中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》
《平面向量的坐标表示》中职数学(基础模块)下册7.2【高教版】2
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2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
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有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
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但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
解 因为
a＝可O以M看到＋，M从A原＝5i＋3j ，
点出发的向量，其坐
所标以在数值上与a向量(终5,
3)，
点的坐标是相同的．
同理可得 b (4,3).
图7－19
例2 已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a－2 a＝3 (1, −2)－2 (−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7, −12)．
运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
《平面向量的坐标表示》 讲义
《平面向量的坐标表示》讲义一、平面向量的基本概念在数学的世界里，平面向量是一个非常重要的概念。
我们先来了解一下什么是平面向量。
简单来说，平面向量是既有大小又有方向的量。
比如，一个力，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如水平向右），这就是一个平面向量。
为了方便研究和计算，我们通常用有向线段来表示平面向量。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
二、平面向量的坐标表示接下来，咱们重点讲讲平面向量的坐标表示。
想象在一个平面直角坐标系中，有一个向量。
我们以这个平面直角坐标系的原点为起点，向量的终点坐标就可以用来表示这个向量。
比如说，有一个向量的终点坐标是（3, 4)，那么这个向量就可以用坐标（3, 4) 来表示。
那为什么要用坐标来表示向量呢？这是因为坐标表示能够让我们更方便地进行向量的运算和研究。
三、平面向量坐标表示的计算既然知道了平面向量可以用坐标表示，那怎么计算呢？假设我们有两个向量，向量 a 的坐标是（x1, y1)，向量 b 的坐标是（x2, y2)。
（一）加法运算它们的和，也就是向量 a ＋向量 b 的坐标就是（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2)。
比如说，向量 a 是（1, 2)，向量 b 是（3, 4)，那么 a ＋ b 就是（1＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6) 。
（二）减法运算向量 a 向量 b 的坐标就是（x1 x2, y1 y2)。
例如，向量 a 是（5, 6)，向量 b 是（2, 3)，那么 a b 就是（5 2, 6 3) ＝（3, 3) 。
（三）数乘运算如果有一个实数 k 乘以向量 a ，那么得到的新向量的坐标就是（kx1, ky1) 。
比如，向量 a 是（2, 3)，k ＝ 2，那么 k a 就是（2 2, 2 3) ＝（4,6) 。
四、平面向量坐标表示的应用平面向量的坐标表示在很多方面都有应用。
（一）解决几何问题比如证明平行四边形、判断三角形的形状等。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件1
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
最新中小学教学课件
22
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you!
2019/7/31
最新中小学教学课件
23
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设a (x1, y1),b (x2, y2 ),
(1) a＝(2,3)， b＝(13,
)；
2
(2) a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)；
(3) a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)．
略．
自我反思 目标检测
1 向量坐标的概念？
2 量任为一i意般, 地y起轴，点的设单的平位面向向直量量角为的坐j标，坐系则标中对表，于x从示轴原的？点单出位发向的
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点M (x, y) OM， 则xi + yj（如图7－18(1)）； (2) 设点 A(x1, y1)，B(x2, y2 ) （如图 7－18(2)），则
AB OB OA (x2i + y2 j) (x1i + y1 j) (x2 x1)i ( y2 y1) j．
• 一、听理科课重在理解基本概念和规律
• 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解， 同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
《平面向量的坐标表示》中职数学(基础模块)下册7.2【高教版】3
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方
向相同的单位向量 i , j作为基本单位向量，任作一 向量a，由前分析可知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1 、把 a=x i+y j 称为向量的正交分解. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
2019/8/10
教学资料精选
18
谢谢欣赏！
2019/8/10
教学资料精选
19
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
六、作业
习题5.4第3、4、 7、8题.
完成《三维设计》
那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
人教版中职数学(基础模块)下册7.3《向量的坐标表示》ppt课件2
, 别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N.
探究1
N
a
e2 O e1
（1）分别用单位向量 e1 , e2
a
b
y1
y2
o x1 x2
x
例题：
例（41）向a量∥ab ；(（x2,1）)，ab与b(4方,向x)相，同当？x是何值时，
解
（1）a ∥ b x x 4 1 0 x 2 ，
（2）当 x 2 时， a 与 b 方向相同.
