北大高微讲义第5章 消费者的福利变化
高微一Ch5习题参考答案(1-39)
x 2 = x3 x1 = 0 x1 = x3 x2 = 0
3 3 2
2
3
由消费者 3 的效用函数知： 考虑到初始禀赋已知，
x1 = 1 / 2
得 WEA 为
1
1
x12 = 0 x32 = 1/ 2
x13 = 1/ 2 x33 = 1/ 2
x 2 = 1 / 2 ， x2 2 = 1/ 2 ， x23 = 0 x3 = 0
r ( p1r + p2 )i( p1 + p2 ) = − p1 − p2 = 0 r r p1 + p2
5.5 由例题 5.1 知，在均衡时 p1 = p2 ，因此有 x1 =
* * 1*
*r −1 * p2 i p1 1 1 2* = ， x2 参见图 5.4。 = *r *r 2 2 p1 + p2
（c）当市场出清时，相对价格为
p1*
* p2
=4
111 ) , ( 2 6 4 , 5 2 1 1 ))
1 1 x1 x2 =
（d）将（c）的结果代入（b）中检验
58 58 i = 7 6 .4 5 ≥ 7 2 4 11
26 ⎞ ⎛ 52 ⎞ 2 ln ( x12 ) + 2 ln ( x2 ) = ln ⎛ ⎜ ⎟ + 2 ln ⎜ ⎟ = ln (145.26 ) ≥ ln (108 ) ⎝ 4 ⎠ ⎝ 11 ⎠
故 p e → p e, p e 收敛，因而有界。
m m − m − m − − m m − − m − m −
m
m
5.9
ˆ p 是 WEA， 可用反证法证，设 x p 是帕累托有效配置， x p 不是 WEA，存在 x
高级微观经济学 讲义5
,，
使得 0且∑
1。
定理 1.17 消费者需求上的加总
设 , 是消费者的马歇尔需求；对所有的 , 1, … , ， 、 和 如 上定义。则收入份额、价格和需求的收入弹性之间有如下关系：
1. 恩格尔加总：∑
1
2. 古诺加总：∑
，
1, … ,
说明：给定 0，则对每个 ≫ ，
⋅,
。
证明：根据预算平衡性，
,…, ,…, ; ≡
给定假设 1.2，消费者的需求函数在价格和收入上零阶齐次；并且， 对所有的 , ，满足预算平衡性。
首先证明零阶齐次性。
证明：取 , ，取 0。设在 , 和 , 下消费者的需求分别
为
,和
, 。我们要证明它们相等。 是价格和收
入为 , 时的解，因此，
因此，对所有的 0，
⋅
。
⋅
。
就是说，在价格和收入为 , 时，消费者买得起 。因此，
证明：根据谢菲尔德引理，对所有的 1, … ,
∂ ∂
,
∂∂ ,
∂
∂
∂ ∂∂
,
因此，
∂ ∂
,
⋯
∂ ∂∂
,
σ, ≡
⋮
⋱
⋮
≡
,
∂ ∂∂
,
⋯
∂ ∂∂
,
因为支出函数是 的凹函数，因此，其海赛矩阵 以，矩阵σ , 负半定。
, 负半定，所
证毕
定理 1.16 Slutsky 矩阵为对称矩阵和负半定矩阵 设 , 是消费者的马歇尔需求。定义第 个 Slutsky 项为
, ，令 ∗ ≡
, 。根据
,, ≡ ,
根据定理，
,,
,∗
因此，
高级微观经济学讲义：均衡与福利
高级微观经济学讲义：平衡与福利主讲人：邢祖礼西南财经大学经济学院〔2021秋季〕一、教学目的与要求通过本讲，让学生理解部分平衡、一般平衡的根本思想，掌握帕累托最优、超额需求函数、经济核等重要概念，熟悉福利经济学第一定理、第二定理、核定理，可以较为详细的理解平衡的存在性问题。
二、根本内容与课时安排1、部分平衡〔3课时〕2、交换平衡：求解〔2课时〕3、消费：求解克鲁索经济〔2课时〕4、平衡的存在性〔1课时〕5、核与核定理〔2课时〕6、答疑与作业讲解〔2课时〕共计：12课时〔两周〕三、参考书目杰弗瑞.杰里菲利普.瑞尼：?高级微观经济学?，上海财经大学出版社2002年。
:“Microeconomic Theory〞，上海财经大学出版社2005年。
附：讲义的根本内容高级微观经济学讲义:平衡与福利邢祖礼西南财经大学经济学院2021年秋季第一讲：部分平衡分析一、竞争性平衡1、拟线性效用函数Quasi-linear utility function:)(),(i i i i i i x m x m u ϕ+=, i x 是一个消费产品, i m 是其他所产品的支出。
这种函数形式暗含两个假设：(1) x 产品没有收入效应，即x 产品的边际效用独立于收入m ；(2) x 产品的价格不影响其他产品的价格。
通过这两个假设，我们可以得出：其他产品的价格独立于x 产品。
2、需求:)(max i i i x m ϕ+s.t. ∑=-⋅+≤⋅+Jj j j j ij i i i q C q p x p m 1)]([θω (*)从 (*)中, 我们有:i Jj j j j ij i i x p q C q p m ⋅--⋅+=∑=1)]([θω代入目的函数有：∑=-⋅++⋅-Jj j j j ij i i i i x q C q p x p x i1)]([)(max θωϕ0)0(*=⇒≤'i i x p ϕ*()i i x p ϕ'=。
北大高微讲义第3章 显示偏好理论
所以,有(x1j − x0j ) = (x2j − x0j ) + (x1j − x2j )
两边同除以∆pj
,得:
(x1j − x0j ) ∆p j
=
