2020届二轮(理科数学) 数列求和专题卷(全国通用)

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2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：第二部分专题二第2讲数列的求和及综合应用含解析

A 级基础通关一、选择题1．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，所以T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210. 又m ＞T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024.答案：C2．(2019·广东广州天河一模)数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *的都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( ) A.9998 B ．2 C.9950 D.99100解析：a n ＋1－a n ＝n ＋1，且a 1＝1，所以利用叠加法，得a n ＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 99＝2(1－12＋12－13＋…＋199－1100) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950. 答案：C3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n . 令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72. 所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．(2019·衡水中学月考)数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：由于a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－ 1n ＋1. 因此1－1n ＋1＝910，所以n ＝9. 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9.答案：B5．(2019·广州调研)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则数列{na n }的前n 项和T n 为( )A ．－3＋(n ＋1)×2nB ．3＋(n ＋1)×2nC ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n解析：设等比数列的公比为q ，易知q ＞0且q ≠1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝7，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1. 因此a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以na n ＝n ·2n －1.则T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1.①2T n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .②由①－②，得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1. 所以T n ＝1＋(n －1)·2n .答案：D二、填空题6．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N *，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．解析：当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0，当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1，当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2，当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.答案：4 9477．(2019·长沙模拟)曲线y ＝n 2x ＋ln x (n ∈N *)在x ＝2n 处的切线斜率为a n ，若b n ＝1a n a n ＋1，则{b n }的前n 项和T n ＝________．解析：由y ′＝n 2＋1x ，知a n ＝n 2＋n 2＝n ，所以b n ＝1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 因此T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：n n ＋18．(2019·深圳质检)数列b n ＝a n cos n π3的前n 项和S n ，已知S 2 017＝5 710，S 2 018＝4 030，若数列{a n }为等差数列，则S 2 019＝________．解析：设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a 1cos π3＋a 2cos 2π3＋a 3cos π＋a 4cos 4π3＋a 5cos 5π3＋a 6cos 2π＝12(a 1－a 2)＋12(a 5－a 4)－a 3＋a 6＝－a 3＋a 6. 由S 2 017＝5 710，S 2 018＝4 030，可得5 710＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2 013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋12a 2 017， 4 030＝－(a 3＋a 9＋…＋a 2013)＋(a 6＋a 12＋…＋a 2 010＋a 2 016)＋12a 2 017－12a 2 018，两式相减可得a 2 018＝3 360，由5710＝1 008d＋12(3 360－d)，解得d＝4，则a n＝a2 018＋(n－2018)×4＝4n－4 712，可得S2 019＝4 030－a2019＝4 030－(4×2 019－4 712)＝666.答案：666三、解答题9．(2019·山东省实验中学联考)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n ＝S n－1＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝1a n·a n＋1，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n≥2n成立的n的最小值．解：(1)由已知有S n－S n－1＝1，所以数列{S n}为等差数列，且S1＝a1＝1，所以S n＝n，即S n＝n2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，所以a n＝2n－1.(2)由(1)知，b n＝1（2n－1）（2n＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1，由T n≥2n有n2≥4n＋2，有(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值为5.10．(2019·成都七中联考)在数列{a n }中，已知a 1＝12，且a n ＋1a n ＝n ＋12n(n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)由a n ＋1a n ＝n ＋12n 得，a n ＋1n ＋1＝12·a n n(n ∈N *)．又a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项、12为公比的等比数列．于是a n n ＝12n ，则a n ＝n 2n (n ∈N *)．故{a n }的通项公式为a n ＝n 2n (n ∈N *)． (2)由S n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1.于是{a n }的前n 项和S n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)． B 级能力提升11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N *)，设b n ＝1＋log 2a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝________．解析：因为S n ＝2a n －1(n ∈N *)，所以当n ＝1时，a 1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1，得a n＝2a n－1，所以a n＝2n－1，从而b n＝1＋log2a n＝n.故T n＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1b n b n＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＝nn＋1.答案：nn＋112．(2019·衡水检测)已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，其面积S＝3，B＝60°，a2＋c2＝2b2.在等差数列{a n}中，a1＝a，公差d＝b.数列{b n}的前n项和为T n，且T n－2b n＋1＝0，n∈N*.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和为S n.解：(1)由S＝12ac sin 60°＝3，得ac＝4.根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos 60°，且a2＋c2＝2b2，所以b2＝2b2－4，则b2＝4，从而得a＝b＝c＝2，所以数列{a n}的通项a n＝2＋2(n－1)＝2n.又Tn－2b n＋1＝0，n∈N*，当n＝1时，b1－2b1＋1＝0，b1＝1.当n≥2时，T n－1－2b n－1＋1＝0，所以b n＝2b n－1.则{b n}是公比为2，首项b1＝1的等比数列．所以b n＝2n－1.(2)c n＝a n b n＝n·2n，S n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1.两式相减得－S n＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，所以S n＝(n－1)2n＋1＋2.。

