北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何抛物线教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.２．理解数形结合思想.３．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

１．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F ）的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．

２．抛物线的标准方程与几何性质

标准y２＝２px（p>0）y２＝—２px

（p>0）

x２＝２py（p>0）

x２＝—２py

（p>0）

方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点O（0,0）

对称轴y＝0x＝0

焦点F错误!F错误!F错误!F错误!

离心率e＝１

准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!

范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

焦半径

（其中

P（x0，

y0））

|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!

１．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.

２．设AB是过抛物线y２＝２px（p＞0）焦点F的弦，若A（x１，y１），

B（x２，y２），则

（１）x１x２＝错误!，y１y２＝—p２.

（２）弦长|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（α为弦AB的倾斜角）．

（３）以弦AB为直径的圆与准线相切．

（４）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于２p，通径是过焦点最短的弦．

[基础自测]

１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．

（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）

（３）若一抛物线过点P（—２,３），则其标准方程可写为y２＝２px（p＞0）．（）

（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）

[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×

２．抛物线y＝错误!x２的准线方程是（）

Ａ．y＝—１Ｂ．y＝—２

Ｃ．x＝—１Ｄ．x＝—２

A[∵y＝错误!x２，∴x２＝４y，∴准线方程为y＝—１．]

３．（教材改编）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（—４，—２）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—xＢ．x２＝—8y

Ｃ．y２＝—8x或x２＝—yＤ．y２＝—x或x２＝—8y

D[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x２＝my，由题意可知１6＝—２m，∴m＝—8，即x２＝—8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y２＝nx，由题意，得４＝—４n，∴n＝—１，

∴y２＝—x.

综上知，y２＝—x或x２＝—8y.故选Ｄ．]

４．（教材改编）若抛物线y＝４x２上的一点M到焦点的距离为１，则点M的纵坐标是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．0

B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝—错误!，设M（x，y），则y＋错误!

＝１，∴y＝错误!.]

５．（教材改编）过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|等于________．

8 [|PQ|＝x１＋x２＋p＝6＋２＝8．]

抛物线的定义及应用

【例１】（１）已知F是抛物线y２＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝３，则线段AB的中点到y轴的距离为（）

Ａ．错误!Ｂ．１

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

（２）已知抛物线y２＝２x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，A（３,２），则|PA|＋|PF|的最小值为________，取最小值时点P的坐标为________．

（１）C（２）错误!（２,２）[（１）如图所示，设抛物线的准线为l，

AB的中点为M，作AA１⊥l于A１，BB１⊥l于B１，MM１⊥l于M１，由抛物线的定

义知p＝错误!，|AA１|＋|BB１|＝|AF|＋|BF|＝３，则点M到y轴的距离为|MM１|—

错误!＝错误!（|AA１|＋|BB１|）—错误!＝错误!.故选Ｃ．

（２）将x＝３代入抛物线方程y２＝２x，得y＝±错误!.因为错误!＞２，所

以点A在抛物线内部，如图所示．

过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，

当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，

最小值为错误!，即|PA|＋|PF|的最小值为错误!，此时点P的纵坐标为２，代

入y２＝２x，得x＝２，所以所求点P的坐标为（２,２）．]

[规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点

（１）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．

（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋错误!或|PF|＝|y0|＋错误!.

（２）（２0１7· 全国卷Ⅱ）已知F是抛物线C：y２＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

（１）y２＝４x（２）6 [（１）设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（１,0）的距离与到直线x＝—１的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y ２＝

４x.

（２）如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过

点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

由题意知，F（２,0），|FO|＝|AO|＝２．

∵点M为FN的中点，PM∥OF，

∴|MP|＝错误!|FO|＝１．

又|BP|＝|AO|＝２，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝３．

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝３，故|FN|＝２|MF|＝6．]

抛物线的标准方程及其性质

【例２】（１）如图所示，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线依

次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝４，则抛物线的方程

为（）

Ａ．y２＝8x

Ｂ．y２＝４x

Ｃ．y２＝２x

Ｄ．y２＝x

（２）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y２＝４x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为１２0°，那么|PF|＝________.

（１）B（２）４[（１）如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于

点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由定义得|BD|

＝a，故∠BCD＝３0° ，则在R t△ACE中，２|AE|＝|AC|，又|AF|＝４，∴|AC|＝４