二次点列上的射影变换

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射影几何入门

(一)1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用 44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数1712. 一阶与二阶无穷集1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线1816. 平面系和点系1917. 空间中的所有平面1918. 空间中的所有点2019. 空间系2020. 空间中的所有直线2021. 点与数之间的对应2022. 无穷远元素22（二）1-1对应基本形之间的关系2523. 七种基本形2524. 射影性2525. Desargues 定理2626. 关于二个完全四边形的基本定理2727. 定理的重要性2828. 定理的重述2829. 四调和点概念2930. 调和共轭的对称性3031. 概念的重要性3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线31 34. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结3236. 可射影性的定义3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法3541. 平行线与中点3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式3846. 非调和比（交比）39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列4452. 无公共自对应点的射影相关点列4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列4756. 轨迹的退化4857. 两阶线束4858. 退化情况4859. 二阶圆锥面49(四) 二阶点列4960. 二阶点列与二阶线束4962. 切线5063. 轨迹生成问题的陈述5064. 基本问题的解决5165. 图形的不同构作法5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理5469. Pascal定理5470. Pascal定理中点的名称的替换5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线5775. 圆锥线的切线5876. 内接四边形5977. 内接的三角形6078. 退化圆锥线61(五)二阶线束6379. 已定义的二阶射线束6380. 圆的切线6381. 圆锥曲线的切线6582. 系统的生成点列线6583. 线束的确定6584. Brianchon定理6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形6989. 外切三边形7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线7192. 可射影性和可透视性7193. 退化情况7294. 对偶律72(六) 极点和极线75 95. 关于圆的极点和极线7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹7797. 更多的性质7898. 极点极线的定义7899. 极点与极线的基本定理78 100. 共轭点与共轭直线79 102. 自配极三角形79103. 射影相关的极点与极线80 104. 对偶性81105. 自对偶定理81106. 其他对应关系82(七) 圆锥曲线的度量性质83 107. 直径与中心83108. 相关的几个定理83109. 共轭直径84110. 圆锥曲线的分类84111. 渐近线84112. 有关的几个定理85113. 关于渐近线的定理85 115. 由双曲线及其渐近线切割的弦86116. 定理的应用86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程88119. 抛物线方程88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理95122. 线性作图法96123. 直线上点的对合的定义97 124. 对合中的二重点97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99126. 退化圆锥线100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100128. 二重对应100129. Steiner的作图方法101 130. Steiner作图法在重对应中的应用102131. 二阶点列中点的对合103 132. 射线的对合104133. 二重射线105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线105135. 双重对应105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合106139. 定理的陈述106140. 定理的对偶107(九) 对合的度量性质109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心109142. 基本度量定理109143. 二重点的存在110144. 二重射线的存在112145. 通过圆来构筑对合112 146. 圆点113147. 对合中的正交射线对, 圆对合114148. 圆锥线的轴114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点115150. 圆点的性质115151. 圆点的位置116152. 寻找圆锥曲线的焦点117 153. 圆和抛物线117154. 圆锥线焦点性质118155. 抛物线的情况119156. 抛物面反射镜119157. 准线．主轴．顶点119 158. 圆锥线的另一种定义120 159. 离心率120160. 焦距之和与差121(十) 综合射影几何的历史123 161. 早期成果123162. 统一性原理124163. Desargues 124164. 极点与极线125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理125166. 推广到空间的极点与极线理论126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法126168. Desargues 工作的被接纳127 169. Desargues时代的保守性127 170. Desargues的写作风格128 171. Desargues工作缺乏欣赏129 172. Pascal与他的定理129 173. Pascal的短评130174. Pascal的独创性130175. De La Hire和他的工作131 176. Descartes和他的影响132 177. Newton和Maclaurin 133 178. Maclaurin的证法133179. 画法几何与综合几何的二次复兴134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作136183. 解析几何妥欠综合几何的债137184. Steiner和他的工作137 185. V on Staudt和他的工作138 186. 近期的发展139附录140参考文献148索引151第1章1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。

高等几何复习分解

［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点. 此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点. 无穷远点记为P ，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点. 因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线. 一般记为l，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面. 若对仿射平面上无穷远元素(无穷远点、无穷远直线)与有穷远元素(有穷远点、有穷远直线)不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x 1 0 与直线x 3y 4 0 上无穷远点的齐次坐标解：( 1)直线x 1 0 即x 1它与y 轴平行所以位y 轴上的无穷远点(0,1,0)1 4 1(2) 由直线x 3y 4 0 得y x 故无穷远点为(1, ,0) 或( 3，1，0)3 3 32、求证：两直线x1 x2 x3 0 和2x1 x2 2x3 0 的交点C 与两点A( 3, 1,B2), ( 2三,点共线x1 x2 x3 0证明：解方程组：1 2 3的交点C(1, 4, 3)2x1 x2 2x3 0143因为行列式 3 1 2 0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：设a=(u 1,u 2,u 3),与a (u 1,u 2,u 3)是共轭复点，两点连线为 l 由定理 a 在l 上，a 在l上，又 a 在l 上，所以 a 的共轭 a 也在直线 l 上u 1 u 1 ( u 1 )即u1 与u1 都为实数u 3 u 3 u 3 u 2 u 3所以 u 1:u 2 : u 3与一组实数成比例，即直线为实直线。

二次曲线的定义

a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称两个射影线束对应直线交点的集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称两个射影点列对应点连线的集合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中无三线共点)唯一确定一条非退化二级曲线。

射影几何学

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。

在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。

这两个图形叫做对偶图形。

在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。

这两个命题叫做对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原则。

在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。

同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。

比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

高等几何讲义第三章射影变换____§1 一维射影变换

{ a, b, c, d,} a/ //{a//, b//, c//, d//, } 与 //{a//, b//, c//, d//, } a /{a/, b/, c/, d/, }
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递，但透视一般是不可传递的．
高等几何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高等几何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得

关于非退化二阶曲线上的射影变换及对合

维普资讯
第１９卷第２期
Ｖ，ｌ９ＮＯ．２
重庆师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｏｇｉｇＮｏｍａｉｅｓｔｏｒａｎｑｎｒｌｖｒｉｏＣｈＵｎｙ（Ｎａｕａｃｅｃｄｔｎ）ｔｒｌｉｎｅＥｉｏＳｉ
ａｔｒｔｏｎｓａｄａｌｔｏｎｔｆｉｅｅｔｏｆｃｒｅｐｏｄｅｃｉｓｏｈｅ — ｉｒａｅｏｎｅｌｎＴｈｅｔｅｌｔｅｌｅｎａｅｐｉｔｎｌｈｅｐｉｓｏｎｔｒｃｉｎｏｏｒｓｎｎｅｓｄｅｆｔｒｅｐｏｎｔｆｍｒｎｏｉｅ．ｓｏｎ，ｈａｔｒｎｃｅｓｒｄｓｆｉｉｎｔｃｎｔｏｓｇｎｒｉｅｏｔｅｃｓｆｒｔｅｗｏｉｅｅｔｏｎｒｎｅｏｇｎｅａｔｅｏｄ— ｒｅｅｓａｙａｎｕｃｅｏｄｉｎｉｅｅａｚｄｔｈａｅｏｈｔｄｆｒｎｐｉｔａｇｓｆｄｅｅｒｅｓｃｎｏｄｒｉｌ
后，将非退化二阶曲线到自身的双射为对合的充要条件推广到退化二阶曲线两相异点列的情 Байду номын сангаас 。再
关键词：退化二阶曲线；影变换；合非射对
中图分类号：８Ｏ１文献标识码：Ａ文章编号：０１８０（０２）２００－５１０ —９５２００－０５０－
ｌｅＡｔｈａｉｅｂｐｏｅｔｂｔｅｒｎｎｅｅｅａｅｓｃｎ —ｒｅｕｖｉｔｅｉｖｌｔｎｉａｄｏｌｆａｌｉ．ｅｓｍｅｔｎｔｍｅＩｈｉｒｊｃｙｉｌｆｏｄｇｎｒｔｅｏｄｏｄｒｃｒｅＦｓｏｂｎｏｕｉｆｎｎｙｉｌｔｓｆｏｏ

