分数阶非线性系统动力学特性及其图像处理应用研究
分数阶滑模控制理论及其应用研究共3篇
分数阶滑模控制理论及其应用研究共3篇分数阶滑模控制理论及其应用研究1分数阶滑模控制理论及其应用研究随着现代控制领域的发展和应用需求的增加，分数阶滑模控制理论已逐渐引起人们的关注，因其具有更广泛的应用场景和更好的控制效果而备受瞩目。
分数阶滑模控制理论是在传统的滑模控制理论基础上发展而来的一种新型控制理论。
传统滑模控制中的滑模面为一个线性函数，而在分数阶滑模控制中，滑模面为一个分数阶函数，使得滑模控制具有更强的非线性适应性和更好的控制性能。
同时，分数阶滑模控制也可以应用于非线性系统的控制，在控制精度、鲁棒性和稳定性方面具有优越性。
分数阶滑模控制理论主要包括一个分数阶滑模方程和一个分数阶控制策略。
其中，分数阶滑模方程描述了系统的运动轨迹，分数阶控制策略决定了系统的控制策略以及控制器的设计。
在设计分数阶控制策略时，需要首先确定分数阶导数、滑模面和控制器的特征参数，以保证控制系统具有较好的性能指标。
分数阶滑模控制理论与应用研究是一个既新颖又富有挑战性的领域。
在研究中，人们需要探索更多基于分数阶滑模控制理论的系统控制方法和应用实例，以推动其在各个领域的应用和推广。
在实际应用中，分数阶滑模控制可以应用于许多不同领域，如机器人控制、空气动力学控制、电力系统控制等。
其中，在机器人领域，分数阶滑模控制已成为一种非常实用的控制策略，可帮助机器人在复杂的环境中完成各种高精度任务。
在空气动力学控制中，分数阶滑模控制可以帮助实现飞机的良好机动性能和自适应控制性能。
在电力系统控制中，分数阶滑模控制可以帮助不断提高电力系统的鲁棒性和稳定性，从而提高其运行效率和可靠性。
总之，分数阶滑模控制理论及其应用研究是一个十分广泛和复杂的领域，其应用范围和前景都非常广阔。
研究人员可以不断深入探索这一领域，寻求更多优秀的解决方案和实现路径，为促进分数阶滑模控制的应用和推广做出更大的贡献分数阶滑模控制是一种新兴的控制方法，具有较强的适应性和鲁棒性，在机器人控制、空气动力学控制、电力系统控制等领域有广泛的应用前景。
分数阶理论在BP神经网络中的应用
分数阶微积分的概念与性质
分数阶微积分是一种扩展的微积分理论，它允许我们使用非整数值的阶数进 行微分和积分运算。与传统的整数阶微积分相比，分数阶微积分具有更强的非线 性描述能力，能够更好地处理具有记忆和遗传性质的问题。
在分数阶微积分理论中，Riemann-Liouville定义是最常用的定义方式。通 过该定义，我们可以将传统的整数阶导数扩展到分数阶导数。分数阶导数具有一 些独特的性质，例如非局部性、非对称性和非马尔科夫性等，这些性质使得分数 阶微积分在描述复杂系统和现象方面更具优势。
分数阶微积分的算法
分数阶微积分的常见算法包括多项式插值、傅里叶变换和拉格朗日乘子等。 在多项式插值中，我们通过已知的一些点来构造一个多项式函数，然后根据这个 函数来计算分数阶导数。傅里叶变换则是一种将函数从时域转换到频域的数学工 具，它可以用于计算分数阶导数。拉格朗日乘子是一种求解分数阶微分方程的方 法，它通过引入一些辅助变量将分数阶微分方程转化为整数阶微分方程。
将分数阶微积分引入BP神经网络，可以扩展网络的动态范围，增强其对非线 性模式的描述能力。通过使用分数阶导数，我们可以更好地捕捉网络中的记忆效 应和遗传机制，从而改进网络的性能。此外，分数阶导数还具有一些特殊的性质， 例如非局部性，这有助于我们更好地理解网络的内部工作机制。
分数阶BP神经网络的实现与优势
分数阶微积分的理论
分数阶微积分的基本理论主要涉及幂级数、勒让德符号和矩阵表示等方法。 幂级数是一种通过无穷级数展开函数的数学工具，它可以用来表示分数阶导数。 勒让德符号是一种描述函数在某一点的变化率的数学工具，它可以用于计算分数 阶导数。矩阵表示则是用矩阵形式表示分数阶导数的一种方法。
在分数阶量子力学中，幂级数、勒让德符号和矩阵表示等方法的应用尤为常 见。例如，在处理分数阶拉普拉斯算子时，幂级数和勒让德符号被用来描述粒子 的行为；而在处理分数阶哈密顿算子时，矩阵表示被用来描述系统的能量等级。
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究是一个重要的研究课题，它主
要关注系统中发生的动态行为以及这种行为如何影响系统的性能。
Duffing振子是一种经典的非线性振子，由德国物理学家Alfred-Hermann Duffing于1918年发明，它主要被用来模拟结构动力学中的
振动行为。
Duffing振子包括三个参数，即质量m、刚度c和非线性系
数b，它表示了一个力学系统中各种不同物理参数的相互作用。
分数阶Duffing振子指的是对原Duffing振子系统作出一定的改进，这种改进
将Duffing振子更新为含有分数阶自项的Duffing振子系统。
在研究分数阶Duffing振子动力学时，我们将研究以下几个方面：首先，我们要研究的是系统的稳定性，即系统固有的动力学特性，以
及其是否会受外部因素的影响而发生不稳定的行为。
第二，我们要研
究的是不同的参数对系统的动力学行为的影响，即究竟不同的参数设
定会对这种振子器件的动力学行为产生什么样的影响。
第三，我们还
要研究不同的控制策略对系统动力学行为的影响，这其中包括已开发
出的传统控制策略以及一些新的控制策略。
最后，我们还要研究当前
已开发出的小型唐振子装置的动力学行为，这些装置常常被用来作为
实验室的模型系统，试测系统的动力学行为。
通过以上几点，分数阶Duffing振子系统的动力学研究将有助于
我们更深入地理解此类系统的动力学行为，并有助于我们研发更加先
进的系统控制技术，从而更有效地解决现实工程中出现的系统振动问题。
分数阶偏微分方程
“分数阶偏微分方程”资料合集目录一、分数阶偏微分方程数值算法及其在力学中的应用二、时间分数阶偏微分方程的解及其应用三、基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型研究四、分数阶偏微分方程的谱方法及其应用五、三类分数阶偏微分方程的有限元计算六、基于时间空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型分数阶偏微分方程数值算法及其在力学中的应用分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equation，FPDE）在力学领域中有着广泛的应用。
相比于传统的整数阶偏微分方程，分数阶偏微分方程可以更准确地描述某些物理现象的时间和空间特性。
因此，研究分数阶偏微分方程的数值算法及其在力学中的应用具有重要的实际意义。
分数阶偏微分方程是描述复杂现象的有效工具，其解析解的求解往往非常困难。
因此，研究分数阶偏微分方程的数值算法具有重要意义。
目前，常用的数值算法包括有限差分法、有限元素法、变分法等。
有限差分法是一种常用的数值方法，其基本思想是将连续的时间和空间离散化，通过差分形式逼近分数阶导数。
有限元素法是一种将连续域离散化的方法，通过将空间划分为一系列离散的元素，并在每个元素上构造基函数，从而逼近原偏微分方程的解。
变分法则是通过寻求一类特殊的函数，使得分数阶偏微分方程成立的必要条件恰好是该函数的某个泛函取得极值，从而得到数值解。
分数阶偏微分方程在力学中有着广泛的应用，例如流体力学、振动理论、随机过程等。
在流体力学中，分数阶偏微分方程可以更准确地描述湍流现象的时间和空间特性，从而为流体力学的研究提供更精确的理论框架。