2020年高考数学(理)二轮复习练习：专题限时集训4 数列求和 Word版含答案

专题限时集训(四) 数列求和 (对应学生用书第86页)(限时：40分钟)1．(2017·武汉4月模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝( )【导学号：07804030】A.12n －1B ．12n －1 C.13n －1D ．12n －1＋1B [法一：(构造法)a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1a n ＋1⇒1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ⇒1a n ＋1－1a n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1，又1a 2－1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2、公比为2的等比数列，则1a n ＋1－1a n＝2n，即1a n －1a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2n －2，1a n＝2n －1，∴a n ＝12n －1.故选B.法二：(特值排除法)由a 2(a 1＋2a 3)＝3a 1a 3，得a 3＝17，即可排除选项A ，C ，D.故选B.]2．(2017·山西重点中学5月联考)设T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，且a 1＝－6，a 4＝－34，则当T n 最大时，n 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10A [设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝－6，a 4＝－34，∴－34＝－6q 3，解得q ＝12，∴a n ＝－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝(－6)n×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1＋2＋…＋(n －1)＝(－6)n×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n n －2，当n 为奇数时，T n ＜0，当n 为偶数时，T n ＞0，故当n 为偶数时，T n 才有可能取得最大值．T 2k ＝36k×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k (2k －1).T 2k ＋2T 2k ＝36k ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋k ＋36k×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k k －＝36×⎝ ⎛⎭⎪⎫124k ＋1，当k ＝1时，T 4T 2＝98＞1；当k ≥2时，T 2k ＋2T 2k＜1.∴T 2＜T 4，T 4＞T 6＞T 8＞…，则当T n 最大时，n 的值为4.]3．(2017·郑州第二次质量预测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017的值为( ) A ．2 017n －m B ．n －2 017m C ．mD ．nC [由题意可知，a 1＝m ，a 2＝n ，a 3＝a 2－a 1＝n －m ，a 4＝a 3－a 2＝－m ，a 5＝a 4－a 3＝－n ，a 6＝a 5－a 4＝m －n ，a 7＝a 6－a 5＝m ，a 8＝a 7－a 6＝n ，…，综上，数列{a n }是以6为周期的数列，因为2 017＝336×6＋1，且同一个周期内所有项的和为0，所以S 2 017＝a 1＝m .]4．(2017·河南洛阳3月模拟，7)某数学家在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 017D ．－2 017B [∵a 1a 3－a 22＝1×2－12＝1，a 2a 4－a 23＝1×3－22＝－1，a 3a 5－a 24＝2×5－32＝1，……，a 2 015a 2 017－a 22 016＝1，∴(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015·a 2 017－a 22 016)＝11 008×(－1)1 007＝－1.故选B.]5．(2016·祁阳二模)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 200B [∵f (n )＝n 2cos(n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，∴由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.]6．(2017·福州毕业班质量检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m＋a n ＋mn ，则∑2 017i ＝11a i＝( )【导学号：07804031】A.2 0172 018 B ．2 0162 017 C.2 0181 009D ．2 0171 009D [令m ＝1，则a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，又a 1＝1，所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，把以上n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，当n ＝1时，上式也成立，所以a n ＝n n ＋2，所以1a n＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以∑2 017i ＝11a i ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017－12 018＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 018＝2 0171 009，故选D.] 7．(2017·福州五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n ≥2)，若对任意的n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则正整数a 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8B [由S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n ≥2)，可以得到S n ＋1 ＋S n ＝3(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋4，两式相减得a n ＋1＋a n ＝6n ＋5，故a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋11，两式再相减得a n ＋2－a n ＝6.对于S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n ≥2)，由n ＝2得a 1＋a 2＋a 1＝20，即a 2＝20－2a ，故偶数项为以20－2a 为首项，6为公差的等差数列，从而a 2n ＝6n ＋14－2a .对于S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n ≥2)，由n ＝3得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝37，即a 3＝2a －3，从而a 2n ＋1＝6n －9＋2a .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜20－2a 6n ＋14－2a ＜6n －9＋2a 6n －9＋2a ＜n ＋＋14－2a，解得234＜a ＜203，故正整数a 的值为6.]8．(2017·长沙二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且2a m ＝a m －1＋a m ＋1(m ∈N *，m ≥2)，若(a 2－2)5＋2 016(a 2－2)3＋2 017(a 2－2)＝2 017，(a 2 016－2)5＋2 016(a 2 016－2)3＋2 017(a 2 016－2)＝－2 017，则下列四个命题中真命题的序号为( )①S 2 016＝4 032；②S 2 017＝4 034；③S 2 016＜S 2；④a 2 016－a 2＜0. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．①④C [构造函数f (x )＝x 5＋2 016x 3＋2 017x ，∵f (x )为奇函数且单调递增，依题意有f (a 2－2)＝2 017，f (a 2 016－2)＝－2 017，∴(a 2－2)＋(a 2 016－2)＝0，∴a 2＋a 2 016＝4.又2a m ＝a m －1＋a m ＋1(m ∈N *，m ≥2)，∴数列{a n }为等差数列，且公差d ≠0，∴a 1＋a 2 017＝a 2＋a 2 016＝4，则S 2 017＝a 1＋a 2 0172＝4 034，②正确，∵公差d ≠0，故a 2 016≠a 2 017，S 2 016＝a 1＋a 2 0162≠4 032，①错误；由题意知a 2＞2，a 2 016＜2，∴d ＜0，S 2 016＝S 2 017－a 2 017＝4 034－(4－a 1)＝4 030＋a 1，S 2＝a 1＋a 2，若S 2 016＜S 2，则a 2＞4 030，而此时(a 2－2)5＋2 016(a 2－2)3＋2 017(a 2－2)＝2 017不成立，因此③错误；∵a 2＞2，a 2 016＜2，∴a 2 016－a 2＜0，④正确．故选C.] 二、填空题9．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.12－13n ＋1－1 [由a n ＝2·3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝－3n1－3＝3n－1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.] 10．(2017·湖北四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n ＋1－S n ＝3na n(n ∈N *)，则S 2 017＝________.【导学号：07804032】31 009－2 [依题意得a n ＋1＝3na n (n ∈N *)，所以a 2＝3a 1＝3，由a n ＋1＝3n a n (n ∈N *)得a n ＋2＝3n ＋1a n ＋1(n ∈N *)，两式相除得a n ＋2a n＝3，所以数列{a 2n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，数列{a 2n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以S 2 017＝a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝－31 0091－3＋－31 0081－3＝31 009－2.]11．(2017·广州一模)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________． 292[a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n＋2，故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋2－n ＋＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n＋1＝7时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292＜1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.]12．(2017·福建毕业班质量检测)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n ＋1－S n ＝23.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[－0.4]＝－1，[1.6]＝1.设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为________． 22n ＋13－n －23 [当n ≥2时，由题意，得S n ＝a n ＋1－23，S n －1＝a n －23，两式相减得，a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝23，a 2－a 1＝23，所以a 2＝43，即a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为23，公比为2的等比数列，所以a n ＝23·2n －1＝13·2n.所以b 1＝0，b 2＝1＝2b 1＋1，b 3＝2＝2b 2，b 4＝5＝2b 3＋1，b 5＝10＝2b 4，b 6＝21＝2b 5＋1，b 7＝42＝2b 6，b 8＝85＝2b 7＋1，…，b 2n －1＝2b 2n －2，b 2n ＝2b 2n －1＋1，所以b 1＋b 2＝21－1，b 3＋b 4＝23－1，b 5＋b 6＝25－1，b 7＋b 8＝27－1，…，b 2n －1＋b 2n ＝22n －1－1，设数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝－4n1－4－n＝22n ＋13－n －23.] 三、解答题13．(2017·南昌十校二模联考)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，a 1a 2a 3＝64，S n 为其前n 项和，且2S 1，S 3,4S 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，∵2S 1，S 3,4S 2成等差数列，∴2S 3＝2S 1＋4S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝2a 1＋4(a 1＋a 1q )，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.∵a n ＞0，∴q ＝－1不合题意，舍去，由a 1a 2a 3＝64可得a 32＝64，解得a 2＝4，故2a 1＝4，得到a 1＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2×2n －1＝2n.(2)∵b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n＝log 2(a 1a 2·…·a n )＝log 221＋2＋…＋n＝1＋2＋…＋n ＝n ＋n2，∴1b n ＝2nn ＋＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 14．(2017·安徽百校联盟二模)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，且a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2n －1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【导学号：07804033】[解] (1)由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，因此数列{a n ＋1－a n }是公比为2，首项为a 2－a 1＝2的等比数列．所以当n ≥2时，a n －a n －1＝2×2n －2＝2n －1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1＋2n －2＋…＋2)＋2＝2n ，当n ＝1时，也符合，故a n ＝2n. (2)由(1)知b n ＝2n －12n ，所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1 ②， ①－②，得12T n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1 ＝12＋1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n .。

