二次点列上的射影变换
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对合轴、对合中心、几何条件、与配极 变换的关系……
§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作Γ的弦P1Q1, 设 AP1, AQ1分别交Γ'于P1', Q1'. Γ 由定理4.24, 在Γ上(P, P1, …) (Q, Q1, …)为对合(以P0为对合 中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1, …) A(Q, Q1, …)为对合. 从而, 在Γ'上, 对应(P', P1', …) (Q', Q1', …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线P'Q', P1'Q1'必定共点于对合 中心.
有心二阶曲线
A33 ≠ 0. 抛物线 无心二阶曲线
A33 = 0.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
二、二阶曲线的中心
1. 定义 2. 性质 3. 中心坐标 因为中心C为l∞的极点, 设C(c1,c2,c3). 则中心方程组为
a 11 a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 c1 0 c2 = ρ 0 . c 1 3
§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线Γ上的两 个定点, PP', P'P''分别为通过A,B的两条动弦. 求证： Γ(P) ↔ Γ(P') 与Γ(P') ↔ Γ(P'')都是Γ上的对合. 问Γ(P) ↔ Γ(P'')是否为Γ上的对 合？ 证明 以定点A为对合中心, Γ(P) ↔ Γ(P') 为对合. 以定点B为对合中心, Γ(P') ↔ Γ(P'')为对 合. Γ(P) ↔ Γ(P'')不一定成为对合. 除非PP''能够经过定点.
双曲线 抛物线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
设
Γ: S≡
i , j =1
∑a
3
ij i
x xj = 0
aij = a ji , 秩(aij ) ≥ 1.
(1)
其中xi为齐次仿射坐标, 则x1, x2地位平等而x3特殊. Γ与l∞的交点为 S = 0 2 a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x2 = 0, x3 = 0 解出x1:x2即得交点(x1,x2,0). 于是,对于x1:x2, 有两个 双曲型的 < 0 相异的实根 双曲型 a11 a12 抛物型的. = A33 = 0 ⇔ Γ为 抛物型 重合的实根 ⇔ a12 a22 > 0 椭圆型的 共轭的虚根 椭圆型 由于l∞： x3=0为仿射不变的, 因此二阶曲线与l∞的相交情况也是 仿射不变的, 所以有下列定理 定理4.25 对于二阶曲线Γ : S=0, A33的符号 的符号为仿射不变的.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化.
1. 定义 定义4.22 l∞关于Γ的极点C称为Γ的中心 中心. 中心 2. 性质 (1). 通常点C为Γ的中心 C为Γ的对称中心 (即C为过C的弦的中点). 证明 设p为过C的直线, 交Γ于A,B, 交l∞于P∞. 据中心的定义, C 为中心 (AB, CP∞)= –1 C为AB的中点. 从而 (AB, CP∞)= –1 仿射定义 解几定义 (2). 双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点. 双曲线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 (1). 直径 (XY, ZP∞)= –1 仿射定义 解几定义 无穷远点P∞的有穷 一组平行弦中点的 远极线(过中心的通常 轨迹. ( . 通常 直线). 直线 l∞不是任何二阶曲线的直径！ (2). 共轭直径 (XY, ZP∞)= –1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P∞ 为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对 点轨迹EF. 方极点的两直径). (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.
a11c1 + a12 c2 + a13c3 = 0 a12 Βιβλιοθήκη Baidu1 + a22 c2 + a23c3 = 0
c1 : c2 : c3 = A31 : A32 : A33 .
∂S ∂x1 ∂S ∂x2
=0
C
=0
C
于是, 中心坐标为： 有心二阶曲线：(A31, A32, A33). 无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即(a12, –a11, 0)或(a22, –a12, 0).
§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP'为过不在非退化二阶曲线Γ上一 定点的动弦, 又A,B为Γ上的两个定点, 且Q=AP×BP', R=BP×AP'. 求 证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP'过定点得Γ(P) ↔ Γ(P')为对合. 于是A(P,P'…) ↔B(P',P…)为射影线束. A(P,P'…) ↔B(P',P…) . 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交 点, 所以在另外一条二阶曲线上.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线Γ (i) Γ的任一对共轭直径与l∞一起, 构成 Γ的一个自极三点形. (ii) Γ的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与Γ交点处的两切线. (2). 抛物线Γ (i) Γ的直径相互平行(注： l∞不是抛物线的直径). (ii) Γ的任一直径的极点为其与Γ有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) Γ的任一直径平分其与Γ有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP∞)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向.
§ 4.5 二次点列上的射影变换
一、二次点列上的射影对应
S(P) S(P) S'(P') S'(P') Γ(P) Γ'(P') 与一维射影对应的桥梁 Γ(P) Γ '(P')
交比、调和比、Steiner作图法、透视轴……
二、二次点列上的射影变换
射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系……
三、二次点列上的对合
注：由此想到： Γ上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. Γ上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影 线束.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
定义4.21 对于任意的二阶曲线Γ, 若Γ交无穷远直线于两个 双曲型的 相异的实点 双曲型 双曲线 重合的实点 , 则称Γ为 抛物型 抛物型的. 若Γ非退化, 则称为 抛物线 抛物线. 共轭的虚点 椭圆型 椭圆型的 椭圆
今日作业
P.143, 1
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§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作Γ的弦P1Q1, 设 AP1, AQ1分别交Γ'于P1', Q1'. Γ 由定理4.24, 在Γ上(P, P1, …) (Q, Q1, …)为对合(以P0为对合 中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1, …) A(Q, Q1, …)为对合. 从而, 在Γ'上, 对应(P', P1', …) (Q', Q1', …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线P'Q', P1'Q1'必定共点于对合 中心.