在振动理论中，分数阶偏微分方程可以描述具有记忆效应的物体的振动行为，如材料的疲劳失效、地震波的传播等。
在随机过程中，分数阶偏微分方程可以描述随机变量的变化规律，如在金融领域中的股票价格变化、气候变化等。
基于PDE的算法实现通常利用数值计算软件来实现，如COMSOL软件、MATLAB软件等。
这些软件为求解PDE提供了丰富的工具箱和模块，可以根据不同的PDE类型选择合适的数值方法进行求解。
数学物理学中的分数阶微积分
数学物理学中的分数阶微积分分数阶微积分是数学物理学中的一个重要分支，它在描述动力学系统、复杂网络、信号处理等领域具有广泛的应用。
相比于传统的整数阶微积分，分数阶微积分更适用于揭示非局域性、非马尔可夫性以及非线性特征等复杂现象。
本文将介绍分数阶微积分的基本概念和应用，并探讨其在数学物理学中的重要性。
一、分数阶微积分的基本概念分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了分数阶导数和分数阶积分。
分数阶导数可以理解为连续导数的分数次幂，而分数阶积分则是对函数进行分数次积分。
分数阶微积分的基本概念源自于Riemann-Liouville和Caputo定义，这两种定义在具体应用中有不同的适用范围和数学性质。
Riemann-Liouville定义适用于初始条件为连续的情况，而Caputo定义适用于初始条件为非连续的情况。
二、分数阶微积分的应用领域1. 动力学系统：分数阶微积分在描述动力学系统中的复杂行为方面有着重要的应用。
通过引入分数阶导数，可以更准确地描述系统的长时记忆效应和非局域性以及其对系统稳定性的影响。
2. 复杂网络：复杂网络中的节点和边往往具有非线性和非局域的特性，传统的整数阶微积分无法很好地描述网络的演化行为。
而分数阶微积分可以刻画网络的非局域耦合和长尾分布等特性，从而更好地理解和研究复杂网络的性质和动力学行为。
3. 信号处理：在信号处理领域，分数阶微积分可以用于对非平稳信号进行精确建模和分析。
通过引入分数阶导数，可以捕捉到信号的长记忆性、非马尔可夫性以及多尺度特性，从而提高信号处理的效果。
三、分数阶微积分的重要性分数阶微积分在数学物理学研究中具有重要的地位和作用。
首先，它能够更好地刻画和解释自然界和人工系统中的复杂现象，能够提供更精确和准确的描述。
其次，分数阶微积分能够揭示传统整数阶微积分无法涵盖的非局域性、非线性特性等重要特征，从而推动了相关领域的研究和应用发展。
此外，分数阶微积分的理论和方法也为其他学科领域的研究提供了新的思路和工具。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
分数阶非线性系统Mittag-Leffler稳定性研究进展
2020年12月Dec. , 2020第36卷第6期Vol. 36 , No. 6滨州学院学报JournalofBinzhou University 【微分方程与动力系统研究】分数阶非线性系统MittagLeffler稳定性研究进展刘太德，贺新光（萍乡学院初等教育学院，江西萍乡337000）摘要：随着分数阶微积分相关理论的发展及其在各领域的广泛应用，分数阶非线性系统的稳定性问题也备受人们的关注。
分析了稳定性在非线性系统性能分析中的重要性，系统阐述了 分数阶非线性系统Mittag - Leffler 稳定性方面的相关研究进展。
最后，给出Mittag - Leffler Z 义下分数阶非线性系统稳定性的研究展望。
关键词：稳定性分析；Mittag - Leffler 稳定；分数阶系统；Lyapunov 稳定性中图分类号：O 175 文献标识码：A DOI#0.13486/ki. 1673 - 2618.2020.06.0080引言研究分数阶非线性系统的镇定性问题是一个非常有意义的课题，主要由于分数阶非线性系统自身的 复杂性，导致很多整数阶非线性系统稳定性经典的特性在分数阶非线性系统中很难得到％在系统建模方 面,分数阶非线性系统比整数阶非线性系统能够更好地刻画一些物理现象，人们往往很容易利用分数阶来 建立模型，由于分数阶导数和积分的非局部与弱奇异性，导致对于分数阶模型镇定性问题的研究比整数阶 系统模型镇定性研究困难得多1%近年来，对分数阶微分方程的研究得到广泛关注％尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂 系统的深入研究，使得分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注并出现了大量的文献％进入21世纪 以来，分数阶微积分在诸多领域有了非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可替代性，其理论和应用研 究在国际上已经成为一个热点％特别地，对于分数系统稳定性的研究也是备受国内外科研工作者的关注％近年来，一些学者运用频域 分析方法、线性矩阵不等式方法、Laplace 变换法、滑膜控制方法等，得到了分数阶微分系统的稳定性理论 相关结果％山东大学李岩等首次利用Lyapunov 函数方法给出了分数系统Miggat - Leffler 稳定性相关结 果23 % Yu 等给出了多变量分数阶系统的Miggat - Leffler 稳定性研究结果4 %此外，文献（-19］也给 出了一些关于分数阶系统稳定方面的研究结果,但是这些结果所研究的对象仅限于几类比较典型的分数 阶系统％非线性分数阶微分系统的稳定性发展相比缓慢很多，主要原因是，分数阶系统相关基本理论尚未完善 且很多整数阶系统经典性质对于分数阶系统就不再满足，例如经典莱布尼茨求导公式，即分数系统莱布尼 茨求导公式是一个无穷级数％收稿日期#020 - 10 - 10第一作者简介：刘太德（1970—）,男，江西萍乡人，讲师，主要从事分数阶微分方程研究%E-mail ：pxuede1970@ 163. com・53・滨州学院学报第36卷目前，对于分数阶非线性系统镇定和稳定问题的研究主要可分为两个方面:一是利用滑膜控制思想结 合Lyapunov 函数方法来研究分数阶非线性系统的稳定性(0)。
分数阶阻尼裂纹转子的非线性动力学特性分析
Ａｂ ｔａ ｔ Ｎｏ ｌ ｅ ｒｄ ｎ ｍｉｓｏ ｒ ｃ ｅ ｏ ｏ ｙ ｔｍ ｔ ｒ ｃ ｉｎ ｌ ｒ ｅ ａ ｉｇ ｉ ｉ ｖ ｓｉ ａ ｓｒｃ ￣ ｎ ｉ ａ ｙ ａ ｃ ｆｃ ａ ｋ ｄ ｒ ｔ ｒｓ ｓ ｅ ｗｉ ｆａ ｔ ａ ｄ ｒｄ ｍｐ ｎ ｓ ｎ ｅ ｔ — ｎ ｈ ｏ ｏ ｇ
第４ ６卷
第 １ 期
西
安 交
通
大 学 学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ １ １４ ．
ห้องสมุดไป่ตู้
２１ 年 １ ０２ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＡＮ Ｉ ＪＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｊｎ ０ ２ ａ ．２ １
分 数 阶 阻 尼 裂 纹 转 子 的 非 线 性 动 力 学 特 性 分 析
Ｉ ｆｕ ｎ ｅ ｆＦｒ ｃｉ ｎ ｌＯｒ ｅ ｍ ｐ ｎｇ ｏ ｎｌｎ ａ ｎ ｌ ｅ ｃ ｓｏ ａ ｔｏ ａ ｄ ｒＤａ ｉ ｎ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｄｙ ｍ ｉｓｏ ａ ｋｅ ｔ ｒ ｎａ ｃ ｆＣｒ ｃ ｄ Ｒｏ ｏ
