卢华伟初中数学教材例题、习题 “二次开发”的策略研究(卢华伟)

初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究

新登镇中学卢华伟

【摘要】以数学课程标准为依据，就初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，并结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题“二次开发”的策略研究，运用例题、习题题目背景“二次开发”的策略，例题、习题题目条件与结论“二次开发”的策略，例题、习题题目基本图形“二次开发”的策略进行引导，寻求改进例题、习题处理的方法，以发挥其潜能．

【关键词】初中数学例题习题教学现状二次开发策略研究

一、问题的提出

教材的“二次开发”，主要是指依据课程标准对教材内容进行适度增删、调整和加工，从而使之更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求。教材的“二次开发”一方面服务于教师本人个性化的教学需求，体现出教师对教材内容的理解与阐释;另一方面也使原有的教材更适合于具体的教育教学情景，服务于学生的需要，有利于学生将教材内容转化为自己知识结构的组成部分. 教材的例题、习题是教材的重要组成部分，因此，对例题、习题的“二次开发”也就成为教材“二次开发”的重要部分. 笔者认为教材例题、习题的“二次开发”可以重点对题目背景、题目条件与结论、题目的解法、题目中的基本图形进行“二次开发”.

现实教学过程中，教师对教材例题、习题“二次开发”的意识不强，在备课中不能对例题、习题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，在授课时也往往出现一笔带过、草草了事的教学现状，根本没有很好的利用例题、习题的所潜在的价值，而教材例题、习题的“二次开发”能促使学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，通一类，会一片”的解题境界．正如数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但有不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力．”为此，笔者予以关注并参阅对例题、习题处理的相关知识“借题发挥”，结合案例分析，紧紧围绕新课程标准标的要求进行探究，以期促进学生学会从多层次、广视角，全方位的认识、研究问题，从而提高课堂教学的有效性．

二、数学课本例题、习题的教学现状及归因分析．

数学课本上例题、习题是编者根据新课标的要求，进过深思熟虑安排的，具有很强的探究价值．教师对例题、习题进行“二次开发”，能提高学生的数学素养和解决问题的能力．

（一）数学课本例题、习题的教学现状

在数学教学中，例题与习题的教学是教学环节中的不可缺少的部分，这就要求教师能很好的处理例题、习题的教学，以促进学生更好的发展．可是在通常的教学中教师是否真正加以体现和落实呢？首先看一节数学课例题、习题教学片段实录：

有一块三角形余料ABC ，它的边长BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质）

师：请把题目读一遍． 生：看题目，读内容． 师：哪位同学来讲讲？ 生：同学们在思考中．

师：既然大家没有思路，那我给大家讲讲． 生：抬头听老师讲解．

师：讲解完毕后，问：“懂了吗？” 生：懂了．

师：好，那我们看下一个题目．

………………

师：课后把课本后面的习题完成，到时我们来对答案． 生：嗯．

………………

在讲解例题时，教师经常采用的几种教学方法：（1）老师读题，读好后开始分析，然后问学生听懂了没有，在学生部分肯定，部分无语中结束例题的讲解．（2）教师读题后，给学生时间思考，由有思路的学生讲解思路，在老师帮助下完成解答．（3）教师认为例题太过简单，所以用其他的题目代替，要求学生课后自己去看一下例题．（4）用别人做好的课件，根本不知道哪个是例题． 教师对课本习题更加容易忽视，通常的方法是（1）布置习题，没有下文（2）布置习题，之后快速校对答案．

教师在教学的过程中注重了教学环节的“流畅”，教学成为低效或无效的“走马观花”式的逛街场．长此以往，课堂教学模式基本上是灌输—接受．教师往往会比较注重教学的结果，

A

C

B

E D

N

P

M

强调题海战术。所以在数学教学课堂中经常听到教师一言堂的声音，能听到学生的声音也无非是：“嗯”、“对”、“懂了”“知道了”等一些简单的字词，教学的效果可想而知：教师教的累，学生学得苦，难于拓宽学生的视野、贯通学生的思想，容易抑制学生主动性和创造性的发展．教师对例题、习题简单操作也给学生起了一个示范作用，学生不会去重视课本例题和习题，仅仅把它们当成自己在完成众多题目中的一个，不会去设疑、提炼、再创造，学生在平时面对的每一个题目都是那么的陌生，感悟不到题目之间的紧密联系，只能在苦学、苦练中学习数学．教师没有给学生提供较多的思考、动手和交流的机会，这对学生的发展是不利的．

