北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何抛物线教学案理解析版

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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节抛物线学案文北师大版

第六节抛物线[考纲传真] 1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．(对应学生用书第123页)[基础知识填充]1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的集合叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质[知识拓展]1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的集合一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516 C ．78D ．0B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.]3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.]4．(2018·大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)B [抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．9 [设点M 的横坐标为x 0，则点M 到准线x ＝－1的距离为x 0＋1，由抛物线的定义知x 0＋1＝10，∴x 0＝9， ∴点M 到y 轴的距离为9.](对应学生用书第124页)0y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为__________．【导学号：00090304】(1)A (2)2 [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14. 设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由y 2＝4x ，知p ＝2，焦点F (1,0)，准线x ＝－1. 根据抛物线的定义，|AF |＝|AC |＋1，|BF |＝|BD |＋1. 因此|AC |＋|BD |＝|AF |＋|BF |－2＝|AB |－2.所以|AC |＋|BD |取到最小值，当且仅当|AB |取得最小值，又|AB |＝2p ＝4为最小值．故|AC |＋|BD |的最小值为4－2＝2.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________．(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，则|PA |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________．(1)5 (2)(2,2)[(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．连接AF 交抛物线于点P ，此时最小值为 |AF |＝[1－－2＋－2＝ 5.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l时，|PA |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．](1)( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2(1)D (2)D [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1ay .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y . (2)由抛物线C ：y 2＝4x 知p ＝2. ∴焦点F (1,0)．又曲线y ＝kx(k >0)与曲线C 交于点P ，且PF ⊥x 轴． ∴P (1,2)，将点P (1,2)代入y ＝k x，得k ＝2][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2018·郑州模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( ) 【导学号：00090305】 A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2018·西安模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．(1)B (2)322 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2，将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标为y ＝22，所以A (2,22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322.]角度1 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 2分故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0, 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).8分代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2. 8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0). 10分故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5. 12分[规律方法] 1.抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．。

北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何双曲线教学案理解析版

[考纲传真] １．了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.２．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.３．理解数形结合思想.４．了解双曲线的简单应用．１．双曲线的定义（１）平面内到两定点F１，F２的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于|F１F２|）的点的集合叫作双曲线．这两个定点F１，F２叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．（２）集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．１当２a<|F１F２|时，M点的轨迹是双曲线；２当２a＝|F１F２|时，M点的轨迹是两条射线；３当２a>|F１F２|时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）错误!—错误!＝１（a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤—a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）错误!１．双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为错误!.２．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．３．已知双曲线错误!—错误!＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0），求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内到点F１（0,４），F２（0，—４）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（２）方程错误!—错误!＝１（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（）（３）双曲线错误!—错误!＝λ（m>0，n>0，λ≠0）的渐近线方程是错误!—错误!＝0，即错误!±错误!＝0．（）（４）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!. （）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√２．双曲线３x２—y２＝１的渐近线方程是（）Ａ．y＝±３xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xC[由３x２—y２＝0得y＝±错误!x.故选Ｃ．]３．（教材改编）若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．５Ｃ．错误!Ｄ．２A[由题意可知b＝２a，∴e＝错误!＝错误!＝错误!，故选Ａ．]４．若双曲线E：错误!—错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，点P在双曲线E上，且|PF１|＝３，则|PF２|等于（）Ａ．１１Ｂ．9Ｃ．５Ｄ．３B[由题意知a＝３，b＝４，∴c＝５．由双曲线的定义||PF１|—|PF２||＝|３—|PF２||＝２a＝6，∴|PF|＝9．]２５．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦距为２错误!，且双曲线的一条渐近线与直线２x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．错误!—y２＝１[由题意可得错误!解得a＝２，b＝１，所以双曲线的方程为错误!—y＝１．]双曲线的定义及其应用【例１】（１）已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M同时与圆C１及圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．（２）已知F１，F２为双曲线C：x２—y２＝２的左、右焦点，点P在C上，|PF１|＝２|PF２|，则cos∠F １PF２＝________.（１）x２—错误!＝１（x≤—１）（２）错误![（１）如图所示，设动圆M 与圆C１及圆C２分别外切于点A和B．根据两圆外切的条件，得|MC１|—|AC１|＝|MA|，|MC２|—|BC２|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC１|—|AC１|＝|MC２|—|BC２|，即|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝２，所以点M到两定点C１，C２的距离的差是常数且小于|C１C２|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C２的距离大，与C１的距离小），其中a＝１，c＝３，则b２＝8．故点M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．（２）因为由双曲线的定义有|PF１|—|PF２|＝|PF２|＝２a＝２错误!，所以|PF１|＝２|PF２|＝４错误!，所以cos∠F１PF２＝错误!＝错误!＝错误!.][母题探究] （１）将本例（２）中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“∠F１PF２＝60°”，则△F１PF２的面积是多少？（２）将本例（２）中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“错误!·错误!＝0”，则△F１PF２的面积是多少？[解] （１）不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，在△F１PF２中，由余弦定理，得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!，∴|PF１|·|PF２|＝8，∴S△F１PF２＝错误!|PF１|·|PF２|·sin 60°＝２错误!.（２）不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!，∴在△F１PF２中，有|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，即|PF１|２＋|PF２|２＝１6，∴|PF１|·|PF２|＝４，∴S△F１PF２＝错误!|PF１|·|PF２|＝２．（１）方程错误!—错误!＝１２的化简结果为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１（x＞0）Ｄ．错误!—错误!＝１（x＞0）（２）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于________．（１）C（２）１7 [（１）设F１（—１0,0），F２（１0,0），动点P（x，y），则由题意可知|PF１|—|PF２|＝１２，又|F１F２|＝２0，∴动点P的轨迹是以F１，F２为焦点的双曲线的右支．又２a＝１２,２c＝２0，∴a＝6，c＝１0，b＝8．即所求方程为错误!—错误!＝１（x＞0）．（２）由题意知|PF１|＝9＜a＋c＝１0，所以P点在双曲线的右支，则有|PF２|—|PF１|＝２a＝8，故|PF２|＝|PF１|＋8＝１7．]双曲线的标准方程【例２】（１）（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１（２）已知双曲线过点（２,３），渐近线方程为y＝±错误!x，则该双曲线的标准方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．x２—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１（１）C（２）C[（１）由d１＋d２＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为３，所以b＝３．因为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２，所以错误!＝４，所以错误!＝４，解得a２＝３，所以双曲线的方程为错误!—错误!＝１，故选Ｃ．（２）因为双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x, 即错误!＝±x.所以可设双曲线的方程是x２—错误!＝λ（λ≠0），将点（２,３）代入，得λ＝１，所以该双曲线的标准方程为x２—错误!＝１，故选Ｃ．][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法（１）定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a２，b２，得双曲线方程．（２）待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１（２）已知点A（—１,0），B（１,0）为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为１２0°，则该双曲线的标准方程为（）Ａ．x２—错误!＝１Ｂ．x２—错误!＝１Ｃ．x２—错误!＝１Ｄ．x２—y２＝１（１）B（２）D[（１）由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）由题意知a＝１．不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝２，∠ABM＝１２0°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝１，|MN|＝错误!，所以M（２，错误!），代入双曲线方程得４—错误!＝１，解得b＝１，所以双曲线的方程为x２—y２＝１，故选Ｄ．]双曲线的几何性质►考法１双曲线的离心率问题【例３】（２0１8·广州一模）如图，在梯形ABCD中，已知|AB|＝２|CD|，错误!＝错误!错误!，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．３Ｄ．错误!A[如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则由梯形的性质与双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．设A（—c,0），则B（c,0），C错误!（其中h为梯形的高），因为错误!＝错误!错误!，所以x E＝—错误!c，y E＝错误!h.设双曲线的方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），因为点C，E在双曲线上，则错误!解得错误!＝7，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ａ．]►考法２双曲线的渐近线问题【例４】（２0１9·福州模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这４条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±２xA[由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为２b，由勾股定理得４条直线与y轴的交点到x轴的距离为错误!＝错误!，又４条直线分别与两条渐近线平行，所以错误!＝错误!，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±１，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选Ａ．]►考法３双曲线几何性质的综合应用【例５】（１）（２0１9·福州模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）（２）已知双曲线C１：错误!—y２＝１，双曲线C２：错误!—错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点M在双曲线C２的一条渐近线上，且OM⊥MF２（O为坐标原点），若S△OMF２＝１6，且双曲线C１，C２的离心率相同，则双曲线C２的实轴长为（）Ａ．３２Ｂ．１6Ｃ．8 Ｄ．４（１）C（２）B[（１）∵双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意，得错误!＞２，∴e ＝错误!＝错误!＞错误!＝错误!，即双曲线离心率的取值范围为（错误!，＋∞）．（２）双曲线C１：错误!—y２＝１的离心率为错误!，设F２（c,0），双曲线C２的一条渐近线方程为y＝错误!x，可得|MF２|＝错误!＝b，|OM|＝错误!＝a.由S△OMF２＝１6，可得错误!ab＝１6，即ab＝３２．又a２＋b２＝c２，且错误!＝错误!，得a＝8，b＝４，c＝４错误!，所以双曲线C２的实轴长为１6．] [规律方法] 与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x—２）２＋（y—１）２＝１相切，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）若实数k满足0＜k＜9，则曲线错误!—错误!＝１与曲线错误!—错误!＝１的（）Ａ．焦距相等Ｂ．实半轴长相等Ｃ．虚半轴长相等Ｄ．离心率相等（３）已知双曲线C１，C２的焦点分别在x轴、y轴上，渐近线方程为y＝±错误!x（a＞0），离心率分别为e１，e２，则e１＋e２的最小值为________．（１）B（２）A（３）２错误![（１）双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，与圆相切的只能是直线by—ax＝0，则错误!＝１，化简得３a＝４b，所以9a２＝１6b２＝１6（c２—a２），e２＝错误!，故e＝错误!，故选Ｂ．（２）∵0＜k＜9，∴9—k＞0,２５—k＞0．∴错误!—错误!＝１与错误!—错误!＝１均表示双曲线，又２５＋（9—k）＝３４—k＝（２５—k）＋9，∴它们的焦距相等，故选Ａ．（３）e１＋e２＝错误!＋错误!＝错误!·错误!≥错误!×错误!＝２错误!，当且仅当a＝１时取等号，故e１＋e２的最小值是２错误!.]１．（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xA[法一：由题意知，e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，所以b＝错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．法二：由e＝错误!＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x ＝±错误!x，故选Ａ．]２．（２0１8·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—y２＝１，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）Ａ．错误!Ｂ．３Ｃ．２错误!Ｄ．４B[因为双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝错误!x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（２,0），所以直线MN的方程为y＝—错误!（x—２），由错误!得错误!所以M错误!，所以|OM|＝错误!＝错误!，所以|MN|＝错误!|OM|＝３，故选Ｂ．]３．（２0１6·全国卷Ⅰ）已知方程错误!—错误!＝１表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为４，则n的取值范围是（）Ａ．（—１,３）Ｂ．（—１，错误!）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0，错误!）A[若双曲线的焦点在x轴上，则错误!又∵（m２＋n）＋（３m２—n）＝４，∴m２＝１，∴错误!∴—１<n<３．若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，即错误!即n>３m２且n<—m２，此时n不存在．故选Ａ．]４．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．错误![如图，由题意知点A（a,0），双曲线的一条渐近线l的方程为y＝错误!x，即bx—ay＝0，∴点A到l的距离d＝错误!.又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝错误!MA＝错误!b，即错误!＝错误!b，∴a２＝３b２，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.]５．（２0１５·全国卷Ⅰ）已知F是双曲线C：x２—错误!＝１的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6错误!）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．１２错误![由双曲线方程x２—错误!＝１可知，a＝１，c＝３，故F（３,0），F１（—３,0）．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|—|PF１|＝２，所以|PF|＝|PF１|＋２，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF１|＋２＋|AF|.因为|AF|＝错误!＝１５为定值，所以当（|AP|＋|PF１|）最小时，△APF的周长最小，由图像可知，此时点P在线段AF１与双曲线的交点处（如图所示）．由题意可知直线AF１的方程为y＝２错误!x＋6错误!，由错误!得y２＋6错误!y—96＝0，解得y＝２错误!或y＝—8错误!（舍去），所以S△APF＝S△AF１F—S△PF１F＝错误!×6×6错误!—错误!×6×２错误!＝１２错误!.]。