ＸＵＥ Ｓ ｉ ｎ ｈｍｉｇ ，ＣＡＯ ｕ ｙ Ｊ ｎ ｉ，ＬＩ Ｊｎ Ｎ ｉｇ ，ＣＨＥ Ｙａ ｇ ｕ ｎ Ｎ ｎ ｑ ａ
数 次 阻尼阶 次的增 加 ， 子 系统依 次经历 混沌 、 转 准周期 和周 期运动 ， 同时裂纹 深度 、 不平衡 量 以及 转
速 对转 子 系统 的动 态特性 具有 明显影 响． 关键 词 ：分数 阶 阻尼 ； 纹转子 系统 ； 裂 非线 性动 力学
非因果分数阶滤波器及其图像处理应用研究
非因果分数阶滤波器及其图像处理应用研究分数阶微积分(Fractional-order Calculus)是整数阶微积分(Integer-order Calculus)的般化形式,是将普通意义下的微积分运算的运算阶次从整数推广到分数和复数,实现了连续阶微积分,从而扩展了整数阶微积分的功能,从提出到现在己经有三百多年历史。
近年来,随着信息科学技术的发展,计算机计算能力的提高,分数阶微积分的实现成为可能。
作为一种新的工具,分数阶微积分在各个领域正逐渐被广泛应用,如材料科学、流变力学、分形理论、电磁场理论、控制理论、信号处理等。
分数阶微积分在图像处理中的应用也得到了发展,并取得了一系列的研究成果。
在信号处理中,因果滤波可被看做是一个线性时不变系统。
因果系统的输出仅仅依赖于当前和过去输入信号,而输出依赖于当前和未来输入信号的系统为反因果系统；非因果系统则同时要依赖于未来的输入信号,在实时性要求比较高的信号处理、控制领域应用中难以实现。
假若由一维时间序列扩展到二维空间,如二维图像信号(待处理的像素信息都已被记录保存下来,可以自由利用后面的像素来决定对前一像素的输出),非因果滤波则很易实现。
本文主要研究非因果分数阶滤波器的设计、实现及其在图像边缘检测和运动模糊图像模糊参数估计中的应用。
深入分析研究前向和后向分数阶微积分的幅频特性和相频特性,并将其引入非因果信号处理,设计出两种非因果分数阶零相移滤波器(前向和后向分数阶积分相加取和构成零相移低通滤波器、前向和后向分数阶微分相加取和构成零相移高通滤波器)、两种非因果分数阶90°相移滤波器(前向和后向分数阶积分相减取差值构成90°相移低通滤波器、前向和后向分数阶微分相减取差值构成90°相移高通滤波器)和一种积分微分级联式非因果分数阶滤波器以及非因果分数阶方向滤波器。
根据二维图像信号的特点,本文给出它们的空间域实现算子。
基于传统整数阶微分的边缘检测算子一直存在检测精度与噪声抑制能之间此消彼长的矛盾,即提高检测精度与噪声抑制能力其中一个,就会导致另一个性能的降低。
具有非线性时滞项的分数阶混沌系统ADM求解与动力学分析
第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .2 2022年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021131具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析付海燕1,雷腾飞1,贺金满2,臧红岩1(1.齐鲁理工学院机电工程学院,济南250200;2.中原工学院理学院,郑州450007)摘要:根据分数阶L ü混沌系统,提出具有非线性时滞项的分数阶L ü混沌系统.首先,用A d o m i a n 分解算法(A D M )对分数阶L ü混沌系统进行数值求解;其次,用MA T L AB 软件绘制系统相轨迹图;最后,用仿真技术及分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学分析工具,分析系统参数对系统的影响.数值仿真结果表明,该系统具有丰富的动力学特性.关键词:分数阶;时滞;混沌;复杂度中图分类号:O 411 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0432-07A D MS o l u t i o na n dD y n a m i cA n a l y s i s o f F r a c t i o n a l -O r d e r C h a o t i c S y s t e m w i t hN o n l i n e a rD e l a yF U H a i y a n 1,L E IT e n g f e i 1,H EJ i n m a n 2,Z A NGH o n g ya n 1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l a n dE l e c t r i c a lE n g i n e e r i n g ,Q i l u I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,J i n a n 250200,C h i n a ;2.S c h o o l o f S c i e n c e ,Z h o n g y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,Z h e n g z h o u 450007,C h i n a )Ab s t r ac t :W e p r o p o s ed a f r a c t i o n a l -o r de r L üc h a o t i c s y s t e m w i t hn o n l i n e a r d e l a y t e r ma c c o r d i n g t o t h ef r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m.F i r s t l y ,t h e f r a c t i o n a l -o r d e rL üc h a o t i cs y s t e m w a sn u m e r i c a l l y s o l v e db y A d o m i a n -d e c o m p o s i t i o -m e t h o d (A D M ).S e c o n d l y ,t h e p h a s et r a j e c t o r y d i a g r a m o ft h e s y s t e m w a sd r a w n b y MA T L A Bs o f t w a r e .F i n a l l y ,b y u s i n g s i m u l a t i o nt e c h n o l o g y a n dd yn a m i c a n a l y s i s t o o l ss u c ha sb i f u r c a t i o nd i a g r a m ,c o m p l e x i t y a n d p h a s et r a j e c t o r y ,t h ee f f e c to fs y s t e m p a r a m e t e r s o n t h e s y s t e m w a s a n a l y z e d .T h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a t t h es y s t e m h a s r i c hd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s .K e y w o r d s :f r a c t i o n a l -o r d e r ;d e l a y ;c h a o s ;c o m p l e x i t y 收稿日期:2021-03-31.