（二）例题、习题教学现状的归因分析

1．新课改下，教师角色转变不到位

《数学课程标准》指出数学课堂学生的学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与勤于动手成为教学过程中教师的共识．课堂的组织形式也在一定程度上发生了变化，尽可能多地组织学生运用合作、小组合作等方式，在培养学生合作与交流能力的同时，调动每一个学生的参与意识和学习积极性．新课程标准指出：教师应引导和帮助学生主动去从事观察、猜想、实验、验证、推理、交流等数学活动．从而使学生自己形成对数学知识的理解和有效地学习策略．教师充当的角色是组织者、合作者、引导者.正因为教师对新课程下的角色转变不到位，才会出现一言堂的教学方式，忽略学生的主体地位，只要求把例题讲完，布置好习题就算完成教学任务.

2．教师对课本例题、习题的“二次开发”意识不强

虽然在传统的课堂教学情境中，教师对教材也不是完全的照搬照抄，为了达到有效传递学科内容的目的，他们对教材内容总是作或多或少的处理，但是，这种处理往往局限于数量的增减或局部内容的处理.教师只是外在于他们的课程的执行者，是“工匠”。在教学中对例题、习题多少也有点动作，但是，这种动作只是基于经验和直觉，远未达到理性和自觉的认识。新课程倡导教师创造性地和个性化地运用教材，这意味着教师不再是外部课程的被动消费者，而是积极的开发者。教师对教材重要组成部分的例题与习题的“二次开发”，就能不断丰富着自己的课程知识，创造着新的课程经验，成为自己专业生活的主人，同时才能真正体现新课标的要求.

三、初中数学教材例题、习题“二次开发”的策略研究

数学课本中的例题、习题是课本内容的重要组成部分，既是对课本知识的诠释，也是对某些方法的演示，所以进行课本的例题、习题的“二次开发”，对于理解课本知识的内涵，

掌握基本解题方法有着重要的意义．笔者结合平时对例题、习题的“二次开发”提出策略

（一）

例题、习题题目背景“二次开发”的策略研究

【案例】

如图，小亮欲测量一电线杆AB 的高度，他站在该电线杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与电线杆影子的顶端重叠，此时同伴测出小亮与电线杆距离BE=12m ，小亮的影子长CE=4m ．已知小亮的身高DE=1．7m

（1) 图中△CDE 和△CAB 是否相似？请说明理由;

（2） 求电线杆AB 的高度．（浙教版九年级上册4．4-2作业本29页第3题）

【分析】本题知识点（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性质． 1.改变遮挡物

（1）遮挡物为竖直的平面

小亮和他的同学利用影长测量旗杆高度如图，1m 长的直立竹竿的影长为1．5m ．测量旗杆落在地上的影子为21m ，落在墙上的影长为2m ．求旗杆的高度．

【分析】通过把太阳光看成是平行光的原理,构造相似三角形解决这类问题． （2）遮挡物为斜坡

小亮在下午实践活动课时, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的斜坡E 处,测得在地面上的影长

BD=20米,DE=2米,坡面与水平地面的夹角为30°．同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2．6米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果 保留两个有效数）

【分析】增加三角函数和勾股定理的知识,使学生把相关知识贯穿在一起,及时巩固． （3）遮挡物的面数增加

小亮在下午实践活动课后, 测量西教学楼的旗杆高度．如图,当太阳从西照射过来时,旗杆AB 的顶端A 的

影子落在教学楼前的平地C 处,测得在平地上EC=2米,地面上的影长BD=20米,DE=4米,坡面与水平地面的夹角为30°． 同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3．2米，根据这些数据求旗杆AB 的高度（结果保留两个有效数）

