北大高微讲义第5章 消费者的福利变化

0
p0
1 p1
∆CS =
∫
p0
1 p1
• 以上关系的几何图形和经济含义
13
5.2 CV、EV 和ΔCS 三者之间的关系
• 基本关系： 对正常品而言，有 当P1下降时，有CV < ΔCS < EV ; 当P1上升时，有|CV | > |ΔCS | > |EV | 。 或者， 对正常品而言，当价格变化时，总有 CV < ΔCS < EV 。
14
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
二、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：拟线性 效用函数的情况 1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质
令拟线性效用函数为 U = x 0 + u ( x1 ) 相应的效用最大化问题为 ( P 1) M a x x 0 + u ( x1 )
x 0 , x1
1 在 价 格 p10 到 p1 之间的积分面积。
EV 是 当 u＝ u 1时 ， 补 偿 需 求 曲 线 h1 ( p , u 1 )
1 在 价 格 p10 到 p1 之间的积分面积。
11
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
0 p1 1 p1
∂e( p, u 0 ) dp1 ∂p1
= ∫ 1 h1 ( p, u 0 )dp1
p1
0 p1
显然，h1 ( p, u 0 )是与u 0相联系的商品1的补偿需求函数。
9
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
类似地，有 EV = e( p 0 , u1 ) − e( p 0 , u 0 ) = e( p 0 , u1 ) − e( p1 , u1 ) 仅价格p1变化，上式可以写成: EV = ∫ 1
7
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
二、补偿变化和等价变化的定义： 2、 定义二：利用数学公式
利 用 货 币 度 量 的 间 接 效 用 函 数 µ ( p ; q , m ) = e ( p , v (q , m )) 于 是 ， 有 C V = µ ( p
1 1
; p
1
, m
1
由( P 2)得 v( p, m) = u ( x1 ( p1 )) + m − p1 x1 ( p1 ) 即 v( p, m) = v( p1 ) + m (3) (2)
其中，v( p1 ) = u ( x1 ( p1 )) − p1 x1 ( p1 ) ⇒ 可见，对于拟线性（直接）效用函数而言， 其所对应的间接效用函数v( p, m)也是拟线性的。
1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质 • 最优解x1(p1)的一个重要性质： 对x1(p1)来说，其需求量不受收入变化的 影响，即其收入效应为零。
17
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
2、拟线性效用函数情况下的最优效用v(p,m)及 其与CS 的关系 • 关于间接效用函数v(p,m)
18
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
2、拟线性效用函数情况下的最优效用v(p,m)及 其与CS 的关系 • 关于v(p,m) 与CS的关系：之一
由 （ P2） 的 F O C， 可 得 p 1 ( x 1 ) = u ，( x 1 ) 代 入 （ 2） 式 ， 有 v ( p , m ) = u ( x1 ( p1 )) + m − p1 x1 ( p1 ) = = 即 有
由 （ 3 ） 式 v ( p , m ) = v ( p1 ) + m，利用 R .I 有 ∂ v ( p , m ) / ∂p1 x1 ( p1 ) = − = − v ' ( p1 ) ∂v ( p , m ) / ∂ m 取 积分有 − v ( p1 ) = v ( p1 ) = 再 代入 （ 3 ） 式有 即有
∫ ∫
x 10 0 x 10 0
u ，( x 1 ) d x 1 + m − p 10 x 1 ( p 10 ) p 1 ( x 1 ) d x 1 + m − p 10 x 1 ( p 10 )
19
= C S + m v( p,m ) = C S + m
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
2、拟线性效用函数情况下的最优效用v(p,m)及 其与CS 的关系 • 关于v(p,m) 与CS的关系：之二
2
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
一、消费者剩余变化 ∆CS 的定义 1、消费者剩余CS • 文字定义 • 图形定义 • 公式定义
CS = CS =
∫ ∫
x0 0
p ( x )d x − p 0 x 0
或者，
∞ p
0
x ( p )d p
3
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
1
) − µ ( p
0
1
; p
0
, m
0
)
= m
− µ ( p
; p
, m
0
)
利 用 图 形 理 解 。 E V = = µ ( p µ ( p
0 0
; p ; p
1 1
, m , m
1 1
) − µ ( p ) − m
0
0
; p
0
, m
0
)
8
利 用 图 形 理 解 。
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
p q
∫
p q
x1 ( t ) d t
µ (t ; q , m )
=
∫
p q
p q
x1 ( t ) d t
µ ( p; q, m ) − µ (q; q, m ) = µ ( p; q, m ) = 即
∫
p q
x1 ( t )dt （ 1）
∫
x1 ( t ) d t + m
= ∆CS + m µ ( p; q, m ) = ∆C S + m
s .t .