问题解 决：
7.3 平面向量的坐标表示
课题
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
学习目标
1、知识目标： 1）了解平面向量的坐标表示的生成过程，会求所给向
量的坐标，并会通过向量的坐标求向量的模； 2）能根据所给向量的坐标进行加、减、数乘运算，能
运用坐标判定两向量是否平行，会求给定始终点坐
4.向量平行 a ∥ b x 1 y 2 x 2 y 1 0
5、向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
则AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
作业：
P54 / 习题 1-3
的基本撒即可都不恐怖方式
打发第三方士大夫阿萨德按时风高 放火 发给发的格式的广东省都是方
探究2
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可 以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
【人教版】中职数学基础模块下册：7.3《向量的坐标表示》(2)
练习： 书P52. 1. 2. 3.
探究2
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可 以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .
调用几何画板
新授
平面向量的坐标运算
1.已知a
，b
，求a+b，a-b．
解：a+b=( i + j ) + ( i + j )
=（ + )i+（ + )j
即 a+b
同理可得 a - b 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
新授
平面向量的坐标运算
2.又设
, 为一实数,则
即
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
③将平面内任一向量 ,平移，起点移至坐标原点O,终点
为P，设P坐标为
，得 ,则
;
④对 进行分解，作矩形OMPN;
⑤得
；
⑥得
；
结论:平面直角坐标系中的任一
向量都可以唯一地表示成
的形式.
新授
(2)平面量 的坐标形式;
<2> , 叫做向量 在
轴上的分向量;
<3>
叫做向量 的坐标表示；有序数对
探究2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原 点O的向量如何用坐标来表示?
y
a
o
x
调用几何画板
探究2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原
点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》课件
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
优质中职数学基础模块下册：7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件(2份)
y
7 4
D
_____,| j | ______,
B
C
| OC | ______; （2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则：
OC ________, OD _________ .
j o i
x
A
3
5
（3）向量 CD 能坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
j
o
i
M
x
特别地, i (1, 0), j (0, 1), 0 (0, 0).
方向分别与x轴正向和y轴正向相同的两个单位向量 称为 基本单位向量, 分别记作 i和 j
对于起点在原点的向量 OA
y
N
A(x,y)
OM=x i ON=y j OA=OM+ON =xi+y j
任意的位置向量都有这样的表示 思考: 能否用有序实数对来表示平面内的向量？
解 因为
a＝ OM ＋ MA＝5i＋3j ， 可以看到，从原
点出发的向量，其坐 a (5,3)， 所以 标在数值上与向量终 点的坐标是相同的． 同理可得 b (4,3).
图7－19
例2
已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 解
PQ ， QP
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
六、作业
习题5.4第3、4、 7、 8 题 .
完成《三维设计》
那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
显然回答是肯定的
思考:
1. 是否能够建立一种以水平方向向量和竖直方向向量 为基础的向量表示的方法呢? 2. 为什么要建立这样一种表示方法呢?
《平面向量的坐标表示》 讲义
《平面向量的坐标表示》讲义一、引言在数学的广阔天地中，平面向量是一个极其重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等多个学科中发挥着关键作用。
而平面向量的坐标表示，则为我们研究和解决向量问题提供了一种极为有效的工具。
接下来，让我们一起深入探索平面向量的坐标表示。
二、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，一个向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的模，有向线段的方向表示向量的方向。
我们把平面内具有大小和方向的量叫做平面向量。
通常用小写字母a、b、c 等来表示向量。
例如，有一个向量从点 A(x₁, y₁)指向点 B(x₂, y₂)，我们就可以用AB 来表示这个向量。
三、平面向量的坐标表示1、向量坐标的定义对于平面内的任意一个向量 a，我们都可以将其平移，使其起点与坐标原点 O 重合。
此时，向量 a 的终点坐标（x, y) 就称为向量 a 的坐标，记作 a ＝（x, y)。
比如，有一个向量的终点坐标是（3, 2)，那么这个向量的坐标就是（3, 2)。
2、坐标表示的意义通过坐标表示，我们将向量与有序数对建立了一一对应的关系。
这使得向量的运算可以转化为数的运算，大大简化了问题的处理。
四、平面向量坐标的运算1、加法运算设向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，则 a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋ y₂)。
例如，a ＝（2, 3)，b ＝（1, －1)，那么 a ＋ b ＝（2 ＋ 1, 3 ＋（－1)）＝（3, 2)2、减法运算a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂)比如，a ＝（5, 4)，b ＝（2, 1)，则 a b ＝（5 2, 4 1) ＝（3, 3)3、数乘运算若λ 为实数，向量 a ＝（x, y)，则λa ＝（λx, λy)例如，λ ＝ 2，a ＝（1, 2)，那么 2a ＝（2×1, 2×2) ＝（2, 4)五、平面向量坐标运算的性质1、平行向量的坐标关系若向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，且 a ∥ b，则 x₁y₂x₂y₁＝ 0比如，a ＝（2, 4)，b ＝（4, 8)，因为 2×8 4×4 ＝ 0，所以 a ∥ b2、垂直向量的坐标关系若向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，且 a ⊥ b，则 x₁x₂＋y₁y₂＝ 0例如，a ＝（1, 2)，b ＝（－2, 1)，因为 1×（－2) ＋ 2×1 ＝ 0，所以 a ⊥ b六、平面向量坐标表示的应用1、求向量的模对于向量 a ＝（x, y)，其模长为｜a| ＝√（x²＋ y²)比如，向量 a ＝（3, 4)，则｜a| ＝√（3²＋ 4²) ＝ 52、求向量的夹角设向量 a ＝（x₁, y₁)，b ＝（x₂, y₂)，它们的夹角为θ，则cosθ ＝（x₁x₂＋ y₁y₂) ／（｜a| ｜b|）例如，a ＝（1, 0)，b ＝（0, 1)，则cosθ ＝（1×0 ＋ 0×1) ／（1×1) ＝ 0，所以θ ＝ 90°3、解决几何问题通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的线段用向量表示，利用向量的坐标运算解决几何中的长度、角度、平行、垂直等问题。