第三章射影变换

第三章射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(，其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。

我们不难得出：（1）点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0；（2）点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0；（3）当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1；（4）当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即（AB ，CD ）=（CD ，AB ）证明由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即（AB ，CD ）=（BA ，DC ）定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解（P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

任意三角形的射影定理(3篇)

第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。

根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。

（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

射影定理证明

射影定理证明射影定理是代数学中非常重要的一个定理，它在研究代数结构和代数变换时具有广泛的应用。

本文章将对射影定理进行详细的解释和证明，以期帮助读者更深入地理解射影定理的核心思想和应用。

首先，我们来了解一下射影变换的概念。

射影变换是指在二维平面或三维空间中，将任意一条直线或射线映射为另一条直线或射线的变换。

射影变换可以将无穷远处的点映射到有限远处或相反，因此它可以将有限点集变换为具有无穷远点的点集。

在这个过程中，射影定理所关注的是一些特殊的点集，它们由直线或射线所包含。

在理论研究中，我们通常将这样的点集称为“射线”或“直线”，而不管它们是否有穷远点。

在这个意义上，我们可以将射线看作是一些具有方向的“向量”，它们可以表示为起始点加上方向的形式。

在形式化的研究中，一个“射线”可以被表示成一个形如(a,b,c)的三元组，其中a、b和c分别表示“起始点的x坐标”、“起始点的y坐标”和“方向向量的斜率”（如果它存在）。

接下来，我们提出了射影定理的核心思想：它是一个关于“点集和射影变换”的定理，指出如果一个点集在进行完射影变换后，依然保持线性的结构，那么这个点集就被称为“射影空间中的点集”。

换言之，射影定理指出了一个点集何时是“射线”或“直线”的判断标准：当它在射影变换下仍为“射线”或“直线”时，我们才可以把它看作是一个“射线”或“直线”。

接下来，我们详细地说明射影定理的证明过程。

具体来说，我们考虑将一个任意的点集进行射影变换（指已知点集和它们对应的线性关系，计算变换后的射线方程或直线方程），并且假设该点集在射影变换前是一个线性子空间。

根据射影变换的定义，我们可以得到一个矩阵M，它将所有的坐标表示和方向矢量变换为另一个表示方式和矢量。

此外，我们加入一个额外的列（行）以表示“无穷远点”。

这表示了所有“射线”或“直线”的共同性质：它们具有无限的长度，其中包括无穷远处的一些点。

通过使用矩阵M来将我们的原始点集和坐标表示变换为新的点集和坐标表示，我们可以得到一个新的“线性子空间”，其中包括原始点集和无穷远点。

二次曲线的配极原理

推论5 两点P, Q关于Γ共轭Spq=0. 注1. P在Γ上, 则Spp=0。我们规定 Γ上的点关于Γ自共轭. 注2. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证
a11 a12 a13 q1 ( p1, p2 , p3 ) a12 a22 a23 q2 0.
a13 a23 a33 q3
综上：非退化二阶曲线Γ 配极变换二维异素射影变换
二维异素射影变换对偶变换
从而配极原则
特殊的对偶原则
配极变换
2. 自极三点形定义10 若一个三点形关于Γ每个顶点是其对边的极点(则每边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于Γ的一个自极三点形.
定理15 内接于非退化二阶曲线Γ的完全四点形的对边三点形是关于Γ的一个自极三点形.
配极变换
3. 配极变换的基本应用
(1). 几何证明题灵活运用配极原则以及自极三点形等概念
(2). 极点极线作图
例2. 已知非退化二阶曲线Γ及不在Γ 上一点P, 求作P关于Γ的极线p.
例3. 已知非退化二阶曲线Γ以及一直线p, 求作p关于Γ的极点P.
作法. 在p上任取不在Γ上两相异点 Q,R, 利用上例, 作Q,R关于Γ的极线q,r. 则 q×r=P.
注. 方程(2)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个一一变换.
配极变换
二、配极变换
1. 配极变换的概念
定义称由
3
ui aij x j
i 1, 2, 3, aij a ji ,| aij | 0.
(4)
j 1
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ: S=0 的配极变换.
注1. Γ的自极三点形的任一顶点必不在Γ上. 注2. Γ的自极三点形恰有一个顶点在Γ的“内部”. 注3. Γ的自极三点形任意两顶点相互共轭; 任意两边相互共轭。例1. 给定不在Γ上的一点P(pi), 任求Γ的一个自极三点形PQR. 解. (i) 求P(pi)的极线p： Sp=0. (ii) 在p上任取不属于Γ的一点Q(qi), 求Q的极线q： Sq=0. (iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为Γ的一个自极三点形.

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲

南京师范大学《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何（Higher Geometry）课程编号：06100020学分：3学时：90先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I)替代课程：无一、课程教学目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。

二、教学任务通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务：1、完成上述教学目的。

二维射影变换及其性质

二维射影变换及其性质王玮数学科学学院06050203摘要二维射影变换是射影几何的一个重要分支,重点研究的是点和直线在射影变换下的不变性.本文着重研究了二维射影变换下二重元素的分布状况及其特征性质,从理论上解决了二维射影变换二重元素的结构问题.另外本文对二维射影变换的对合性和变换式的求法进行了探索.二维射影变换式的求法在现行的教科书中涉及较少,本文通过具体例子来说明二维射影变换式的几种求法. 关键词：二维射影变换,对合对应,特征方程,特征根,交比,矩阵引言射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

欧式直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

一、二维射影变换定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'ϕππ→满足（1）ϕ为双射；（2）ϕ使得共线点变为共线点；（3）ϕ保持四点的交比不变，则称ϕ为点场π到点场'π的一个二维射影对应。