第一作者简介:付海燕(1982 ),女,汉族,硕士,副教授,从事忆阻计算和分数阶混沌系统的研究,E -m a i l :f u h y 413@126.c o m.通信作者简介:雷腾飞(1988 ),男,汉族,博士研究生,副教授,从事忆阻计算和分数阶系统的研究,E -m a i l :l e i t e n gf e i c a n h e @126.c o m.基金项目:国家自然科学基金青年基金(批准号:12102492)㊁山东省重大科技创新工程项目(批准号:2019J Z Z Y 010111)㊁山东省重点研发计划项目(批准号:2019G G X 104092)和山东省自然科学基金(批准号:Z R 2020K A 007;Z R 2017P A 008).自M a n d e l b r o t [1]在自然界中发现分维现象后,分数阶微积分已引起人们广泛关注.分数阶在量子力学㊁电磁学振荡㊁系统控制和材料力学等领域应用广泛[2],其中分数阶小波变换㊁分数阶F o u r i e r 变换与分数阶图像处理等技术可用于信号处理.对分数阶混沌系统的研究已取得较多成果[3-9].目前,分数阶算子主要有G r u n w a l d -L e t n o k o v (G -L )定义[10]㊁C a p u t o 定义和R i e m a n n -L i o u v i l l e (R -L )定义[11],其中C a pu t o 定义应用范围更广.L i 等[12]基于频域算法设计了分数阶混沌系统的动力学分析及L y a p u n o v 指数谱算法,由于频域算法通过阶数的L a p l a c e 变换得到,因此存在阶数无法更改的缺点;文献[13]用A d o m i a n 分解法(A D M )对非线性项进行迭代数值逼近,并通过MA T L A B 软件进行了仿真分析,A D M 运算速度较块,误差小,数值求解仿真可节省计算机资源;文献[14]基于同伦算法设计了分数阶混沌系统,并分析了分数阶混沌系统随参数和阶数变化的动力学特性,但均未考虑系统时滞特点;文献[15]用L Q G -P a d e 逼近合拍对汽车悬架时滞系统进行了分析和优化;文献[16]提出了基于时滞代换的自适应分散容错控制;文献[17]在分数阶混沌系统基础上增加了时滞项,并设计了系统的同步控制器,但未分析系统特性;文献[18]对整数阶时滞系统进行了同步控制,并将同步控制方法运用到通信加密中,实现了发送端与接收端的同步,但未研究分数阶系统.本文以具有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统为研究对象,采用A D M 对系统非线性项进行分解,时滞项对应的分解项均为时滞项,分解后的结果用MA T L A B 软件仿真,并利用分岔图㊁复杂度和相轨迹等动力学工具分析系统参数对系统的影响.1 非线性时滞项分数阶L ü混沌系统文献[19]在L ü混沌系统的x y 项上添加了时滞,并将整数阶算子改为分数阶算子,提出了含有非线性时滞项分数阶L ü混沌系统的动力学方程d q x d t q =a (y -x ),d q y d t q =c y -x z ,d q z d t q =x (t -τ)y -b z ìîíïïïïïïï,(1)其中x ,y ,z 为系统的状态变量,a ,b ,c 为系统参数.令初始状态为x 0=x (t 0)=c 01,y 0=y (t 0)=c 02,z 0=z (t 0)=c 03ìîíïïïï,(2)根据A D M 和分数阶微积分基本性质可得c 11=a (c 02-c 01),c 12=c c 02-c 01c 03,c 13=c 01τc 02-b c 03ìîíïïïï,(3)c 21=a (c 12-c 11),c 22=c c 12-c 11c 03-c 01c 13,c 23=c 11τc 02+c 01τc 12-b c 13ìîíïïïï,(4)c 31=a (c 22-c 21),c 32=c c 22-c 21c 03-c 01c 23-2c 11c 13,c 33=c 21τc 02+c 01τc 22+2c 11τc 12-b c 23ìîíïïïï,(5)c 41=a (c 32-c 31),c 42=c c 32-c 31c 03-c 01c 33-3(c 11c 23+c 21c 13),c 43=c 31τc 02+c 01τc 32+3(c 11τc 22+c 21τc 12)-b c 33ìîíïïï,(6)c 51=a (c 42-c 41),c 52=c c 42-c 41c 03-c 01c 43-4(c 11c 33+c 31c 13)-6c 21c 23,c 53=c 41τc 02+c 01τc 42+4(c 11τc 32+c 31c 12)+6c 21τc 22-b c 43ìîíïïï,(7)c 61=a (c 52-c 51),c 62=c c 52-c 51c 03-c 01c 53-5(c 21c 33+c 31c 23)-10(c 11c 43+c 41c 13),c 63=c 51τc 02+c 01τc 52+5(c 21τc 32+c 31τc 32)+10(c 11τc 42+c 41τc 12)-b c 43ìîíïïï,(8)334 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析其中c j1τ=c j1(t-τ),若m=τh,则c j1τ=1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-1-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m),t iɤm h,1-m+τæèçöø÷h c j1(t i-m)+m-τæèçöø÷h c j1(t i-m-1),t i>m hìîíïïïï.(9)由A D M可得系统(1)的数值解为x j(n)=ð6i=0c j i(t-t0)i q i!q i.(10)用MA T L A B软件对式(10)进行数值仿真,当a=30,b=2.93,c=22.2,q1=q2=q3=q=0.95,τ=0.02,步长h=0.01时,系统(1)的相轨迹如图1所示.由图1可见,系统(1)存在混沌吸引子.采用0-1测试验证x,y两个序列的混沌特性,结果如图2所示.图1系统(1)的相轨迹F i g.1P h a s e t r a j e c t o r y o f s y s t e m(1)图2系统(1)的0-1测试结果F i g.20-1t e s t r e s u l t s o f s y s t e m(1)2单参数变化系统的分岔图和复杂度为研究系统(1)的非线性动力学行为,用A D M分析系统(1)的时间序列.先用最大值法获取系统分岔图,再用时间序列的复杂度和熵分析系统的复杂度[20-21].