(x2j − x0j ) ∆p j
+
(x1j − x2j ) ∆p j
(2)
以(1)替代(2)中最后一项的∆pj ,有:
(x1j − x0j ) ∆p j
设 x t 是 价 格 p t时 被 选 择 的 商 品 束 , x是使得pt xt > pt x 的另一个商品束, 则 称 x t 直 接 地 显 示 出 严 格 优 于 x。 记为：xt P D x
4
3.1 显示偏好公理
3、间接显示偏好( indirectly revealed preference) 亦称：传递闭包关系（transitive closure）
即: ∆p∆x ≤ 0
22
3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿
二、显示偏好和两种补偿的符号：
结论：
对于两种不同定义的补偿效应的符
号来说，均有
∆p∆x ≤ 0
23
3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿
三、希克斯补偿需求曲线和斯拉茨基补偿 需求曲线
24
第3章 显示偏好理论
• 3.1 显示偏好公理 • 3.2 显示偏好和无差异曲线 • 3.3 显示偏好和斯拉茨基方程 • 3.4 希克斯补偿和斯拉茨基补偿 • 3.5 显示偏好和生活水平比较
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
高级微观03-需求与消费者福利变动 2011
3 需求与消费者福利变动前两章，我们对于学习消费者行为理论做了必要的准备，了解了效用最大化与支出最小化之间的对偶关系，以及支出函数与几种需求函数的基本关系，这为我们继续分析提供了有力的工具。
这一章，我们将进一步分析消费者行为——他们在价格变动时如何变动需求量，需求及其函数的性质，这属于价格变动对于消费者的配置效应问题。
我们还要分析消费者在价格变动时，他们的经济福利的变动，这属于价格变动对于消费者的福利效应问题。
其中，斯拉茨基方程及其性质较为关键。
3.1 价格变动的替代效应和收入效应 3.1.1 价格消费曲线与收入消费曲线价格消费曲线（PCC ），又称价格提供曲线（POC ），是收入m 给定条件下，相对价格jip p 变动与需求x 变动之间的对应关系的轨迹。
（图示）由此有普通品、吉芬品之分。
收入消费曲线（ICC ），又称恩格尔曲线（EC ），是jip p 给定条件下，由于m 变动引致的最优消费束变动的轨迹，也即无差异曲线与预算线公切点形成的收入扩展线。
（图示）由此有下列之分：单位弹性下的同比例消费品（正常品）、高档品、必需品、低档品。
3.1.2 替代效应和收入效应这对概念与上面的概念一样，是初级和中级微观理论讲过的内容，大家应该掌握，不赘。
3.2 斯拉茨基方程及其应用 3.2.1 斯拉茨基方程及其说明 斯拉茨基方程：i j p m p x ∂∂),(=ij p m p v p h ∂∂)),(,(－m m p x j ∂∂),(),(m p x i 注意，这里的),(m p x i =i p m ∂∂=ip u p e ∂∂),(，其含义是：在价格变动时，为维持效用水平不变，收入（支出）必须变动的量。
此方程将价格变动i p ∆引致的需求变动的总效应（TE ），分解为替代效应（SE ）和收入效应（IE ）：j x ∆≈ij p m p x ∂∂),(i p ∆=ij p m p v p h ∂∂)),(,(i p ∆－mm p x j ∂∂),(),(m p x i i p ∆在价格变动i p ∆ 时，SE 表明：在效用 u ＝ v(p, m) 不变条件下，希克斯需求如何变动；IE 表明：在相对价格jip p 不变（人为构造）的条件下，价格变动引致的购买力（收入）变动对于需求的影响。
微观经济学课件第5章及应用
国际政治风险
国际政治局势的不稳定可能导致 贸易中断、制裁等问题，对企业
经营带来不确定性。
05
微观经济学第5章前沿研究动态
不完全竞争市场理论新发展
不完全竞争市场的新模型
针对传统模型的缺陷，新的模型考虑了更多现实因素，如信息不 对称、市场进入壁垒等。
不完全竞争与经济增长
研究发现，不完全竞争市场在一定程度上可以促进技术创新和经济 增长，但过度的垄断会抑制竞争和创新。
指市场中存在一定程度的市场势力，使得价格和 产量不能完全由市场供求关系决定的市场类型。
不完全竞争市场的原因
包括产品差异、市场进入壁垒、信息不对称等因 素。
3
不完全竞争市场的类型
主要包括垄断市场、寡头市场和垄断竞争市场。
垄断市场特征与形成原因
垄断市场的特征
市场上只有一个卖者，且该卖者拥有控制价格和产量的市场势力 。
行为经济学与微观经济学的融合
行为经济学与微观经济学的融合可以为不完全竞争市场的研究提供新的视角和方法论支持。
实验方法在微观经济学中应用前景
01
实验方法在微观经济 学中的优势
实验方法可以控制实验条件和环境因 素，从而更准确地揭示经济现象和规 律。
02
实验方法在微观经济 学中的应用案例
近年来，越来越多的学者开始运用实 验方法来研究微观经济学领域的问题 ，如市场机制设计、拍卖理论等。
微软公司反垄断案例解读
微软反垄断案的背景
微软公司在操作系统和办公软件市场占据主导地位，涉嫌利用市场优势地位进行不正当 竞争和限制竞争行为。