高考数学一轮复习高考大题增分课5平面解析几何中的高考热点问题教学案理含解析北师大版

五平面解析几何中的高考热点问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一圆锥曲线中的几何证明一般包括两大方面：一是位置关系的证明，如证明相切、垂直、＋＋－－1)代入x22＋y 2＝1得4＝的斜率之积为y1x1·y2x2＋＋(4，－2)，因此圆锥曲线中的最值与取值范围问题是高考中的常考题型，以解答题为主，难度一般较大，－，＋y23＝1，＋.·····························4k2＋3过点B(1,0)＋－⎭⎪⎫6m ＋42－4×－93m2＋圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要结－3，＝－＋.＝2×－＋，解得≠3，i＝1,2，所以当直线＋－1，4x，得y2＋4ky＋－，则|y1－y2|＝1 2 |－＋＋⎝y2＋－⎭⎪⎫＋t －32(x 2－1)＋(x 1＋＝＋＞＋x2＝－4k 1＋2k2，－＋＋＋x1＋x2－，＋2k2)x2－8k－x1－1＋－x2－1＝＋＋－＋＋12kx1x2－3k(x1＋x＋－＋8－16k21＋2k2·1＋k2，＋＝2k2＋1∈(1,2)，，即k＝±。

高考数学统考一轮复习第八章平面解析几何第六节抛物线(教师文档)教案文北师大版

学习资料第六节抛物线授课提示：对应学生用书第164页［基础梳理］1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1)在平面内．(2）与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3）l 不经过点F 。

2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px （p 〉0） y 2＝－2px （p >0) x 2＝2py （p >0) x 2＝－2py (p 〉0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0（x 轴） x ＝0(y 轴)焦点 F 错误! F 错误!F 错误!F 错误!离心率 e ＝1准线方程 x ＝－错误! x ＝p 2y ＝－错误! y ＝错误! 范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0，x ∈R 焦半径（其中P （x 0，y 0））｜PF ｜＝x 0＋错误!|PF |＝－x 0＋错误!|PF ｜＝y 0＋错误!｜PF |＝－y 0＋错误!焦点弦性质设AB 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0)焦点F 的弦，若A （x 1,y 1），B （x 2，y 2)，则 (1）x 1x 2＝错误!，y 1y 2＝－p 2。

（2）弦长｜AB ｜＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α（α为弦AB 的倾斜角）．(3）错误!＋错误!＝错误!。

(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．（6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p 。

[四基自测]1．（基础点：抛物线定义）若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ） A.错误! B ．错误! C.错误! D ．0 答案：B2．(基础点：求抛物线标准方程）以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P （1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4x D 。

高考数学一轮复习第九章解析几何课时53 抛物线的定义与标准方程学案文北师大版

课时53 抛物线的定义和标准方程（课前预习案）班级：姓名：一、高考考纲要求1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观.并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、高考考点回顾1.抛物线的定义：平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）_________________的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫抛物线的_______________，直线l 叫做抛物线的_____________.（1）如图，P 为以F 为焦点，l 为准线的抛物线上任意一点，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，则有 . （2）集合表示：{|||}M l P M MF d -==（3）注意问题：定点F 与定直线l 的位置关系.思考：若F l ∈，则动点的轨迹为 . 2.抛物线的标准方程三课前检测1.平面内到点(1,1)A 的距离与到直线20x y +-=的距离相等的点的轨迹为（）图形标准方程焦点准线归类总结方程焦点与准线焦点在x轴上焦点在x轴上lA.抛物线B.圆C.椭圆D.直线2.已知动圆C 与圆22:240A x y x y +++=相外切，且与直线230x y ++=相切，则圆心C 的轨迹为（） A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线3. 抛物线2y x =的准线方程是（）A.014=+xB.014=+yC.012=+xD.012=+y4.抛物线214x y =的焦点坐标为( ) A.)1,0( B.)0,1( C.)2,0( D.)0,2(课内探究案考点一有关抛物线的定义【典例1】若点P 到F （3，0）的距离比它到直线40x +=的距离少1，求动点P 的轨迹方程.【变式1】若动圆与圆22(2)1x y -+=外切，又与直线 x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A.28y x = B.28y x =- C.24y x = D.24y x =-考点二、求焦点或准线【典例2】已知抛物线方程为23x y =,求其焦点坐标和准线方程.【变式2】求2(0)ay x a =≠的焦点坐标和准线方程.考点三、抛物线标准方程的求法【典例3】分别求适合下列条件的抛物线标准方程. （1）过点（-3，2）；（2）焦点在直线240x y --=上.【变式3】分别求适合下列条件的抛物线标准方程（1）焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点；（2）焦点在x 轴上，且抛物线上的点(3,)P a -到焦点的距离等于5.【当堂检测】1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a 2.抛物线21x m y =（m ≠0）的焦点坐标是（） (A ) （0，4m ）或（0，4m -）；(B) （0，4m）(C) （0，m 41）或（0，m 41-）；(D) （0，m41）3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F (0,3)，(2)焦点到准线的距离是2.4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ；(2)x 2+8y =0.5.点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程.课后巩固案班级：姓名：完成时间：30分钟1. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )A.)1,0(B.)0,1(C.)2,0(D.)0,2(2. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．43. 在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.2B.1C.12D.4 4. 一个动圆的圆心在抛物线28y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切,则动圆必过定点( ) A.(02)，B.(02)-，C.(20)，D.(40)，5. 圆心在抛物线)0(22>=y x y 上,并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A.041222=---+y x y x B.01222=+-++y x y x C.01222=+--+y x y x D.041222=+--+y x y x6. 抛物线x y 42=上的点p 到抛物线的准线的距离为1d ,到直线0943=+-y x 的距离为2d ,则21d d +的最小值为( ) A.5 B.56 C.2 D.1251.如图，南北方向的公路l ，A 地在公路的正东方2km 处，B 地在A 地北偏东060方向处，河流沿河岸PQ (曲线)上任一点到公路l 和到A 地距离相等.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向,A B 两地转运货物，经测算从M 到A ，M 到B 修建公路的费用均为a 万元/km ，那么修建两条公路的总费用最低是( )(A)(2a 万元(B)1)a 万元 (C)5a 万元 (D)6a 万元2. 若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点,则实数a =__________3. 已知P 为抛物线24y x =上任一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点(4,5)A ，则||PA d +的最小值为 .4.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为3(2.求抛物线与双曲线的方程.参考答案课前检测 1.D 2.A 3.B 4.B【典例1】212y x =. 【变式1】A【典例2】焦点为1(0,)12F ，准线为1:12l y =-. 【变式2】焦点为1(,0)4F a ，准线为1:4l x a =-.【典例3】（1）243y x =-或292x y =；（2）216y x =或28x y =-.【变式3】（1）212y x =-；（2）28y x =-.【当堂检测】 1.A 2.B3.（1）212x y =；（2）24x y =±或24y x =±.4.（1）(5,0),:5F l x =-；（2）(0,2),:2F l y -=.5.232x y =.1.B2.D3.A4.C5.D6.D1.C2.1-14.24y x =；2211344x y -=.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-6抛物线学案理含解析北师大版