【分析】增加难度,原理不变,熟练地应用知识和技能,准确 把握解题方向．

E

F

G

（4）无遮挡物

小亮在下午实践活动课, 测量东教学楼前水杉树的高度．如图,当太阳从西照射过来时,小树AB 的顶端A 的影子落在司令台的斜坡处,测得在地面上的影长BD=2米,坡面上影长DE=4米;同一时刻一根长为1米的直立竹竿的在平地上影长为2．6米，在坡面上影长3米为根据这些数据求树的高度．（精确到0．1米）

【分析】本题利用地面影子在物高上找对应点把物高分成几部分，构造相似三角形解决问题．这样的解决方法比较贴贴近生活实际，使思路非常明确．

2．移动参照物 （1）参照物的移动（1）

晚上，小亮晚自修结束回寝室途中，走到C 处时，发现在点B 上方的路灯A 照得自己的影子CD 的长为2米；继续往前走4米到达E 处时，这时自己的影子EF 长为4米 ,已知小亮的身高为1．6米 ，路灯的高度等于多少？

【分析】这类题目有变量和不变的量，注意挖掘里面的等量关系．根据相似三角形对应边成比例，并利用等量代换求解． （2）参照物的移动（2）

小亮探究影子长度的变化规律，当他走到离路灯2米处时，其影子的顶点标记为H 1，此时 影长为 米；当他继续走到H1时，其影子的顶点标记为H 2，此时影长为 米；当他继续走到H 2时，其影子的顶点标记为H 3，此时影长

为 米；…按这样的规律继续走当他走到Hn,其影子的顶点标记为H n+1,此时影长为 米．

【分析】对题设条件进行变化，克服学生思维定势．充分渗透数学猜想和归纳法，培养学生探究能力和发散思维能力．

教师有意识的进行题目背景的更换，将知识融入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和具体的情景，让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地，是数学课程更具现实性．

（二） 例题、习题题目条件、结论 “二次开发”的策略研究

【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题）

已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求AE=BE+CE ．

【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利

4

B

D

2

3

12

4

3

用截长补短的解题方法．

1.一题多解

（1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE 上取点F ，使得AF=BE,

(AFC BEC AF BE FAC EBC

AC BC ??=??

∠=∠??=?

在和中

作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等） AFC ?≌BEC ?(SAS)

∴CF=CE

60AEC ABC ∠=∠=?

∴ECF ?是等边三角形 ∴EF=EC

AE=AF+EF

∴AE=BE+CE

（2）利用补短的方法解题 解析：延长EB 至点F,使BF=EC,

BF ACE B C (ABF ACE ABE B A A F E A C ??=??

∠=∠∠??=?

在和中

作法可得）（同角的补角相等）

（等边三角形边相等） ABF ?≌ACE ?(SAS)

∴BAF=CAE ∠∠ AE=AF

CAE+EAB=60∠∠?

∴+EAB=60BAF ∠∠? ∴AFE ?是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE

（3）利用旋转的方法解题

解析：将ACE ?顺时针旋转60?，则ABF ?≌ACE ?

E

F

∴AEF ?是等边三角形，ACE ABF ∠=∠

+ABE=180ACE ∠∠?(圆内接四边形对角互补)

∴BF+ABE=180A ∠∠? 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC

（4）利用平行的方法解题

解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF.

（5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得

+EC AB=AE BC BE AC ???