反垄断调查和诉讼过程
多国政府对微软展开反垄断调查和诉讼，指控其滥用市场支配地位，妨碍创新和市场竞 争。
高级微观经济学
13
一,关于偏好的假定
A7 凸性 (convexity) – 表述: 凸性偏好和严格凸性偏好
给定三个商品组合 x , y , z ∈ X , 且 x f z , y f z. % % 如果对于任意的0 ≤ t ≤ 1有 tx + (1 t ) y f z , 则称为 % 凸性偏好. 给定三个商品组合 x , y , z ∈ X , 且 x ≠ y , x f z , % y f z.如果对于任意的0 < t < 1有 tx + (1 t ) y f z , % 则称为严格凸性偏好.
一,关于偏好的假定
A1 完备性 (completenees) – 表述
对于任意两个商品组合x,y ∈ X , x f y和y f x % % 至少有一个成立.
– 本意的理解 – 意义
6
一,关于偏好的假定
A2 自返性 – 表述 (reflexivity)
对 于 任 意 的 消 费 组 合 x ∈ X , 有 x f x. %
为复合函数,则当Ff' ( ) > 0时,便称F为f 的正单 调变换;当F ( ) < 0时,便称F为f 的负单调变换.
' f
20
1.2 效用函数
一,效用函数的单调变换
(monotonic transformation)
函数的单调变换 (正,负单调变换) 效用函数的单调变换 (正单调变换) 效用函数单调变换的理论基础
33
1.2 效用函数
四,效用函数的严格拟凹性假定 2,有关定理 定理3 若 f(x) 是一个凹(或凸)函数,则 -f(x) 是 一个凸(或凹)函数. 类似的,若 f(x) 是一个严格的凹(或凸)函 数,则 -f(x) 是一个严格的凸(或凹)函数. 证明
高级微观经济学课件 福利经济学
价格
S
P0 PW A B C
D
QS
Q0 QD 进口
数量
2013-8-4
25
进口限制（3）：关税与配额
现在看通过关税和配额方式限制 进口（不是取消进口）情况。与 自由贸易相比，价格从PW上升到 P*，国内需求从QD减少Q’D，国 内产量从QS上升到Q’S， 福利效应有：第一，国内生产者 得到相当于多边形A的剩余。第二， 消费者剩余损失为（C+D+B+A）。 第三，采用关税来限制进口时， 政府获得相当于矩形D的关税收入， 这时社会净福利损失为B+C。但 实施配额政策时，D为国外厂商收 益，本国社会净福利损失为 B+C+D。 由于上述福利效果，生产部门通 常倡导或欢迎进口限制，但代价 是消费者和社会净福利损失。
表1，国有粮食部门亏损挂帐额 （1995年-1998年1季度）
300 250 亏损额（亿元/季度）
亏 损 150 额
100 50 0 1981- 1986 1990 1991 1995 1996 1997 1998* 85
200
年份（季度）
2013-8-4
18
价格干预（4）：最低限价
• 最低限价通过非经济手段把价格确定在高于市场均衡价格的水准， 因而称为地板价（Floor Price）；由于它对生产/供给方具有保护作 用，又称为保护价。它对市场供求关系和福利影响可以通过下图观 察。
粮食保护价实际经济影响比较复杂： （1）加重和延长了此后发生的粮食供求的周期性相对过剩，直至 目前仍处于相对过剩状态。 （2）1996年粮农得到了价格实惠，农村人均收入上升9%以上。 然而，由于相对过剩期延长并且政府不断降低保护价，从整个周 期上看好处很小。 （3）由于是政策行为，供求相对过剩的粮食表现为空前规模的过 量库存。近年国有粮食部门（包括储备）掌握的结转库存在5000 亿斤以上，同时农民仍然有相当数量的库存。过量库存体现了死 负荷损失，表现为最终由财政承担的亏损挂帐。 （4）最具有特点的是，我国粮食价格干预直接通过国有粮食部门 在流通环节实施。由于国有部门一般存在的委托-代理问题，所以 大量资源耗散在流通环节：一方面是正常的操作成本，另一方面 是违规操作的“粮鼠”行为。——我国国情决定了大规模价格行 政干预通常要发生额外的“操作成本”。
北大高微讲义第5章 消费者的福利变化
∫
p q
x1 ( t ) d t
µ (t ; q , m )
=
∫
p q
p q
x1 ( t ) d t
µ ( p; q, m ) − µ (q; q, m ) = µ ( p; q, m ) = 即
∫
p q
x1 ( t )dt （ 1）
∫
x1 ( t ) d t + m
= ∆CS + m µ ( p; q, m ) = ∆C S + m
已知 ：拟线性效用函数 下 的需求函数为 x1 ( p1） 其 可积性 方程 为 d µ (t ; q , m ) = x1 (t ) dt µ ( q; q, m ) = m 求： µ ( p; q , m )
21
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
解:∫
p q
d µ (t ; q , m ) dt = dt
p1 p1
0 p1
∂e( p, u1 ) dp1 ∂p1
= ∫ 1 h1 ( p, u1 )dp1 显然，h1 ( p, u1 )是与u1相联系的商品1的补偿需求函数。
10
p0