第六节抛物线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第181页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．•温馨提醒•抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．4个〖解析〗设P（x1，y1），则|PF|＝x1＋2＝5，y21＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26．故满足条件的点P有两个．〖答案〗C2．（易错题）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．〖解析〗抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．〖答案〗6知识点二抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px（p >0）y 2＝－2px （p >0）x 2＝2py （p >0）x 2＝－2py （p >0）p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O （0，0）对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1续表准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x 0，y 0）） |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p 2• 温馨提醒 •抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的弦，若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则：（1）x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2．（2）弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α（α为弦AB 的倾斜角）．（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切．（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ．1．（易错题）抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为（）A ．14B ．－14C ．4D ．－4〖解析〗由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14．〖答案〗B2．过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是（） A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y〖解析〗设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ．〖答案〗A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝_________．〖解析〗抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．〖答案〗8授课提示：对应学生用书第182页题型一抛物线的标准方程及几何性质1．（2021·宜春联考）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，圆M 与y 轴相切，且被直线x ＝p 2截得的弦长为2p ，若|MF |＝52，则抛物线的方程为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝x〖解析〗设圆M 与y 轴相切于点N ，直线x ＝p2与圆M 交于A ，B 两点，如图所示，设M （x 0，y 0），则|MN |＝|MA |＝|MB |＝x 0，|AB |＝2p ，所以⎝⎛⎭⎫22p 2＋⎝⎛⎭⎫x 0－p 22＝x 20，解得x 0＝34p ，由抛物线的定义知，|MF |＝x 0＋p 2，因为|MF |＝52，所以52＝34p ＋12p ，即p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ．〖答案〗A2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝（） A ．72B ．52C ．3D ．2〖解析〗因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34．如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34．所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3．〖答案〗C3．（2021·辽宁五校联考）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为（） A ．22B ． 2C ．322D ．3 2〖解析〗如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F （1，0），因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝⎛⎭⎫12，2，所以N （－1，2），M （0，22），所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322．〖答案〗C4．（2020·高考全国卷Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（） A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．（1，0）D ．（2，0）〖解析〗法一：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2p ），（2，－2p ）．不妨设D （2，2p ），E （2，－2p ），则OD →＝（2，2p ），OE →＝（2，－2p ）．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．法二：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D （2，2），将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．〖答案〗B1．求抛物线方程的三个注意点（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．题型二抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题．〖例1〗（2021·赣州模拟）若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为（） A ．（0，0） B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．（1，2）D ．（2，2）〖解析〗过M 点作准线的垂线，垂足是N （图略），则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M （2，2）．〖答案〗 D考法（二）点与准线的距离之和最小问题〖例2〗（2021·邢台摸底）已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：（x ＋1）2＋（y －5）2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是_________．〖解析〗依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1（图略），则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C （－1，5）到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5．〖答案〗 5考法（三）焦点弦中距离之和最小问题〖例3〗已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为_________．〖解析〗由题意知F （1，0），|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值，依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2．〖答案〗 2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．〖题组突破〗1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是_________．〖解析〗由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为（1，0），则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2．〖答案〗22．（2021·上海虹口区模拟）已知点M （20，40），抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ．若对于抛物线上的任意点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于_________．〖解析〗过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |．根据点M 与抛物线的位置分类讨论，当点M （20，40）位于抛物线内时，如图（1），|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |．当点M ，P ，D 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42．当点M （20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P ，M ，F 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p 22＝41，解得p ＝22或58．当p ＝58时，y 2＝116x ，点M （20，40）在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或22．〖答案〗42或22题型三直线与抛物线的位置关系〖例〗（2019·高考全国卷Ⅲ）已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．〖解析〗（1）证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A （x 1，y 1），则x 21＝2y 1．因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1．整理得2tx 1－2y 1＋1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0．所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．（2）由（1）得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12．由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0．于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t （x 1＋x 2）＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（t 2＋1）．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1．因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |（d 1＋d 2）＝（t 2＋3）t 2＋1．设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12．因为EM →⊥AB →，而EM →＝（t ，t 2－2），AB →与向量（1，t ）平行，所以t ＋（t 2－2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42．因此，四边形ADBE 的面积为3或42．直线与抛物线相交问题处理规律（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．（3）对于抛物线x 2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y ＝x 22p得k＝y ′＝x 0p．〖对点训练〗设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．〖解析〗（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1．（2）由y ＝x 24，得y ′＝x 2．设M （x 3，y 3），由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N （2，2＋m ），|MN |＝|m ＋1|．将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16（m ＋1）＞0，即m ＞－1时，x 1，2＝2±2m ＋1．从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）．由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2（m ＋1），解得m＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象——抛物线几何性质的创新应用〖例〗（2021·合肥调研）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为（） A ．22 B ．2 3 C ．±2 2D ．±2 3〖解析〗法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p ky －p 2＝0．不妨设A （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），B （x 2，y 2），因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝22．根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD 的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为22，根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．〖答案〗 C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用．〖对点训练〗（2021·惠州调研）已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝（）A ．58B ．12C ．38D ．1 〖解析〗法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18．如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |．因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18．设N （x 0，0），则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝ 38＋164＝58．〖答案〗A。

