内点法+外点法
惩罚函数法
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
罚函数法(SUMT法)(ppt文档)
( NP) 求解 min( X , M ) 设其最优解为 X*(M)， XRn
研究 X*(M) 与(NP)的最优解 X* 之间的关系
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
m
( X , M ) f ( X ) M [min( 0, gi ( X ))]2
i 1
gi (X ) 0 gi (X )
30 若 gi ( X (k ) ( Mk )) , i 1,2, ,m, 则迭代终止，X X (k ) ( M k ) 否则取Mk+1=C Mk , 其中C = 5~10
D
X
X(k)(Mk )
gi (X ) 0
令 k:= k+1 转20
M4 1000 X (4) (1000)
D
g2(X ) 0
g1( X ) 0
X(k)(Mk )
X
x1
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
线性规划3-6
第三章 非线性规划
一.外点罚函数法(外点法)
( NP) min f (X )
s.t
.
gi hj
( (
X X
) )
0, 0,
i j
1, 2, 1, 2,
,m ,p
外点法迭代原理 外点法迭代步骤 外点法举例 外点法的优缺点
二.外点法迭代步骤
(NP) min f (X )
通过迭代逐渐增大罚因子M：
(NP)min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
压缩感知的重构算法
压缩感知的重构算法算法的重构是压缩感知中重要的一步，是压缩感知的关键之处。
因为重构算法关系着信号能否精确重建，国内外的研究学者致力于压缩感知的信号重建，并且取得了很大的进展，提出了很多的重构算法，每种算法都各有自己的优缺点，使用者可以根据自己的情况，选择适合自己的重构算法，大大增加了使用的灵活性，也为我们以后的研究提供了很大的方便。
压缩感知的重构算法主要分为三大类：1.组合算法2.贪婪算法3.凸松弛算法每种算法之中又包含几种算法，下面就把三类重构算法列举出来。
组合算法：先是对信号进行结构采样，然后再通过对采样的数据进行分组测试，最后完成信号的重构。
(1) 傅里叶采样（Fourier Representaion）(2) 链式追踪算法（Chaining Pursuit）(3) HHS追踪算法（Heavy Hitters On Steroids）贪婪算法：通过贪婪迭代的方式逐步逼近信号。
(1) 匹配追踪算法（Matching Pursuit MP）(2) 正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit OMP）(3) 分段正交匹配追踪算法（Stagewise Orthogonal Matching Pursuit StOMP）(4) 正则化正交匹配追踪算法（Regularized Orthogonal Matching Pursuit ROMP）(5) 稀疏自适应匹配追踪算法（Sparisty Adaptive Matching Pursuit SAMP）凸松弛算法：(1) 基追踪算法（Basis Pursuit BP）(2) 最小全变差算法（Total Variation TV）(3) 内点法（Interior-point Method）(4) 梯度投影算法（Gradient Projection）(5) 凸集交替投影算法（Projections Onto Convex Sets POCS）算法较多，但是并不是每一种算法都能够得到很好的应用，三类算法各有优缺点，组合算法需要观测的样本数目比较多但运算的效率最高，凸松弛算法计算量大但是需要观测的数量少重构的时候精度高，贪婪迭代算法对计算量和精度的要求居中，也是三种重构算法中应用最大的一种。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
第八章 内点法和外点法
（1）p x 是连续的 （2）对任意的 x R n ，有 p x 0 （3）当且仅当 p x 0 时，x X
建模方法与应用
9. 约束优化问题(II)
对上面的不等式约束，定义
0 g ( x) 2 g ( x ) i
i
g i ( x) 0 g i ( x) 0
建模方法与应用
9. 约束优化问题(II)
取 M 1,2,3,4 可得如下结果：
1 2 7 T x ( , , ) M 2 M 1 ： x ( 1 ， ： 6 9) 4 16 T
29 T 23 T 1 , M 3 ： x ( 1 8 192 ) ， M 4 ： x ( 10 , 200 )
*
(4.4)
则gi ( x * ) 0,i 1,, p，h j ( x * ) 0, j 1,,q
建模方法与应用
9.惩罚函数的性质和构造
对上面的约束优化问题, 定义惩罚函数
F x, M f x Mp x
(4.5)
n 其中 M 0 为常数，称为惩罚因子， p x 是定义在 R 上的一 个函数，称为惩罚项，它满足：
i 1 L
i
F x
, M f x M g x f x
(k0 ) k0
k 0
L
k0
i 1
k0
建模方法与应用
9. 约束优化问题(II)
2． 如果第 1 种情况不发生，即得到一个无穷点列
x ， x
(k )
(k )
X ， k 1, 2,
x ( k0 ) X ，则 x( k0 ) 为原来约束优化问题(4.1)-(4.3)的最优解。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
非线性规划问题的求解方法
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
4、其它求解算法
（1）间接法 （2）直接法
直接搜索法 以梯度法为基础的间接法
无约束规划的Matlab求解函数 数学建模案例分析（截断切割，飞机排队）
（1）间接法
在非线性最优化问题当中，如果目标函 数能以解析函数表示，可行域由不等式约束 确定，则可以利用目标函数和可行域的已知 性质，在理论上推导出目标函数为最优值的 必要条件，这种方法就称为间接法（也称为