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
结论： CV 是 当 u＝ u 0时 ， 补 偿 需 求 曲 线 h1 ( p , u 0 )
26
5.3 加总：社会总福利
• 中心结论
V (P ) =
∫ ∑
P
∞
n
i =1
xi (t )d t = S C S
∂V (P ) = X (P ) ∂P
• 推导
27
5.3 加总：社会总福利
北大经济学原理第五课
第五章弹性及其应用Elasticity and ItsApplication1弹性Elasticity . . .……是对买者和卖者对市场环境变化作出反应程度大小的一种度量方法…is a measure of how much buyers and sellers respond to changes in market conditions……使我们能够更精确地分析供给和需求…allows us to analyze supply and demand with greater precision.2需求的价格弹性Price Elasticity of Demand给定百分之一的价格变化，需求量变化的百分数就是需求的价格弹性Price elasticity of demand is the percentage change in quantity demanded given a percent change in the price.它衡量了一种物品的需求量对该物品价格变化作出反应的程度大小It is a measure of how much the quantity demanded of a good responds to a change in the price of that good.34需求价格弹性的决定因素Determinants ofPrice Elasticity of Demand 必需品还是奢侈品Necessities versus Luxuries相近替代品的可获得性Availability of Close Substitutes市场的界定Definition of the Market时间范围Time Horizon需求价格弹性的决定因素Determinants ofPrice Elasticity of Demand需求倾向于更富有弹性：Demand tends to be more elastic :如果该商品是奢侈品if the good is a luxury.时间间隔越长the longer the time period.相近替代品的个数越多the larger the number of close substitutes.市场界定得越狭隘the more narrowly defined the market.5计算需求价格弹性Computing the Price Elasticityof Demand用需求量变动的百分数除以价格变动的百分数，就计算出了需求的价格弹性The price elasticity of demand is computed as the percentage change in the quantity demanded divided by the percentage change in price.Price Elasticity of Demand=Percentage Change in Quantity Demanded Percentage Changein Price67计算需求价格弹性Computing the Price Elasticityof Demandpricein change Percentage demandedquatity in change Percentage demand of elasticity Price =例：如果冰淇淋蛋卷的价格从2.00美元上升到2.20美元，你所购买的数量从10个下降到8个，那么你的需求弹性可以计算如下：Example: If the price of an ice cream cone increases from $2.00to $2.20 and the amount you buy falls from 10 to 8 cones then your elasticity of demand would be calculated as:(810)10020102(2.20 2.00)101002.00percent percent−×−==−−×运用中点公式计算需求价格弹性Computing the Price Elasticity of Demand Using the MidpointFormula如果你试图计算需求曲线上两点之间的需求价格弹性，你马上就会注意到一个恼人的问题：从A点到B点的弹性，与从B点到A点的弹性是不同的。
北大高微讲义第2章 比较静态分析
u =u0
p = p0
即斯拉茨基方程
（ 其 中 （ 1） － （ 3） 式 可 用 于 计 算 。 ）
16
2.1 斯拉茨基方程
(Slutsky equation)
一、斯拉茨基方程的推导 1、利用最优决策的一阶条件：传统的推导方法 • 扩展：将结论扩展到 n 种商品，且考虑自价格 和交叉价格变化的所有情况，则对其中任何两 种商品i、j, 有：