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线学案(含解析)北师大版

第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的02准线.其数学表达式：03|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离). 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴04y ＝005x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F 06⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0F 07⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2F 08⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝091准线方程 10x ＝－p211x ＝p212y ＝－p213y ＝p2范围 14x ≥0，y ∈R 15x ≤0，y ∈R 16y ≥0，x ∈R 17y ≤0，x ∈R 开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A ．2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4答案 D解析抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D ．3．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A ．4．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4答案 D解析由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D ．5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10答案 B解析由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B ．6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4答案 C解析利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C ．核心考向突破角度1 例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2020·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3答案 B解析由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[即时训练] 1.(2019·潍坊质检)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案 B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B．2．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )A． 3 B． 5C．2 D．5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向二抛物线的方程例4 (1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16x答案 D解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M 的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案 x 2＝4y解析因为△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线的方程为x 2＝4y .抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[即时训练] 3.(2019·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以设该点为P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .4．(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 考向三抛物线的性质例5 (1)过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条答案 B解析若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x＋14k 2＝0，因为A ，B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝± 2.所以这样的直线有两条． (2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．[即时训练] 5.(2019·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 A解析过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A ．6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52.考向四直线与抛物线的位置关系例6 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4；当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.综上，圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点在x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时训练] 7.(2020·福建泉州第一次质量检测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，F 为线段AB 的中点，|AB |＝4.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点．若C 上仅存在三个点K i (i ＝1,2,3)，使得△MNK i的面积等于16，求l 的方程．解解法一：(1)由抛物线的对称性，可知AB ∥x 轴，且A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫－2，p 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p 2，所以4＝2p ·p 2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)如图，作与l 平行且与C 相切的直线l ′，切点为K .由题意，可知△MNK 的面积等于16.设l 的方程为y ＝kx ＋1，方程x 2＝4y 可化为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，令y ′＝k ，解得x ＝2k ，将x ＝2k 代入x 2＝4y ，得y ＝k 2，故K (2k ，k 2)，所以K 到l 的距离d ＝|2k 2－k 2＋1|k 2＋1＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，故△MNK 的面积为12|MN |·d ＝2(k 2＋1)k 2＋1，从而2(k 2＋1)k 2＋1＝16，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.解法二：(1)设A (x 0，y 0)，B (x 0′，y 0′)，则x 20＝2py 0，x 0′2＝2py 0′，因为F 为AB 的中点，所以x 0＋x 0′＝0，y 0＋y 0′＝p ，故y 0＝y 0′＝p2，从而|AB |＝2|x 0|，故|x 0|＝2，所以4＝2p ·p2，解得p ＝2，故C 的方程为x 2＝4y .(2)直线l 斜率显然存在，设直线l的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以|MN |＝k 2＋1x 1＋x 22－4x 1x 2＝4(k 2＋1)，因为点K 在C 上，设K ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14m 2，则点K 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1，△MNK 的面积等于16，所以关于m 的方程12×4(k 2＋1)×⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1k 2＋1＝2k 2＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪km －14m 2＋1＝16恰有三个不同实根，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪14m 2－km －1＝8k 2＋1恰有三个不同实根，所以m ＝2k ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪142k2－k ·2k －1＝k 2＋1＝8k 2＋1，解得k ＝3或k ＝－ 3.所以l 的方程为y ＝3x ＋1或y ＝－3x ＋1.1．(2019·长沙模拟)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于________.答案 2解析依题意，得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM ||MN |＝55，则|KN |∶|KM |＝2∶1，即k FN ＝0－2p 2－0＝－4p ，得－4p＝－2，解得p＝2.2．(2019·山东临沂三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线m 与C 交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 准线的垂线，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为________．答案2解析如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ ⊥l 于点Q ，BP ⊥l 于点P ，由抛物线的定义可设|AF |＝|AQ |＝a ，|BF |＝|BP |＝b ，由勾股定理可知|AB |＝|AF |2＋|BF |2＝a 2＋b 2，由梯形中位线的性质可得|MN |＝a ＋b2，则|AB ||MN |＝a 2＋b2a ＋b2≥12a ＋b 2a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，即|AB ||MN |的最小值为 2.答题启示圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数求解．对点训练1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AF |>|BF |，则|AF ||BF |＝________. 答案 3解析抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，联立方程组，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p 2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.2．(2019·湖北八校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过F 作斜率大于0的直线与抛物线C 交于M ，N 两点(M 在x 轴上方)，且与直线l 交于点Q .若|FN ||NQ |＝34，|MF |＝16，则p 的值为________．答案 4解析过M ，N 分别作l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，过F 作MM 1的垂线，垂足为P .∵|FN ||NQ |＝34，∴|NN 1||NQ |＝34，∴|MP ||MF |＝34， ∴|MP |＝34|MF |，∴|MF |＝|MM 1|＝|MP |＋p ＝34|MF |＋p ，∴p ＝4.。

