11反比例函数及其应用

第11讲反比例函数及其应用一、选择题1．(2017·郴州)已知反比例函数y＝kx的图象过点A(1，－2)，则k的值为(C) A．1 B．2 C．－2 D．－12．反比例函数y＝－32x中常数k为(D)A．－3 B．2C．－12D．－323．(2017·广东) 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝k2x(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(A)A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2)4．(2017·潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝a－bx，其中ab<0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(C)5．反比例函数y＝1－kx图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(A)A．k>1 B．k>0 C．k<1 D．k<06．(2017·天津)若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(B)A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y3<y2<y1D．y2<y1<y37．(2017·徐州)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝mx(m≠0)的图象相交于点A(2,3)，B(－6，－1)，则不等式kx＋b>mx的解集为(B)A．x<－6B．－6<x<0或x>2C．x>2D．x<－6或0<x<2第7题图第8题图8．(2017·阜新)在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝kx(x＜0)图象上的一点，分别过点P作P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若四边形P AOB的面积为6，则k的值是(D)A．12 B．－12 C．6 D．－69．(2017·长春) 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A的坐标为(－4,0)，顶点B在第二象限，∠BAO＝60°，BC交y轴于点D，DB∶DC＝3∶1.若函数y＝kx(k>0，x>0)的图象经过点C，则k的值为(D)A.33 B.32 C.233 D. 3第9题图第10题图10．(2017·海南) 如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,2)，C(4,4)．若反比例函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(C)A．1≤k≤4 B．2≤k≤8C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 二、填空题11．(2017·绥化) 已知反比例函数y＝6x，当x＞3时，y的取值范围是0＜y＜2.12．(2017·西宁) 如图，点A在双曲线y＝3x(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为3＋1.第12题图第13题图13．(2017·毕节)如图，已知一次函数y＝kx－3(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝12x(x＞0)交于C点，且AB＝AC，则k的值为3 2.14．(2017·绍兴)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝kx(x>0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2.若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为(4,1).15．(2017·黔东南州)如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝－2x和y2＝kx的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为－8.第15题图第16题图16．(2017·盐城) 如图，曲线l 是由函数y ＝6x 在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A (－42，42)，B (22，22)的直线与曲线l 相交于点M ，N ，则△OMN 的面积为 8 . 三、解答题17．(2017·百色)已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象经过点B (3,2)，点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D .(1)求这个反比例函数的解析式； (2)求△ACD 的面积．解：(1)将B (3,2)代入反比例函数的解析式中， 得k3＝2， 解得k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝6x ；(2)由B (3,2)，点B 与点C 关于原点O 对称，得C (－3，－2)． 由BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D ， 得A (3,0)，D (－3,0)．∴S △ACD ＝12AD ·CD ＝12[3－(－3)]×|－2|＝6.18．(2017·北京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝k x (x ＞0)的图象与直线y＝x－2交于点A(3，m)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x－2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝kx(x＞0)的图象于点N.①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．解：(1)将点A(3，m)代入直线y＝x－2，得m＝3－2＝1，∴点A的坐标为(3,1)．将点A(3,1)代入反比例函数y＝kx，得1＝k3，解得k＝3；(2)①PM＝PN.理由如下：当n＝1时，P(1,1)．将y＝1代入y＝x－2中，得x＝3，∴M(3,1)，PM＝2.将x＝1代入y＝3x中，得y＝3，∴N(1,3)，PN＝2，∴PM＝PN；②0＜n≤1或n≥3.19．(2017·大连) 如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝kx经过▱ABCD的顶点B，D.点D的坐标为(2,1)，点A在y轴上，且AD∥x轴，S▱ABCD＝5.(1)填空：点A的坐标为__________；(2)求双曲线和AB所在直线的解析式．解：(1)(0,1)；(2)设BC与y轴相交于点E，如解图所示．∵双曲线y＝kx经过点D(2,1)，∴k＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为y＝2 x.∵D(2,1)，AD∥x轴，∴AD＝2.∵S▱ABCD＝5，∴AE＝5 2，∴OE＝3 2，∴B点的纵坐标为－3 2.把y＝－32代入y＝2x中，得－32＝2x，解得x＝－4 3.∴B(－43，－32)．设AB所在直线的解析式为y＝ax＋b，把A (0,1)，B (－43，－32)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，－43a ＋b ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝158，b ＝1.∴AB 所在直线的解析式为y ＝158x ＋1.一、选择题1．(2017·凉山州)已知抛物线y ＝x 2＋2x －m －2与x 轴没有交点，则函数y ＝mx 的大致图象是( C )2. 如图所示，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，2OB ＝3OA ，点A 在反比例函数y ＝2x 的图象上，若点B 在反比例函数y ＝kx 的图象上，则k 的值为( C )A ．3B ．－3C ．－92D ．－94第2题图 第3题图3．(2017·威海)如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(－4,0)，点B 在y 轴上，若反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为( A )A．y＝3x B．y＝4xC．y＝5x D．y＝6x4．