 ∆X溢出 ∆Y溢出 010 ∆X溢出 001 000
Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo)
Y = 1/2 ∑Xii=1Fra bibliotekn m
O