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教学案理

一、知识梳理１．双曲线的定义平面内与两个定点F１，F２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F１F２|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．（１）当２a<|F１F２|时，P点的轨迹是双曲线．（２）当２a＝|F１F２|时，P点的轨迹是两条射线．（３）当２a>|F１F２|时，P点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a，y∈R y≤—a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A１（—a，0），A２（a，0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞）实虚轴线段A１A２叫做双曲线的实轴，它的长|A１A２|＝２a；线段B１B２叫做双曲线的虚轴，它的长|B１B２|＝２b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c２＝a２＋b２（c＞a＞0，c＞b＞0）３．等轴双曲线及性质（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x２—y２＝λ（λ≠0）．（２）等轴双曲线⇔离心率e＝错误!⇔两条渐近线y＝±x互相垂直．常用结论１．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.２．若P是双曲线右支上一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则|PF１|min＝a＋c，|PF２|min＝c—a.３．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为错误!，异支的弦中最短的为实轴，其长为２a.４．设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为错误!.５．P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F１，F２分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF１F２＝b２·错误!，其中θ为∠F１PF２.二、教材衍化１．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为错误!±错误!＝0，即bx±ay＝0，所以２a＝错误!＝b.又a２＋b２＝c２，所以５a２＝c２.所以e２＝错误!＝５，所以e＝错误!.答案：错误!２．经过点A（３，—１），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为错误!—错误!＝±１（a＞0），把点A（３，—１）代入，得a２＝8（舍负），故所求方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１３．以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），由椭圆错误!＋错误!＝１，得焦点为（±１，0），顶点为（±２，0）．所以双曲线的顶点为（±１，0），焦点为（±２，0）．所以a＝１，c ＝２，所以b２＝c２—a２＝３，所以双曲线标准方程为x２—错误!＝１．答案：x２—错误!＝１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（）（２）椭圆的离心率e∈（0，１），双曲线的离心率e∈（１，＋∞）．（）（３）方程错误!—错误!＝１（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（）（４）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于错误!.（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）√二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视双曲线的定义；（２）忽视双曲线焦点的位置；（３）忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．１．平面内到点F１（0，４），F２（0，—４）的距离之差等于6的点的轨迹是________．解析：由|PF１|—|PF２|＝6＜|F１F２|＝8，得a＝３，又c＝４，则b２＝c２—a２＝7，所以所求点的轨迹是双曲线错误!—错误!＝１的下支．答案：双曲线错误!—错误!＝１的下支２．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为错误!，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误! x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，b＝错误!a，可得c＝２a，则e＝错误!＝２；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为错误!—错误!＝１，则渐近线的方程为y＝±错误!x，由题意可得错误!＝tan 错误!＝错误!，a＝错误!b，可得c＝错误!a，则e＝错误!.综上可得e＝２或e＝错误!.答案：２或错误!３．若双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为________．解析：由条件知y＝—错误!x过点（３，—４），所以错误!＝４，即３b＝４a，所以9b２＝１6a２，所以9c２—9a２＝１6a２，所以２５a２＝9c２，所以e＝错误!.答案：错误!双曲线的定义（多维探究）角度一利用定义求轨迹方程已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M同时与圆C１及圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．２【解析】如图所示，设动圆M与圆C１及圆C２分别外切于点A和点B.根据两圆外切的条件，得|MC１|—|AC１|＝|MA|，|MC２|—|BC２|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC１|—|AC１|＝|MC２|—|BC２|，即|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝２，所以点M到两定点C１、C２的距离的差是常数且小于|C１C|＝6．２又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C２的距离大，与C１的距离小），其中a＝１，c＝３，则b２＝8．故点M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．【答案】x２—错误!＝１（x≤—１）角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F１，F２为双曲线C：x２—y２＝２的左，右焦点，点P在C上，|PF１|＝２|PF２|，则cos ∠F１PF２＝________．【解析】由双曲线的定义有|PF１|—|PF２|＝|PF２|＝２a＝２错误!，所以|PF１|＝２|PF２|＝４错误!，则cos∠F１PF２＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】错误!【迁移探究１】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“∠F１PF２＝60°”，求△F１PF２的面积是多少？解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，在△F１PF２中，由余弦定理，得cos∠F１PF２＝错误!＝错误!，所以|PF１|·|PF２|＝8，＝错误!|PF１|·|PF２|sin 60°＝２错误!.所以S△F１PF２【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“|PF１|＝２|PF２|”改为“错误!·错误!＝0”，求△F１PF２的面积是多少？解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF１|—|PF２|＝２a＝２错误!，由于错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，所以在△F１PF２中，有|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，即|PF１|２＋|PF２|２＝１6，所以|PF１|·|PF２|＝４，＝错误!|PF１|·|PF２|＝２．所以S△F１PF２角度三利用定义求解最值问题若双曲线错误!—错误!＝１的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（１，４），则|PF|＋|PA|的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．9Ｃ．１0 Ｄ．１２【解析】由题意知，双曲线错误!—错误!＝１的左焦点F的坐标为（—４，0），设双曲线的右焦点为B，则B（４，0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝４＋|PB|＋|PA|≥４＋|AB|＝４＋错误!＝４＋５＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9．【答案】B错误!双曲线定义的应用（１）判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．（２）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立|PF１|与|PF２|的关系．[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．１．（２0２0·河南非凡联盟４月联考）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，一条渐近线与直线４x＋３y＝0垂直，点M在C上，且|MF２|＝6，则|MF１|＝（）A．２或１４Ｂ．２Ｃ．１４Ｄ．２或１0解析：选Ｃ．由题意知错误!＝错误!，故a＝４，则c＝５．由|MF２|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF１|—|MF２|＝２a＝8，所以|MF１|＝１４．２．（２0２0·河北廊坊省级示范学校联考）设F１，F２分别为双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F１的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF２|＝３，|BF２|＝５，|AB|＝４，则△BF１F２的面积为________．解析：因为|AF２|＝３，|BF２|＝５，|AF２|—|AF１|＝２a，|BF２|—|BF１|＝２a，所以|AF２|＋|BF２|—|AB|＝４a＝３＋５—４＝４，所以a＝１，所以|BF１|＝３，又|AF２|２＋|AB|２＝|BF２|２，所以∠F２AB＝90°，所以sin B＝错误!，所以S△BF＝错误!×５×３×sin B＝错误!×５×３×错误!＝错误!.１F２答案：错误!双曲线的标准方程（师生共研）（１）（一题多解）与椭圆错误!＋y２＝１共焦点且过点P（２，１）的双曲线方程是（）Ａ．错误!—y２＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．x２—错误!＝１（２）（一题多解）若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点（４，错误!），则双曲线的方程为________．【解析】（１）法一：椭圆错误!＋y２＝１的焦点坐标是（±错误!，0）．设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），所以错误!—错误!＝１，a２＋b２＝３，解得a２＝２，b２＝１，所以所求双曲线方程是错误!—y２＝１．法二：设所求双曲线方程为错误!＋错误!＝１（１<λ<４），将点P（２，１）的坐标代入可得错误!＋错误!＝１，解得λ＝２（λ＝—２舍去），所以所求双曲线方程为错误!—y２＝１．（２）法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以可设双曲线的方程为x２—４y２＝λ（λ≠0）．因为双曲线过点（４，错误!），所以λ＝１6—４×（错误!）２＝４，所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．法二：因为渐近线y＝错误!x过点（４，２），而错误!<２，所以点（４，错误!）在渐近线y＝错误!x的下方，在y＝—错误!x的上方（如图）．所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由已知条件可得错误!解得错误!所以双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．【答案】（１）B （２）错误!—y２＝１错误!（１）求双曲线标准方程的答题模板（２）利用待定系数法求双曲线方程的常用方法１与双曲线错误!—错误!＝１共渐近线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；２若双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，则双曲线的方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；３若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为错误!＋错误!＝１（mn<0）或mx２＋ny２＝１（mn<0）．１．（２0２0·安阳模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作其渐近线y＝错误!x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝４错误!（O为坐标原点），则双曲线的标准方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选Ｃ．由题意易得错误!解得错误!所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１，故选Ｃ．２．过双曲线C：错误!—错误!＝１的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F为圆心、半径为４的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选Ａ．因为渐近线y＝错误!x与直线x＝a交于点A（a，b），c＝４且错误!＝４，解得a２＝４，b２＝１２，因此双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．３．经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7）的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx２＋ny２＝１（mn<0），因为所求双曲线经过点P（３，２错误!），Q（—6错误!，7），所以错误!解得错误!故所求双曲线方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１双曲线的几何性质（多维探究）角度一求双曲线的焦点（距）、实、虚轴长已知离心率为错误!的双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF２，O为坐标原点，若S△OMF２＝１6，则双曲线的实轴长是（）Ａ．３２Ｂ．１6Ｃ．8４Ｄ．４【解析】由题意知F２（c，0），不妨令点M在渐近线y＝错误!x上，由题意可知|F２M|＝错误!＝b，所以|OM|＝错误!＝a.由S△OMF＝１6，可得错误!ab＝１6，即ab＝３２，又a２＋b２＝c２，错误!＝２错误!，所以a＝8，b＝４，c＝４错误!，所以双曲线C的实轴长为１6．故选Ｂ．【答案】B角度二求双曲线的渐近线方程（１）（２0２0·福建厦门一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝２，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±２xＤ．y＝±错误!x（２）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F作圆O：x２＋y２＝a２的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝１２0°，则双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x【解析】（１）设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由错误!可得y＝±错误!，则|MN|＝错误!＝２，即b２＝c，所以b＝２，c＝４，所以a＝错误!＝２错误!，所以C的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ｂ．（２）如图所示，连接OA，OB，设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为２c（c>0），则C（—a，0），F（—c，0）．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝错误!∠ACB＝错误!×１２0°＝60°.因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°—∠AOF＝90°—60°＝３0°，所以|OF|＝２|OA|，即c＝２a，所以b＝错误!＝错误!＝错误!a，故双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±错误!x，即y＝±错误!x.【答案】（１）B （２）A角度三求双曲线的离心率（或范围）（２0１9·高考全国卷Ⅱ）设F为双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．错误!【解析】如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为错误!错误!＋y２＝错误!１，将x２＋y２＝a ２记为２式，１—２得x＝错误!，则以OF为直径的圆与圆x２＋y２＝a２的相交弦所在直线的方程为x＝错误!，所以|PQ|＝２错误!.由|PQ|＝|OF|，得２错误!＝c，整理得c４—４a２c２＋４a４＝0，即e４—４e ２＋４＝0，解得e＝错误!，故选Ａ．【答案】A错误!与双曲线几何性质有关问题的解题策略（１）求双曲线的离心率（或范围）：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式（或不等式），解方程（或不等式）即可求得．（２）求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．（３）求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．（４）求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．１．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）双曲线C：错误!