L ( x1 , x 2 , λ ) = u ( x1 , x 2 ) + λ ( m − p 1 x1 − p 2 x 2 )
FOC :
12
2.1 斯拉茨基方程
(Slutsky equation)
求收入效应
令 d p 2 = d p1 = 0 , d m ≠ 0 在 最 优 解 x *上 ， F O C 三 式 对 m 求 偏 导 : ∂ x1 ∂x2 ∂λ u11 ∂ m + u12 ∂ m − p1 ∂ m ∂ x1 ∂x2 ∂λ + u 22 − p2 u 21 ∂m ∂m ∂m ∂ x1 ∂x2 − p1 ∂ m − p 2 ∂ m = 0 = 0 +1 = 0
∂ x1 λ D 1 1 x1 D 3 1 （ 1） = + ∂ p1 D D ∂ x1 （ 2） ∂ p1 （ 3） ∂ x1 ∂m
u =u0
(Slutsky equation)
λ D 11 = , D =－ D 31 D ∂ x1 − x1 ∂m
p = p0
∂ x1 ∂ x1 ⇒ = ∂ p1 ∂ p1
将结论扩展到n种商品且考虑自价格和交叉价格变化的所有情况则对其中任何两种商品ij18212利用普通需求函数和补偿需求函数之间的恒等关系
高级微观经济学讲义(清华 白重恩) Notes7-04
2004 年秋季
推论：Risk averse ⇔ Bernoulli utility function is concave. 即 u ′( x) ↓ marginal utility of wealth ↓ . u is concave ⇒ the marginal utility at x − ε is greater than the marginal utility at x + ε Î the loss from the lottery is greater than the gain Î lower expected utility from the lottery than from the certain income 3．确定性等价（certainty equivalent） 定 义 5 ： if u (c(u , F )) = ∫ u ( x) dF ( x) = u ( F ) ， then c(u , F ) is called certainty equivalent of F.（其中， u 表示消费，F 表示彩票） 推论：risk averse ⇔ c(u , F ) ≤ ∫ xdF ( x)
2
1 1 CE ( z ) = mz − ασ z2 , ασ z2 is risk premium. 2 2
Proposition：the 4 statement below are equivalent： （i） rA ( x, u 2 ) ≥ rA ( x, u1 ) for all x; (ii) u 2 ( x ) =
⇒−
χ ′′ u′ ≥ 0 χ′ 1
⇒ χ ′′ < 0
χ is a concave function
蒋殿春高级微观经济学课后习题详解第5章 消费者实际专题
蒋殿春《高级微观经济学》第5章 消费者理论专题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．某人的效用函数是，他的收入。
最初的商品价格是，()1212,u x x x x =100m =()1,1p =假设现在价格变化为。
计算、和，比较计算结果并作简明的解释。
()14,1p '=EV CV CS ∆解：先求解效用最大化问题：1212,max x x x x 1122..100s t p x p x += 构造拉格朗日函数：()121122100L x x p x p x λ=---求一阶条件，可得：210x p λ-=120x p λ-=代入约束条件可得，，从而得到马歇尔需求函数：1250p p λ=，1150x p =2250x p =因此，，，。
()01,1p =1250x x ==()050,502500u u ==时，，，。
()14,1p '=1200x =250x =()200,5010000u u '==()[]1111111411150d d 50ln 69.31414CS x p p p p p ∆===≈⎰⎰再考虑支出最小化问题：121122,max x x p x p x +12..s t x x u= 构造拉格朗日函数，一阶条件为：120p x λ-=210p x λ-=代入约束条件解出。
λ=从而得到希克斯需求函数，。
()1112,x h p p ==()2212,x h p p ==由于商品2的价格始终为1，代入上面的式子，整理可得：2p 111001EV p ===⎰10111411d 25014u CV p p u p ===⎰通过比较得出，成立。
第6章 北大高微讲义库恩-塔克条件汇总
第1部分消费者行为理论•第1章消费者的最优决策•第2章比较静态分析•第3章显示偏好理论•第4章需求•第5章消费者的福利变化•第6章库恩---塔克条件•第7章不确定条件下的个人选择1第6章库恩---塔克条件（Kuhn —Tucker condition）一、K —T 条件•在最优化问题中，若–选择变量要求非负–约束条件是不等式则需要用K —T 条件来解决问题。