ABC ?是等边三角形

∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE

新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学教学中离不开习题讲解，通过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性，提高学生解决实际问题的能力．

2.一题多变

变式1：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、EB 、C 的任意一点，求AE=BE+CE ．

【分析】本题关键是E 点位置的不确定性，故在解决此题时 必须进行点E 位置的讨论，用到分类讨论的思想．

变式2：已知如图，ABC ?是等边三角形，AEB=60∠?,求AE=BE+CE

E

CF//AE

FCE+18060+CFB=180CE//FG

CEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AE

CEA BFC CEA FCE ∴∠∠=?∠==?∴∠∠?∴∴??∴∴ 即四边形是平行四边形和是等边三角形

E

F

E

【分析】把圆的条件去掉后，还是可以用截长补短的方法解决．

变式3：已知如图，ABC ?是等边三角形，AEB=60∠?，A,B,E,C 四点共圆吗？ 【分析】以ABC ?的外心为圆心，OA 为半径画圆，可以证明点E 在圆上，即A 、B 、C 、

D 四点共圆．

变式4：

在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为圆上不同于A 、B 、C 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 之间的数量关系？ 解析：设

MOE θ∠=,

222

2

2

22+EC +2sin 2sin 602sin 6062BE EA R R

R R θθθ????=+++-????==

（）（）（）三角形边长的平方的倍（即为定值）

变式5：在学习了《圆的基本性质》后，小健为小康准备了如下问题：已知在圆O 中，四边形ABCD 是正方形，E 是不同于A 、B 、C 、D 的任意一点，，请你写出AE 、BE 、CE 、DE 之间的数量关系？

【分析】通过探究我们可以发现2222

+EA ++EC EB ED 是一个定值．

解析：连结AC,90AEC ∠=?,222+EC =d AE ，同理可得222d BE DE +=

所以22222

2AE EC BE DE d +++=,而d 为定值．

变式6：由变式5、变式6你能得出一个什么结论？

结论：圆内接正多边形各顶点到圆上任意一点的距离的平方和为定值．

数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式．在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法、化归数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，阻止了学生思维的发展．所以在平时的例题和习题的教学中，应紧密结合例题、习题进行有目的、多角度的变式训练.

教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变．同时引导学生去探索数学问题的规律性，能够在生活中学以致用，增强学习的信心和兴趣．

（三）例题、习题题目基本图形 “二次开发”的策略研究

任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要功能之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形的基础上才能进行的．

E

变式4

E

变式5

1．重视基本图形

（1）基本图形的识别与性质

【案例】试题来源（浙教版《数学》九（上）P118页4．4相似三角形的性质）

有一块三角形余料ABC ，它的边长BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm ？

【分析】此题涉及的知识点为三角形的相似，以及三角形相似的性质．基本图形为：三角形里面有一个正方形，且正方形的四个顶点分别在三角形的三边上．性质：相似三角形对应边上的高线之比等于相似比

解析:设正方形边长为x,△APN ∽△ABC ，AE AD PN BC =,8012080

x x

-=，得x=48 （2）基本图形在纯数学题中应用

如图，在Rt △ ABC 中，C=90∠?,AC=4,BC=3．

（1）如图1，四边形DEFG 为△ ABC 的内接正方形，求正方形的边长．

（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．

(3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．

(4)如图4，三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长．

【分析】此题主要还是考查基本图形及其性质，第4小题变成了一个探究规律的题目． （3）基本图形的在生活题中应用

小明在出墙报时，需要长48cm 、宽4cm 的彩色纸条镶边，现

有如图一张三角形彩色纸零件，其中BC=25cm,BC 边上的高为20cm ，给出一种裁纸方法：将AB 、AC 分为五等分，然后如图连接两边的对应的点，并以这些连接线为一边作矩形，剪出这些小

矩形纸条，用来为墙报镶边，问：这种方法能满足镶边需要吗？请说明理由． 【分析】此题为生活实际题，但图形是基本图形

A

B

E D

N

P

M

Q

B

A

D

C E G F

K

H

B A

C

B

A

D

E G F

A B

C

…

A

B

E

D

I F K J H G

图1 图2 图3

图4

2．重视对基本图形的变式

【案例】已知：如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，AC=CE,点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求证： △CAB ≌ △ECD ． （选自七年级下 1．5全等三角形（3）作业题 ）

【分析】此题所涉及的知识点为：三角形的全等．

解析：(ABC ??∠∠???∠∠?

