函数项级数
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列的区别函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。
虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。
函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。
具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + ...的形式。
在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。
函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。
函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。
函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。
逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。
它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。
然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。
函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。
此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。
函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。
函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。
它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。
函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。
函数项级数知识点总结
函数项级数知识点总结
函数项级数是高等数学中的重要概念，它在微积分、数学分析以及其他数学领域中起着关键作用。
本文将对函数项级数的基本概念、性质以及应用进行总结和介绍。
函数项级数是由一列函数项组成的数列，通常表示为∑₀^∞(an·f_n(x))，其中an是实数或复数，f_n(x)是定义在某个区间上的函数。
在级数中，每一项都是函数项，通过求和操作得到级数的值。
函数项级数的收敛性是其中最重要的性质之一。
对于给定的函数项级数，我们可以通过求部分和序列Sn(x)来讨论其是否收敛。
如果序列Sn(x)收敛于某个函数
S(x)，我们称函数项级数收敛于S(x)。
否则，级数发散。
在函数项级数的收敛性上，我们有一些重要的判别法。
比如，比较判别法可以通过比较级数和已知的收敛级数或发散级数之间的大小关系来判断级数的收敛性。
如果级数的每一项都大于已知的发散级数，那么该级数也发散；如果级数的每一项都小于已知的收敛级数，那么该级数也收敛。
此外，还有比值判别法、积分判别法等常用的判别法。
函数项级数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们常常利用函数项级数来表示波动现象；在工程学中，函数项级数可以用于电路分析、信号处理等领域。
总结起来，函数项级数是高等数学中的重要概念，包括了收敛性判断和应用等多个方面。
对于学习和应用函数项级数的人来说，熟悉其基本概念和性质是非常重要的。
通过掌握相关的判别法和应用技巧，我们可以更好地理解和解决实际问题。
函数项级数收敛性
函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。
在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。
在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。
1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。
对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。
部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。
2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。
函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。
如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。
3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
10.1 函数项级数
(2)有限个可导函数的和仍是可导函数，
且和函数的导数等于导函数的和; (3)有限个可积函数的和仍是可积函数， 且和函数的积分等于积分函数的和;
问题
无限个函数的和（函数项级数）是否具有这些性 质呢？
再考察例1：
研究级数 u n ( x ) x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
x a
S ( t )dt
x a
x un t dt un ( t )dt a n 1 n 1
定理5(和函数的可导性)
设un C 1 ( I )( n N ), 若级数 un 在I上处处
n 1
收敛于函数S : I R , u 在I上一致收敛于 n
当 z 1 时, 加绝对值后的级数收敛 原级数收敛 当 z 1 时, 加绝对值后的级数发散
用的比值法
原级数发散
1 当 z 1 时, 取 模 后 的 级 数 2 收 敛 原 级 数 收 敛 n n 1
收敛域为z 1
1 ( 2) (cos x ) n n 1 3 4 n
函数项级数
一、函数项级数基本概念
定义1 设un ( z )是定义在区域 上的复变函数列, D
称表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1
n
为区域D上的复函数项级数 简称 , 函数项级数，un ( z )称为它的通项. 前 n 项之和S n ( z ) uk ( z )
设un C ( I )( n N ), 若函数项级数 un 在
n 1
I上一致收敛于 : I R , 则和函数S C ( I ). S
函数项级数的应用
函数项级数的应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数项级数的定义及其应用领域，并通过具体例子展示其解决问题的能力。
一、函数项级数的定义函数项级数是指由一系列函数项按特定规律排列而成的级数。
形式上，函数项级数可以表示为：S(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + ...其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为函数项，x为自变量，S(x)为级数的和。
函数项级数的求和可以通过数列的部分和逐渐逼近的方式进行。
二、函数项级数的应用函数项级数在数学的各个分支以及其他领域中都有着广泛的应用。
以下是函数项级数在实际问题中的几个应用领域。
1. 近似计算函数项级数可以用来近似计算某些复杂函数的值。
例如，我们可以利用泰勒级数来近似计算指数函数、三角函数等。
通过截取级数的前几项，可以得到函数在某个点附近的近似值，从而简化计算过程。
2. 物理问题的建模与求解函数项级数在物理问题的建模与求解中有着广泛的应用。
例如，某个物理问题可以通过级数展开的形式进行描述，进而通过求和得到问题的解析解。
函数项级数的求和性质可以帮助我们解决各种物理问题，如天体力学、电磁场分布等。
3. 信号处理函数项级数在信号处理领域也有着重要的应用。
例如，傅里叶级数是一种将周期信号拆解为基本频率的级数展开形式，通过傅里叶级数可以实现信号的频域分析、滤波和合成等操作。
4. 统计学函数项级数在统计学中也有一定的应用。
例如，通过泊松级数可以描述在给定时间间隔中某个事件发生的概率。
通过控制级数的求和次数，我们可以得到不同精度的概率估计，用于解决统计学问题。
5. 金融学在金融学中，函数项级数常常用于建立金融模型，对金融市场进行预测和分析。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于波动率的函数项级数展开，用于计算期权的价格。
三、函数项级数的实例下面通过几个具体的例子来展示函数项级数的应用。
1. 求解三角函数可以将三角函数利用泰勒级数展开，从而实现对三角函数的近似求解。
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
高等数学 第八章 数列与无穷级数 8-4幂级数
n 0
an 1 x n 1 an 1 lim x 1)若0 ρ , lim n n an x n an
当ρ x 1, 即 x 当ρ x 1, 即 x
1 ρ 1 ρ
时, 原级数收敛; 故收敛半径 1 R . 时, 原级数发散. ρ
n
2 6
, n 为奇数 , n 为偶数
不能
lim
n
un ( x ) lim
n
n
2 ( 1)
x 2
备用题
x2 x3 xn 例2-1 x ( 1) n1 2 3 n 求收敛半径及收敛域.