定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义 1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应()111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠*⎨⎪=++⎩为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换.定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换. 显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换. 二、二维射影变换式的求法二维射影变换式的求法在现行的射影几何教科书中涉及较少.本节通过具体例子说明二维射影变换式的求法.定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1,2,3,4i i P P i →= 定理 2.2设平面π上无三点共线()()()112321233123,,,,,,,,,P a a a P b b b P c c c()4123,,P d d d 和另外无三点共线的四点()()11232123'',',','',',',P a a a P b b b()()31234123'',',','',','P c c c P d d d 成射影对应,则存在而且只有一个射影对应ϕ,使得()()112233''1,2,3,4,','i i x x p p i x A x A x x ϕϕρδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：112131122232132333''''''''''''''''''a b c a b c a b c λλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1112131112223241122334132333112233,,'(1,2,3),''''''',i i a b c a b c BC i p p p p p a b c p p p λλλλλλδλλλλλλλλλλλδ--⎛⎫⎪===++= ⎪ ⎪⎝⎭++由确定，为一定常数.定理 2.3设共线四点的坐标为 ()()()112321233123,,,,,,,,,p a a a p b b b p c c c()4123,,,p d d d 则其交比为()412311112222,.11112222c ad b c a d b p p p p c b d a c b d a =定理2.4设射影标架{}123;A A A E =∑下（如图1）,任一点()123,,P x x x 在射影变换ϕ下的像点为()1123'',',',P x x x 则有()()131********:,'',''':x x A A E P A A E P x ===()()3232311231123',:,'',''':'x x x A A E P A A E P x x ===图 1A 1A A 3A'2A'3A'121. 举例（没有1哪来2 啊）下面举例说明二维射影变换式的求法.例 2.1 求射影变换,使点()()()()12341,0,1,0,1,1,1,1,1,0,0,1P P P P 分别变换点()()()()1234'1,0,0,'0,1,0,'0,0,1,'1,1,1.P P P P解法1：把射影变换式设出,利用点之间的对应关系求出(),1,2,3ij a i j =之间的关系,进而求出射影变换式. 设所求的射影变换式为：111112213322112222333311322333'',0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩由()()()()()()()()1,0,11,0,0,0,1,10,1,0,1,1,10,0,1,0,0,11,1,1→→→→得()()()()111131************2123222232122234233133323333132334330010;2;30;400a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aρρρρρρ=+=+=++=⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+=+=++=⎩⎩⎩⎩ 由（1）、（2）、（3）、（4）解得112213233341232213140;;.a a a a a a a a a ρρ=========- 故所求射影变换式为：142431232414321334142433123''','''x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xρρρσρρρσρρρρσ=-+=-+⎧⎧⎪⎪=-+=-+⎨⎨⎪⎪=--+=--+⎩⎩即，01110110111--=≠--其中解法2：利用矩阵方法求射影变换式因为4123P P P P =+- ，即12311 1.λλλ===-，， 4123'''',P P P P =++ 即1'1λ=，23'1,' 1.λλ==从而100101010;011,001111B C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1011101111C --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭所以1A BC δ-==011101111-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,其中1δ=.即所求的射影变换式为：1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中. 解法3：利用交比求变换式设射影变化将动点()123,,X x x x 变换为点()123'',','X x x x ,如图2所示图 2P 2P 3P 1直线13224,,PP P X P P 的线坐标分别为()()()3211,0,1,,,1,0,0x x x --.2P X与13P P 的交点E ,坐标为()11231,,x x x x x +-.2413P P PP 与的交点F ,坐标为（0,1,0）.根据定理 3有 ()2123131123101110,011110x x x x PP EF x x x x +-=+-.23123x x x x x -+=--+.直线23141,,P P PP P X 的线坐标分别为()()()21320,1,1,0,1,0,,,x x x x ---+-123P X P P 与的交点H ,坐标为()12322,,x x x x x --+--.()123132312312321010121,110011x x x x x x P P GH x x x x x x x ---+--+===---+--+- 由定理3.4得()()12132333'',;,''x x PP FE P P GH x x == 故所求射影变换式为1232133123'''x x x x x x x x x x ρρρ=-+⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩，其中01110110111--=≠--其中.三、二维射影变换的二重元素定义3.1：二维射影变换的二重元素,就是指经过二维射影变换后不变的元素. 二维射影变换()111112213322112222333311322333'',0,0.1'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a xρρρρ=++⎧⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩存在二重元素的条件是它的特征方程()11121321222331323302a a a a a a a a a μμμ--=-存在.将方程（2）的特征根代入二重点方程组()()()()1111221332112222333113223330030a x a x a x a x a x a x a x a x a x μμμ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重点的坐标或二重点列的方程. 将特征方程（2）的根代入二重直线方程组()()()()1112123131212223231312323330040a t u a u a u a u a t u a u a u a u a t u -++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩可求的二重直线的坐标或二重线束的方程. 二维射影变换的二重元素与特征根的关系特征方程（2）是一个关于u 的三次方程,它的三个根的情况有三种可能：三个单根或一个单根与一个二重根或一个三重根,二重元素的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是二重根（二重直线）还是二重点列（二重线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵D 来决定.111213212223313233(5)a a a D a a a a a a μμμ-=--（1）当系数矩阵的秩等于2,则可得一个二重点(二重直线). （2）当系数矩阵的秩等于1,则可得一个二重点列(二重直线束). 3.1特征根为三个根的情况当特征方程（2）有三个单根时,对于每个特征根,由方程组（3）可求出与之对应的一个二重点,则有三个不同的二重点,设为p 1, p 2, p 3;对偶地,由二重直线方程组（4）可求的三条二重直线,设为l 1, l 2, l 3.这三个二重点与三条二重直线之间有如下关系：由p 1, p 2为二重点,则直线p 1 p 2 必是一条二重直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p 1 p 2的对应仍是直线p 1 p 2 . 同理： p 3 p 2 、 p 3 p 1也是二重直线.因此,把特征根代入二重直线方程（4）中求出的三条直线l 1, l 2, l 3就是直线p 1 p 2、 p 3 p 2、 p 3 p 1.这样,当求出三个二重点p 1, p 2, p 3后,除了可以通过二重直线方程组（4）求二重直线,还可以用两点坐标之向量外积p 1× p 2、 p 3× p 2、 p 1× p 3求二重直线的坐标. 例3.1 求射影变换1122123123'4'63'x x x x x x x x x xρρρ=-⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的二重元素. 解：由特征方程123410630,13 2.111μμμμμμ----=-==----=0得特征根:，，分别把特征根代入二重点方程()()()()()()121212340630001110165.10x x x x x x x μμμ--=⎧⎪-+=⎨⎪--+=⎩,得二重点坐标分别为，，，，，，把特征根分别代入二重直线方程组()()()[][][]123123346030110555610.10u u u u u u u μμμ-++=⎧⎪--+-=---⎨⎪-+=⎩,得二重直线坐标分别为，，，，，，这三条直线与三个二重点两两向量外积所得的直线相同()()[]()()[]()()[]001110110110165555165001610⨯=-⨯=-⨯=-，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征方程（2）有一个单根及一个二重根时,对应于单根的必是一个二重点（二重直线）,但对于二重根却有两种情况：可能得到一个二重点（二重直线）或可能得到一个二重点列（二重线束）,这由系数矩阵（5）的秩来决定. 3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的一二重点p 1,对应于二重根（系数矩阵（5）的秩为2）得另一二重点p 2,这时点p 1, p 2的连线必是两条二重直线l 1, l 2中的一条,而另一条二重直线也比过这两二重点中的某一点.对偶地,两条二重直线l 1, l 2的交点一定是p 1, p 2中的某一点,而且另一点也必定在此二直线中的一条上.因此只要把特征根代入求二重点和二重直线的方程组（3）,（4）中,就可以得到二重点和二重直线. 例 3.2.1 求射影变换11222323'26'2'3x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩的二重元素. 解：由特征方程123260020,32013μμμμμμ--===--=0得特征根:，（二重根）对应于µ1=3的一个二重点p 1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（5）得秩等于2,也得一个二重点p 2.对偶地,对应于这两个根有两条二重直线. 把µ1=3和µ2=µ3=2代入二重点方程组()()()()()1221223260200,0,1,1,0,0.30x x x p p x x μμμ-+=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩,得二重点分别为把µ1=3,µ2=µ3=2代入二重直线方程组()()()[][]112312320620,0,1,1,0,1,0.30l l μμμμμμμμ-=⎧⎪+--=-⎨⎪-=⎩得二重直线由此看到,p 1, p 2连线就是l 2,而直线l 2经过p 2,即l 1, l 2相交于p 2,而p 1在直线l 2上. 3.2.2系数矩阵的秩为1如果对应单根得一二重点p 1（二重直线l 1）,对应于二重根（系数矩阵的秩为1）得一二重点列l （二重线束o ）.这时二重直线l 1就是二重点列的底,而二重点就是二重线束束心o ,即l 1=l ,p 1=o ,因为二重点列上的点都是二重点,它们的底直线l 在射影变换中不会改变,从而成为二重直线.对偶地,二重线束束心o 在射影变换中不变,成为二重点.由此可知,在这种情况下,只要把特征方程（2）的根代入方程组（3）,就可以求出二重点与二重点列,则二重线束束心与二重直线也就得到了. 例3.2.2求射影变换11223223'''22x x x x x x x xρρρ=⎧⎪=⎨⎪=--+⎩的二重元素. 解：由特征方程123100010,2(1122μμμμμμ--===---=0得特征根单根），（二重根）对应于单根µ1=2得一二重点,对于二重根µ2=µ3=1,代入系数矩阵（5）, 其秩等于1,故得以二重点列. 把µ1=2,µ2=µ3=1代入二重点方程组()()()1211231231010(0,0,1)20.220x x p x x x x x x μμμ-=⎧⎪-=+-=⎨⎪--+-=⎩,得二重点列二重点列方程这时,在已知射影变换下,二重直线方程坐标是[1,2,-1],而二重直线方程的束心方程是：µ3=03.3特征根为三重根的情况当特征方程（2）的根式三重根时,对应于这个三重根也有两种可能：可能得到一个二重点（二重直线）,也可能得到一个二重点列（二重线束）.此时仍可用系数矩阵（5）的秩来判定. 3.3.1系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（5）,得秩等于1,则对应于特征根有一个二重点列（二重线束）.这时二重线束的束心就在二重点列上.因此可通过二重点（二重直线）方程组得到二重点列（二重线束）. 例 3.3.1求射影变换11232233'2''x x x x x x x xρρρ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩的二重元素. 解：由特征方程1120010,1(001μμμμ--=-=0得特征根三重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入二重点方程组()()()123223312010010x x x x x x x μμμ-++=⎧⎪-=+=⎨⎪-=⎩,得二重点列2 将µ1=1代入二重直线方程组()()()()11212313102100.1002010u u u u x x u u μμμ-=⎧⎪+-==+=⎨⎪+-=⎩,得二重线束的束心方程其中束心，，在点列上.3.3.2系数矩阵的秩为2如果把特征根代入系数矩阵（5）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个二重点及一条二重直线,二重点与二重直线之间具有结合关系.此时可通过求二重点（二重直线）方程组得到二重点（二重直线）的坐标. 例 3.3.2求射影变换11222333'''x x x x x x x xρρρ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩的二重元素。