2020年高考理科数学(2卷)：答案详细解析(word版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+，当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）：由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：专题3 数列第1部分专题3 第2讲

7．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________. 解析因为 Sn＝3＋2n，所以 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而 n＝1 时，a1＝S1＝5 不适
合上式，所以 an＝Error!
答案 an＝Error!
1
1
8．(2019·广东深圳适应性考试)在数列{an}中，a1＝2 019，an＋1＝an＋nn＋1(n∈N*)，
2n ＝n2＋1－2n.故选 A
项．
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝( )
nn＋1 A． 2
nn＋1 B．－ 2
nn＋1 C．(－1)n＋1 2
D．以上均不正确
C 解析当 n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－
n 3＋2n－1 2
nn＋1
2 ＝－ 2 ；当 n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)
n－1 [3＋2n－1－1]
2
nn＋1
n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－
2
＋n2＝ 2 .综上可得，原
nn＋1 式＝(－1)n＋1 2 .故选 C 项．
4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a≠0)，则{an}( )
2×3 3 4
n n＋1
则 3Tn＝ 30 ＋30＋31＋…＋3n－3＋3n－2，②
1 1－
3n－1
( ) 1 1
1 n＋1
1 n＋1 15
1＋＋＋…＋
1－
②－①得 2Tn＝6＋ 3 32
3n－2 －3n－1＝6＋ 3 －3n－1＝ 2 －
2n＋5
2·3n－1.