—错误!＝１的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．不妨设点P在第一象限，根据题意可知c２＝6，所以|OF|＝错误!.又tan∠POF＝错误!＝错误!，所以等腰三角形POF的高h＝错误!×错误!＝错误!，所以S△PFO＝错误!×错误!×错误!＝错误!.２．（２0２0·广东汕尾一模）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0），F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点．若tan∠MAN＝—错误!，则双曲线C的离心率为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由题意可知tan∠MAN＝—错误!＝错误!，解得tan∠MAF＝３，可得错误!＝３，可得c２＋２a２—３ac＝0，e２＋２—３e＝0，因为e＞１，所以解得e＝２．故选Ｂ．[基础题组练]１．“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为方程错误!＋错误!＝１表示双曲线，所以（２５—k）（k—9）<0，所以k<9或k>２５，所以“k<9”是“方程错误!＋错误!＝１表示双曲线”的充分不必要条件，故选Ａ．２．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x解析：选Ａ．法一：由题意知，e＝错误!＝错误!，所以c＝错误!a，所以b＝错误!＝错误!a，所以错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．法二：由e＝错误!＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选Ａ．３．（２0２0·广东揭阳一模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）Ａ．错误!—１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．将x＝±c代入双曲线的方程得y２＝错误!⇒y＝±错误!，则２c＝错误!，即有ac＝b２＝c２—a２，由e＝错误!，可得e２—e—１＝0，解得e＝错误!（舍负）．故选Ｂ．４．设双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A１，A２，过F作A１A２的垂线与双曲线交于B，C两点．若A１B⊥A２C，则该双曲线的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±xＤ．y＝±错误!x解析：选Ｃ．如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F（c，0），且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为错误!，错误!.又A１，A２的坐标分别为（—a，0），（a，0）．所以错误!＝错误!，错误!＝错误!.因为A１B⊥A２C，所以错误!·错误!＝0，即（c＋a）（c—a）—错误!·错误!＝0，即c２—a２—错误!＝0，所以b２—错误!＝0，故错误!＝１，即错误!＝１．又双曲线的渐近线的斜率为±错误!，故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.５．（２0２0·河北衡水三模）过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F（错误!，0）作斜率为k（k＜—１）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝错误!（O为坐标原点），则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—２Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：选Ｂ．由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝—错误!x，过第二象限的渐近线的方程为y＝错误!x，直线FB的方程为y＝k（x—错误!），联立方程得错误!⇒x＝错误!，所以y＝错误!，所以S△BOF＝错误!|OF|×|y B|＝错误!×错误!×错误!＝错误!错误!.令错误!错误!＝错误!，得k＝—２或k＝错误!（舍）．故选Ｂ．6．（２0２0·黄山模拟）过双曲线E：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点（—错误!，0），作圆（x—错误!）２＋y２＝４的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程（x—错误!）２＋y２＝４，知圆心坐标为G（错误!，0），半径R＝２，则FG＝２错误!.设切点为P，则GP⊥FP，PG＝２，PF＝２＋２a，由|PF|２＋|PG|２＝|FG|２，即（２＋２a）２＋４＝２0，即（２＋２a）２＝１6，得２＋２a＝４，a＝１，又c＝错误!，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．7．设F为双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为错误!|OF|，则双曲线的离心率为（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．２错误!Ｄ．３解析：选Ｂ．双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±错误!x，线段OF的垂直平分线为直线x＝错误!，将x＝错误!代入y＝错误!x，则y＝错误!，则交点坐标为错误!，点错误!到直线y＝—错误!x，即bx＋ay＝0的距离d＝错误!＝错误!|OF|＝错误!，得c＝２b＝２错误!，即４a２＝３c２，所以双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．8．已知双曲线C：错误!—y２＝１，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）Ａ．错误!Ｂ．３Ｃ．２错误!Ｄ．４解析：选Ｂ．因为双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝错误!x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（２，0），所以直线MN的方程为y＝—错误!（x—２），由错误!得错误!所以M错误!，所以|OM|＝错误!＝错误!，所以|MN|＝错误!|OM|＝３，故选Ｂ．9．（２0２0·湛江模拟）设F为双曲线E：错误!—错误!＝１（a，b＞0）的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x２＋y２＝c２（c２＝a２＋b２）与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝错误!—１，则双曲线E的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—y２＝１Ｄ．x２—错误!＝１解析：选Ｄ．双曲线E：错误!—错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x，因为四边形OAFB为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c＝２a，∠AOF＝60°，所以错误!＝错误!.则有错误!解得P错误!.因为|PF|＝错误!—１，所以错误!错误!＋错误!错误!＝（错误!—１）２，解得a＝１，则b＝错误!，故双曲线E的方程为x２—错误!＝１．故选Ｄ．１0．已知双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝（）Ａ．8 Ｂ．４错误!Ｃ．２错误!Ｄ．４错误!解析：选D.因为双曲线错误!—错误!＝１（b＞0）的虚轴长为8，所以２b＝8，解得b＝４，因为a＝３，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，c２＝a２＋b２＝２５，A（—３，0），所以c＝５，所以F（５，0），因为⊙F与双曲线的渐近线相切，所以⊙F的半径为错误!＝４，所以|MF|＝４，因为|AF|＝a＋c＝３＋５＝8，所以|AM|＝错误!＝４错误!，因为S四边形AMFN＝２×错误!|AM|·|MF|＝错误!|AF|·|MN|，所以２×错误!×４错误!×４＝错误!×8|MN|，解得|MN|＝４错误!，故选Ｄ．１１．（２0２0·开封模拟）过双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x２＋y２＝a２的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若错误!＝２错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２解析：选Ｂ．设P（0，３m），由错误!＝２错误!，可得点M的坐标为错误!，因为OM⊥PF，所以错误!·错误!＝—１，所以m２＝错误!c２，所以M错误!，由|OM|２＋|MF|２＝|OF|２，|OM|＝a，|OF|＝c 得，a２＋错误!错误!＋错误!＝c２，a２＝错误!c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｂ．１２．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，错误!）Ｃ．（错误!，２）Ｄ．（１，错误!）∪（错误!，＋∞）解析：选Ｄ．设双曲线：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点为F１（—c，0），令x＝—c，可得y＝±错误!，可设A错误!，B错误!.又设D（0，b），可得错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!.由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得错误!·错误!<0，即为0—错误!·错误!<0，化为a>b，即有a２>b２＝c２—a ２.可得c２<２a２，即e＝错误!<错误!.又e>１，可得１<e<错误!；当∠ADB为钝角时，可得错误!·错误!<0，即为c２—错误!错误!<0，化为c４—４a２c２＋２a４>0，由e＝错误!，可得e４—４e２＋２>0．又e>１，可得e>错误!.综上可得，e的范围为（１，错误!）∪（错误!，＋∞）．故选Ｄ．１３．焦点在x轴上，焦距为１0，且与双曲线错误!—x２＝１有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．解析：设所求双曲线的标准方程为错误!—x２＝—λ（λ>0），即错误!—错误!＝１，则有４λ＋λ＝２５，解得λ＝５，所以所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．答案：错误!—错误!＝１１４．过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点F１作圆x２＋y２＝a２的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF１的中点（点M在切点T的右侧），若△OTM 的周长为４a，则双曲线的渐近线方程为________．解析：连接OT，则OT⊥F１T，在直角三角形OTF１中，|F１T|＝错误!＝错误!＝b.设双曲线的右焦点为F２，连接PF２，M为线段F１P的中点，O为坐标原点，所以OM＝错误!PF２，所以|MO|—|MT|＝错误!|PF２|—错误!＝错误!（|PF２|—|PF１|）＋b＝错误!×（—２a）＋b＝b—a.又|MO|＋|MT|＋|TO|＝４a，即|MO|＋|MT|＝３a，故|MO|＝错误!，|MT|＝错误!，由勾股定理可得a２＋错误!错误!＝错误!错误!，即错误!＝错误!，所以渐近线方程为y＝±错误!x.答案：y＝±错误!x１５．已知M（x0，y0）是双曲线C：错误!—y２＝１上的一点，F１，F２是双曲线C的两个焦点．若错误!·错误!<0，则y0的取值范围是________．解析：由题意知a＝错误!，b＝１，c＝错误!，设F１（—错误!，0），F２（错误!，0），则错误!＝（—错误!—x0，—y0），错误!＝（错误!—x0，—y0）．因为错误!·错误!<0，所以（—错误!—x0）（错误!—x0）＋y错误!<0，即x错误!—３＋y错误!<0．因为点M（x0，y0）在双曲线C上，所以错误!—y错误!＝１，即x错误!＝２＋２y错误!，所以２＋２y错误!—３＋y错误!<0，所以—错误!<y0<错误!.答案：错误!１6．如图，F１，F２是双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右两个焦点，若直线y＝x 与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF１QF２为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±错误!，所以错误!·错误!＝c，所以２a２b２＝c２（b２—a２），即２（e２—１）＝e４—２e２，所以e４—４e２＋２＝0．因为e>１，所以e２＝２＋错误!，所以e＝错误!.答案：错误![综合题组练]１．过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点F（—c，0）作圆O：x２＋y２＝a２的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!＋１Ｄ．错误!解析：选Ａ．法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝错误!|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝２a，根据双曲线的性质，|PF|—|PF′|＝２a，所以|PF|＝４a，所以|EF|＝２a，在Rt △OEF中，|OE|２＋|EF|２＝|OF|２，即a２＋４a２＝c２，所以e＝错误!，故选Ａ．法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝２b，|PF′|＝２a，所以|PF|—|PF′|＝２a，所以b＝２a，所以e＝错误!＝错误!.２．（２0２0·汉中模拟）设F１（—c，0），F２（c，0）是双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F１PF２的平分线，过点F１作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|（）Ａ．为定值aＢ．为定值bＣ．为定值cＤ．不确定，随P点位置变化而变化解析：选Ａ．延长F１Q，PF２交于点M，则三角形PF１M为等腰三角形，可得Q为F１M的中点，由双曲线的定义可得|PF１|—|PF２|＝|F２M|＝２a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝错误!|F２M|＝a，故选Ａ．３．以椭圆错误!＋错误!＝１的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F１，F２.已知点M的坐标为（２，１），双曲线C上的点P（x0，y0）（x0>0，y0>0）满足错误!＝错误!，则S△PMF １—S△PMF２＝（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．１Ｄ．—１解析：选Ａ．由题意，知双曲线方程为错误!—错误!＝１，|PF１|—|PF２|＝４，由错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，即F１M平分∠PF１F２.又结合平面几何知识可得，△F１PF２的内心在直线x＝２上，所以点M（２，１）就是△F１PF２的内心．故S△PMF１—S△PMF２＝错误!×（|PF１|—|PF２|）×１＝错误!×４×１＝２．４．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，过F１的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若错误!＝错误!，错误!·错误!＝0，则C 的离心率为________．解析：通解：因为错误!·错误!＝0，所以F１B⊥F２B，如图．所以|OF１|＝|OB|，所以∠BF１O＝∠F１BO，所以∠BOF２＝２∠BF１O.因为错误!＝错误!，所以点A为F１B的中点，又点O为F１F２的中点，所以OA∥BF２，所以F１B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF１O＝错误!，tan ∠BOF２＝错误!.因为tan ∠BOF２＝tan（２∠BF１O），所以错误!＝错误!，所以b２＝３a２，所以c２—a２＝３a２，即２a＝c，所以双曲线的离心率e＝错误!＝２．优解：因为错误!·错误!＝0，所以F１B⊥F２B，在Rt△F１BF２中，|OB|＝|OF２|，所以∠OBF２＝∠OF２B，又错误!＝错误!，所以A为F１B的中点，所以OA∥F２B，所以∠F１OA＝∠OF２B.又∠F１OA＝∠BOF２，所以△OBF２为等边三角形．由F２（c，0）可得B错误!，因为点B在直线y＝错误!x上，所以错误!c＝错误!·错误!，所以错误!＝错误!，所以e＝错误!＝２．答案：２５．已知双曲线C：错误!—y２＝１，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!得（１—４k２）x２—8kmx—４（m２＋１）＝0，所以Δ＝6４m２k２＋１6（１—４k２）（m２＋１）＞0，x１＋x２＝错误!＞0，x１x２＝错误!＜0，所以y１y２＝（kx１＋m）（kx２＋m）＝k２x１x２＋mk（x１＋x２）＋m２＝错误!.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（—２，0），所以k AD·k BD＝—１，即错误!·错误!＝—１，所以y１y２＋x１x２＋２（x１＋x２）＋４＝0，即错误!＋错误!＋错误!＋４＝0，所以３m２—１6mk＋２0k２＝0，解得m＝２k或m＝错误!.当m＝２k时，l的方程为y＝k（x＋２），直线过定点（—２，0），与已知矛盾；当m＝错误!时，l的方程为y＝k错误!，直线过定点错误!，经检验符合已知条件．故直线l过定点错误!.答案：错误!6．已知P为双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当错误!＝错误!错误!时，△AOB的面积为２b，则双曲线C的实轴长为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x，y），由错误!＝错误!错误!，得（x—x１，y—y１）＝错误!（x２—x，y２—y），则x＝错误!x１＋错误!x２，y＝错误!y１＋错误!y２，所以错误!—错误!＝１．由题意知A在直线y＝错误!x上，B在y＝—错误!x上，则y１＝错误!x１，y２＝—错误!x２.所以错误!—错误!＝１，即b２（错误!x１＋错误!x２）２—a２（错误!x１—错误!x２）２＝a２b２，化简得：a２＝错误!x１x２，由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin ２∠AOx＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.所以△AOB的面积为错误!|OA||OB|sin∠AOB＝错误!错误!·错误!·sin∠AOB＝错误!错误!·错误!·错误!＝x１x２·错误!·错误!·错误!＝错误!a２·错误!·[１＋（错误!）２]＝错误!ab＝２b，解得a＝错误!.所以双曲线C的实轴长为错误!.答案：错误!。