由于系统仿真延时必须为步长的整数倍,因此延时为0.01~0.03即可出现混沌.434吉林大学学报(理学版)第60卷2.1 参数q 的变化当参数a =30,b =2.93,c =22.2,τ=0.02,q ɪ[0.7,1],步长为0.005时,分数阶阶数变化下系统(1)的分岔图与谱熵复杂度(S E )和C 0复杂度如图3所示.由图3可见:当q =0.7时,系统(1)出现混沌现象,即最小阶数;当q ɪ(0.7,0.73]时,非线性项分数阶时滞L ü系统分岔图为空白,这是由于该区间系统处于发散状态所致,由于系统处于发散状态时的数值解无限变大,因此无法计算该区间系统的复杂度,系统复杂度与分岔图一致;当q ɪ(0.73,1]时,该区间系统处于混沌状态,对应的系统复杂度S E /C 0数值较大;在系统进入混沌区域后,随着系统分数阶阶数q 变大,系统复杂度减小.在图像加密㊁通信保密㊁化工搅拌以及混沌理疗中,系统复杂度越高效果越好,在系统处于混沌下,通过图3(B )可得到复杂度最大时对应分数阶数的q 值.图3 参数q 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .3 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r q c h a n g e s 2.2 参数a 的变化当参数b =2.93,c =22.2,q =0.95,τ=0.02,a ɪ[25,50]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图4所示.由图4(A )可见:系统(1)是倍周期(P D B )分岔方式,由周期状态进入混沌状态;当a ɪ[25,27.9)ɣ(43,50]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应的系统S E /C 0复杂度较小;当a ɪ[27.9,43]时,该区间系统(1)处于混沌状态,对应的系统S E 复杂度约为0.65,C 0复杂度约为0.45,复杂度数值相对较大.参数a 变化时系统(1)的相图如图5所示.由图5可见,当a 分别为28,28.7,27.5,44时,系统(1)分别为一周期㊁二周期㊁四周期和一周期.图4 参数a 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .4 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 2.3 参数b 的变化当参数a =30,c =22.2,τ=0.02,b ɪ[0,5]时,系统(1)的分岔图与复杂度如图6所示.由图6(A )可见:系统通过鞍结点分岔由周期状态进入混沌状态;当b ɪ(3.5,4]时,系统(1)处于周期状态,该区间对应系统S E 复杂度约为0.1,C 0复杂度约为0.02,复杂度数值相对较小;当b ɪ(0,3.5]时,系统处于混沌状态,系统的S E 复杂度约为0.6~0.7,C 0复杂度约为0.3~0.4,系统复杂度度数值相对较大.参数b 变化时系统(1)的相图如图7所示.由图7可见,当b 分别为4和4.5时,系统(1)分别为二周期和一周期.534 第2期 付海燕,等:具有非线性时滞项的分数阶混沌系统A D M 求解与动力学分析图5 参数a 变化时系统(1)的相图F i g .5 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r a c h a n g e s 图6 参数b 变化时系统(1)的分岔图(A )与复杂度(B )F i g .6 B i f u r c a t i o nd i a g r a m (A )a n d c o m p l e x i t y (B )o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 图7 参数b 变化时系统(1)的相图F i g .7 P h a s e d i a g r a m s o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r b c h a n g e s 3 双参数变化下的复杂度当参数a =30,b =2.93,τ=0.02,c ɪ[5,25]和q ɪ[0.6,1]时,系统(1)的复杂度如图8所示.由图8可见:复杂度高(颜色深)的区域集中于参数c 大且q 小的区域,若q 太小,则系统处于发散区域即空白处;在复杂度较高的区域,系统受阶数q 影响较大,参数c 和a 对系统的影响具有相似性,当634 吉林大学学报(理学版) 第60卷c ʈ20,q ʈ0.75时,系统出现最大复杂度,为系统应用于图像㊁声音以及视频等多媒体领域的保密通信提供了重要的参数选择依据.图8 参数c 和q 变化时系统(1)的复杂度F i g .8 C o m p l e x i t y o f s y s t e m (1)w h e n p a r a m e t e r c a n d q c h a n g e 综上,本文基于A D M ,通过系统的相轨迹图㊁分岔图和复杂度等数值仿真工具,分析了含有非线性时滞项L ü混沌系统的非线性特性,并在分数阶系统中增加了参数q ,采用MA T L A B 软件对参数q 进行仿真.结果表明,在一定范围内,系统的复杂度随分数阶的增大而减小,分数阶系统出现混沌现象的概率大于整数阶系统.参考文献[1] MA N D E L B R O T B B .T h e F r a c t a l G e o m e t r y o f N a t u r e [M ].N e w Y o r k :W H F r e e m a n a n d C o m p a n y,1982:1-460.[2] S U N H G ,Z HA N GY ,B A L E A N UD ,e t a l .A N e wC o l l e c t i o n o fR e a lW o r l dA p pl i c a t i o n s o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s i nS c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a r S c i e n c e a n d N u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2018,64:213-231.[3] L UJG.N o n l i n e a rO b s e 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分数阶混沌系统中的空间动力学特性分析与研究
分数阶混沌系统是一类具有丰富动力学行为的非线性系统。它与传统的整数阶混沌系统相比，具有更多的复杂性和灵活性。本文将围绕分数阶混沌系统的空间动力学特性展开分析与研究。
首先，我们来了解一下分数阶混沌系统的基本概念和特点。分数阶混沌系统是指系统的动力学方程中包含分数阶导数的一类非线性系统。与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统在时域上表现出更多的复杂性，如周期振荡、混沌行为的多样性和长时间尺度的自相关性。这使得分数阶混沌系统在实际应用中具有广泛的价值和意义。