射影几何是研究图形的射影性质

射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。

一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。

这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。

这门几何学就是射影几何学。

基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。

那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。

在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。

这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。

在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。

稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。

他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

浅析射影几何及其应用

浅析射影几何及其应用湖北省黄冈中学一、概述射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。

在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何,但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。

在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究,对以下专题进行了研究:1、射影几何的基本概念及交比不变性2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一）3、对偶原理4、二次曲线在射影几何上的应用5、布列安桑定理和帕斯卡定理6、二次曲线蝴蝶定理二、研究过程1、射影几何的基本概念及交比不变性射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点,但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。

射影几何所研究的对象是图形的位置关系,和在射影变换下图形的性质。

射影，顾名思义,就是在光源(可以是平行光源或者是点光源)，图形保持的性质。

在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。

然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。

此外,射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。

在中学的几何中,我们认为两条平行的直线是不相交的。

但是在射影几何中,我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。

一条直线有且只有一个无穷远点,平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。

所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：1、过两点有且只有一条直线2、两条直线有且只有一个交点这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。

射影变换

P3P4 )
(1 (2
3 )(2 3 )(1
4 ) 4 )
.
(2.2)
§ 2.1 交比
证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设
a+λ1b=a', a+λ2b=b'.
从中解出a,
b,
得
a
a' 2
b' 1
,
2 1
b b'a' .
2 1
于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 a', b', 2 3 a' 3 1 b', 2 4 a' 4 1 b' 2 1 2 1 2 1 2 1
中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示
设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p),
其坐标可表示为
a b
R.
称a, b为基线, λ为参数.
这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义？不易说清楚！容易看出
解：设 P3 P1 1P2, P4 P1 2P2. 则显然2 1, 由
(P1P2 , P3P4 )
1 2
1
1
2.
可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标
即
a', b', a' 3 1 b', a' 4 1 b'.

射影几何基本定理

射影几何基本定理几何学内容概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看做就是“理想点”。

通常的直线再加之一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就处设这两条直线共计的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看做就是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的态射，就都可以叫作射影转换了。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫作对偶元素，把“过一点并作一直线”和“在一直线上投一点”叫作对偶运算。

在两个图形中，它们如果都就是由点和直线共同组成，把其中一图形里的各元素改成它的对偶元素，各运算改成它的对偶运算，结果就获得另一个图形。

这两个图形叫作对偶图形。

在一个命题中描述的内容只是关于点、直线和平面的边线，可以把各元素改成它的对偶元素，各运算改成它的对偶运算的时候，结果就获得另一个命题。

这两个命题叫作对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原则。

在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。

同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影转换下二次曲线的维持不变性质，也就是射影几何学的一项关键内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学\uc 仿射几何学\uc 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。

二次曲线上的射影变换

二次曲线上的射影变换
射影变换是指将二维平面上的点通过射影矩阵进行变换的操作。

对于二次曲线上的点进行射影变换，可以通过以下步骤进行：
1. 假设二次曲线的方程为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F是常数。

2. 将二次曲线表示为齐次坐标形式，即Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dxz + Eyz + Fz^2 = 0。

3. 构造射影矩阵P，一般形式为：
P = [p11, p12, p13]
[p21, p22, p23]
[p31, p32, p33]
其中p11、p12、...、p33是射影矩阵的元素。