2020届二轮(理科数学) 综合测试2 专题卷(全国通用)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,a ib i a b R i+=-?，其中i 是虚数单位，则a b +=( ) A. 1- B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】1222a a iai b i b i =⎧+=-+=-∴⎨=⎩Q，则3a b += 选B2.已知集合{A x y ==，{}2,1xB y y x ==>，则A B I 为( )A. []0,3B. [)3,+∞C. []1,3D. (]2,3 【答案】D 【解析】{{}{}{}03.2,12x A x y x x B y y x B y y ===≤≤==>==>Q(]2,3A B ∴⋂=选D3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A. B. C. D.【答案】A 【解析】由几何概型公式：A 中的概率为38，B 中的概率为26，C 中的概率为26，D 中的概率为13．本题选择A 选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 4.已知函数()3sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x R ∈，下列说法错误的是( ) A. 函数()f x 最小正周期是π B. 函数()f x 是偶函数 C. 函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 函数()f x 图像关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】()32 sin 2,2f x x T Q πππω⎛⎫=-∴== ⎪⎝⎭，故A 正确； ()3 sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q 即函数()f x 是偶函数，B 正确； () cos2f x x =Q ，当4x π=时，cos 2cos 0442f πππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，故D 正确；故选C.5.若实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则1y x +取值范围是( )A. ()0,3B. []0,3C. ()3,+∞D.[)3,+∞【答案】D 【解析】的作出不等式组对应的平面区域如图：其中112y Az x+=（，）．的几何意义，即动点P （x ，y ）与点()0,1- 连线斜率的取值范围．由图象可知过点12A （，）与点()0,1-直线的斜率()21310k --==- 2．所以3z ≥ ，故1y x+的取值范围是[)3,+∞．故选D ．【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．6.求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是( ) A. ()12S x x dx =-⎰B. ()120S xx dx =-⎰C. ()12S yy dy =-⎰D. (10S y dy =⎰【答案】A 【解析】如图所示12()ABO ABO S S S x x dx =--⎰V 曲边梯形＝，故选A.7.执行下面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】【详解】执行第1次，t =0.01,S =1,n =0,m =12=0.5,S =S -m =0.5,2mm ==0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是，循环，执行第2次，S =S -m =0.25,2mm ==0.125,n =2,S =0.25＞t =0.01,是，循环，执行第3次，S =S -m =0.125,2mm ==0.0625,n =3,S =0.125＞t =0.01,是，循环，执行第4次，S =S -m =0.0625,2mm ==0.03125,n =4,S =0.0625＞t =0.01,是，循环，执行第5次，S =S -m =0.03125,2mm ==0.015625,n =5,S =0.03125＞t =0.01,是，循环，执行第6次，S =S -m =0.015625,2mm ==0.0078125,n =6,S =0.015625＞t =0.01,是，循环，执行第7次，S =S -m =0.0078125,2mm ==0.00390625,n =7,S =0.0078125＞t =0.01,否，输出n =7，故选C . 考点：程序框图【此处有视频，请去附件查看】8.函数()af x x x=-（a R ∈）的图象不可能．．．是（） A. B. C. D.【答案】C 【解析】当0,a y x ==，为图A ，当1a =，1y x x =- ，为图D ，当1a =-时，1y x x=+为图B ，选C.【点睛】函数图像问题首先关注定义域，其次根据函数的奇偶性排除部分选择支，进而用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等.本题只需对a 的不同情况进行探讨，最终得出答案.9.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是( )A. 4αβ-=π B. 4παβ+=C. 24παβ-=D.24παβ+=【答案】A 【解析】()222122sin cos sin sin cos tan cos cos sin cos sin βββββαβββββ+++--＝＝＝1()14tan tan tan βπββ++-＝＝．因为(0)2442ππππαβ∈+∈，，（，），所以4παβ+＝．故选A ．10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则，OAB 的面积为（）A.4B.C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 【此处有视频，请去附件查看】11.已知G 是ABC V 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =uuur uu u r ，AN yAC =uuur uu u r ，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A.83B.72C.52D.43【答案】D 【解析】如图M N G Q ，，三点共线， MG GN λ∴=u u u u v u u u v，AG AM AN AG λ∴-=-u u u v u u u u v u u u v u u u v（），∵G 是ABC V 的重心， 13AG AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v （），1133AB AC xAB y AC AB AC λ∴+-=-+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（（）），11331133x y λλλ⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得，31311x y --=（）（）；结合图象可知11 1122x y ≤≤≤≤，；令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m n mn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=+当且仅当m n == 故选D12.已知函数()2xf x x e =，若函数()()()21g x fx kf x =-+恰有四个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. ()(),22,-∞-+∞UB. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D.2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】222x x x f x xe x e x x e '=+=+（）（），令0f x '=（），解得0x =或2x =-， ∴当2x -＜或0x ＞时，0f x '（）＞，当20x -＜＜时，0f x '（）＜， f x ∴（）在2-∞-（，）上单调递增，在20-（，）上单调递减，在∞（0，+）上单调递增， ∴当2x =-时，函数f x （）取得极大值242f e-=（），当0x =时，f x （）取得极小值00f =（）．作出f x （）的大致函数图象如图所示：令f x t =（），则当0t =或24t e＞时，关于x 的方程f x t =（）只有1解；当24t e=时，关于x 的方程f x t =（）有2解；当240t e<<时，关于x 的方程f x t =（）有3解． 21g x f x kf x =-+Q （）（）（）恰有四个零点，∴关于t 的方程210t kt -+= 在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有1解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 有1解，显然0t =不是方程210t kt -+=的解， ∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有1解， 4216410k e e ∴-+＜，解得2244e k e +＞．故选D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】20- 【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为818k k k k T C x y -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278()2820x xy y x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．【考点定位】二项式定理．【此处有视频，请去附件查看】14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升；【答案】6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 15.已知函数()1211xf x e x+=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________.【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 ∵函数()1211xf x ex +=-+满足f x f x -=（）（），故函数f x （）偶函数，当0x ≥时，11xx y ee ++==为增函数，211y x =+为减函数，故函数f x （）在0x ≥时为增函数，在0x ≤ 时为减函数，则22221214413410f x f x x x x x x x x -⇔-⇔-+⇔-+（）＞（）＞＞＜，解得：1(1)3x ∈，，故答案为1,13⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键．16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________. 