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件第9章解析几何第7节抛物线

线方程为(
1
A.x= 2
)
B.x=-1
C.x=-2
D.x=-4
(2)(2020全国Ⅲ,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于
D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(
1
A.( ,0)
4
1
B.( ,0)
2
C.(1,0)
)
D.(2,0)
答案:(1)B (2)B
解析:(1)将 x=8 代入 y2=2px,得 y=±4 .
2
2
因为 sin
1
1

∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3

0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2

2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
−
A.1
2
2

2
+y
=
的切线,切点分别为
2
4
B. 3
C.2
A,B.若|AB|= 3,则 p 的值为(
D.3
)
答案:(1)C (2)C
解析:(1)如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.
因为点 M(x0,2 2) 0 >

2
在抛物线上,
所以 8=2px0,即 px0=4.①

由题意,可知|DM|=x0- ,|MF|=x0+ ,

高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何 8.6 抛物线课件文北师大版

知识梳理
1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线。这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
)
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
解析抛物线方程为x2＝4y，∴p＝2。 ∴准线方程为y＝－1。答案 A
2．若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标
是( )
17
15
A.16
B.16
7 C.8
D．0
解析 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y＝－ 116，设 M(x，y)，则 y＋116＝1，∴y＝1156。
答案 B
3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹
为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D。
答案 D
4．抛物线的焦点为椭圆x92＋y42＝1 的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为__y_2_＝__－__4__5_x__。
第八章平面解析几何
第六节抛物线
基础知识自主学习
热点命题深度剖析
思想方法感悟提升
最新考纲 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解圆锥曲线的简单应用；4.理解数形结合的思想。

高三数学一轮 9.6 抛物线导学案理北师大版

学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．自我检测1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 探究点二求抛物线的标准方程例2 (2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．分类讨论思想的应用例 (12分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解假设存在实数λ，使AO →＝λOD →.抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2，(1)当直线AB 的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时，交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p . ∵BD ⊥l ，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p ，∴AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[4分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎪⎨⎪⎧－y 212p ＝－p 2λ－y 1＝－p2y1λ，解得λ＝y 21p2，∴存在实数λ＝y 21p2，使AO →＝λOD →. 综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )A.45B.35 C ．－35 D ．－452．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥33．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定4．(2011·泉州月考)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ． (－2，－22) 5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2，2) 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·重庆)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．(2011·济宁期末)已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案53 抛物线自主梳理1．相等焦点准线自我检测 1．C2．B [因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.]3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1 A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.] 例 2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF |转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为 x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 方法二如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N . 则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6. 变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p .证明 (1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二由抛物线方程可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫ky ＋p 2，整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴．变式迁移 3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 1y 224p2＝p 24，当k 不存在时，直线方程为x ＝p2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．课后练习区1．D [方法一由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]2．C [如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p2，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，则由抛物线定义，|AF |＝|AA 1|，即m ＋p2＝|AF |.又|AF |＝|AB |＝22pm ，∴m ＋p2＝22pm ，整理，得m 2－7pm ＋p 24＝0，①∴Δ＝(－7p )2－4×p 24＝48p 2>0，∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 24>0，∴m 1>0，m 2>0，∴n ＝2.] 3．C4．A [过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则|PF |＝|PK |， ∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |.∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小，此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1时，|PA |＋|PF |最小．]5．B 6.6－1解析如图所示，若圆C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.7．4 2解析由题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立得x 2－4kx －4m ＝0，线段AB 中点坐标为(2,2)，x 1＋x 2＝4k ＝4，得k ＝1.又∵y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝4，∴m ＝0.从而直线AB ：y ＝x ，|AB |＝2|OM |＝4 2. 8.324解析抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， (1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1，消去y 得，4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分)∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分)则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝6(p ＝－2舍去)，抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2，此时抛物线方程为y 2＝－4x .(11分)综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(12分) 10．证明因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分)所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.(10分) 所以AQ ⊥BQ .(12分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1.(9分)RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k＋2k ＋4k2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，(11分)∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→·RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→·RQ→的最小值为16. (14分)。

2022版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.7抛物线课件理北师大版

则|AM|= 1 1|A， F|= ,
4
5 4
所以 | A M | 1 1 . |AF | 5
A (－1, 1 )， 4
第十四页，编辑于星期六：四点十六分。
必备知识·自主学习
第十五页，编辑于星期六：四点十六分。
A.3
B. 1 1
C.2
D. 1 1
5
2
| =A (M | )
|A F |
第十三页，编辑于星期六：四点十六分。
必备知识·自主学习
【解析】选B.由题知,抛物线方程为x2=4y,其准线为y=-1,
设d=|AF|为A到准线的距离,
则|AM|+|AF|的最小值等于圆心(-1,4)到准线的距离减去半径,此时
( a , 0 )， 4
第六页，编辑于星期六：四点十六分。
必备知识·自主学习
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( )
(5)AB为抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F x1x2= p 4 2 y， 1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
( 的p2 , 弦0 ) ,若A(x1,y1),B(x2,y2),则
第四页，编辑于星期六：四点十六分。
必备知识·自主学习
2.抛物线中参数p的几何意义:___焦__点__到__准_线__的__距_离__. 3.标准方程的形式: (1)焦点在x轴正半轴:___y_2_=_2_p_x_(_p_>; 0) (2)焦点在x轴负半轴:___y_2=_-_2_p_x_(_p_>_0;) (3)焦点在y轴正半轴:___x_2=__2_p_y_(p_>_;0) (4)焦点在y轴负半轴:___x_2_=_-_2_p_y_(p_>_0. ) 4.标准位置抛物线的对称性:对称轴为焦点所在坐标轴.