4. 对于二次曲线上的点[x, y, z]，通过将射影矩阵P与该点相乘得到变换后的点：
[x', y', z'] = P[x, y, z]
其中[x', y', z']是变换后的点。

5. 将变换后的点[x', y', z']转换为非齐次坐标形式，即[x'/z', y'/z']，即可得到射影变换后的二次曲线上的点。

需要注意的是，射影变换可能会改变二次曲线的形状、位置和方向。

射影矩阵P的选择会影响变换的效果，不同的射影矩阵可能会得到不同的变换结果。

第4章射影变换学习辅导(1)

第4章射影变换第4章射影变换学习辅导(1)学习方法引荐本章内容是在仿射变换的基础上，进一步研究射影变换和在射影变换下的不变问题.首先对点列和线束引入基本射影不变量——交比.即从介绍交比概念，引入共线四点的交比和调和比，共点四线形的交比和调和比.在此基础上讨论两个同类一维基本形的射影对应，射影变换及其特殊情况—对合，主要研究点列到点列的射影对应.在本章内容中，交比是重要的概念，它是射影变换的基本不变量.一维基本形的射影对应（变换）是平面射影几何的基础.作为调和比的几何背景本章还介绍了完全四点形及对偶图形完全四线形的调和性，这两个图形的调和性也是射影几何的重要不变性，它们在射影几何中也具有重要地位.学习本章时要抓住以下几点： 1.点列与线束的交比与调和比；2.完全四点形和完全四线形的调和性质；3.一维基本形的射影对应；4.一维基本形的对合.它们的基本内容包括如下： 1.点列与线束的交比和调和比（1）点列的四点的交比.我们知道，单比是仿射变换的基本不变量，但对于中心投影来说，单比不是不变量.这样就发生如何建立中心投影的基本不变量的问题，这个基本不变量就是交比.交比是两个单比的比，它有许多基本性质，见教材中的定理.由这些定理知，共线四点A ，B ，C ，D 共有24种排列，即有24个交比，分为6类，每类的四个交比值相等.当（AB ，CD ）=－1时，CD 调和分割线段AB ，由调和分割的关系是对等的，因此A ，B ，C ，D 称为调和点列.（AB ，CD ）=（CD ，AB ）=－1（2）交比的代数表示设点P 1，P 2，P 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），单比（P 1P 2P ）=μ，则μμ--=121x x x μμ--=121y y y （1） P 的齐次坐标（21x x μ-，21y y μ-，μ-1），当μ=1时，（1）式无意义.但当μ→1时，可得到P 1，P 2所在直线上的无穷远点.所以（P 1P 2P ∞）=1即一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1，也就是（P 1P 2，P 3P ∞）=（P 1P 2P 3）如果四点P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1或P 2为无穷远点，则上式可作为交比的定义. 设四个不同的共线点P 1（A+λ1B ），P 2（A+λ2B ）， P 3 (A+λ3B )，P 4 (A+λ4B )，则))(())((),(413242314321λλλλλλλλ----=P P P P其中λi （i =1，2，3，4）彼此不相等.设四个不同的共线点的三点及其交比k （k ≠1，k ≠0）为已知，则第四点必唯一确定. （3）线束的四直线的交比与调和比与点列的四点的交比类似，线束中四直线的的交比是利用三条直线的单比定义的.（AB ，CD ）=)()(ABD ABC第4章射影变换应该注意，四直线的交比值与直线μ的取法无关.如果线束S 的四直线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）由这个结论可以推出与点列交比性质相类似的关于线束交比的性质，因此也可知四条直线所构成的24个交比值分为6类，每类的四个交比值相等.交比经中心投影后不变，即交比为射影性质. 2.完全四点形与完全四线形调和性利用完全四点形的性质，可以解决“已知共线三点，求作第四调和点”的作图方法.设S ，S '是完全四点形ABCD 的一对对边，它们的交点是对边点X ，X 与其它二对边点的连线是l ，l '，图4-1.则必有（SS '，ll '）=－1XS l ' D l S ' M Q C Y LA B E图4-1设S ，S '是完全四线形ABCD 的一对对顶点，它们的连线是对顶线x ，x 与其它两对顶线交点T ，T'，图4-2.则（SS '，TT'）=－1.TS y A x D T' CS '图4-23.一维基本形的射影对应（1）透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的.显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变.（2）射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质： ①是一一对应的 ②A ∧B 则B ∧A③具有传递性，即若A∧B ，B∧C ，则A∧C两个点列间的一一对应是射影对应⇔任何四点的交比与其对应四点的交比相等. 已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应.两个点列间的射影对应是透视对应⇔它们底的交点自对应. 两个线束间的射影对应是透视对应⇔它们顶点的连线自对应. 4.一维基本形的对合对合是射影变换的一种特殊的情况，在对合里每对对应元素的每个元素归入哪个基本形都可以. 射影变换成为对合对应的充分必要条件.重点、难点解析1.交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A ，B ，C ，D 的交比定义为两个单比（ABC ）和（ABD ）的比，表为(AB ,CD )=)()(ABD ABC .交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A ，B ，C ，D 的坐标顺次为A ，B ，A+λ1B ，A+λ2B ，则 (AB ，CD )=21λλ以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =ADBC BDAC ⋅⋅，所用坐标的非齐坐标，AC ，BD ，BC ，AD 都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB ，CD )=21λλ,用齐次坐标.例如，共线四点A （2，1，-1），B （1，-1，1），C （1，0，0），D （1，5，-5），求（AB ，CD ）时，可把A 和B 作为基础点对，则C =A + B ，λ1=1，D = 2A -3B ，λ 2 =32-所求交比21λλ=32- 注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是否有无穷远点.所以，定义(AB ，CD )=)()(ABD ABC =AD BC BDAC ⋅⋅，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB ，CD )=21λλ的定义方法. 关于交比的定义，要注意以下问题：① A ，B ，C ，D 四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；② AC ，BD ，BC ，AD 都是有向线段的代数长，因而交比（AB ，CD ）是个数值. （2）交比的性质由于A ，B ，C ，D 四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知（AB ，CD ）=3，则可知（DC ，BA ）=（BA ，DC ）=（AB ，CD ）=3. 而（AC ，BD ）=1－（AB ，CD ）= －2（3）几个特殊的交比共线四点A ，B ，C ，D 中，设A ，B ，C 是固定点，第四点D 沿直线移动.可以证明，点D 在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB ，CD ）的值.点D 的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D 和D '在两个不同的位置，且有（AB ，CD ）=（AB ，CD '）则)()()()(D AB ABC ABD ABC '=，因而（ABD ）=（ABD '）这只有在D = D '时，等式才成立，因此，（AB ，CD ）的每个值，对应点D 的一个确定的位置. 