高中数学新课 极限 教案

课 题：2.2数列的极限教学目的：1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝12n(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-12n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n 101二、讲解新课：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn三、讲解范例：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…； 解：（1）1，21，31，…，n1，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n1＝0. （2）21，32，43，…，1+n n，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1+n n ＝1.（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即lim n →∞(-2)＝-2.（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n)1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(-｝的极限是0，即limn →∞n)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(-｝无极限四、课堂练习：1．下列命题正确的是（ ）①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④答案：D2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91，…，21n，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n,…，答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3 答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n21可以任意小.故选B.4.下列数列，不存在极限的是…( )A.ΛΛ,)1(,,271,81,131n n ---B.ΛΛ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n n C.－1，1，－1，1，…，(－1)n，… D.ΛΛ,1,,34,23,2nn + 答案：C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1. 五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设等比数列{q n －1}(|q |＞1)的前n 项和为S n ，则∞→n lim nn S S 2+的值是A.21q B.41qC.q 2D.q 42.已知a ＞b ＞1，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是A. －abB.a1C.－bD.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n ，f (x )中x 2的系数为T n ，则∞→n limnn T n23+等于 A.31 B.61C.1D.25.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞→n limnnS S 2}，则N 等于 A.{0，1}B.{1，21 } C.{0，21} D.{0，1，21} 6. ∞→n lim )11(--+n n n 等于A.1B.0C.21 D.不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.无穷数列{2312++k k }（k =1,2,3,……）的各项和是___________. 8.在数列{a n }中，若∞→n lim (3n －1)a n =1,则∞→n lim na n =___________.9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.10.已知∞→n lim （112++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (x )=422+x (x ＞0),设a 1=1,且a n +12·f (a n )=2(n ∈N *)，求(1)数列{a n }的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--13.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；（Ⅱ）求∞→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.14.设数列{a n }满足a 1+3232a a ++…+na n =a 2n－1,{a n }的前n 项和为S n (a ＞0,a ≠1,n ∈N *).(1)求a n ; (2)求∞→n limna S n n)1(2-；（3）求证：(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2参考答案：一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a 1≤23,且a 1≠1. 三、12.解：（1）由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或13.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.14.解（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2)a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a2n －2(2a 2+1)＞0∴原不等式成立.。