【答案】9 【解析】当2n ≥ 时，211n n n n a S S S ---=（），即()2112n n n n S S S S ---= ，展开化为：1140n n n n S S S S ----=（）（）， ∵正项数列{}n a 的前n项和为nS 114n n n n S S S S --∴≠∴=．， ∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4． 11221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211342n n n a n -⎧∴=⎨⨯≥⎩，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-，则212(022)2n n n b b b n n +-++⋯+==-．则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++ 361312391n n =++-≥-=+当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为9三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知c =sin A C =，1cos23A =-.(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及ABC V 的面积.【答案】(1)a =；(2)5b =，ABC S =V 【解析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a 的值；（2）由二倍角的余弦公式变形求出2sin A ，由A 的范围和平方关系求出cosA ，由余弦定理列出方程求出b 的值，代入三角形的面积公式求出ABC V 的面积．试题解析：(1)因为c =sin A C =，由正弦定理sin sin a c A C=，得a =. (2)因为21cos212sin 3A A =-=-，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin A =cos A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=，解得5b =或3b =-(舍)，所以1sin 2ABC S bc A ==V 18.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】，1，13n n a =，2，21n n -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19．由条件可知q ＞0故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和【此处有视频，请去附件查看】19.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80后得到如图所示的频率分,布直方图，问：(1)在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； (2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数； (3)若从年龄在[)20,40读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列和数学期望.【答案】(1)30；(2)平均数为54，中位数为55；(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为0.75，由此能求出40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数．（2）利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数．（3）年龄在[)20,30的读书者有2人，年龄在[)30,40的读书者有4人，设年龄在[)30,40的读书者人数为X ，由此能求出恰有1名读书者年龄在[30，40）的概率．试题解析：(1)由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=. (2)40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =.即40名读书者年龄的中位数为55.的(3)年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人，年龄在[)30,40的读书者有0.01010404⨯⨯=人，所以X 的所有可能取值有0，1，2.()2024261015C C P X C ===，()1124268115C C P X C ===，()0224266215C C P X C ===，X 的分布列如下：数学期望()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法.解题时要认真审题，注意排列组合、古典概型的合理运用．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得b c =，a =，再根据直线与圆相切可得,,a b c 的一个关系式，解方程组可得,,a b c 的值．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，与椭圆方程联立消去y 整理为关于x 的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k 的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设()00,P x y ，根据OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r可得00,,,x y t k 间的关系式．可解得00,x y ．将其代入椭圆方程可得,t k 的关系式，根据k 的范围可得t 的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离12c d a +==（*）∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b c =，，代入（*）式得1b c ==，∴，故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，设()00,P x y ，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r ，当0t =，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当，得20122012122812{4(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=+-=+∴20218,12k x t k=⋅+．将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以()2,0(0,2)t ∈-⋃，综上可得(2,,2)t ∈-．考点：1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．21.，2018安徽淮南市高三一模（2月），已知函数()2ln 2f x ax x =++，，I，若a R ∈，讨论函数()f x 的单调性；，II，曲线()()2g x f x ax =-与直线l 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，若直线l 斜率为k ，求证：121x x k<，【答案】，I，答案见解析；，II，证明见解析．【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，则1t >，问题转化为只需证11ln t t t -<<，根据函数的单调性证明即可．试题解析：(1)()2ln 2f x ax x =++，()()2121'20ax f x ax x x x+=+=>，当0a ≥时，恒有()'0f x >，()f x 在区间()0,+∞上是增函数，当0a <时，令()'0f x >，即2210ax +>，解得0x <<()'0f x <，即2210ax +<，解得x >()f x在区间⎛ ⎝上是增函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数. 综上，当0a ≥时，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；当0a <时，()f x在区间⎛ ⎝上是增函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数.(2)证明：()()21212121ln ln g x g x x x k x x x x --==--，要证明121x x k<<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =(由12x x <，知1t >)，则只需证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>(*) ①令()()1ln 1t t t t ϕ=-->，则()()1'101t t tϕ=->>，所以()t ϕ在()1,+∞上是增函数，当1t >时，()()1ln 10t t t ϕϕ=-->=，所以1ln t t ->；②令()()()ln 11h t t t t t =-->，则()()'ln 01h t t t =>>，所以()h t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()()ln 110h t t t t h =-->=，所以ln 1t t t >-，综上，121x x k<<. 22.选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（，）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（，）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ.【解析】【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析：（1），C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+，（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，，C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）. ，C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ.考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程此处有视频，请去附件查看】23.设函数()241f x x =-+.(1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x ax ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析：【(1)由于()25,223,2x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则()y f x =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。