当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是 A ＋1λB ，A ＋2λB ，A ＋3λB 则由k =----))(())((41324231λλλλλλλλ （其中k 为定值，且k ≠0，1）可以求出4λ，确定第四点.因此第四点A ＋4λB 唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D 与C 重合时，则有（AB ，CD ）= 1 ②当D 与B 重合时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CB ）=ABBC BBAC ⋅⋅ = 0③当D 与A 重合时，（AB ，CD ）=（AB ，CA ）=∞=⋅⋅AA BC BAAC④D 为无穷远点时，则有（AB ，CD ）=（AB ，CD ∞）==∞)()(ABD ABC （ABC ）可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC ），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB ，CD ）=－1时，称为C ，D 调和分割A ，B .或称点偶A ，B 与点偶C ，D 调和共轭.D 叫做A ，B ，C 的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A ，B ，C ，D 所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比①由定义知，四直线A ，B ，C ，D 的交比为)()(ABD ABC =AD BC BDAC ⋅⋅，注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7：如果线束S 的四线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，则（AB ，CD ）=（AB，CD）的证明.在上述定理中，若点S，A，B，C，D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷远点或S为无穷远直线时（即A，B，C，D都是无穷远点），此定理仍成立.即（AB，CD）的值与直线S的取法无关，所以仍可取（AB，CD）=（AB，CD）③定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6）有关交比的作图问题①有关交比的作图可以根据共线四点的交比的定义，借助初等几何作图来完成，需要用相应例题来理解.②第四调和点的作图●用“一角两条边和这个角内外平分线调和共轭”作第四调和点.●利用相似三角形作第四调和点.（7）利用交比的调和共轭解初等几何问题交比和调和共轭是几何学中的重要概念，它们在几何的研究中有重要的作用，运用这些概念和有关性质，可以解决一些初等几何问题主要在以下三个方面：①角平分线的调和性.②利用交比证明有关圆的问题.③与图有关的调和共轭问题.2.完全四点形和完全四线形的调和性完全四点形和完全四线形是射影几何中的重要图形，由于这两个图形具有调和性，而交比又是射影变换的不变量，所以对完全四点形的性质的研究在射影几何中占有重要地位.值得注意的是，在前面调和比是用交比来定义的，而交比之定义为单比之比，所以定义调和比此时用了变量概念.对完全四点形的性质的研究，可以使我们完全不用度量概念，而使用下列方法来定义调和比或调和共轭.即“一直线S上的点偶A，B与C，D，A，B是一个完全四点形的对边点，C，D是通过第三个对边点的两条对边与S的交点，则A，B与C，D成调和共轭”.这种定义是综合地纯射影的定义，这种定义方法只与直线和直线相交的作图有关，与度量无关.由于完全四点形的调和性是射影性质，所以它的对偶图形完全四线形也有调和性.学习本单元内容时还应注意以下问题：（1）注意完全四点形与中学所熟悉的四边形的区别.四边形指简单四边形，由顶点依次连接而成，顶点数等于边数，均为4，如图4-3.ABCD为简单四边形.而完全四点形是平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，如图4-4.完全四点形ABCD有四个顶点A，B，C，D，有六条边（即任何两顶点的连线都是边），通过同一顶点的边叫邻边，不通过同一顶点的边叫对边，因此有三对对边：AB与CD；AC与BD；AD与BC，对边交点叫对边点，共三个，即AB×CD=X，AC×BD=Y，AD×BC=Z.三个对边点组成对边三点形XYZ.BCD A Y CDX ZA B图4-3 图4-4完全四点形的一对对边被通过这两个边交点的对边三点形的两边调和分割.完全四线形的一对对顶点被连接这两个点的对角三角形的两边调和分割.（2）利用完全四点形的调和性作第四调和点我们知道，一直线l上的点偶P1，P2，Q1，Q2成为调和共轭的充要条件是：“P1和P2是一个完全四点形的对边点，Q1和Q2是通过第三个对边点的两条对边与l的交点”，根据这个道理，可以通过完全四点形的作图来作第四调和点.如图4-5，已知直线l上有三点P1，P2，P3，求作点P4，使（P1P2，P3P4）=-1.作法如下：过P1P2若任作一直线交于点A，在P2A上任取一点B，连B P3，过P1A于点C，再连P2C，P1B，交于点D.连AD与L交于P4，则P4为所求第四调和点.ACBDlP1P4P2P3图4-5应当指出，以上作图是只用一根直尺完成的.而且过P1，P2的直线是任意作的，但P4点是唯一的，这由笛沙格定理保证.在图4-5中，根据定理，若P4为P1P2中点，则P为l上无穷远点，于是利用直尺可以作出CB// P1P2，反之，如果知道CB// P1P2，也可以用一根直尺求P1P2中点.（3）应用完全四点形的调和性解初等几何问题.利用完全四点形的调和性，可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点和共线问题.例如，三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.3.一维基本形的射影对应（1）什么叫一维基本形基本形，指以点、直线、平面为元素所形成的某些无穷集合，一维基本形指点列和线束.什么叫一维呢？关于维的概念，要注意几何学的维与空间的维是有区别的.几何学中的维数，指几何元素活动的自由度，也就是几何元素的坐标或参数必不可少的数目，这个数就是几何学的维数.此如平面内的点和直线应该有两个坐标，但在点列中以A，B为基点的任一点坐标可以表为A，B的坐标的线性组合，即C = A + λB，其中λ为参数，所以点列中的点可以用一个独立参数表示（对于线束也有类似结论）.也就是说，点列的每个点（或线束中的每一直线）都可以用一个独立参数表示，点列和线束就叫一维图形.点列和线束就是一维几何研究的对象.关于空间的维数，是指把直线，平面或空间都看成四点构成，空间的维数是点活动的自由度，所以直线叫一维空间.平面叫二维空间，我们生活的空间叫三维空间.由于几何学研究的元素不限于点，所以几何学中的维与所处空间的维不同.比如，平面上的直线几何应该叫二维几何学，这是由于把直线看作基本元素，平面上决定直线需要两个比值，即必不可少的参数为2.（2）一维基本形的透视对应与射影对应的关系①在前几章所讨论的透视仿射对应是对平行射影而言，本章所论的透视对应则对中心投影而言，透视对应包括点列和线束之间的透视对应；点列与点列之间的透视对应.在定义中可以将点列换成线束，或把线束换成点列.所以点列与线束的透视对应具有对称性.由透视对应的定义还可以看出，透视对应保持四元素的交比不变.但透视关系不满足传递性.需要注意，透视对应一定是射影对应，但射影不一定成透视对应，因此，透视对应与射影对应是特殊与一般的关系.②射影对应必是一一对应，且具有传递性、对称性、反身性，即具有等价关系.③透视对应在什么条件下才成为射影对应呢？由定理知，两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们的底的交点自对应也就是它们的公共元素自对应.两个点列成射影对应时，把它们的公共点看作是第一个点列的点时，它在第二个点列上的对应点，一般情况下不是它本身，只有当两个点列成透视对应时，其公共元素才自对应.④应该注意，如果一维射影对应使无穷远点对应无穷远点，则该对应一定是仿射对应，要证明这个结论，只需证明这种对应保持单比不变.