1、K —T 条件初步理解（1）关于选择变量非负的要求Max y =f (xs .. t x ≥0f ' (x ≤0, x ≥0, and f ' (x ⋅x =02第6章库恩---塔克条件（2）关于约束条件是不等式的要求：P1在（1）的基础上加入不等约束的要求Max x y =f (x 1, x 2, x 3 s . t . g 1(x 1, x 2, x 3 ≤r 1g 2(x 1, x 2, x 3 ≤r 2且x 1, x 2, x 3≥03（）第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第一步：加入两个虚设变量s 1、s 2 ≥0，将（P1）处理成以下的等价形式（P2）。
（即：去掉不等式约束条件）Max y =f (x 1, x 2, x 3 x , s（P2）s . t . g (x 1, x 2, x 3 +s 1=r 1g (x 1, x 2, x 3 +s 2=r 221且x 1, x 2, x 3, s 1, s 2≥04第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第二步：假设去掉选择变量的非负要求，于是有：Z (x 1, x 2, x 3, s 1, s 2, λ1, λ2=f (x 1, x 2, x 3 +λ1(r 1−g (x1, x 2, x 3 −s 1 +λ2(r 2−g (x 1, x 2, x 3 −s 2 （P2' ）∂z ∂z ∂z F . O . C . ===0∂x 1∂x 2∂x 3∂z ∂z ==0∂s 1∂s 2∂z ∂z ==0∂λ1∂λ2512第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第三步：加上选择变量非负的要求。
高级微观经济学讲义(清华 白重恩) Notes8-04
高级微观经济学
2004 年秋季
Proposition：F is 1st order stochastically dominates G ⇔ F ( x) ≤ G ( x) for all x “ ⇒ ”见上。” ⇐ ”见下 证明：已知 F ( x0 ) ≤ G ( x0 )
for all x0 。 ∞ ∞ − ∫ F ( x)du ( x) − u ( x)G ( x) + ∫ G ( x)du ( x) −∞ −∞
∫
第七章
Game theory2
P (Q) is demand function.
Case1：完全竞争（perfect competition）: max
Q
PiQ - C (Q) , 其中 P 是常数。
Case2：垄断（Monopoly）: max p (Q )iQ − C (Q )
Q
1 2
G is a mean-preserving spread of F。 本部分都是 Non-cooperative game theory (no third party enforcement of any agreement) 3
∫ u ( x)dF ( x) ≥ ∫ u( x)dG( x) for
all
non-decreasing concave function u ( x) , then we say F 2nd order stochastically dominants G.
Corollary： 1st-order stochastic dominance ⇒ 2nd-order stochastic dominance. 1st-order stochastic dominance ⇐ 2nd-order stochastic dominance. Example.
高级微观经济学讲义(清华 白重恩) Notes1-04
⇒ u(x) ≥ u(y), u(y) ≥ u(z) ⇒ u(x) ≥ u(z) ⇒x z ⇒ 传递性
7、Question: if
is rational preference relation, can we find a U function representation？
答案：不一定能找到一个效用函数与之对应。 一个反例： X = ( x1 , x2 ) : x1 ∈ [ o, ∞ ) , x2 ∈ [ o, ∞ ) ，定义偏好关系为字典顺序，即，
∀x1，
( x1 ,2)
( x1 ,1)
u ( x1 ,2) > u ( x1 ,1) ⇒ ∃有理数ϕ ( x1 )，u ( x1 ,2) > ϕ ( x1 ) > u ( x1 ,1)
可以证明 x1 → ϕ ( x1 ) 是一个一一对应
设x1 < x 2
⇒ u ( x1 ,1) < u ( x1 ,2) < u ( x 2 ,1) < u ( x 2 ,2) ⇒ ϕ ( x1 ) < ϕ ( x 2 )
y.
∀x ∈ R n . define: e ≡ (1,1,...,1) ∃λ1 , λ2 ∈ R, s.t. λ1e ≥ x ≥ λ2 e ⇒ λ1e
define: set A,B.
x
λ2 e; (单调性的定义)
A ≡ {λ1 ∈ R : λ1e B ≡ {λ2 ∈ R : x
x};
λ2 e}.