2020届二轮(理科数学) 等比数列的前n项和专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）等比数列的前n项和专题卷（全国通用）1.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里 (B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= . 解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= . 解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值.解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=因此c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016=3+=32 016.。

2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。

2020届二轮(理科数学) 数列解析几何专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）数列解析几何专题卷（全国通用）一、选择题1．在等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为（） A ．154B ．152C ．74 D ．722．已知双曲线2222:1x y C a b -=（a >0，0b >，则C 的渐近线为（） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±3．已知命题:p x ∀∈R ，23x x <，命题:q x ∃∈R ，使得321x x =-，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-5．关于x 的不等式22280x ax a --<(0)a >的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（） A ．52B ．72C ．154D ．1526．过抛物线24x y =的焦点F 作直线，交抛物线于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若126y y +=，则12||PP =（）A ．5B ．6C ．8D ．107．曲线2ln y x x =在x e =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．24eB ．22eC ．2eD ．22e8．已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ，若OMN △为直角三角形，则||MN =（） A ．32B ．3 C．D ．4二、填空题9．在数列{}n a 中，11a =，当n ∈*N ，1n n a a n +-=，则100a 的值为． 10．若定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式(ln )(1)0ef x xf -<的解集为（结果用区间表示）．三、简答题11．设等差数列{}n a 的公差为1d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．已知动点M 到两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 的距离之和为4(02)m <<，且动点M 的轨迹曲线C 过点1)2N ．（1）求m 的值；（2）若直线:l y kx =+与曲线C 有不同的两个交点,A B ，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点），求k 的值．13．已知函数23()ln 2f x x ax x =-+-（a 为常数，且a ∈R ）（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求实数a 和极值0()f x 的取值范围．答案一、选择题 1．【答案】B【解析】等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，所以2112a a q a ==，4141(12)1512a S a -==-，所以42152S a =． 2．【答案】C【解析】由题知，c a =，即2222254c a b a a +==，∴2214b a =，∴12b a =， ∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 3．【答案】B【解析】取1x =-，推出1123-->，可知命题p 为假命题．令32()1f x x x =+-，∵()f x 图像连续，且(0)(1)0f f ⋅<，故()f x 有零点，即方程3210x x +-=有解，即x ∃∈R ，使得321x x =-，故B 为真． 4．【答案】D【解析】121()22333()32()23313nn n n S --==-⋅=-⋅-，12()3n n a -=，对照两式可知选D ． 5．【答案】A【解析】由条件知1x ，2x 为方程设22280x ax a --=的两根，则212122,8x x a x x a +==-，由222222211212((4(2)4(836)5)1)x x x x x x a a a -=+-=-⨯-==，解得52a =． 6．【答案】C【解析】24x y =的焦点为(0,1)，准线为1y =-，因为111(,)P x y ，222(,)P x y 两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以111(,)P x y ，222(,)P x y 两点到准线的距离分别是11y +，21y +，所以由抛物线的定义知12121212||||||112628PP PF P F y y y y =+=+++=++=+=，故选C ． 7．【答案】B【解析】2ln y x x =，12ln 22ln 2y x x x x'=⨯+⨯=+，所以|224x e y ='=+=，且()2y e e =，所以切线方程为24()y e x e -=-，即42y x e =-，此直线与x 轴､y 轴交点坐标分别为(,0),(0,2)2e e -，所以切线与坐标轴围成的三角形面积是212222e e S e =⨯⨯=，故选B ．8．【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ，从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==．二、填空题9．【答案】4951【解析】因为1n n a a n +-=，所以211a a -=，322a a -=，433a a -=，L ，11n n a a n --=-（2n ≥），将以上个式子相加得1(1)(11)(1)123(1)22n n n n n a a n -+---=++++-==L ，因为11a =，所以(1)12n n n a -=+，所以10010099149512a ⨯=+=．10．【答案】(0,)e【解析】令()()xf xg x e=，则2(()())()x x e f x f x g x e '-'=，因为()()f x f x '>，所以()0g x '>，所以函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数，由(ln )(1)ef x xf <，得ln 1(ln )(1)x f x f e e<，即(ln )(1)g x g <，因为函数()g x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以ln 1x <．所以不等式的解集是(0,)e ．故答案为(0,)e ．三、简答题11．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）21n nT n =+．【解析】（1）由题得1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩，解得1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）或112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-，12n n b -=．（2）111(21)(21)n n n c a a n n +==-+，所以122334111111111133557(21)(21)n n n T a a a a a a a a n n +=++++=++++⨯⨯⨯-+L L 1111111111(1)(1)233557212122121nn n n n =-+-+-++-=-=-+++L ． 12．【答案】（1）m =（2）．【解析】（1）依题意(02)m <<，即42m >，知曲线C 是以两定点1(,0)F m -，2(,0)F m 为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以2a =，设曲线C 的方程为22214x y b+=，代入点1)2N ，解得21b =，由222c a b =-，解得23c =，所以m =．（2）由（1）知曲线C 的方程为2214x y +=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y得221()104k x +++=，2410Δk =->，得214k >，12x x +=122414x x k =+，则12121212(OB x y x kx OA x x y x k ⋅=+=++u u u r u u u r221212264(1)()2214k k x x x x k-=++++==+，得21134k =>，所以k的值为 13．【答案】（1）函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）(1,)a ∈+∞，03()(,)2f x ∈-∞-．【解析】（1）2121()21ax x f x ax x x-++'=-+=()0x >，当1a =时，221(21)(1)()x x x x f x x x -++-+-'==，由0()0x f x >⎧⎨'>⎩，解得01x <<，所以函数()f x 的递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞．（2）记2()21g x ax x =-++，(0)1g =，函数()f x 在区间(0,1)上有唯一极值点0x ，则函数()g x 图像是开口向下的抛物线，且(1)0g <，即0,12110a a a >⎧⇔>⎨-++<⎩，所以a 的取值范围是(1,)+∞，0()0g x =20021ax x ⇔=+，所以20000000001331()ln ln ln 22222x f x x ax x x x x x +=-+-=-+-=+-，因为0()f x 在0(0,1)x ∈上单调递增，且0→x 时，-∞→)(x f ，23)1(-=f ，所以0()f x 的取值范围是3(,)2-∞-．。

2020届二轮(理科数学)数学归纳法专题卷(全国通用)

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n 5，n ＝1，1，n ≥2，即a n 4，n ＝1，，n ≥2.(2)证明当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r ＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n .(1)解a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明原不等式等价于≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2＝C 0n ＋C 1n 2n ＋C ＋…＋C >C 0n ＋C 1n 2n ＋C ＝5－2n>4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a ≥12－x.又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数，∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解(1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，>0，k －1－x >0，(3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k ，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0；当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0；当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0；当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0；当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0；当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0.猜想：当n ≥5时，S n －P n >0.证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0.当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k －k 2－2k －1＝2(2k －k 2)＋k 2－2k －1＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。