【人教版】中职数学(基础模块)下册：7.3《向量的坐标表示》教案
【学习目标】 1．了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；2．了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.3．培养学生应用向量知识解决问题的能力.【重点难点】向量线性运算的坐标表示及运算法则. 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学过程】第一课时：平面向量的坐标表示（一）问题情境【观察】设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，OA 为从原点出发的向量，点A 的坐标为（2，3）．则2OM =i ，3ON =j ．由平行四边形法则知23OA OM ON =+=+i j（二）新知探究1、对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数(,)x y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ．2、x y =+a i j 向量的模：3、00010j 01=i = (,) , = (,)特性：（，），4、11221221(,),(,),0x y x y x y x y ==-=a b a b 若与平行，有5、11221212A(,),B(,),=--x y x y AB x x y y 若有（，）（三）例题练习例1．写出下列向量的坐标表示，并求它们的模1 a 4(2) b -3(3) c 2π=-==i j i j （）例2．如图所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．第二课时：平面向量的直角坐标运算（一）新知探究设平面直角坐标系中，1122(,),(,),x y x y ==a b则1122()()x y x y +=+++a b i j i j 1212()()x x y y =+++i j ．课题序号8 授课班级 1313/1314 课时 2 课题 7.3平面向量的坐标表示主备 张凡娣 22x y a →+（7．6）7．7）（7．8） （三）例题练习例3．设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标：(1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ．例4．(,2),(3,), a x b x x a b a b ==向量当是何值时，（1)与平行，（2）与方向相反练习一：1． 点A 坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标．3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标．(1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ．4．已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQ QP ，的坐标．练习二：P54/【教学后记】。
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
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CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
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01
平面向量基本概念
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向量定义及表示方法
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向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
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数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
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19
投影概念及计算方法
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坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
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11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
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三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
平面向量的坐标表示中职数学基础模块下册72高教版PPT25页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称块 下册72高教版
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》word教案
教案【双基讲解】1.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，以原点为始点，点P 为终点的向量错误!未找到引用源。
叫做点P的位置向量.在平面直角坐标系内，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
如图：设点P的坐标为错误!未找到引用源。
，它在错误!未找到引用源。
轴上的射影为错误!未找到引用源。
，在错误!未找到引用源。
轴上的射影为错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
我们把有序实数对错误!未找到引用源。
叫做向量错误!未找到引用源。
的坐标，记作错误!未找到引用源。
【示范例题】例。
写出平面直角坐标系中下列各点的位置向量：（1）A(3，−2) ；（2）B(0，−2（3）C(−3，0) .【双基讲解】在平面直角坐标系内，设点错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
向量错误!未找到引用源。
如何用坐标来表示？如图：由向量的减法，可得：错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
，即错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
2. 向量错误!未找到引用源。
的模：由于向量的模就是向量的大小，即点错误!未找到引用教师提问教师讲解集体教学教师讲解谈话法讲授法演示法谈话法通过实例导入问题应用知识领会实践方法源。
之间的距离. 所以向量错误!未找到引用源。
的模为错误!未找到引用源。
.若a= (x，y)，则错误!未找到引用源。
【示范例题】例.平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为(2，−3)，(3，6)，求向量错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的坐标及错误!未找到引用源。
的模.解错误!未找到引用源。
.错误!未找到引用源。
.|错误!未找到引用源。
|=错误!未找到引用源。
. 【双基讲解】向量的坐标运算：提问：已知a=错误!未找到引用源。
你能得出错误!未找到引用源。
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核心要点研究
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例1 [2013·南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分
别是边CD和BC的中点．若
→ AC
＝λ
→ AE
＋μ
→ AF
，其中λ，μ∈
R，则λ＋μ＝________.