最后，我们还可以将分数阶混沌系统的空间动力学特性与实际应用相结合，探索其潜在的应用价值。例如，在通信领域，分数阶混沌系统可以用来生成随机序列和安全加密；在经济学领域，分数阶混沌系统可以用来模拟金融市场和预测经济走势。这些应用将进一步促进对分数阶混沌系统空间动力学特性的理解和研究。
综上所述，分数阶混沌系统的空间动力学特性是一个复杂而有趣的研究领域。通过对其进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解和把握分数阶混沌系统的动力学行为和特征。同时，结合实际应用，我们还可以将其转化为实际问题的解决方案，推动科学技术的发展和创新。
接下来，我们将分析分数阶混沌系统的空间动力学特性。空间动力学是研究动力系统在空间维度上的演化规律和结构特征的一个重要分支。在分数阶混沌系统中，空间动力学表现出与整数阶混沌系统不同的特点。首先，分数阶混沌系统的相空间结构更为复杂，存在更多的奇点和不可逆性。其次，分数阶混沌系统的自相关性和长时间尺度的依赖关系使得空间动力学的演化模式不再是简单的周期振荡和混沌行为，而更具有自组织和自相似性。
进一步研究分数阶混沌系统的空间可以用来描述分数阶混沌系统的基本结构和动力学规律，而计算模拟可以用来模拟和验证数学模型。通过数学模型和计算模拟的相互作用，我们可以深入理解分数阶混沌系统的空间动力学特性。
分数阶navier-stokes方程的研究历程
分数阶navier-stokes方程的研究历程1. 引言1.1 概述分数阶Navier-Stokes方程是描述不可压缩流体运动的重要数学模型之一，其研究在流体力学、工程领域以及自然科学中具有广泛应用。
本文旨在探讨分数阶Navier-Stokes方程的研究历程，从引入分数阶导数的概念到求解困难性的分析，以及该方程在流体力学中的应用案例等方面给予详细介绍。
1.2 文章结构本文内容按以下章节组织：引言、分数阶Navier-Stokes方程简介、分数阶导数在流体力学中的应用和发展历程、数值方法与算法研究进展、结论与展望。
首先介绍了本文的概述和文章结构，然后逐步深入探讨各个章节对应的内容。
1.3 目的本文旨在系统总结和归纳分数阶Navier-Stokes方程相关研究领域内的最新进展，并对未来研究工作进行展望。
通过本文的撰写，希望能够加深我们对于分数阶Navier-Stokes方程物理意义和求解方法的理解，同时为相关领域的学者和研究人员提供一个全面且有价值的参考资料。
分数阶Navier-Stokes方程的研究成果将为解决实际工程问题和深入理解自然界现象提供重要支持，并为未来更精确的数学模型构建奠定基础。
2. 分数阶Navier-Stokes方程简介2.1 Navier-Stokes方程概述和基本假设Navier-Stokes方程描述了流体的运动行为，它是流体力学领域中最重要的基本方程之一。
该方程由质量守恒方程和动量守恒方程组成。
其中，质量守恒方程描述了流体的连续性，而动量守恒方程描述了流体受到外力作用下的加速度变化。
Navier-Stokes方程在众多科学与工程领域中都有广泛应用，如空气动力学、气候模拟、水力学等。
基于分数阶导数的Navier-Stokes方程引起了研究人员们的兴趣。
与传统的整数阶导数不同，分数阶导数具有非局部和记忆性的特点。
这意味着分数阶导数能够捕捉更多复杂系统中长距离依赖关系，并且可以对时间历史进行全面性地建模。
分数阶Ver Del Pol-Duffing系统的非线性动力学行为分析
３ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｌ ｔ ｎｃＥ ｇ ｅ ｒ ｇ Ｊ ａ ｎ ｅｓ ｙ ｕ ｎ ｚｏ １６ ２ Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐ ｒ ｅ ｔ ｆ ｅ ｒ ｉ ｎ ｉ ｅｉ ， ｉ ｎ Ｕ ｉ ｒ ｔ，Ｇ ａ ｇｈ ｕ５ ０ ３ ， ｈ ） ｔ Ｅ ｃｏ ｎ ｎ ｎ ｖ ｉ ｎ
力特性 随特征参 数的变化 规律 。分 析发 现 ： 该非线性振子具有与经典 Ｖ ｒＤ ｌ ｏ 系统相似 的 自激 振动特性 ， ｅ ｅ Ｐｌ 但其非线性
强弱受分数导数阶值以及阻尼系数和非线性 大位 移系数的影响 ； 简谐 荷载作用下 ， 在 随着外 荷载幅值 的增 大或阻尼 系数
的减小 ， 系统 由拟周期振 动变为周期三振动最后发展为单周期振动 ； 在地震荷载作用下 ， 分数导数 阶值的变化能改变系统
。 ＝
数阶振子与经典 Ｖ ｎｄｒ ｏ 振子一样有极限环存在也 ａ ｅ ｐｌ 伴 有 自激 瞬 态 过 程 ， 论 分 数 导 数 阶值 如 何 改 变 ， 无 当
ｆ 。时 ， 动 将趋 于定 常 振 动 ； 功率 谱 图可 以看 出 ： 一 。 振 从 该 自治 系统 存 在 多个 振 动 频 率 ， 如 系统 振 动 的基 频 假 以 （ ９ １ 表 示 ， ０＜ ） 那么 在基 频 的奇 整数倍 ｉ０＜ （
示 。从 中可 以看 出 ： 随着分 数 导 数 阶值 的变 化 ， 统 的 系 振 动周 期 明显 改 变 ， 振 幅都 趋 于极 限值 ２ 说 明该 分 但 ，
分数阶动力学模型
分数阶动力学模型一、引言分数阶动力学模型是一种描述非线性系统行为的数学模型，它考虑了系统动力学的非整数阶特性。
相比传统的整数阶动力学模型，分数阶动力学模型能更准确地描述一些复杂系统的行为。
二、分数阶微积分基础1. 分数阶导数和积分在整数阶微积分中，导数和积分是通过整数次幂的幂函数来定义的。
而在分数阶微积分中，导数和积分是通过分式幂函数来定义的。
分数阶导数和积分可以用分数阶微分方程来描述系统的行为。
2. 分数阶微分方程分数阶微分方程是一种包含了分数阶导数的微分方程。
它可以描述一些非线性系统的演化规律。
分数阶微分方程的求解通常需要使用迭代方法或数值计算方法。
三、分数阶动力学模型的应用1. 生物学领域分数阶动力学模型在生物学领域的应用非常广泛。
例如，分数阶微分方程可以用来描述肿瘤生长的动力学过程，从而帮助医生更好地了解肿瘤的发展规律。
2. 经济学领域分数阶动力学模型在经济学领域的应用也得到了广泛关注。
例如，分数阶微分方程可以用来描述股票市场的波动性，从而帮助投资者制定更科学的投资策略。
3. 物理学领域分数阶动力学模型在物理学领域的应用也是非常重要的。
例如，分数阶微分方程可以用来描述粒子在非整数阶力场中的运动规律，从而帮助科学家更深入地理解粒子的行为。
四、分数阶动力学模型的优势和挑战1. 优势分数阶动力学模型能更准确地描述一些复杂系统的行为，对于一些非线性系统的建模和分析具有重要的意义。
它可以帮助科学家们更深入地理解系统的动力学特性。
2. 挑战分数阶动力学模型的求解相对复杂，需要使用迭代方法或数值计算方法。
此外，分数阶微分方程的数学理论和方法相对较新，仍然存在很多待解决的问题和挑战。
五、总结分数阶动力学模型是一种描述非线性系统行为的重要数学模型。
它在生物学、经济学和物理学等领域的应用具有重要的意义。
虽然分数阶动力学模型的求解相对复杂，但它能更准确地描述系统的行为，对于科学研究具有重要的价值。
注意：本文档旨在提供关于分数阶动力学模型的基本概念和应用领域的介绍，不涉及具体的数学推导和求解方法。
利用Grümwald-Letnikov分数阶方向导数的图像增强方法
利用Grümwald-Letnikov分数阶方向导数的图像增强方法一、引言介绍分数阶微积分的研究背景、相关概念及图像增强的意义和研究价值。
二、相关技术概述图像增强的一般方法及现有的一些分数阶微分图像增强方法，对其进行分析和总结。
