概率论与数理统计课件数学期望

则有

E( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
例5，P94，6
2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则

E(g( X )) g( x) f ( x)d x.
例6：P94，10
例7 某公司计划开发一种新产品市场, 并试图 确定该产品的产量.他们估计出售一件产品可获 利 m 元,而积压一件产品导致n元的损失.再者,他
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.
由此
E
(
X
i
)

1ห้องสมุดไป่ตู้


9 10
20
,
i 1,2,.
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)

101



9 20
10



8.784(次).
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
k
k
E( X ) 5, 则 E(3X ) 3E( X ) 3 5 15.
3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有
E( X Y ) E( X ) E(Y ).
证明 E( X Y ) ( xk yk )pk
k
xk pk yk pk E( X ) E(Y ).
得 a θ ln( n ). mn
又
d2 d a2
E(Q)

(m n) θ
ea
θ

0,
因此, 当 a θ ln( n ) 时, E(Q) 取得最大值. mn
(2) 设 X , Y 为连续型随机变量, g( x, y) 为二元函 数,则

E[g( X ,Y )]
Var(X ), 即 D( X ) Var( X ) E{[X E( X )]2 }.
称 D( X ) 为标准差或均方差, 记为 σ( X ).
3. 方差的意义
方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好.
二、重要概率分布的方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
则有 E( X ) 1 p 0 q p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 pq.
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1,2,.


若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即

E( X ) xk pk .
k 1
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
其中 f ( x) 为X的概率密度.
(2) 利用公式计算 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
证明
D( X ) E{[X E( X )]2} E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2

E( X ) x f ( x)d x.
例2 顾客平均等待多长时间?
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为
f
(
x)

1 5
e
x
5
,
x 0,
0,
x 0.
试求顾客等待服务的平均时间?
解
E(X)

x f (x)d x
解 引入随机变量 Xi ,
0, 在第 i 站没有人下车,
Xi


1,
在第 i 站有人下车,
则 X X1 X2 X10.
i 1,2,,10.
则有
P{ X i

0}


9
20
,
10
P{ X i

1}

1
9 20, 10
i 1,2,,10.
4. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差

D( X ) [ xk E( X )]2 pk ,
k 1
其中 P{ X xk } pk , k 1,2,是 X 的分布律.
连续型随机变量的方差
D( X )

[
x

E
(
X
)]2
f
(
x
)
d
x
,

若Y a.

E(Q) 0 QfY ( y)d y
x[my n(a y)] 1 ey θ d y ma 1ey θ d y
0
θ
x
θ
(m n)θ (m n)θea θ nx,
令 d E(Q) (m n)ea θ n 0, dx
2. 数学期望的性质
1o E(C ) C; 2o E(CX ) CE( X ); 3o E( X Y ) E( X ) E(Y ); 4o X ,Y 独立 E( XY ) E( X )E(Y ).
第二节 方 差
一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结
k 1 (k-1)!
k-1e
k 1 (k-1)!
2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x), 若积分

x f (x)d x
绝对收敛, 则称积分

x
f
(x)d
x
的值为随机

变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
例1（常见离散型随机变量的数学期望） 若X~b(1,p)：
们预测销售量Y (件)服从指数分布其概率密度为
fY
(
y)

1 θ
e
y
θ
,
y

0,
θ 0,
0,
y 0.
问若要获得利润的数学期望最大, 应生产多少件
产品(m, n,θ 均为已知)?
解 设生产 a 件, 则获利 Q 可表示为
mY n(a Y ), 若Y a,
Q Q(a) ma,
ij
其中( X ,Y ) 的联合概率分布为 pij .
例9，P94，11
三、数学期望的性质
1. 设 C 是常数, 则有 E(C ) C. 证明 E( X ) E(C) 1C C.
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E(CX ) CE( X ).
证明 例如
E(CX ) Cxk pk C xk pk CE( X ).
一、数学期望的概念
引例 射击问题
设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k 0 1 2 3 4 5
命中次数 nk 2 13 15 10 20 30
频率 nk n
2 13 15 10 20 30 90 90 90 90 90 90
5 k nk 3.37.
k0 n
平均射中环数 5 k nk
随机波动 k0 n
频率随机波动
“平均射中环数”的稳定值 ?
5 k nk
k0 n
n
5
k pk
k0
随机波动
稳定值
“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
1. 离散型随机变量的数学期望
D(CX ) C 2D( X ). 证明 D(CX ) E{[CX E(CX )]2}
C 2E{[X E( X )]2} C 2D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明 D( X Y ) E{[(X Y ) E( X Y )]2} E{[X E( X )] [Y E(Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
1
( x )2
e 2 2 dx
-
+
= (x )
1
2 ( x )2
e 2 2 dx
-
2
+

=
1
e dx
(
x )2 2 2
2
二、随机变量函数的数学期望
1. 离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P{ X xk } pk , k 1, 2,,
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
解
平均射中环数

射中靶的总环数 射击次数
0 2 113 2 15 3 10 4 20 5 30 90
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
5 30 90
E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) E2( X ).
5. 方差的性质
(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. 证明 D(C ) E(C 2 ) [E(C )]2 C 2 C 2 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
k
k
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E( XY ) E( X )E(Y ).
说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
例5 一机场班车载有20 位旅客自机场开出, 旅 客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅 客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数, 求 E( X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各 旅客是否下车相互独立) .
x 1e x 5 d x 5(分钟).

0
5
因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.
设X~exp(λ)，则EX=1/λ
例3（均匀分布的数学期望）
EX= a b 2
例4 X ~ N (, 2 )
则
+
EX= x
1
( x )2
e 2 2 dx
-
+
2
= (x )
g(x, y) f (x, y)d xd y.

其中 ( X ,Y ) 的联合概率密度为 f ( x, y).
例10：P94,12
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1) 设 X ,Y 为离散型随机变量, g( x, y) 为二元函
数,则 E [g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij .
一、随机变量方差的概念及性质
1. 概念的引入
方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量.
实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.


O
1000
x

O

1000
x
2. 方差的定义
设 X 是一个随机变量,若E{[X E( X )]2}存在, 则称 E{[X E( X ) ]2} 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,, n),
分布律为P(X=0)=1-p，P(X=1)=p 则数学期望为 EX 0 (1 p) 1 p p
X~π(λ), 分布律为P(X=k)= ke , k 0,1, 2,...
k!
ke
EX= k
k 0
k!
ke
k1 (k-1)!
e k-1