北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的综合问题最值教学案理解析版

利用导数解决不等式的有关问题

►考法１证明不等式

【例１】（２0１8·郑州二模）已知函数f（x）＝ln x—２ax＋１（a∈R）．

（１）讨论函数g（x）＝x２＋f（x）的单调性；

（２）若a＝错误!，证明：|f（x）—１|＞错误!＋错误!.

[解] （１）由题意知函数y＝g（x）的定义域为（0，＋∞），

g（x）＝x２＋ln x—２ax＋１，

则g′（x）＝错误!＋２x—２a＝错误!（x＞0），

记h（x）＝２x２—２ax＋１，

１当a≤0时，因为x＞0，所以h（x）＞0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；

２当0＜a≤错误!时，因为Δ＝４（a２—２）≤0，

所以h（x）≥0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；

３当a＞错误!时，由g′（x）＜0，解得x∈错误!，所以函数g（x）在区间错误!上递减，同理可得函数g（x）在区间错误!，错误!上递增．

（２）证明：当a＝错误!时，设H（x）＝f（x）—１＝ln x—x，

故H′（x）＝错误!，

故H′（x）＜0，得x＞１，由H′（x）＞0，得0＜x＜１，

所以H（x）m ax＝f（１）—１＝—１，所以|H（x）|min＝１．

设G（x）＝错误!＋错误!，

则G′（x）＝错误!，

由G′（x）＜0，得x＞e，

由G′（x）＞0，得0＜x＜e，

故G（x）m ax＝G（e）＝错误!＋错误!＜１，

所以G（x）m ax＜|H（x）|min，

所以|f（x）—１|＞错误!＋错误!.

►考法２由不等式恒（能）成立求参数的范围

【例２】已知函数f（x）＝错误!.

（１）如果当x≥１时，不等式f（x）≥错误!恒成立，求实数k的取值范围；

（２）若存在x0∈[１，e]，使不等式f（x0）≥错误!成立，求实数k的取值范围．

[解] （１）当x≥１时，k≤错误!恒成立，

令g（x）＝错误!（x≥１），

则g′（x）＝错误!＝错误!.

再令h（x）＝x—ln x（x≥１），

则h′（x）＝１—错误!≥0，

所以h（x）≥h（１）＝１，所以g′（x）＞0，

所以g（x）为增函数，

所以g（x）≥g（１）＝２，

故k≤２，即实数k的取值范围是（—∞，２]．

（２）当x∈[１，e]时，k≤错误!有解，

令g（x）＝错误!（x∈[１，e]），

由（１）题知，g（x）为增函数，

所以g（x）m ax＝g（e）＝２＋错误!，

所以k≤２＋错误!，即实数k的取值范围是错误!.

[规律方法] １．利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f x＞g x.,法一：移项，f x—g x＞0，构造函数F x＝f x—g x，转化证明F x min＞0，利用导数研究F x 单调性，用上定义域的端点值.,法二：转化证明：f x min＞g x m ax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.

２．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,１首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.,２也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

３２

（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

[解] （１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]m ax≥M.

由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.

令g′（x）＞0得x＜0，或x＞错误!，

令g′（x）＜0得0＜x＜错误!，又x∈[0,２]，

所以g（x）在区间错误!上递减，在区间错误!上递增，

所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，

又g（0）＝—３，g（２）＝１，所以g（x）m ax＝g（２）＝１．

故[g（x１）—g（x２）]m ax＝g（x）m ax—g（x）min＝错误!≥M，

则满足条件的最大整数M＝４．

（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间错误!上，函数f（x）min≥g （x）m ax，

由（１）可知在区间错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．

在区间错误!上，f（x）＝错误!＋x ln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，h′（x）＝１—２x ln x—x，令m（x）＝x ln x，由m′（x）＝ln x＋１＞0得x＞错误!.即m（x）＝x ln x在错误!上是增函数，可知h′（x）在区间错误!上是减函数，又h′（１）＝0，

所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；

当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．

即函数h（x）＝x—x２ln x在区间错误!上递增，在区间（１,２）上递减，

所以h（x）m ax＝h（１）＝１，所以a≥１，

即实数a的取值范围是[１，＋∞）．

利用导数解决函数的零点问题

►考法１判断、证明或讨论函数零点的个数

【例３】设f（x）＝错误!x２—m ln x，g（x）＝x２—（m＋１）x.

当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图像的交点个数．

[解] 令F（x）＝f（x）—g（x）＝—错误!x２＋（m＋１）x—m ln x，x＞0，问题等价于求函数F