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[解析] A→C＝A→B＋A→D， A→E＝12A→B＋A→D， A→F＝A→B＋12A→D，
于是得λ12＋λ＋12μμ＝ ＝11， ，
→ OA
＝a， O→B ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹
角，当θ＝________或________时，两向量共线，当θ＝
________时，两向量垂直．
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• (2)平面向量的正交分解
• 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解．
• (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与 数对(x，y)是一一对应的，因此把________叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共
线的充要条件是λ＋μ＝1.
3. 平面的基底中一定不含零向量.
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课前自主导学
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• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
• 2. 利用已知向量表示未知向量，实质就是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算．
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[变式探究] [2013·金版原创]如图，在△ABC中，已知 AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中 点，若A→M＝λA→B＋μB→C，则λ＋μ＝________.
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
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• 1. 了解平面向量基本定理及其意义． • 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示． • 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数
乘运算． • 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
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• 1个重要区别 • 向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后， 2项其必起须防点范和终点的坐标都变了，但向量的坐 1. 标不变若．a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或
• [审题视点] 根据题意可设出点C、D的坐标， 然后利用已知的两个关系式，得到方程组， 求出坐标．
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[解] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
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3. (x1±x2，y1±y2) (x2－x1，y2－y1) (λx，λy) x1y2－
x2y1＝0
填一填：(1)(－1，－1)
提示：
→ BC
＝
→ BA
＋ A→C ＝(－1，
－1)．
(2)(1,2) (3)2 提示：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴(λ＋2)(－7)＝
(2λ＋3)(－4)，∴λ＝2.
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(1)在△ABC中，D为BC边中点，设
→ AB
＝a，
→ AC
＝b，则
用基底a，b表示A→D应为________．
(2)设e1，e2表示平面内向量的基底，则a＝e1＋λe2与b＝
－e1＋2e2共线的条件是λ＝________.
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• 2. 平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作
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• (4)规定： • ①相等的向量坐标________，坐标________
的向量是相等的向量； • ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始
点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
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在正△ABC中，向量A→B与B→C的夹角为60°，对吗？
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已知
→ AB
＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是
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(1)若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→C＝________. (2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则3a＋b＝ ________. (3)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量(－4， －7)共线，则λ＝________.
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1. a＝λ1e1＋λ2e2 填一填：(1)12(a＋b) (2)－2 2. 0° 180° 90° (x，y) 相同 相同 想一想：提示：不对，向量A→B与B→C的夹角为120°. 填一填：(1,3)
180°，忽视其中一种情形会出错． 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示
为xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
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3条必会结论
1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.
已知
→ OA
＝λ
→ OB
＋μ
→ OC
[答案]
4 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以λ＋μ＝43.
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奇思妙想：在△ABC中，M为BC上任意一点，N为AM 的中点，A→N＝λA→B＋μA→C，求λ＋μ的值．
解：A→M＝2A→N＝2(λA→B＋μA→C) ＝2λA→B＋2μA→C， ∵M、B、C共线， ∴2λ＋2μ＝1，∴λ＋μ＝12.
.
• 1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一 组基底，该平面内的任意一个向量都可表示 成这组基底的线性组合，基底不同，表示也 不同．
________．
3. 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝____________；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝____________；
.
• (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； • (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， • 则a∥b⇔____________.
答案：23
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解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，M为AH的中点， 所以A→M＝12A→H＝12(A→B＋B→H) ＝12(A→B＋13B→C) ＝12A→B＋16B→C，所以λ＋μ＝23.
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例2 [2013·赤峰调研]已知点A(－1,2)，B(2,8)以及A→C＝ 13A→B，D→A＝－13B→A，求点C、D的坐标和C→D的坐标．