(2017·怀化)如图，A，B两点在反比例函数y＝k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y＝k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是(D)A．6 B．4C．3 D．2第4题图第5题图5．(2017·十堰) 如图，直线y＝3x－6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC·BD＝43，则k的值为(A)A．－3 B．－4 C．－5 D．－6二、填空题6．(2017·孝感)如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过A，B两点．若点A的坐标为(n,1)，则k的值为5－12.第6题图第7题图7．(2017·商丘一模)已知双曲线y＝3x和y＝kx的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A，B.若CB＝2CA，则k＝－6.8．(2017·湖州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是377或15 5.三、解答题9．(2017·深圳)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点A(2,4)，B(a,1)，与x轴，y轴分别交于点C，D.(1)直接写出一次函数y＝kx＋b的表达式和反比例函数y＝mx(x＞0)的表达式；(2)求证：AD＝BC.(1)解：一次函数的表达式为y＝－12x＋5，反比例函数的表达式为y＝8 x；(2)证明：∵直线AB的表达式为y＝－12x＋5，∴C(10,0)，D(0,5)．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如解图所示．∴E (0,4)，F (8,0)，∴AE ＝2，DE ＝1，BF ＝1，CF ＝2.在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得AD ＝AE 2＋DE 2＝ 5. 在Rt △BCF 中，根据勾股定理，得 BC ＝CF 2＋BF 2＝ 5. ∴AD ＝BC .10．(2017·重庆A 卷) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第一、三象限内的A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为点M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接MC ，求四边形MBOC 的面积．解：(1)由题意可得，BM ＝OM ，OB ＝22， ∴BM ＝OM ＝2，∴点B 的坐标为(－2，－2)．将B (－2，－2)代入反比例函数的解析式y ＝kx (k ≠0)中， 得－2＝k－2，解得k ＝4. ∴反比例函数的解析式为y ＝4x .∵点A 的纵坐标是4， ∴4＝4x ，解得x ＝1， ∴点A 的坐标为(1,4)．∵一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象过点A (1,4)，B (－2，－2)， ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，－2m ＋n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2.∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2； (2)∵直线y ＝2x ＋2与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,2)． ∴OC ＝2，∴S 四边形MBOC ＝OM ·OC 2＋OM ·MB 2 ＝2×22＋2×22＝4.11．(2017·江西) 如图，直线y ＝k 1x (x ≥0)与双曲线y ＝k 2x (x ＞0)相交于点P (2,4)．已知点A (4,0)，B (0,3)，连接AB ，将Rt △AOB 沿OP 方向平移，使点O 移动到点P ，得到△A ′PB ′.过点A ′作A ′C ∥y 轴交双曲线于点C . (1)求k 1与k 2的值； (2)求直线PC 的表达式； (3)直接写出线段AB 扫过的面积．解：(1)将点P (2,4)代入直线y ＝k 1x 中，得4＝2k 1， ∴k 1＝2.把点P (2,4)代入双曲线y ＝k 2x 中，得k 2＝2×4＝8； (2)∵A (4,0)，B (0,3)，∴AO ＝4，BO ＝3.延长A ′C 交x 轴于点D ，如解图所示． 由平移的性质可得，A ′P ＝AO ＝4. 又∵A ′C ∥y 轴，P (2,4)， ∴点C 的横坐标为2＋4＝6. 当x ＝6时，y ＝86＝43，即C (6，43)． 设直线PC 的表达式为y ＝kx ＋b ， 将P (2,4)，C (6，43)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2k ＋b ，43＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝163.∴直线PC 的表达式为y ＝－23x ＋163； (3)22.【提示】 延长A ′C 交x 轴于点D ，过B ′作B ′E ⊥y 轴于点E ，连接AA ′， BB ′，如解图所示．由平移的性质可得，A ′P ∥AO . 又∵A ′C ∥y 轴，P (2,4)，∴点A ′的纵坐标为4，即A ′D ＝4. ∵PB ′∥y 轴，P (2,4)，∴点B ′的横坐标为2，即B ′E ＝2. 由平移的性质可得，△AOB ≌△A ′PB ′，∴平行四边形ABB ′A ′的面积＝平行四边形POBB ′的面积＋平行四边形 AOP A ′的面积＝BO ·B ′E ＋AO ·A ′D ＝3×2＋4×4＝22. 即线段AB 扫过的面积为22.12．(2017·宁夏)直线y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象分别交于点A (m,3)和点B (6，n )，与坐标轴分别交于点C 和点D . (1)求直线AB 的解析式；(2)若点P 是x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点P 的坐标．解：(1)∵y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象分别交于点A (m,3)和点 B (6，n )， ∴m ＝2，n ＝1， ∴A (2,3)，B (6,1)．将A (2,3)，B (6,1)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝3，6k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝4.∴直线AB 的解析式为y ＝－12x ＋4；(2) ∵△COD 与△ADP 相似，∠COD ＝90°，∴有∠APD ＝90°和∠P ′AD ＝90°两种情况，如解图所示． ①当∠APD ＝90°时，x P ＝x A ，∴P (2,0)；②当∠P ′AD ＝90°时，∵直线AB 的解析式为y ＝－12x ＋4， ∴直线P ′A 的解析式为y ＝2x －1. 在y ＝2x －1中，令y ＝0，解得x ＝12， ∴P ′(12，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2,0)或(12，0)．13．(2017·张掖)已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内的P (12，8)，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．解：(1)把点P (12，8)代入y ＝k 2x 中，得k 2＝4， ∴反比例函数的表达式为y ＝4x ， ∴Q (4,1)．把P (12，8)，Q (4,1)代入y ＝k 1x ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎨⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9; (2)点P 关于原点的对称点P ′的坐标为(－12，－8)； (3)过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，如解图所示．∵P ′(－12，－8)， ∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵直线y ＝－2x ＋9与x 轴交于点A ， ∴A (92，0)，即OA ＝92， ∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989， ∴sin ∠P ′AO ＝88989.。