解
1 an n lim R lim 1 n n a n 1 n1
( 该幂级数的收敛域： 1, 1).
设S ( x )
n 1
( 1)n1 n( n 1) x n ( 1)n1 nx n1
0
x
S ( x )dx
n 1
x 2 ( 1)n1 nx n1 令F ( x )
n 1
n 1
( 1)n1 nx n1
余项：
例1 (1) 和函数
1 ( x 1) 2
发散域： ( , 0 ]
等比级数 1 公比: x
2
收敛域：
(2)
级数发散 ;
故级数的收敛域: 收敛域一般不一定为区间
二、幂级数及其收敛性
1. 定义
1 ( x 1), 例如, 等比级数 为幂级数 x 1 x n 0
n
问题
一般幂级数的收敛域是否为区间？
n0
其和函数.具体步骤如下：
函数项数
满足不等式 x x 0 的点 x ，该级数都发散.
证明
(1) an x0 收敛, lim an x0 0,
n
n
n 0
n
高等数学（下）
M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0
2 n 1
收敛 .
x ＝－ 2 时 ,
an x
2 n 1
收敛 .
高等数学（下）
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an x 和 bn x 的收敛半径各为 R1和R2 ,
n n
R minR1 , R2
(1) 加减法
n 0
n 0
an x bn x n 0 n 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
n
a n x 收敛,即级数 an x 收敛;
n
n
n 0
n 0
高等数学（下）
(2) 假设当x x0时发散,
反设有一点x1 满足 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论， 则级数当 x x 0 时应收敛,
n
n
收敛区间( , ) .
收敛域也是 (,) .
高等数学（下）
1 n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim n a n n 1 n
n
2
n
1 1 1 1 ( , ) 0,1 收敛区间是 2 2 2 2 .
函数项级数与数项级数的区别
函数项级数与数项级数的区别摘要：1.函数项级数与数项级数的定义及区别2.函数项级数的基本性质3.数项级数的基本性质4.两者在数学分析中的应用5.总结与展望正文：在数学领域，函数项级数与数项级数是两种常见的级数形式。
它们在本质上有何区别？各自具有哪些性质？又在实际应用中发挥着怎样的作用呢？接下来，我们将一一探讨。
首先，我们来了解一下函数项级数与数项级数的定义及区别。
1.函数项级数与数项级数的定义及区别函数项级数是指一个以函数为项的级数，即：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...+ anx^n + ...其中，an为第n项的系数，n为自然数。
数项级数则是指一个以数为项的级数，即：a0 + a1 + a2 + ...+ an + ...其中，an为第n项的系数，n为自然数。
可以看出，函数项级数与数项级数的主要区别在于项的类型不同。
函数项级数的项是函数，而数项级数的项是数。
接下来，我们来探讨一下函数项级数与数项级数的基本性质。
2.函数项级数的基本性质（1）线性性质：函数项级数具有线性性质，即对任意的函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商仍是函数项级数。
（2）可积性：如果函数项级数中的每一项都是可积的，那么这个函数项级数也是可积的。
（3）收敛性：函数项级数的收敛性与数项级数的收敛性类似，也有绝对收敛和条件收敛之分。
3.数项级数的基本性质（1）线性性质：数项级数具有线性性质，即对任意的数项级数a_n和b_n，它们的和、差、积、商仍是数项级数。
（2）可求和性：数项级数满足收敛条件时，可以求出其和。
（3）收敛性：数项级数的收敛性与函数项级的收敛性类似，也有绝对收敛和条件收敛之分。
4.两者在数学分析中的应用函数项级数与数项级数在数学分析中有着广泛的应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
这些级数在微积分、概率论、信号处理等领域发挥着重要作用。
5.总结与展望函数项级数与数项级数是数学领域中两种重要的级数形式。
数列与级数的函数项级数与幂级数
数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。
本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。
一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。
函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。
其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。
函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。
函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。
如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。
函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。
函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。
这在微积分的应用中非常重要。
此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。
二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。
幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。
其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。
幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。
幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。
与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。
在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。
此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。
总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。
函数项级数的收敛性
函数项级数的收敛性函数项级数是数学中的一个重要概念，它由一系列函数项相加而成。
在研究函数项级数的性质时，我们经常关注其是否收敛。
本文将探讨函数项级数的收敛性，并给出相应的定义和判定条件。
一、函数项级数的定义函数项级数可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \]其中，$f_n(x)$是定义在某个集合上的函数序列，$x$是集合中的一个元素。
函数项级数的求和是对函数序列$f_n(x)$进行加法运算，得到一个新的函数。
二、函数项级数的部分和函数项级数的部分和表示为：\[ S_n(x)=\sum_{k=1}^{n} f_k(x) \]三、函数项级数的收敛性判定函数项级数的收敛性判定是判断函数项级数的部分和序列$S_n(x)$是否收敛。
常见的收敛性判定方法有以下几种：1. Cauchy收敛准则对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数N，使得对于任意的$m > n > N$和任意的$x$，都有：\[ |S_m(x)-S_n(x)|< \epsilon \]当满足上述条件时，函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
2. Weierstrass判别法如果存在正数列$b_n$，使得对于任意的$n$和$x$，都有：\[ |f_n(x)|\leq b_n \]并且级数$\sum b_n$收敛，则函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
3. Abel判别法若存在正数$M$，使得对于任意的$n$和$x$，都有：\[ |S_n(x)|\leq M \]且函数序列$f_n(x)$单调，即对于任意的$x$，都存在$n_0$，当$n\geq n_0$时，有：\[ |f_n(x)|\geq |f_{n+1}(x)| \]则函数项级数在集合中的每一个元素$x$处一致收敛。
四、函数项级数的应用函数项级数在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在数学分析中，利用函数项级数的收敛性，可以证明一些重要的数学定理，如傅里叶级数的收敛性定理。
函数项级数的一致收敛
rn ( x ) =
对 X 上一切 x 都成立，则称 {S n ( x )} 在 X 上一致 一致 收敛于 收敛 S (x) 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：
∞ ∑ u n ( x) n =1
k = n +1
∑
∞
uk (x) < ε
）
定义2 定义 设 S n − S = sup S n ( x) − S ( x) 如果
但
lim ∫ S n ( x)dx ≠ ∫ S n ( x)dx
n →∞ 0 0
1
1
这就提出了一个问题：设级数 ∑ u ( x) 在 X 上收敛于 S (x)
n =1 n
∞
又设级数的每一项 un (x) 在 X 上连续。对于求导和求积， 也有类似的问题，要回答这些问题，必须引进非常重要 的概念：一致收敛 一致收敛
ε > 0 可得 N ( N 是一个仅与 ε 有关的确定的项数,它与
[a, b] 上的 x 无关),使
1 S N ( x ) − S ( x ) < ( a ≤ x ≤ b) 3 对 [a, b] 上任一点 x0 ,显然也有 S N ( x) − S ( x) < 1 3 再由 S N (x) 在点 x0 连续性,可得 η > 0 ,使 x − a < η 时 1 S N ( x) − S ( x) < 3
n =1
∞ d ∞ d ∑ un ( x ) = ∑ dxun ( x ) dx n=1 n =1
四、一致收敛级数的判别方法 定例7 定例 若对充分大的 n ，恒有实数 an ，使得 un ( x ) ≤ an 对 X 上任意的 x 都成立，并且数项级数 ∑ an收敛，则
函数列与函数项级数
三角级数
三角级数定义
三角级数是形如 (a_0 + a_1cos x + a_2cos 2x + ldots) 的无限项和，其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变 量。
三角级数的性质
三角级数具有周期性，可以表示为傅里叶级数的形式。
全局收敛
如果存在某个定义域内的所有点，都有$lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$，则称该函数列在定义域内全局收 敛于$f(x)$。
02 函数项级数的定义与性质
函数项级数的定义
函数项级数
由一列函数构成的数列，记作 ${ f_n(x) }$，其中 $n=1,2,3,ldots$。
函数列与函数项级数
目 录
• 函数列的定义与性质 • 函数项级数的定义与性质 • 函数列与函数项级数的应用 • 特殊类型的函数列与函数项级数 • 函数列与函数项级数的扩展概念
01 函数列的定义与性质
函数列的定义
函数列：由一簇函数构成的集合，通 常表示为$f_n(x)$，其中$n$是指标， $x$是自变量。
每个函数$f_n(x)$都有定义域，并且 对于固定的$n$，所有函数$f_n(x)$的 定义域相同。
函数列的性质
连续性
如果函数列在某一点连续，则该 点是该函数列的收lim_{n to infty} f_n(x) = f(x)$， 则称该函数列在全域上一致收敛
04 特殊类型的函数列与函数 项级数
幂级数
幂级数定义
幂级数是形如 (a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots) 的无限项和， 其中 (a_0, a_1, a_2, ldots) 是常数，(x) 是自变量。
函数项级数
+∞
的敛散性, 并求其收敛域. 解 这是等比级数.