三、Grümwald-Letnikov分数阶方向导数介绍Grümwald-Letnikov分数阶方向导数的定义和数学表达式，以及其在图像增强中的应用。
四、基于Grümwald-Letnikov分数阶方向导数的图像增强方法详细介绍本文提出的基于Grümwald-Letnikov分数阶方向导数的图像增强方法，包括方法的原理、具体步骤和实验结果。
五、实验结果及分析通过实验数据来验证本文提出的算法的有效性和可行性，对比其他算法的效果，分析算法的优缺点。
六、结论总结本文的主要内容和贡献，并探讨未来可能的研究方向。
第一章：引言随着计算机科学和数字信号处理领域的不断发展，图像增强技术也在不断进步和创新。
图像增强是指对图像进行处理，以使其更加清晰、明亮、鲜艳，并凸显出所需要的特定信息。
这项技术被广泛应用于医学影像学、环境监测、遥感等领域，并为人们提供了更加精准、便捷的图像识别和分类服务。
在图像增强技术中，分数阶微积分被认为是一种有潜力的工具。
分数阶微积分理论优越于整数阶微分，在表征非线性系统和非平稳信号方面拥有更好的性能。
相比于整数阶微分，分数阶微分还具有更强的灵活性和可调性。
因此，分数阶微分被广泛用于信号和图像处理中。
相对于分数阶微分，图像增强中的分数阶微分技术相对较新，但已经逐渐成为了分数阶微积分技术的重要应用之一。
目前，分数阶微积分在图像增强领域主要应用于图像平滑、边缘检测以及纹理分析等方面。
本文主要关注于利用Grümwald-Letnikov分数阶方向导数进行图像增强的方法，并探讨其在图像增强领域的应用价值和优越性。
该方法是在对分数阶方向导数进行改进和创新后获取的，可以取得更好的增强效果，并且可以更加灵活地控制增强的程度和效果。
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究一直是深受科学家关注的课题。
这种振子的研究已经有几十年的历史，被广泛用于理解许多自然振子
系统的行为。
Duffing振子是一种二阶振子，其振动行为受到非线性项
和时变系数项的影响，其中时变系数项可以表示为分数阶系数。
分数
阶动力学对象的特征决定了它在分析和模拟上有着独特的优势，是揭
示复杂系统行为的有效工具。
Duffing振子是一种时变振子，其各参数和特性可以使用非线性动
力学方程来描述。
与普通的线性振子不同的是，Duffing振子的振动和
响应受到时变系数的影响，其特性可以通过分数阶动力学对象明确地
描述，因此更有利于揭示复杂的非线性振子的行为。
研究表明，分数阶Duffing振子有两种不同的特性。
首先，
Duffing振子的响应受到时变系数作用，其介质特殊性可以影响振子的
振动参数。
其次，Duffing振子存在混沌行为，其中有一种类型的混沌
行为可以通过分数阶对象明确描述。
在过去的几十年里，人们已经研究了固定Coeff. Duffing振子的
动力学行为，同时也研究了该种振子在不同参数环境下的动力学行为。
例如，已经有人研究了电压时变式Duffing 振子的非线性行为，以及
其在混沌行为下的特性。
同时，人们也对分数阶Duffing振子做出了
大量的理论研究和数值模拟，以更好地了解振子的行为。
综上所述，分数阶Duffing振子的动力学研究一直受到科学家的
普遍关注，而且已经研究出了许多有价值的结果，在理解复杂的系统
行为方面也发挥了重要作用。
非线性动力学在流体力学和空气动力学领域中的应用
非线性动力学在流体力学和空气动力学领域中的应用随着科学技术的迅速发展，非线性动力学在科学研究中逐渐得到了广泛的应用。
在流体力学和空气动力学领域，非线性动力学理论在解决一些基本和复杂问题上已经越来越得到了重视和应用。
一、非线性动力学的理论基础非线性动力学是指具有非线性特征的动力学系统的研究。
在非线性动力学的研究中，动力学系统经常被表示为微分方程组，它可以有一系列的方法进行研究。
这些方法包括相空间方法、分岔理论、混沌理论等等。
在非线性动力学的研究中，分岔理论是一种流行的方法。
分叉指的是在特定条件下，动力学系统的稳定性状况发生突变，出现不稳定情况的现象。
在非线性动力学中，有三种分叉类型：持续分岔、旋转分岔和反转分岔。
二、非线性动力学在流体力学领域中的应用1、湍流研究湍流是指在运动的过程中，由于流体的不规则变化所导致的一种动态流动状态。
它建立起了流体力学所体现的非线性动力学的一个基本范例。
在湍流这个领域，非线性动力学理论已经被广泛应用。
比如，雷诺方程可以描述流体的动力学，它可以被理解为非线性分数阶微分方程。
通过非线性动力学的理论，可以对湍流产生和变化的机理进行更深入的研究，更好地预测流体系统的各种行为，并提高模型的准确性。
2、模式的形成与分析非线性动力学理论还被用于研究模式的形成和分析。
模式是指出现在流体中的各种连续和离散的结构，如涡旋、波纹等。
这些模式在流体运动的过程中，对流速，流体压力和温度等参数产生了很大的影响。
通过非线性动力学的理论，可以更好地理解模式的形成和稳定性以及模式的相互作用，进而对流体的运动特征和物理学作用进行更深入的解释和研究。
三、非线性动力学在空气动力学领域中的应用1、翼型的流动分析翼型的流动在空气动力学中具有重要意义，并广泛地应用于飞行器、汽车和风能装置等领域。
通过非线性动力学的理论，可以更好地理解翼型在运动状态中所产生的湍流、涡旋和旋转分岔等现象。
相应的，在边界层控制方面，这些现象的理解有利于增强尾迹的稳定性，同时可以减小飞行器的阻力和标准流场的波动。
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
{
d n f（ x） dn x dn 1 （ v － n） dn x Γ
v = n∈N
∫
t a
f n （ y） dy 0 ≤n － 1 ＜ v ＜ n （ x － y） n － v + 1
（ 3）
针对三种经典分数阶微积分定义 ， 国内外众多学者从不同 得到了不同形式的分 应用角度研究分析各种各样的实际问题 ， Liouville 定 数阶微积分定义表达式 。 分数阶微积分 Riemann义和 分 数 阶 微 积 分 Caputo 定 义 都 是 对 分 数 阶 微 积 分 GrümwaldLetnikov 定义 的 改 进。 分 数 阶 微 积 分 的 GrümwaldLetnikov 定义在数值实现时可以转换为卷积运算形式 ， 因此非 Li常适合在 信 号 处 理 中 的 应 用 ； 分 数 阶 微 积 分 的 Riemannouville 定义主要应用于计算一些较为简单函数的解析解 ； 分数 阶微积分的 Caputo 定义适用于分数阶微分方程初边值问题的 分析， 因此非常适合在工程领域中应用 。三种关于分数阶微积 在一定条件下可以相互转换 。 分定义之间存在着紧密的联系 ， 例如， 如果分数阶微积分阶次 v 满足 n － 1 ＜ v ＜ n， 当函数 f （ x ） ， 的 m + 1 阶 导 数 连 续 并 且 满 足 m =? n － 1 」 分数阶微积分 GrümwaldLetnikov 的定 义 与 分 数 阶 微 积 分 RiemannLiouville 的定义是完全等价的。 在满足相同条件下， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 GrümwaldLetnikov 定义等价。 当分数阶微积分阶次 v 为正整数和负实数时， 分数阶微积分的 Caputo 定义和分数阶微积分的 RiemannLiouville 定义满足以 下关系：