x 0 + p 1 x1 = m
15
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质
将约束条件 x0＝m − p1 x1代入(P1)目标函数，可得 ( P 2) Max
x1
u ( x1 ) + m − p1 x1 u， ( x1 ) = p1
25
5.3 加总：社会总福利
• 讨论的中心问题： 在拟线性间接效用函数的前提下，在加 总的意义上，探讨总需求函数与拟线性间 接效用函数之间的关系，并探讨与相应的 社会总福利之间的关系。 • 预备知识 拟线性间接效用函数是高曼形式间接效 用函数的一种具体形式，故满足 • MPCi = MPC • CV = ΔCS = EV
0
0 0 0
E V = µ ( p 0; p1, m 1) − µ ( p 0; p = µ ( p 0; p1, m 1) − m
（ 1）
,m
)
=
∫
p p1
0
x1 (t ) d t + m
0
1
− m
1
0
= − ⇒ ⇒
∫
p1 p
x1 (t ) d t + m
− m
0
23
C V = EV
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
p1 p1
0 p1
∂e( p, u1 ) dp1 ∂p1
= ∫ 1 h1 ( p, u1 )dp1 显然，h1 ( p, u1 )是与u1相联系的商品1的补偿需求函数。
10
p0
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
结论： CV 是 当 u＝ u 0时 ， 补 偿 需 求 曲 线 h1 ( p , u 0 )
一、消费者剩余变化的定义 2、消费者剩余的变化 ∆CS
p ( x) : ∆CS = ( ∫ p( x)dx − p1 x1 ) − ( ∫ p( x)dx − p 0 x 0 )
0 0 x1 x0
x( p ) : ∆CS == ∫ 1 x( p)dp
p
4
p0
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 二、补偿变化和等价变化的定义：CV & EV compensated variation: CV equivalent variation: EV • 要点
(1)
FOC :
x1 = x1 ( p1 ) 最 优 解： x0＝ m − p1 x1 ( p1 ) ⇒ 对 拟线性效用函数 而言 x1 = x1 ( p1 )， 其对 商品 1 的需求x1仅 取决 于 自 价格 p1， 即 有x1 = x1 ( p1 )。
16
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
令：消费者在p 0时，实现u 0的最小支出为e( p 0 , u 0 ) 在p1时，实现u 0的最小支出为e( p1 , u 0 ) 于是，可以有 CV = e( p1 , u1 ) − e( p1 , u 0 ) = e ( p 0 , u 0 ) − e ( p1 , u 0 ) 令仅价格p1发生变化，上式可以写成: CV = ∫
wenku.baidu.com26
5.3 加总：社会总福利
• 中心结论
V (P ) =
∫ ∑
P
∞
n
i =1
xi (t )d t = S C S
∂V (P ) = X (P ) ∂P
• 推导
27
5.3 加总：社会总福利
推导
基本框架 ： 令： 单个 消费者 i具 有 高曼 形式的间接效用函数为 (1) vi ( p , m ) = ai ( p ) + b ( p ) mi 加总 ，有 V ( p , m ) = ∑ vi ( p , m )
二、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：拟线性 效用函数的情况 • 结论： 在拟线性效用函数情况下有CV=EV， 进一步，必有 CV = ∆CS = EV。
24
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
1
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
∫
∞
0 p1
0 p1
∞
x1 ( p1 )dp1
∫
x1 ( p1 )dp1
v( p, m ) =
∫
∞
0 p1
x1 ( p1 )dp1 + m = CS + m
20
v ( p , m ) = CS + m
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
3、拟线性效用函数情况下的货币度量的间接 效用函数 µ( p; q, m) 及其与CV、EV的关系 • 拟线性效用函数下的 µ( p; q, m)
22
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
3、拟线性效用函数下的货币度量的间接效用 函数 µ( p; q, m) 及其与CV、EV的关系 • 关于CV和EV
C V = µ ( p1; p1, m 1) − µ ( p 1; p
（ 1） 0
,m
0
)
= m
1
−
∫
p1 p
0
x1 (t ) d t − m
12
5.2 CV、EV 和ΔCS 三者之间的关系
一、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：一般情况 1 ，则有 • 令：商 品 1的 价 格 由 p 10 变 化 到 p 1 CV = EV =
∫ ∫
0 p1 1 p1
h1 ( p , u ) d p 1 h1 ( p , u 1 ) d p 1 x1 ( p , m ) d p 1
已知 ：拟线性效用函数 下 的需求函数为 x1 ( p1） 其 可积性 方程 为 d µ (t ; q , m ) = x1 (t ) dt µ ( q; q, m ) = m 求： µ ( p; q , m )
21
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
解:∫
p q
d µ (t ; q , m ) dt = dt
i =1 n n
= ∑ ai ( p ) + b ( p ) M
i =1
(2)
5
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
1、定义一: 利用图示 • 补偿变化CV： Key: 价格变化以后，要使消费者的境况和 以前一样，需要补偿多少货币？ 即： 以新的价格，回到原有的无差异曲线。
6
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
• 等价变化EV： Key: 价格变化以前，需要对消费者已有的货币 量进行多少调整（即补偿），才能使消费者 达到价格变化以后的境况？ 即： 以原有的价格，达到新的无差异曲线。 • 小结： CV 与EV 的联系和区别