Î
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ), if x1 > y1 , or x1 = y1 andx2 ≥ y2
{
}
可以证明字典序是理性的。 问题：是否存在一个函数 u， s.t , ( x1 , x 2 ) ( y1 , y 2 ) iff u ( x1 , x 2 ) ≥ ( y1 , y 2 ) ? Answer: No! 证明：反设存在这样一个 u 满足上述条件。
金融学院高级微观经济学之消费者行为讲义(ppt 40页)
偏好关系：是指 X 上的二元关系 (或 )，即
x, yX， x y x y x ~ y x, yX， x y x y x ~ y
比衣物太重要。
排序：先看食品，后看 衣物，字典式排序。
对于 (x1, y1) 和 (x2, y2)
(x1, y1) (x2, y2)是指 x1 < x2 或者 x1 = x2 但 y1 < y2 。
(x1, y1) ~ (x2, y2)是指 x1 = x2 且 y1 = y2。
衣服
方案 x 很好，但达不到；方案 y 较差，但不想要。 折衷处理：选择适当的加权平均方案 z = t x + (1 t ) y。 效果：有更好方案的参与，必然提升满意程度，故加
权平均方案 z 优于原来最差的方案 y。 折衷处理的这种效果正是偏好凸性的表现。
中庸之道：人们通常的行为逻辑
13
1.4.2.1 偏好排序与实数排序对比
实数排序
x < y、x > y、x = y 之中 必有且只有一个成立。
x y & y x x = y
(xR)(yR)(x < y) {yR| y x}是闭集。 {yR| y x}是闭集。 x, yR ，只要 x y 且
假设HP：消费者偏好 无满足、连续、严格凸。
无满足：(xX ) ( yX )( x y ) 连续：xX，{ yX | y x }和{ yX | y x }都是闭集。 严格凸：对任何 x, yX ，只要 x y 且 x y，那么对
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1
) − µ ( p
0
1
; p
0
, m
0
)
= m
− µ ( p
; p
, m
0
)
利 用 图 形 理 解 。 E V = = µ ( p µ ( p
0 0
; p ; p
1 1
, m , m
1 1
) − µ ( p ) − m
0
0
; p
0
, m
0
)
8
利 用 图 形 理 解 。
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
∫ ∫
x 10 0 x 10 0
u ，( x 1 ) d x 1 + m − p 10 x 1 ( p 10 ) p 1 ( x 1 ) d x 1 + m − p 10 x 1 ( p 10 )
19
= C S + m v( p,m ) = C S + m
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
2、拟线性效用函数情况下的最优效用v(p,m)及 其与CS 的关系 • 关于v(p,m) 与CS的关系：之二
∫
∞
0 p1
0 p1
∞
x1 ( p1 )dp1
∫
x1 ( p1 )dp1
v( p, m ) =
∫
∞
0 p1
x1 ( p1 )dp1 + m = CS + m
20
v ( p , m ) = CS + m
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
3、拟线性效用函数情况下的货币度量的间接 效用函数 µ( p; q, m) 及其与CV、EV的关系 • 拟线性效用函数下的 µ( p; q, m)
0
0 0 0
E V = µ ( p 0; p1, m 1) − µ ( p 0; p = µ ( p 0; p1, m 1) − m
（ 1）
,m
)
=
∫
p p1
0
x1 (t ) d t + m
0
1
− m
1
0
= − ⇒ ⇒
∫
p1 p
x1 (t ) d t + m
− m
0
23
C V = EV
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
令：消费者在p 0时，实现u 0的最小支出为e( p 0 , u 0 ) 在p1时，实现u 0的最小支出为e( p1 , u 0 ) 于是，可以有 CV = e( p1 , u1 ) − e( p1 , u 0 ) = e ( p 0 , u 0 ) − e ( p1 , u 0 ) 令仅价格p1发生变化，上式可以写成: CV = ∫
p1 p1
0 p1
∂e( p, u1 ) dp1 ∂p1
= ∫ 1 h1 ( p, u1 )dp1 显然，h1 ( p, u1 )是与u1相联系的商品1的补偿需求函数。
10
p0
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
3、 定义三：由支出函数到补偿需求曲线
结论： CV 是 当 u＝ u 0时 ， 补 偿 需 求 曲 线 h1 ( p , u 0 )
第1部分 消费者行为理论
• 第1章 消费者的最优决策 • 第2章 比较静态分析 • 第3章 显示偏好理论 • 第4章 需求 • 第5章 消费者的福利变化 • 第6章 库恩 --- 塔克条件 • 第7章 不确定条件下的个人选择
1
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
由( P 2)得 v( p, m) = u ( x1 ( p1 )) + m − p1 x1 ( p1 ) 即 v( p, m) = v( p1 ) + m (3) (2)
其中，v( p1 ) = u ( x1 ( p1 )) − p1 x1 ( p1 ) ⇒ 可见，对于拟线性（直接）效用函数而言， 其所对应的间接效用函数v( p, m)也是拟线性的。
已知 ：拟线性效用函数 下 的需求函数为 x1 ( p1） 其 可积性 方程 为 d µ (t ; q , m ) = x1 (t ) dt µ ( q; q, m ) = m 求： µ ( p; q , m )
21
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
解:∫
p q
d µ (t ; q , m ) dt = dt
0
p0
1 p1
∆CS =
∫
p0
1 p1
• 以上关系的几何图形和经济含义
13
5.2 CV、EV 和ΔCS 三者之间的关系
• 基本关系： 对正常品而言，有 当P1下降时，有CV < ΔCS < EV ; 当P1上升时，有|CV | > |ΔCS | > |EV | 。 或者， 对正常品而言，当价格变化时，总有 CV < ΔCS < EV 。
由 （ 3 ） 式 v ( p , m ) = v ( p1 ) + m，利用 R .I 有 ∂ v ( p , m ) / ∂p1 x1 ( p1 ) = − = − v ' ( p1 ) ∂v ( p , m ) / ∂ m 取 积分有 − v ( p1 ) = v ( p1 ) = 再 代入 （ 3 ） 式有 即有
s .t .
