高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列

44 数列

教材分析

这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点．

教学目标

1. 理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式．

2. 了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项．

3. 进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力．

任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学．数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解．由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想．

教学设计

一、问题情景

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数．

二、建立模型

1. 引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列．

［练习］

下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？

（1）全体自然数构成数列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）无穷多个3构成数列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列

－1，1，－1，1，…

（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列

1，1.4，1.41，1.414，…

2，1.5，1.42，1.415，…

2. 引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系

如：数列1，2，0，－1，3，8，…，第1项是1，第4项是－1，……由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定．一般地，数列可以看作定义域为Ｎ（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，…时的一系列函数值．

［问题］

数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式．

三、解释应用

［例题］

1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．

（1）1，－，，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.

（2）可以写成也可以写成a n＝1＋（－1）n-1，（其中n＝1，2，…）．

注：对于（2），可以引导学生得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一．

2. 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形．在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．

解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n-1．

在直角坐标系中的图像见下图：

3. 设数列满足

试写出这个数列的前5项．

解：∵a1＝1，

注：像这样给出数列的方法叫逆推法．

［练习］

1. 数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式．

2. 已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＝－1（n＞1），试写出它的前5项．

3. 已知数列的通项公式为a n＝n2－10n＋10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？

四、拓展延伸

教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：

1. 已知数列｛a n｝满足，问：此数列有无最大项和最小项？

2. 通常用S n表示数列｛a n｝的前n项的和，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n．已知｛a n｝的前n项和S n＝n2－3n＋2，试求｛a n｝的通项公式．一般地，如何用S n表示a n呢？

点评

这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性．问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当；总体设计完整，清晰．另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养．

美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简．