1 当 | x | < 1 时 , 级数收敛 , 其和为 S ( x) = . 1− x 当 | x | ≥ 1 时 , 级数发散 .
故该级数的收敛域为: x ∈ (−1 , 1) . 要打开思路!
几个问题
+∞ +∞
x → x0
lim ∑ un ( x) = ∑ lim un ( x)
求收敛半径的定理
设有幂级数 an x n ∑
n =0 +∞
( an ≠ 0 (n = 0, 1, 2,L) ).
| an+1 | 1 若 lim = λ , 则其收敛半径为 R = . n →∞ | a | λ n
其中, λ = 0 时, 取 R = +∞ ; λ = +∞ 时, 取 R = 0.
n =0
+∞
当 | x | = ± R 时, 幂级数可能收敛, 也可能发散.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x n 的收敛半径. ∑
n =0 +∞
当幂级数仅在 x = 0 处收敛时, 规定 R = 0.
当幂级数在 (−∞, + ∞) 内收敛时, 规定 R = +∞.
如何求收敛半径？
幂级数的一般形式为
an ( x − x0 ) n ∑
n =0
+∞
= a0 + a1 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 ) n + L
其中, x0 为一定点.
令 X = x − x0 , 则可将它化为前面的标 准形式 an ( x − x0 ) n = ∑ an X n ∑
数学分析 第十一章 函数项级数
例 8. 证明: x n 在(0,1)不一致收敛于 f ( x ) 0 .
例 9. 设 f n ( x ) x n (1 x )n . 证明: f n ( x ) 在 (0,1) 一 致收敛于0 .
例 10.设 f n ( x ) x ,[a , b] ( 1,1) . 证明: f n ( x ) 在 [a , b]一致收敛于0 .
f n p ( x ) f n ( x ) .
定义. 设 f n ( x ), f ( x ) 是定义在 X 上函数, 令
f n f sup f n ( x ) f ( x ) : x X
定理 1.6. { f n ( x )}在 X 一致收敛于 f ( x ) 的充要条 件是: lim f n f 0 .
的一致收敛性.
若 0, N , 使得当 n N 时, x X , 都有 fn ( x ) f ( x )
则当 n 时,{ f n ( x )} X 上一致收敛于 f ( x ) . 在
{ f n ( x )}在 X 上不一致收敛于 f ( x )
0 0 , N , nN N , xnN X ，使得
2.函数序列的一致收敛性
定义. 给定{ f n ( x )} . n , f n ( x ) 是定义在 X 上的
函数, 又设 f ( x )也是 X 上函数. 若 0, N ,
使得当n N 时, x X , 都有
fn ( x ) f ( x )
则称当 n 时, f n ( x ) 在 X 上一致收敛于
Sn p ( x ) Sn ( x ) uk ( x ) .
k n1
函数项级数、幂级数的概念
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
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函数项级数举例
求 1 x x 2 x 3 x n x ) 前n项部分和 sn ( x ) 1 x
n
1 x 1 s( x ) lim sn ( x ) lim 1 x n n 1 x
故级数的收敛域为
{ x | x 1,2,, x }
n
（2）函数项级数的部分和 sn ( x ), lim sn ( x ) s( x )
（3）余项
n
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
(x在收敛域上)
lim rn ( x ) 0
注：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 常数项级数的收敛问题.
二
例1 的和函数. 解
(2)函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称
n 1
为收敛域,所发散点的全体称为发散域.
3.和函数(Sum function)
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x ), 称 s( x )为函数项级数的和函数.
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
n
x ( 1,1)
1 1 ) 收敛域. 例2 求 ( x n1 n1 x n
解
1 1 un ( x ) ( n 1,2,) x n x n1
的定义域为 x 1,2,,
n
因为
1 1 1 1 Sn ( x ) ( ) x k 1 x 1 x n1 k 1 x k 1 1 1 lim sn ( x ) lim n n x 1 x n1 x 1
第四节 函数项级数
一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例
一
1.定义
函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义
在 I R 上的函数,则由其构成的表达式
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数,简称
(函数项)级数. 例如级数 x 1 x x ,
n 2 n 0
un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) n 1
2.收敛点与收敛域
(1)如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点,否则称为发散点.
n 1 n 1