有心二阶曲线
A33 ≠ 0. 抛物线 无心二阶曲线
A33 = 0.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
二、二阶曲线的中心
1. 定义 2. 性质 3. 中心坐标 因为中心C为l∞的极点, 设C(c1,c2,c3). 则中心方程组为
a 11 a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 c1 0 c2 = ρ 0 . c 1 3
§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线Γ上的两 个定点, PP', P'P''分别为通过A,B的两条动弦. 求证： Γ(P) ↔ Γ(P') 与Γ(P') ↔ Γ(P'')都是Γ上的对合. 问Γ(P) ↔ Γ(P'')是否为Γ上的对 合？ 证明 以定点A为对合中心, Γ(P) ↔ Γ(P') 为对合. 以定点B为对合中心, Γ(P') ↔ Γ(P'')为对 合. Γ(P) ↔ Γ(P'')不一定成为对合. 除非PP''能够经过定点.
双曲线 抛物线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
设
Γ: S≡
i , j =1
∑a
3
ij i
x xj = 0
aij = a ji , 秩(aij ) ≥ 1.
(1)
其中xi为齐次仿射坐标, 则x1, x2地位平等而x3特殊. Γ与l∞的交点为 S = 0 2 a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x2 = 0, x3 = 0 解出x1:x2即得交点(x1,x2,0). 于是,对于x1:x2, 有两个 双曲型的 < 0 相异的实根 双曲型 a11 a12 抛物型的. = A33 = 0 ⇔ Γ为 抛物型 重合的实根 ⇔ a12 a22 > 0 椭圆型的 共轭的虚根 椭圆型 由于l∞： x3=0为仿射不变的, 因此二阶曲线与l∞的相交情况也是 仿射不变的, 所以有下列定理 定理4.25 对于二阶曲线Γ : S=0, A33的符号 的符号为仿射不变的.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化.
1. 定义 定义4.22 l∞关于Γ的极点C称为Γ的中心 中心. 中心 2. 性质 (1). 通常点C为Γ的中心 C为Γ的对称中心 (即C为过C的弦的中点). 证明 设p为过C的直线, 交Γ于A,B, 交l∞于P∞. 据中心的定义, C 为中心 (AB, CP∞)= –1 C为AB的中点. 从而 (AB, CP∞)= –1 仿射定义 解几定义 (2). 双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点. 双曲线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 (1). 直径 (XY, ZP∞)= –1 仿射定义 解几定义 无穷远点P∞的有穷 一组平行弦中点的 远极线(过中心的通常 轨迹. ( . 通常 直线). 直线 l∞不是任何二阶曲线的直径！ (2). 共轭直径 (XY, ZP∞)= –1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P∞ 为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对 点轨迹EF. 方极点的两直径). (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.
a11c1 + a12 c2 + a13c3 = 0 a12 Βιβλιοθήκη Baidu1 + a22 c2 + a23c3 = 0
c1 : c2 : c3 = A31 : A32 : A33 .
∂S ∂x1 ∂S ∂x2
=0
C
=0
C
于是, 中心坐标为： 有心二阶曲线：(A31, A32, A33). 无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即(a12, –a11, 0)或(a22, –a12, 0).
§ 4.5 二次点列上的射影变换
三、二次点列上的对合
例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP'为过不在非退化二阶曲线Γ上一 定点的动弦, 又A,B为Γ上的两个定点, 且Q=AP×BP', R=BP×AP'. 求 证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP'过定点得Γ(P) ↔ Γ(P')为对合. 于是A(P,P'…) ↔B(P',P…)为射影线束. A(P,P'…) ↔B(P',P…) . 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交 点, 所以在另外一条二阶曲线上.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线Γ (i) Γ的任一对共轭直径与l∞一起, 构成 Γ的一个自极三点形. (ii) Γ的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与Γ交点处的两切线. (2). 抛物线Γ (i) Γ的直径相互平行(注： l∞不是抛物线的直径). (ii) Γ的任一直径的极点为其与Γ有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) Γ的任一直径平分其与Γ有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP∞)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向.
§ 4.5 二次点列上的射影变换
一、二次点列上的射影对应
S(P) S(P) S'(P') S'(P') Γ(P) Γ'(P') 与一维射影对应的桥梁 Γ(P) Γ '(P')
交比、调和比、Steiner作图法、透视轴……
二、二次点列上的射影变换
射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系……
三、二次点列上的对合
注：由此想到： Γ上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. Γ上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影 线束.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
定义4.21 对于任意的二阶曲线Γ, 若Γ交无穷远直线于两个 双曲型的 相异的实点 双曲型 双曲线 重合的实点 , 则称Γ为 抛物型 抛物型的. 若Γ非退化, 则称为 抛物线 抛物线. 共轭的虚点 椭圆型 椭圆型的 椭圆
今日作业
P.143, 1
The Class is over. Goodbye!