2020届二轮(理科数学) 数列专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）数列专题卷（全国通用）1.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13， a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列. 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32－12×3n －1. 2.已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝2a n 2＋a n. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)若b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明易知a n ≠0，∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ， ∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，又∵a 1＝12，∴1a 1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列. (2)解由(1)知，1a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，即a n ＝2n ＋3， ∴b n ＝4（n ＋3）（n ＋4）＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4， S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝4⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4＝n n ＋4.3.(2019·长郡中学联考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列， a 1＝1，b 1＝2，b 2＝2a 2，b 3＝2a 3＋2.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和为S n ，求证：S n <2. (1)解设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2q ＝2（1＋d ），2q 2＝2（1＋2d ）＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－1，q ＝0(舍)，∴a n ＝n ，b n ＝2n . (2)证明由(1)知a n b n ＝n 2n ， ∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －22n －1＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n 2n ＋1， ∴S n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n 2n ，∴S n <2. 4.(2019·广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n＝5－(4n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意可得：S n n＝1＋2(n －1)，可得：S n ＝2n 2－n . ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1对上式也成立.∴a n ＝4n －3(n ∈N *).(2)∵a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n＝5－(4n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n ， ∴n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n －1，相减可得：a n b n ＝(4n －3)×⎝⎛⎭⎫12n (n ≥2)，又a 1b 1＝12满足上式，∴a n b n ＝(4n －3)×⎝⎛⎭⎫12n(n ∈N *).∴b n ＝2n .∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2. 5.(2019·北京延庆区调研)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n <319成立的最大的正整数n . 解 (1)设{a n }的公差为d .由a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，可得(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 4＋1)，又a 1＝2，∴(3＋d )2＝3(3＋3d )，解得d ＝3(d ＝0舍去)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2， S n ＝13⎝⎛⎭⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝n 2（3n ＋2），则S n <319，即n 2（3n ＋2）<319，解得n <12，则所求最大的正整数n 为11.6.(2019·德州二模)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，当n ≥2时，(n －1)a n ＝(n ＋1)S n －1＋n (n －1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1为等比数列； (2)记T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，求T n .(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，所以(n －1)(S n －S n －1)＝(n ＋1)S n －1＋n (n －1)，即(n －1)S n ＝2nS n －1＋n (n －1)，则S n n ＝2×S n －1n －1＋1，所以S n n ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －1n －1＋1，又S 11＋1＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ＋1是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解由(1)知S n n＋1＝⎝⎛⎭⎫S 11＋1·2n －1＝2n ，所以S n ＝n ·2n －n ，故T n ＝(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n ).设M ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ，则2M ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1，所以－M ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，所以M ＝(n －1)·2n ＋1＋2，n（n＋1）所以T n＝(n－1)·2n＋1＋2－2.。

2020届通用高考数学大二轮复习能力升级练八数列求和与数列综合问题理

能力升级练(八) 数列求和与数列综合问题一、选择题1.已知数列{a n }满足:任意m ,n ∈N *,都有a n ·a m =a n+m ,且a 1=12,那么a 5=( )A.132B.116C.14D.12,得a 2=a 1a 1=14,a 3=a 1·a 2=18,则a 5=a 3·a 2=132.2.(2019江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中,a 1=-14,a n =1-1a a -1(n ≥2,n ∈N *),则a 2 019的值为( )A.-14B.5C.45D.54{a n }中,a 1=-14,a n =1-1a a -1(n ≥2,n ∈N *),所以a 2=1-1-14=5,a 3=1-15=45,a 4=1-145=-14,所以{a n }是以3为周期的周期数列,所以a 2019=a 673×3=a 3=45.3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,a n+1=S n +1(n ∈N *),则S 5=( ) A.31B.42C.37D.47,得S n+1-S n =S n +1(n ∈N *),∴S n+1+1=2(S n +1)(n ∈N *),故数列{S n +1}为等比数列,其首项为3,公比为2,则S 5+1=3×24,所以S 5=47.4.(2019四川成都诊断)已知f (x )={(2a -1)a +4(a ≤1),a a (a >1),数列{a n }(n ∈N *)满足a n =f (n ),且{a n }是递增数列,则a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(12,+∞) C.(1,3)D.(3,+∞){a n }是递增数列,所以{a >1,a 2>2a -1+4,解得a>3,则a 的取值范围是(3,+∞).5.(2017全国Ⅲ,理9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3D.8d ,则d ≠0,a 32=a 2·a 6,即(1+2d )2=(1+d )(1+5d ),解得d=-2,所以S 6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A .6.数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.7.数列{a n}的通项公式是a n=√a+√a+1,前n项和为9,则n等于()A.9B.99C.10D.100a n=√a+√a+1=√a+1−√a,所以S n=a1+a2+…+a n=(√a+1−√a)+(√a−√a-1)+…+(√3−√2)+(√2−√1)=√a+1-1, 令√a+1-1=9,得n=99.8.(2019山东德州调研)已知T n为数列{2a+12a}的前n项和,若m>T10+1 013恒成立,则整数m的最小值为() A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023∵2a+12a=1+(12)a,∴T n=n+1-12a,∴T10+1013=11-1210+1013=1024-1210,又m>T 10+1013恒成立,∴整数m 的最小值为1024.9.(2019福建厦门质检)已知数列{a n }满足a n+1+(-1)n+1a n =2,则其前100项的和为( ) A.250B.200C.150D.100n=2k (k ∈N *)时,a 2k+1-a 2k =2,当n=2k-1(k ∈N *)时,a 2k +a 2k-1=2,当n=2k+1(k ∈N *)时,a 2k+2+a 2k+1=2,∴a 2k+1+a 2k-1=4,a 2k+2+a 2k =0,∴{a n }的前100项和=(a 1+a 3)+…+(a 97+a 99)+(a 2+a 4)+…+(a 98+a 100)=25×4+25×0=100.二、填空题10.若数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n+1,则数列{a n }的通项公式a n = .n=1时,a 1=S 1=3×12-2×1+1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n 2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式. 故数列的通项公式为a n ={2,a =1,6a -5,a ≥2.2,a =1,6a -5,a ≥211.在数列{a n }中,a 1=2,aa +1a +1=a a a +ln (1+1a),则a n = .,得aa +1a +1−a a a =ln(n+1)-ln n ,a aa −a a -1a -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). ∴a 22−a 11=ln2-ln1,a 33−a 22=ln3-ln2,…,a a a−a a -1a -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). 累加,得aaa −a 11=ln n ,∴aaa =2+ln n (n ≥2),又a 1=2适合a aa=2+ln n ,故a n =2n+n ln n.n+n ln n12.(2019湖北武汉质检)设数列{(n 2+n )a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为 .{(n 2+n )a n }的首项为2a 1=13,第二项为6a 2=19,故公比为13,所以(n 2+n )a n =13·(13)a -1=13a ,所以a n =13a(a 2+a ),则3na n =1a 2+a=1a−1a +1,其前n 项和为1-1a +1,当n=15时,为1-116=1516.13.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若S 4≥4,S 7≤28,则a 10的最大值为 .等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4≥4,S 7≤28,∴{a 4=4a 1+4×32a ≥4,a 7=7a 1+7×62a ≤28,即{2a 1+3a ≥2,a 1+3a ≤4,∴{a 10=a 1+9a =a 1+3a +6a ≤4+6a ,a 10=a 1+9a =12(2a 1+3a )+15a 2≥2+15a 2, ∴2+15a 2≤a 10≤4+6d ,∴2+15a 2≤4+6d ,解得d ≤2,∴a 10≤4+6×2=16.三、解答题14.求和S n=(a+1a )2+(a2+1a2)2+…+(a a+1a a)2(x≠0).x≠±1时,S n=(a+1a )2+(a2+1a2)2+…+(a a+1a a)2=x2+2+1a2+x4+2+1a4+…+x2n+2+1a2a=(x2+x4+…+x2n)+2n+1a2+1a4+…+1a2a=a2(a2a-1)a2-1+a-2(1-a-2a)1−a-2+2n=(a2a-1)(a2a+2+1)a2a(a2-1)+2n.当x=±1时,S n=4n.15.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,a n+1=2+S n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1+log2(a n)2,求证:数列{1a a a a+1}的前n项和T n<16.a n+1=2+S n(n∈N*),所以a n=2+S n-1(n≥2),所以a n+1-a n=S n-S n-1=a n,所以a n+1=2a n(n≥2).又因为a2=2+a1=4,a1=2,所以a2=2a1,所以数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列, 则a n=2·2n-1=2n(n∈N*).(2)证明因b n=1+log2(a n)2,则b n=2n+1.则1a a a a+1=1212a+1−12a+3,所以T n=1213−15+15−17+…+12a+1−12a+3=1 213−12a+3=16−12(2a+3)<16.。