由于射影对应保持交比不变.所以，仿射对应可看作特殊的射影对应. 4.一维基本形的对合（1）关于对合概念对合对应是重要的，特殊的射影变换.在两个重叠的射影对应的一维基本形中，第一个基本形的元素P 对应第二个基本形的元素P'，但如果把P'看作第一个基本形的元素，那么它在第二个基本形里不一定对应P.但如果这个对应为对合对应，则根据对合定义“在两个重叠而且射影对应的一维基本形里，如果对于任何元素，无论看作属于第一个基本形或第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合（对应）”.那么P'就一定对应P.若两个重叠一维基形成射影对应，可假设两个重叠点列成射影对应，在什么条件下才成为对合呢？实际上只要有一对对应元素符合对合条件，则这种射影变换一定是对合.（2）对合的代数表示和确定对合是特殊的射影变换，从对合的代数表示，也可以看出射影变换成为对合的条件，即在射影变换式0=+'++'d c b a λλλλ，0≠-bc ad 中，若是对合，则有B = C ，反之也成立.上式说明射影变换范围比对合大.我们知道，三对对应元素决定唯一一个射影变换，如果是对合，则只要有不重合的两对对应点便可决定唯一一个对合对应.判定一个射影变换是否为对合对应，也可用如下事实：对合对应存在两个二重元素，射影变换是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个二重元素调和共轭.例如，求由两个二重点1，2所确定的对合方程，可有两种解法. 解法1 设对合方程为0)(=+'++'d b a λλλλ 将1，2代入，得A +2B +D = 04A +4B +D = 0代入对合方程，得2λλ'-3（λ+λ'）+ 4 = 0解法2 利用（12，x x '）= -1 其中x ，x '为一对对合点的坐标则12121-=-'-'--x x x x即2xx '－3（x+x '）+ 4 = 0典型例题例1 填空题（1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 . （2）两点列间射影对应由对对应点唯一确定. （3）共线四点的交比是不变量. （4）两个点列经过中心投影，不变.（5）不重合的对应元素，可以确定唯一一个对合对应.解（1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应.（2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应.（3）共线四点的交比是射影不变量. （4）两个点列经过中心投影，交比不变.（5）不重合的两对对应元素，可以确定唯一一个对合对应. 例2 单选题（1）若（AB ,CD ）=r ，则（DB ，AC ）=（）A .r 1 B .r -11 C .r r -1 D .r11-（2）设A ，B ，A +λ1B ，A +λ2B 是四条不同的有穷远共点直线l 1，l 2，l 3，l 4的齐次坐标，则（l 1l 2，l 3l 4）=（）A .λ1B .λ 2C .21λλD .λ1λ 2 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果（12，34）=（23，41）则（13，24）=（）A .－1B .1C .0D .∞ 解由交比的运算定理，（1）选D ；（2）选C （3）选A 例3 求证P 1（3，1），P 2（7，5）与P 3（6，4）， P 4（9，7）成调和共轭.分析可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明解法1 (P 1P 2，P 3P 4)=))(())((14232413x x x x x x x x ----=)76)(39()79)(36(----=-1解法2 将P 1，P 2，P 3，P 4写成齐次坐标，则 P 1（3，1，1），P 2（7，5，1），P 3（6，4，1）， P 4（9，7，1）可以写作 P 3（24，16，4），P 4（-18，-14，-2）于是 P 3 =P 1 +3P 2 P 4 =P 1 -3P 2∴(P 1P 2，P 3P 4)=33-=-1 例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭. 证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明.如图4-6所示，角的两边为A ，B ，其内外角平分线分别为l 1，l 2 (AB ，l 1l 2)=)()(21abl abl （ABl 1）=1 （ABl 2）= -1∴ (AB ，l 1l 2) = -1A B图4-6证法2 用代数法设取原点在三角形SAB 内部，A ×B 分别在A ，B 直线上. 设SA 的法线方程为0=α，设SB 的法线方程为0=β，为了求内角分线l 1和外角分线l 2方程，利用角平分线的几何特性，设P （x ，y ）为角平分线l 1上的任一点，则它们到A ，B 的距离相离，即α=β或βα=或βα-=取l 1为βα=即0=-βα，即11=λ l 2为βα-=即0=+βα，即12-=λ ∴( AB ，l 1l 2)=121-=λλ 证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l 1 // l 2求截角的两边A ，B 分别交A ，B 于A ，B ，交l 1于T 1，交l 2于T ∞，则由l 1和l 2互相垂直，可知S T 1⊥l 1，又l 1为角平分线，由初等几何定理，可知△SAB 为等腰三角形，且有A T 1=T 1B ，即T 1为AB 中点，根据定理知(AB ，T 1T ∞)=-1 (AB ，l 1l 2 )=-1SA T 1 Bl A l 1 B图4-7例5 若A ，B ，C ，D 为共线四点，且（AB ，CD ）=-1，CD 中点为O ，求证O C 2=O A ·O B 证明 (AB ，CD )=1-=⋅⋅ADBC BDAC即AC ·BD +BC ·AD = 0把AC ，BD ，BC ，AD 都以0为原点表示，则有（O C -O A ）（O D -O B ）+（O D -O A ）（O C -O B ）= 0整理得 2（O A ·O B +O C ·O D ）=(O A +O B )(O C +O D ) 而 O D =-O C ∴ 2(O A ·O B -O C 2)=(O A +O B )(O D -O C )=0 即 O C 2=O A ·O B例6 设三直线 1111c y b x a p ++= 2222c y b x a p ++= 3333c y b x a p ++=求证以p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0为三边的三角形的重心由方程312212311312332)()()(p b a b a p b a b a p b a b a -=-=-给出.B O p 3 C图4-8分析如图4-8，ΔABC 三边AB ，AC ，BC 的方程分别为p 1= 0，p 2= 0，p 3= 0.设BC 边上中线A O 的方程q 3=0.过A 点作BC 的平行线l 3，则l 3的斜率为333b a k l -=. 由于l 3过p 1和p 2的交点A ，所以l 3可由p 1和p 2线性表示，即l 3的方程为0)(222111=+++++c y b x a c y b x a λl 3的斜率为2121b b a a λλ++-∴ 332121b a b b a a -=++-λλ32321313b a a b b a a b --=λ∴ l 3的方程为02323213131=--+p b a a b b a a b p由于l 3与BC 平行，所以l 3与BC 交于无穷远点L ∞，又D 为BC 中点，（BC ，D L ∞）= -1两条直线截同一线束，所得对应四点的交比不变，可得（p 1p 2，q 3l 3）=-1 ∴ q 3的方程为02323213131=--+p b a a b a b b a p同理q 1的方程为03131321212=--+p b a a b a b b a p则q 1与q 3的交点为312212131313232)()()(p b a b a p b a a b p b a a b -=-=-例7 已知A ，B ，C 三直线交于点P ，试用直尺作出第四条直线和它们成调和共轭.