x 0 + p 1 x1 = m
15
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质
将约束条件 x0＝m − p1 x1代入(P1)目标函数，可得 ( P 2) Max
x1
u ( x1 ) + m − p1 x1 u， ( x1 ) = p1
12
5.2 CV、EV 和ΔCS 三者之间的关系
一、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：一般情况 1 ，则有 • 令：商 品 1的 价 格 由 p 10 变 化 到 p 1 CV = EV =
∫ ∫
0 p1 1 p1
h1 ( p , u ) d p 1 h1 ( p , u 1 ) d p 1 x1 ( p , m ) d p 1
5
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
1、定义一: 利用图示 • 补偿变化CV： Key: 价格变化以后，要使消费者的境况和 以前一样，需要补偿多少货币？ 即： 以新的价格，回到原有的无差异曲线。
6
5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义
• 等价变化EV： Key: 价格变化以前，需要对消费者已有的货币 量进行多少调整（即补偿），才能使消费者 达到价格变化以后的境况？ 即： 以原有的价格，达到新的无差异曲线。 • 小结： CV 与EV 的联系和区别
14
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
二、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：拟线性 效用函数的情况 1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质
令拟线性效用函数为 U = x 0 + u ( x1 ) 相应的效用最大化问题为 ( P 1) M a x x 0 + u ( x1 )
x 0 , x1
1 在 价 格 p10 到 p1 之间的积分面积。
EV 是 当 u＝ u 1时 ， 补 偿 需 求 曲 线 h1 ( p , u 1 )
1 在 价 格 p10 到 p1 之间的积分面积。
11
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
二、 CV、EV和ΔCS三者之间的关系：拟线性 效用函数的情况 • 结论： 在拟线性效用函数情况下有CV=EV， 进一步，必有 CV = ∆CS = EV。
24
第5章 消费者的福利变化
• 5.1 消费者剩余变化、补偿变化和 等价变化的定义 • 5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系 • 5.3 加总：社会总福利
(1)
FOC :
x1 = x1 ( p1 ) 最 优 解： x0＝ m − p1 x1 ( p1 ) ⇒ 对 拟线性效用函数 而言 x1 = x1 ( p1 )， 其对 商品 1 的需求x1仅 取决 于 自 价格 p1， 即 有x1 = x1 ( p1 )。
16
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
p q
∫
p q
x1 ( t ) d t
µ (t ; q , m )
=
∫
p q
p q
x1 ( t ) d t
µ ( p; q, m ) − µ (q; q, m ) = µ ( p; q（ 1）
∫
x1 ( t ) d t + m
= ∆CS + m µ ( p; q, m ) = ∆C S + m
18
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系
2、拟线性效用函数情况下的最优效用v(p,m)及 其与CS 的关系 • 关于v(p,m) 与CS的关系：之一
由 （ P2） 的 F O C， 可 得 p 1 ( x 1 ) = u ，( x 1 ) 代 入 （ 2） 式 ， 有 v ( p , m ) = u ( x1 ( p1 )) + m − p1 x1 ( p1 ) = = 即 有
1、拟线性效用函数情况下的需求函数x(p)及其 性质 • 最优解x1(p1)的一个重要性质： 对x1(p1)来说，其需求量不受收入变化的 影响，即其收入效应为零。
17
5.2 CV、EV和ΔCS三者之间的关系