??

在和CDE 中

B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）AC=CE

∴△CAB ≌ △ECD （1）对基本图形变式1

弱化条件：AC=CE （线段相等）……结论由三角形全等弱化为三角形相似

如图，在Rt △CAB 和Rt △ECD 中，点D 在边BC 的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求证： △CAB ∽ △ECD ．

解析：(ABC ??∠∠?

??

∠∠?在和CDE 中

B=D=90ACB=CED 同角的余角相等）

∴△CAB ∽ △ECD

应用：如图,正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为xcm,CQ 的长为ycm ．(1)求点P 在BC 上运动

的过程中y 的最大值；(2)当1

y 4

=cm 时，求x 的值．

【分析】此题能够在复杂图形中找出基本图形，则解决就不成问题了． （2）对基本图形变式2 弱化条件：“直角”

如图：在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,则△ABC ≌△CDE ．

解析：ABC ??∠∠??∠∠??

??

在和CDE 中

B=D ACB=CED （三角形的内角和等于180）AC=CE

∴△ABC ≌△CDE

应用： 如图，△ABC 为等边三角形，点D,E,F 分别在边BC,CA,AB 上，且△DEF 也为等边三角形．除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；

解析：BDF ??∠∠?

??

∠∠????

在和CED 中

B=C=60BDF=CED （三角形的内角和等于180）DE=CF

∴△BDF ≌△CED ∴BF=CD,BD=CE （3）对基本图形变式3

同时弱化条件：“线段相等”和“直角”

如图，在△ABC 和△CDE 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACE=∠B=∠D ，则△ABC ∽△CDE ．

解析：ABC ??∠∠??

∠∠??在和CDE 中

B=D

ACB=CED （三角形内角和为180）

∴△ABC ∽ △CDE

应用：如图，在Rt △CAB 中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B,C ）,过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ． (1)求证：△ABD ∽△DEC;(2)设BD=x,AE=y,求y 关于x 的函数关系式． 解析：可证明△ABD ∽△DEC （AA ），利用相似三角形对应边成比例得出

2

1y 22

x =

-+ 在基本图形的变式中，学生往往难以理解变式后的图形与基本图形之间的关系，尝尝会

将基本图形的本质特征与所给问题的个别特征相混淆．为了排除非本质属性的干扰，在教学的起始阶段，除利用基本图形外，还应有意识地运用变式图形，让学生理解．

四、结论

1．教材例题、习题的“二次开发”有利于提高数学教学的有效性

苏霍姆林斯基说过：“如果你追求的只是那种表面的，显而易见的刺激，以引起学生对学习和上课的兴趣，那你就永远不能培养起学生对脑力劳动的真正热爱”．研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能让学生有效地进行学

习．教师对数学课本例题、习题的“二次开发”将大大提高数学教学的有效性．虽然我们经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果特别好，学生得到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生会学，乐学，对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强．爱因斯坦说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西．”而这样的教学，学生所形成的能力，是不会随着时间而消逝的．

2．为最大限度地对例题、习题进行“二次开发”的研究，教师还需加强自身业务素质的提高

以前我们常说：“要给学生一杯水，首先教师应该有一桶水．”但就眼前学生的发展来看，这一桶水显然是不够的．新《课程标准》对教学内容、教学方法、教学模式、教学评价体系等方面都作了较大调整，对教师的基本素质提出了新的要求．教师要努力提高自己灵活运用和开发教材的能力，加强自己探究性、创造性的指导能力，形成教学反思的习惯等，当教师自身业务素质提高了，对数学课本例题、习题的“二次开发”就会游刃有余，也能充分发挥学生数学学习的主动性、创造性，很好的培养学生的创新精神和实践能力．总之，对数学课本例题、习题的“二次开发”，一方面教师的自身素养会在研究的过程冲不断提高，数学课堂的会更加有效．另一方面在这样的教学模式下能充分激起学生学习数学的兴趣，并能主动地、自觉地去探究数学问题，有利于促进学生的发展．

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