作法：如图4-9. A ，B ，C 三直线交于点P ，任作不通过P 点的直线l ，l 与直线A ，B ，C 分别交于A ，B ，C 三点，在P A 上任取一点M ，连B M 交P C 于N.连A N 交P B 于K ，连MK 交l 于P ，则有（AB ，CD ）=-1.连P D ，即为所求第四调和线D ，即（AB ，CD ）= -1PM B C D A N Kl A C B D如图4-9例8 已知三点形ABC 及平面上一点P （P 不在ABC 的任一边上）.A P ，B P ，C P 与对边交于A '，B '，C '，且BC 与B 'C '交于A 1，CA 与C 'A '交于B 1，AB 与A 'B '交于C 1. 如图4-10.求证：（1）（BC ，AA '）= -1，（CA ，B 1B '）= -1 （2）A 1，B 1，C 1三点共线. 证明（1）由完全四点形C 'AB 'P 的调和性，可知（BC ，A 1A '）= -1又（B ，C ，A 1，A '）∧（A ，C ，B '，B 1）∴（CA ，B 1B '）=（AC ，B 'B 1）=（BC ，A 1A '）= -1（2）由三点形ABC 和A 'B 'C '的对应点连线共点P ，由笛沙格定理可知，对应边交点A 1，B 1，C 1共线.A 1'图4-10例9 巴卜斯命题：设A 1，B 1，C 1与A 2，B 2，C 2为同一平面内两直线上的两组共线点，B 1C 2与B 2C 1交于L ，C 1A 2与C 2A 1交于M ，A 1B 2与A 2B 1交于N.如图4-11. 求证L ，M ，N 共线.证明A 1B 1N D C 1 M ELA 2B 2C 2 O图4-11∵（B 1，D ，N ，A 2）∧（O ，C 2，B 2，A 2） ∧（B 1，C 2，L ，E ）∴（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）由于两点列底的交点B 1自对应，有（B 1，D ，N ，A 2）∧（B 1，C 2，L ，E ）因此DC 2，NL ，A 2E 三直线共点M.即L ，M ，N 共线. □例10 如果三角形中一个角平分线过对边中点，那么这个三角形是等腰三角形. 证明如图4-12，由于M 为AB 中点，C N ∞为外角平分线，则有（AB ，C N ∞）= -1 ∴（AB M ）= -1，（AB N ∞）= 1 即1-=BMAM1=MB AM而 1==BCAC MB AM 从而，AC =BC .□C N ∞A MB N ∞图4-12自测练习1.填空题（1）两点列间的射影对应是透视对应的充分必要条件是 .（2）共线四点的调和比为 .（3）四个共线点A ，B ，C ，D ，如果（AB ，CD ）=r ，则（DA ，BC ）= . （4）一维基本形的射影变换的不变元素的个数 .（5）射影变换有对对应元素满足对合对应的要求，则一定是对合. 2.单选题（1）A ，B ，C ，D 为共线四点，且（CD ，BA ）= k ，则（BD ，AC ）=（）. A .k 1 B .k 11- C .kk-1 D .k （2）（）对不同的对应元素，确定唯一一个射影对应. A .1 B .2 C .3 D .4（3）两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比（）. A .相等 B .不等 C .1 D .-1（4）线束S 的四直线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点A ，B ，C ，D ，若（AB ，CD ）=k ，则（AB ，CD ）=（）A .k1B .1-kC .k11-D .k 3.A ，B ，C ，D 为共线四点，如图4-13所示，相邻两点距离相等，计算这四点形成的各交比值.A B C D · · · ·图4-134.设A ，B ，C ，D ，E 为直线上五点，求证：（AB ，CD ）·(AB ，DE )·(AB ，EC ) = 15.已知点A =（1，1，1），B =（1，-1，1）， C =（1，O ，1）且（AB ，CD ）= 2，求C 点坐标.6.若直线l 1，l 2，l 3，l 4的方程为（1）012=+-y x ，023=-+y x ，07=-y x ，015=-x （2）0=-y x ，02=+y x ，0=+y x ，03=-y x求（l 1l 2，l 3l 4）.7.设P 1，P 2分别是坐标轴上的无穷远点，P 3是斜率为1的直线上的无穷远点，又（P 1P 2，P 3P 4）= m ，求P 4的坐标.8.设A ，B ，C ，D ，E 为共线五点，且（AD ，BC ）=-1，（CE ，AB ）=-1.求证4AC ·ED =3AD ·EC . 9.设ΔABC 的三条高线为AD ，BE ，CF 交于M 点，EF 和CB 交于点G .求证（BC ，DG ）=-1.当AB =AC 时，还可以得到什么结果？10.设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XZ 分别交AC ，BD 于L ，M ，不用笛沙格定理证明YZ ，B L ，C M 共点（图4-14）.M图4-1411.求以下重叠一维基本形的射影变换自对应点的参数（坐标）. （1）066=+'+-'x x x x （2）01=+'+x x12.求两对对应元素，其参数211→，20→所确定的对合对应.参考答案1.（1）它们的底自对应，（2）1，（3）1-r r，（4）不能大于2，（5）一对 2.（1）B ，（2）C ，（3）A ，（4）D 3.34，43，31-，3-，41，4 4.用交比定义证明即可. 5.由A =（1，1，1），B =（1，-1，1）则 D =（1，0，1）=A +B ，于是λ2=1设C =A +λ1B ，由（AB ，CD ）=21λλ=2可知λ1=2，所以C =A +2B =（3，-1，3）6.（1）l 1，l 2，l 3，l 4与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ∴ （l 1l 2，l 3l 4）=21 （2）l 1，l 2，l 3，l 4都过原点∴ （l 1l 2，l 3l 4）=-57.设P 1，P 2，P 3，P 4分别是直线上l 1，l 2，l 3，l 4上的无穷远点，其中 l 1：x = 0 l 2：y = 0l 3：y = x ，即x -y = 0 l 4：x +λy = 0则（l 1l 2，l 3l 4）=（P 1P 2，P 3P 4）= m以l 1，l 2为基线.由l 3：x -y = 0，得λ1=-1 l 4：x +λy = 0，得λ2=λ ∵（l 1l 2，l 3l 4）= m ∴21λλ=λ1-= m 代入l 4的方程中得y=mx∴P 4点的坐标为（1，m ，0）.8.证明设A ，B ，C 的坐标分别为A ，B ，A +B ，设D 为A +λ1B ，E 为A +λ2B ，由（AD ，BC ）=-1，可知（AB ，DC ）=1-（-1）=2 又（CE ，AB ）=-1，可知（AB ，CE ）=-1 则λ1=2，λ2=-1 ∴（CD ，AE ）=43 （CD ，AE ）=CE DA DE CA ⋅⋅=43即4AC ·ED =3AD ·EC .□9.如图，由完全四点AF M E 的调和性，可知（BC ，DG ）=-1当AB =AC 时，D 为BC 中点，所以G 为BC 直线上的无穷远点，因此EF ∥CB10.证明由四点形ABCD ，根据定理，可知在AC 边上的四点A ，C ，Y ，L 调和分割即（AC ，XL ）=-1.在四点形Y B ZL 中，L B 与YZ 交于N ，MN 与YL 交于C ，由定理可得（AC '，YL ）=-1 ∴点C 应与点C '重合，即YZ ，B L ，C M 共点.□11.（1）0652=+-λλ λ1=3，λ2=2（2）012=+'+λλ0120=+'++'λλλλ01112='++'⋅λλλλ 自对应元素为λ=λ'，将其代入上式得两自对应元素为λ1=∞，λ2=31-. 12.设0)(=+'++'d b a λλλλ为所求对合对应，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 所以 A : B : D =1 : 1 : -2即 02=-'++'λλλλ为所确定的对合对应.。

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