分数阶细胞神经网络的动力学特性分析及控制设计
分数阶细胞神经网络的动力学特性分析及控制设计1 分数阶神经网络分数阶神经网络（Fractional order neural networks, FNNs）是一种比传统神经网络更先进的计算模型，是将分数阶微分方程引入到神经网络理论体系中的研究产物。
分数阶神经网络主要利用分数阶微分和神经网络的相互作用，结合多层神经元网络的特性，可构建多层分数阶神经网络架构。
分数阶神经网络有更强的建模能力，可以用于建模复杂系统，这就是目前大多数研究围绕的核心问题。
2 动力学特性的分析动力学行为分析是分析分数阶细胞神经网络动力学特性的重要环节，这主要依赖于神经网络的建模和动力学分析。
神经网络建模限于其输入和输出的设计，对系统动力学行为的分析就非常重要，即构建输入与输出之间的动力学映射。
而分数阶神经网络，基于分数阶微分理论，构建了基于非线性系统的分析，其动力学特性更能深入地探查大多数系统的细节，准确的构建动力学映射关系。
3 控制设计精确构建动力学映射关系后，能够提供基于实际应用的控制策略。
为了提高系统控制效率，控制设计中引入了模型逆设计。
模型逆设计可以精确的计算分数阶细胞神经网络的状态变量，根据实际系统的运行特性，设计合理的控制输入和参数，从而对系统实现最优控制措施，保证系统稳定、快速而有效的输出。
4 结论分数阶神经网络是更先进的计算模型，其在系统建模和控制设计中表现出色。
当前研究围绕分数阶细胞神经网络的主要内容是动力学特性分析和控制设计，即对分数阶神经网络构建输入与输出之间的动力学映射，从而实现精确控制和参数优化设计。
只有理解分数阶神经网络动力学特性，才能有效利用它构建复杂系统的建模和优化控制。
基于三次非线性忆阻器的分数阶蔡氏电路动力学特性
基于三次非线性忆阻器的分数阶蔡氏电路动力学特性作者：廖洪运来源：《中国新通信》 2018年第14期【摘要】本文基于光滑三次非线性磁控忆阻器的分数阶蔡氏电路，采用相图、分岔图、李雅普诺夫指数谱等数值方法分析了它的非线性动力学特性。
研究结果表明，分数阶忆阻混沌系统的动力学行为不仅取决于分数阶阶数，还在很大程度上依赖于忆阻器的初始状态。
【关键词】分数阶忆阻器蔡氏电路动力学特性引言忆阻器是华裔科学家蔡少棠根据变量组合完备性原理于1971 年提出的一种具有存储功能的非线性电阻[1]，但直到2008 年惠普实验室才第一次在物理上成功实现了这种具有记忆特性的基本电路元件[2]。
由于忆阻器的记忆性及其非线性等特性使其在非易失性阻抗存储器、神经网络等领域有着潜在的应用价值，也成为非线性科学领域的一个新的研究热点，将忆阻元件引入到蔡氏电路中或者替换蔡氏电路中的非线性元件，可以使电路具有更加复杂的动力学行为[3,4]。
分数阶微积分是研究任意阶次微分、积分算子的特性及应用的数学理论。
研究者将分数阶微分算子引入到非线性动力学系统中，发现当系统的阶数为分数时，系统仍表现为复杂的混沌行为[5]，而且利用分数阶微积分算子能更准确地描述实际混沌系统的非线性特性，具有更普遍的意义[6]。
伊沃·彼得拉将分数阶微积分理论应用于忆阻器系统，得到基于分段线性忆阻器的分数阶蔡氏电路[7]，但非光滑的分段线性函数的忆阻器在物理上不易实现。
本文首先提出了一种基于光滑连续三次非线性忆阻器的分数阶忆阻蔡氏电路。
然后通过相图、分岔图、李雅普诺夫指数谱等数值方法分析了它的非线性动力学特性。
研究表明，分数阶忆阻混沌系统的动力学行为不仅取决于分数阶阶数，而且与忆阻器的初始状态密切相关。
一、基于三次非线性忆阻器的蔡氏电路本文中使用的忆阻器数学模型是具有光滑连续三次非线性特征的磁控忆阻器[4]，其数学表达式为：通过以上理论分析和数值仿真，证明系统（3）确实存在混沌现象，在一定初始条件下，系统呈现出丰富和复杂的混沌动力学行为。
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分数阶非线性系统动力学特性及其图像处理应用研究
非线性动力学在自然学科、社会学科、工程技术等诸多领域有着广泛的应用。
而将非线性动力学理论引入图像处理领域,是非线性动力学理论应用的新思路,也是图像处理的新手段。
本文以分数阶非线性动力学和同步控制为理论基础,研究分析了新的非线性动力学特性,探索其与图像处理领域的契合点,在此基础上构建基于非线性动力学特性的图像处理模型。
新模型的构建拓宽了非线性理论的应用领域,可为人脑感知系统的内部机制提供新的解释和预测,在图像处理领域和神经动力学方面都具有较好的理论意义和应用前景。
本文的主要工作及创新点包括以下几个方面:(1)基于分数阶蔡氏系统和变形蔡氏系统,构建了复分数阶(时滞)蔡氏系统和分数阶复变形蔡氏系统,利用相图、分岔图、最大Lyapunov指数等定性和定量的手段对两类复系统的动力学行为进行了分析讨论。
首先将分数阶微积分定义扩展到复数阶,得到复数阶微积分定义的计算方法,并将其用于复分数阶(时滞)蔡氏系统的仿真。
对于分数阶复变形蔡氏电路系统的研究是将复系统转化为6变量的实系统实现的。
在对两类系统的动力学行为分析中,通过改变系统阶次,观察到不同周期窗口、分岔、单涡卷等丰富的动力学行为。
最后讨论了两类复系统动力学行为的异同点及分数阶系统的动力学行为与构建图像处理模型之间的关系。
(2)基于分数阶系统稳定性分析理论,研究了分数阶Relaxation振子对于不同外部刺激的稳定域和振荡域,结合相图、分岔图分析得到其产生的振荡为节律振荡;利用节律振荡特性构建图像增强模型,并用实验验证了新模型在图像增强方面的有效性。
首先利用分数阶稳定性理论分析分数阶Relaxation振子在不同外部刺激时其平衡点的稳定性,进而分析其对应的相图、分岔图,确定使分数阶Relaxation
振子产生节律振荡的外部刺激的范围。
根据不同外部刺激使系统产生节律振荡的特性,构建了类Gamma曲线(QGC)。
将QGC和其相近模型进行比较,量化指标和直观效果均验证了我们所提模型在图像增强方面有较好的性能。
另外,此模型模拟的增强机制也可能是人类视觉系统实现自动适应外界光线条件的机制。
(3)基于分数阶混沌系统的主动控制方法和分时同步策略,实现了单个分数
阶系统与多个分数阶复杂子网络的分时相同步。
利用该方案构建了含中枢单元的两层图像目标选择模型,并用实验验证了该模型的可行性。
引入分数阶主动控制策略和分时同步思想,通过线性关系将子网络转化为混合系统,实现了单个混沌系统与子网络(混合系统)间的分时相同步。
然后利用该方案构建包括中枢单元和分割单元两层的目标选择模型。
分割层是由相互耦合的分数阶神经元组成,通过相同步实现不同目标物的分割。
中枢单元由一个振子构成,通过分时主动控制策略在不同时段与代表不同目标物的混合系统达到相同步,实现目标的选择与转移。
另外,此模型也是对人类视觉系统中目标物选择和转移机制一个很好的解释。
(4)基于分数阶系统的稳定性理论,实现了1+N分数阶复变量节点的复杂网络不
同系数的函数投影同步方案。
将此函数投影同步方案用于构建图像分形特征的识别模型,仿真结果验证了该模型的可行性。
首先,构建了1+N节点(复混沌系统)驱动响应复杂网络模型。
根据分数阶系统稳定性理论,设计合理的控制器,实现了分数阶1+N节点复
杂网络复数域的不同投影系数的函数投影同步。
将此模型中投影函数的系数作为编码器,对分形特征进行编码。
然后利用投影同步误差系统的性质,求解分形特征识别的输入空间,进而实现分形特征的识别。
另外,此模型也是对人类感知系统识别功能的一个很好的理解。