2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第6节抛物线教学案文北师大版

第六节抛物线[最新考纲] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．(对应学生用书第158页)1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0,y ∈Rx ≤0,y ∈Ry ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向向右向左向上向下焦半径P (x 0,y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2[常用结论]与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),α为弦AB 的倾斜角．则 (1)x 1x 2＝p 24,y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin α.(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p ,通径是过焦点最短的弦．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4. ( ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0,准线方程是x ＝－a4.( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2A [∵y ＝14x 2,∴x 2＝4y ,∴准线方程为y ＝－1.]2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0 B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离,又准线方程为y ＝－116,设M (x ,y ),则y ＋116＝1,∴y ＝1516.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6B [抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1.根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.]4．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P (－2,－4),则该抛物线的标准方程为________．y 2＝－8x 或x 2＝－y [设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2,－4)代入,分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .](对应学生用书第159页)⊙考点1 抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题的解题策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”解决．(1)(2019·长春模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为K ,抛物线上一点P .若|PF |＝5,则△PFK 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10(2)(2019·福州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且点P 不在直线AF 上,则当△PAF 周长取最小值时,线段PF 的长为( )A ．1 B.134 C ．5D.214(1)A (2)B [(1)由抛物线的方程y 2＝4x ,可得F (1,0),K (－1,0),准线方程为x ＝－1.设P (x 0,y 0),则|PF |＝x 0＋1＝5,即x 0＝4,不妨设P (x 0,y 0)在第一象限,则P (4,4),所以S △PKF ＝12|FK ||y 0|＝12×2×4＝4.故选A.(2)如图,求△PAF 周长的最小值,即求|PA |＋|PF |的最小值．设点P 在准线上的投影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此|PA |＋|PF |的最小值,即|PA |＋|PD |的最小值,可得当D ,P ,A 三点共线时,|PA |＋|PD |最小,此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3,F (1,0),线段PF的长为94＋1＝134.故选B.]抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键． 1.(2019·临川模拟)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0,2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍,则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [由抛物线y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p2.又点A 到准线的距离等于点A 到焦点的距离,∴3x 0＝x 0＋p2,∴x 0＝p4,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，2.∵点A 在抛物线y 2＝2px 上,∴p 22＝2.∵p ＞0,∴p ＝2.故选D.]2．动圆过点(1,0),且与直线x ＝－1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________.y 2＝4x [设动圆的圆心坐标为(x ,y ),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .]3．已知抛物线方程为y 2＝4x ,直线l 的方程为x －y ＋5＝0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2的最小值为________．32－1 [由题意知,抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1, 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离,故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋－12＝32,所以d 1＋d 2的最小值为32－1.]⊙考点2 抛物线的标准方程与几何性质1．求抛物线标准方程的方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p ),那么只需求出p 即可；若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0),a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0),这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算．(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P (－4,－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________．(1)D (2)(1,0) [(1)(待定系数法)设抛物线为y 2＝mx ,代入点P (－4,－2),解得m ＝－1,则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ,代入点P (－4,－2),解得n ＝－8,则抛物线方程为x 2＝－8y .(2)由题知直线l 的方程为x ＝1,则直线与抛物线的交点为(1,±2a )(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4,所以4a ＝4,即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]若抛物线的焦点位置不确定,应分焦点在x 轴和y 轴两种情况求解,如本例(1)．[教师备选例题]1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36yD [将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时,准线y ＝－14a ,则3＋14a ＝6,∴a ＝112.当a <0时,准线y ＝－14a ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6,∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .]2．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点．已知|AB |＝42,|DE |＝25,则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0),圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42,|DE |＝25, 抛物线的准线方程为x ＝－p2,∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上,∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5,∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.]1.若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ,B 两点,且|AB |＝43,则m 的值是________．20 [y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4,因为C 与抛物线y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4交于A ,B 两点,|AB |＝43,设A 在x 轴上方,所以A (－4,23),B (－4,－23),将A 点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(23)2＝m ,所以m ＝20.]2．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,若△FPM 为边长是4的等边三角形,则此抛物线的方程为________．x 2＝4y [由△FPM 为等边三角形,得|PM |＝|PF |,由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线,设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ,则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2,因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,△FPM 是等边三角形,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .]⊙考点3 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的交点问题直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．(2017·全国卷Ⅰ)设A ,B 为曲线C ：y ＝x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程．[解](1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1＝x 214,y 2＝x 224,x 1＋x 2＝4,于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24,得y ′＝x2.设M (x 3,y 3),由题设知x 32＝1,解得x 3＝2,于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ,故线段AB 的中点为N (2,2＋m ),|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0,即m >－1时,x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |,即42m ＋1＝2(m ＋1),解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.(1)对于抛物线x 2＝ay (a ≠0),直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识．(2)本例第(2)问中,找出隐含条件|AB |＝2|MN |是解题的关键．抛物线的焦点弦问题解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F (1,0),l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0,故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8,解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3),即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.(1)本例第(1)问中,x 1＋x 2是建立等式的纽带．(2)本例第(2)问中,设出圆心坐标(x 0,y 0),构造关于x 0,y 0的方程组是关键．1.(2019·开封模拟)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ,N ,则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)B ．(－∞,－2)∪(0,＋∞)C ．(－3,0)D ．(－2,0)A [由直线与圆相切得,|t ＋1|1＋k2＝1,即k 2＝t 2＋2t ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝4y得x 2－4kx －4t ＝0.由题意知Δ＝16k 2＋16t ＞0.即t 2＋3t ＞0,解得t ＞0或t ＜－3.故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ,过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ,N 两点,则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [法一：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，得x2－5x ＋4＝0,解得x ＝1或x ＝4,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2),N (4,4),易知F (1,0),所以FM →＝(0,2),FN →＝(3,4),所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1＞0,y 2＞0,根据根与系数的关系,得x 1＋x 2＝5,x 1x 2＝4.易知F (1,0),所以FM →＝(x 1－1,y 1),FN →＝(x 2－1,y 2),所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.]3．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ,过F 作一条直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF |＝6,则|BF |＝________.12 [不妨设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(A 在B 上方),根据焦半径公式|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋4＝6,所以x 1＝2,y 1＝42,所以直线AB 的斜率为k ＝422－4＝－22,所以直线方程为y ＝－22(x －4),与抛物线方程联立得x 2－10x ＋16＝0,即(x －2)(x －8)＝0,所以x 2＝8,故|BF |＝8＋4＝12.]课外素养提升⑧ 数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用1．数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程,解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学．2．“设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简．解题过程中,巧妙设点,避免解方程组,常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意,整体消参或整体代入等.巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系,从而设而不求【例1】 (2019·泰安模拟)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线a 2－b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ,B 两点,若|AF |＋|BF |＝4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±22x [设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝4×p 2⇒y A ＋y B ＝p ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0,所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ,解得a ＝2b ,故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .][评析] 根据抛物线的定义把|AF |＋|BF |用A ,B 点的纵坐标表示,再把双曲线方程和抛物线方程联立得到A ,B 点纵坐标和的关系,然后进一步求解即可．【素养提升练习】1．(2019·怀化模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ,CD ,则四边形ACBD 面积的最小值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64C [焦点F 的坐标为(1,0),所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),代入y 2＝4x 并整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k 2,|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2.同理可得|CD |＝4＋4k 2.所以四边形ACBD 的面积 S ＝12|AB ||CD |＝12·4k 2＋1k 2·4(k 2＋1)＝8·k 2＋12k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2＋2≥32,当且仅当k ＝±1时取等号．故选C.]中点弦或对称问题,可以利用“点差法”, “点差法”实质上是“设而不求”的一种方法抛物线E 的焦点,则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称,则k 的取值范围是________． (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2,2) [(1)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),边BC 的中点为M (x 0,y 0),易知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1,又y 21＝2x 1,y 22＝2x 2,两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2),则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1,故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14,即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时,显然成立．当k ≠0时,设两对称点为B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),BC 的中点为M (x 0,y 0),由y 21＝2x 1,y 22＝2x 2,两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2),则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0,由对称性知k BC ＝－1k,点M 在直线y ＝k (x －2)上,所以y 0＝－k ,y 0＝k (x 0－2),所以x 0＝1.由点M 在抛物线内,得y 20＜2x 0,即(－k )2＜2,所以－2＜k ＜2,且k ≠0.综上,k 的取值范围为(－2,2)．][评析](1)先求BC 的中点坐标,再用点差法求解．(2)分k ＝0和k ≠0两种情况求解,当k ＝0时,显然成立,当k ≠0时,用点差法求解．【素养提升练习】2．中心为(0,0),一个焦点为F (0,52)的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 C [由题意知c ＝52,设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y ,整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋(4－a 2)(a 2－50)＝0,由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12a 2－5010a 2－450＝1,解得a 2＝75,所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.] 求解直线与圆锥曲线的相关问题时,若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系,可用“替代法”,“替代法”的实质是设而不求121与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB |＋|DE |的最小值为________．8 [由题意知,直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,不妨设l 1的斜率为k ,则l 1：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,l 2：y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝1＋2k2.由抛物线的定义知,|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得,用－1k 替换|AB |中k ,可得|DE |＝2＋2k 2,所以|AB |＋|DE |＝2＋2k2＋2＋2k 2＝4＋2k2＋2k 2≥4＋4＝8,当且仅当2k2＝2k 2,即k ＝±1时等号成立,故|AB |＋|DE |的最小值为8.][评析] 设出直线l 1的方程,则直线l 2的方程也已知,先求|AB |,根据两直线的关系求|DE |,最后求|AB |＋|DE |的最小值．【素养提升练习】3．(2019·银川模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－1,0),F 2(1,0),直线l ：x ＝a 2交x 轴于点A ,且AF 1→＝2AF 2→.(1)试求椭圆的方程；(2)过点F 1,F 2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D ,E ,M ,N 四点(如图所示),试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．[解](1)由题意知,|F 1F 2|＝2c ＝2,A (a 2,0), ∵AF 1→＝2AF 2→,∴F 2为线段AF 1的中点, 则a 2＝3,b 2＝2,则椭圆方程为x 23＋y 22＝1.(2)当直线DE 与x 轴垂直时,|DE |＝2b 2a ＝43,此时|MN |＝2a ＝23,四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4.同理当MN 与x 轴垂直时, 也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝4. 当直线DE ,MN 与x 轴均不垂直时,设直线DE ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0),D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),代入椭圆方程,消去y 可得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0,则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2,x 1x 2＝3k 2－62＋3k2,∴|x 1－x 2|＝43×k 2＋12＋3k2, ∴|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝43k 2＋12＋3k2. 同理|MN |＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12＋3k 2,∴四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN |2＝12×43k 2＋12＋3k 2×43⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12＋3k2＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋26⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋13, 令u ＝k 2＋1k 2,则S ＝4－413＋6u.∵u ＝k 2＋1k 2≥2,当k ＝±1时,u ＝2,S ＝9625,且S 是以u 为自变量的增函数, 则9625≤S ＜4. 综上可知,9625≤S ≤4,故四边形DMEN 面积的最大值为4,最小值为9625.。