2020届二轮(理科数学) 数列专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）数列专题卷（全国通用）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( B )(A)2n(B)2n+1 (C)2n-1 (D)2n+1解析:由于3=2+1,5=22+1,9=23+1,…,所以通项公式是a n=2n+1,故选B.2.在等差数列{a n}中,若a1=6,a3=2,则a5等于( D )(A)6 (B)4 (C)0 (D)-2解析:由题意d===-2,所以a5=a1+4d=6+4×(-2)=-2.故选D.3.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( B )(A)58 (B)88 (C)143 (D)176解析:S11====88.故选B.4.数列{a n}满足a1=0,a n+1=,则a2 018等于( C )(A)0 (B) (C)1 (D)2解析:因为数列{a n}满足a1=0,a n+1=,所以a2==1,a3==,同理可得a4=2,a5=0,…,所以a n+4=a n,则a2 018=a504×4+2=a2=1.故选C.5.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6等于( A )(A)3×44 (B)3×44+1(C)44 (D)44+1解析:由a n+1=3S n⇒S n+1-S n=3S n⇒S n+1=4S n,故数列{S n}是以首项为1,公比为4的等比数列,故S n=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44.故选A.6.已知递增数列{a n}满足a1=1,|a n+1-a n|=p n,n∈N*.且a1,2a2,3a3成等差数列,则实数p的值为( B )(A)0 (B) (C)或0 (D)3解析:由题意,{a n}是递增数列,|a n+1-a n|=p n,可得a n+1-a n=p n,p>0.因为a1=1,所以a2=1+p,则a3=1+p+p2.因为a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,即4+4p=4+3p+3p2.解得p=或p=0(舍去).故选B.7.已知数列{a n}满足a1=a2=1,-=1,则a6-a5的值为( C )(A)0 (B)18 (C)96 (D)600解析:由题{}为等差数列,即=1+n-1=n,所以a n+1=na n⇒a n=1×2×3×…×(n-1),所以a6-a5=1×2×3×4×5-1×2×3×4=96.故选C.8.已知等比数列{a n}的公比是q,首项a1<0,前n项和为S n,设a1,a4, a3-a1成等差数列,若S k>a1,则正整数k的最大值是( A )(A)4 (B)5 (C)14 (D)15解析:由已知可得2a4=a1+a3-a1⇒q==⇒S k=>a1⇒()k>()5⇒k<5⇒k max=4.故选A.9.{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且a3=b3=a,a6=b6=b,a>b,下列正确的是( D )(A)若ab>0,则a4>b4(B)若a4>b4,则ab>0(C)若ab<0,则(a4-b4)(a5-b5)<0(D)若(a4-b4)(a5-b5)<0,则ab<0解析:由已知得d=,q=()⇒a4-b4=a+-=-,当a>0,b>0⇒>⇒a4-b4>0⇒a4>b4,当a<0,b<0⇒a4<b4,故A错误;取a=1,b=-1⇒a4>b4,而ab<0,故B错误;同理a5-b5=a+2×-a()=-,当a>0,b>0⇒a5>b5,当a<0,b<0⇒a5<b5,取a=8,b=-1⇒a4=5,b4=-4,a5=b5=2⇒(a4-b4)(a5-b5)=0,故C错误.故选D.10.已知数列{a n}是各项均不为0的正项数列,S n为前n项和,且满足2=a n+1,n∈N*,若不等式λ≤2a n+1+8(-1)n对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值为( D )(A)-21 (B)-15 (C)-9 (D)-2解析:由2=a n+1得所以4a n=-,整理得(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,数列{a n}是各项均不为0的正项数列,所以a n-a n-1=2,由2=a n+1,令n=1可得a1=1,所以a n=1+2(n-1)=2n-1,所以S n=n2,不等式λ≤2a n+1+8(-1)n,即λ≤4++,当n为偶数时,λ≤4+,因为4+>4,λ≤4,当n为奇数时,λ≤4-,4-单调递增,n=1时取最小-2,所以λ≤-2,综上可得λ≤-2,所以实数λ的最大值为-2.故选D.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.已知等差数列{a n}中,a10=13,S9=27,则公差d= ,a100= .解析:S9=9a5=27⇒a5=3,d===2,所以a100=a10+90d=13+90×2=193.答案:2 19312.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=3n+t,则a2= ,t= .解析:因为等比数列{a n}的前n项和为S n,S n=3n+t,所以a1=S1=3+t,a2=S2-S1=(9+t)-(3+t)=6,a3=S3-S2=(27+t)-(9+t)=18,因为a1,a2,a3成等比数列,所以=a1a3,即62=(3+t)×18,解得t=-1.答案:6 -113.等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n项和S n取得最大值的正整数n的值是,使前n项和S n>0的正整数n的最大值是.解析:由题意,公差d<0,等差数列{a n}是递减数列,|a3|=|a9|,即a3=-a9,可得a3+a9=0,因为a3+a9=2a6,所以a6=0,所以等差数列{a n}的前5项是正项,第6项为0.则前n项和S n取得最大值的正整数n的值为5或6.又因为S11===0,所以使前n项和S n>0的正整数n的最大值是10.答案:5或6 1014.设S n表示数列{a n}的前n项和,已知=,若{a n}是等比数列,则公比q= ;若{a n}是等差数列,则= .解析:若数列为等比数列,很明显,q≠1,据此有×=,解得q=,若数列为等差数列,由前n项和的性质,设S5=m,S10=3m,则S5=m,S10-S5=2m,S15-S10=3m,S20-S15=4m,所以S20=10m,=.答案:15.《张邱建算经》是我国古代数学著作,大约创作于公元五世纪,书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈,问日益几何?”该题大意是:一女子擅长织布,一天比一天织得快,而且每天增加的量都一样,已知第一天织了五尺,一个月后,共织布390尺,问该女子每天增加尺.(一月按30天计)解析:设题中等差数列的公差为d,由题意,a1=5,n=30,S n=390,所以390=30×5+d,所以d=.答案:16.正项数列{a n},a1=1,前n项和S n满足S n·-S n-1·=2(n≥2),则S n= .解析:因为S n·-S n-1·=2(n≥2),所以-=2(n≥2),又因为S1==1,所以数列{}是首项为1、公差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以S n=(2n-1)2=4n2-4n+1.答案:4n2-4n+117.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n-1,则|a1-18|+|a2-18| +…+|a10-18|= . 解析:因为S n=2a n-1,故当n=1时,a1=S1=2a1-1⇒a1=1,两式相减得a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1,故等比数列的公比为q==2,所以a n=2n-1;由a n=2n-1≥18⇒n≥6,所以|a1-18|+|a2-18|+…+|a10-18|=(18-a1)+…+(18-a5)+(a6-18)+…+ (a10-18)=5×18-(a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10)-5×18=(25+26+…+29)- (20+21+…+24)=961.答案:961三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}第3项和第5项,求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.解:(1)设{a n}的公比为q.由已知得16=2q3,解得q=2,所以a n=a1q n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,设{b n}的公差为d,则有解得从而b n=-16+12(n-1)=12n-28,所以数列{b n}的前n项和S n==6n2-22n.19.(本小题满分15分)设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*,所有项a n>0,且S n=+a n-.(1)证明;{a n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:当n=1时,a1=S1=+a1-,解得a1=3或a1=-1(舍去).当n≥2时,所以a n=S n-S n-1=(+2a n-3)-(+2a n-1-3),所以4a n=-+2a n-2a n-1,即(a n+a n-1)·(a n-a n-1-2)=0,因为a n+a n-1>0,所以a n-a n-1-2=0,所以a n-a n-1=2(n≥2),所以数列{a n}是以3为首项,2 为公差的等差数列.(2)解:由(1)知,a1=3,d=2,所以a n=3+2(n-1)=2n+1.20.(本小题满分15分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n+S n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=3+log4a n,设T n=|b1|+|b2|+…+|b n|,求T n.解:(1)由a n+S n=1,得a n+1+S n+1=1,两式相减,得a n+1-a n+S n+1-S n=0.所以2a n+1=a n,即a n+1=a n.又n=1时,a1+S1=1,所以a1=.又=,所以数列{a n}是首项为,公比为的等比数列.所以a n=a1q n-1=·()n-1=()n.(2)由(1)得b n=3+log4()n=3-=.当n≤6时,b n≥0,T n=b1+b2+…+b n=;当n>6时,b n<0,T n=b1+b2+…+b6-(b7+b8+…+b n)=-[(n-6)()+·(-)]=.综上,T n=21.(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=-4n-1,且a1=1,公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3,b1+b3=10.(1)求证数列{a n}是等差数列,并求其通项公式;(2)若c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解:(1)当n≥2时,4S n-1=-4(n-1)-1,4a n=4S n-4S n-1=--4,=+4a n+4=(a n+2)2,所以a n>0,a n+1=a n+2,则{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.(2)由题意得b1=1,q=3,b n=3n-1,c n==;则前n项和T n=1·+3·()2+5·()3+…+(2n-1)·()n,T n=1·()2+3()3+5·()4+…+(2n-1)·()n+1,相减可得T n=+2[()2+()3+…+()n]-(2n-1)·()n+1=+2·-(2n-1)·()n+1,化简可得前n项和T n=1-(n+1)·()n.22.(本小题满分15分)数列{a n}满足:a1=2,当n∈N*,n>1时,a2+a3+…+a n=4(a n-1-1).(1)求a2,a3,并证明:数列{a n-2a n-1}为常数列;(2)设c n=,若对任意n∈N*,2a<c1+c2+…+c n<10a恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当n=2时,a2=4(a1-1)=4,a2+a3=4(a2-1)⇒a3=8,因为a2+a3+…+a n=4(a n-1-1), ①a2+a3+…+a n-1=4(a n-2-1), ②①-②得,a n=4(a n-1-a n-2),所以a n-2a n-1=2(a n-1-2a n-2)(n>2)因为a2-2a1=2-2×1=0,所以a n-2a n-1=0,故数列{a n-2a n-1}为常数列.(2)由(1)的结论可知a n=2n,a n+1-a n-1=2a n-a n=a n,计算知c1=,c2=,当n≥2时,由c n====··=(-),c1+c2+…+c n=+[(-)+(-)+…+(-)] =+(+)-(+)(对n=1也成立),因为c n>0,所以c1+c2+…+c n≥c1=,又c1+c2+…+c n<+(+)=+(+)=,从而2a<,且10a≥,解得≤a<.故a的取值范围为[,).。

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