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
三、Matlab求解有约束非线性规划
1. 用fmincon函数求解形如下面的有约束 非线性规划模型
一般形式：
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
惩罚函数法
解出x1,x2
5M 4 M 5 x1 x2 2.5 2M 1 2
此时x1,x2则满足约束条件，是原问题的解。
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法 例：内点法求解约束问题 min f (u ) au(a 0) s.t.g (u ) b u 0(b 0)
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
s.t. h (xi)=x1+ x2-5=0
该问题只有等式约束 解：首先建立罚函数：
F ( x, M ) f ( x) Mp( x)
P( x)
(max( 0, g
i 1
l
i
( x )))
2
( h j ( x ))
j 1
m
2
( x1 x 2 5) 2
F ( x, M ) ( x1 4) 2 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2
此时的x1,x2不满足约束条件，不是原问题的解。
当x 不属于 S 时
F§2惩罚函数法 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2 ( x, M ) ( x1 4) 2
F 2( x1 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x1 F 2( x 2 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x 2
*
rk a 2 (b u )
rk a
F (u , rk ) f (u ) rk a (b rk 0
1 1 au rk g (u ) bu
边界值分析法
999
9999
隐含：
参数 关联参数 等价类类型 等价类 边界值
账户名
无
有效等价类
字母开头，长度为8 字母开头，长度1 非字母数字组成 由字母数字组成，数字开头
“magic123” “m”
无效等价类 长度大于8 长度为0（字符串为空）
“magic1234” “”
• 测试数据分类
1. 2. 3. 4. 连续的取值范围，则以该范围的边界值及边界附近的值作为测试数据 离散的值，比如1，2，3，4，5，则用最大个数，最小个数，比最小的少一，比 最大的大一的数作为测试数据 有序的集合，应该选取有序集合的第一个和最后一个元素作为测试数据 内部数据结构，则应当选择这个内部数据结构的边界上的值作为测试数据
• 常见的特殊边界值
1. 2. 3. 4. 5. 屏幕上光标在最左上、最右下位置 数组元素的第一个和最后一个 报表的第一行和最后一行 循环的第0次、第1次、倒数第2次和最后一次 数值的边界值，比如字节0、255，字0、65535
• 例子：
某银行系统有一个转账功能，转账的时候需要输入一 些参数分别是 1.选择转账币种，币种有三种（人民币，美金，日元 ） 2.输入转账金额，单位100，各币种额度分别是（ 100-2000, 100-1000, 1000-10000） 3. 转账账户名，账户名由字母和数字组成，长度不超 过8，不能由数字开头 4. 是否同意转账协议
参数
关联参数
等价类类型
等价类
边界值
人民币
有效等价类
100～2000
100，2000
<100 无效等价类 >2000
99
2001
有效等价类
100~1000
外点惩罚函数法
对于任意给定的惩罚因子r（k）＞0，函数Ф （x，r（k））是 凸的。令函数Ф （x，r（k））的一阶导数为零，可得其无 约束极值点x*（r（k））=1-1/(4r(k))和惩罚函数值为
下表列出了当惩罚因子赋予不同值时的条件最优解。由此 可见，当惩罚因子递增时，其极值点x*（r（k))离约束最优 点x*越来越近。当r（k）→∞时， x*（r（k))→x*=1，趋于 真正的约束最优点。因此，无约束极值点x*（r（k))将沿直 线Ф （x*，r（k））=1/2+x*/2从约束区域外向最优点x*收 敛。
条件，就认为已经达到约束边界。这样只能取得一个接近
于可行域的非可行设计方案。当要求严格满足不等式的约 束条件时，为了最终取得一个可行的最优化设计方案，必
须对那些要求严格满足的约束条件，增加约束欲量—— δ
，定义新的约束条件 g'u(x)=gu(x)+δ ≤0 u=1,2,……m
用外点罚函数法解等式约束优化问题
使用中的问题
外点惩罚函数法的初始点x（0），可以任意选择，因
为不论初始点选在可行域内或外，只要f（x）的无约束极
值点不在可行域内，其函数Ф （x，r（k））的极值点均在 约束可行域外。这样，当惩罚因子的增大倍数不太大时， 用前一次求得的无约束极值点x*r（k-1），作为下次求 minФ （x，r（k））的初始点x（0），对于加快搜索速度是
r(k)与r（0）的选择
r（k）
在外点法中，惩罚因子r（k）通常是按下面递推公式增加的， 即 r（k）=α r（k-1）；其中α 为递增系数一般取5~10。
r（0）的选择：
r（0）过大，惩罚函数比原目标函数大得多，使函数性态遭到破 坏，从而惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难； r（0）过小，会使迭代次数增加。
规范：括号内外点号如何标注
规范：括号内外点号如何标注括号内点号的用法可以分为句内括号内点号和句外括号内点号两种。
第一，句内括号中的文句末尾通常不使用句号。
如：（1）科技协作（包括科研、试制、成果推广、技术转让等）根据上级主管部门或有关部门的计划签订。
有时句内括号中不止一个句子，行文中间已经用了句号，其末尾仍可不用任何点号。
如：（2）可是，“可持续”（顺便提一句，“可持续”中的“可”似乎可以去掉，去掉更顺口。
把“sustainable development”译为“可持续发展”是直译不是意译）终究只是回答了社会发展的一个侧面。
根据表达的需要，句内括号中的文句末尾可以使用问号和叹号。
如：（3）如果不采取（但应如何采取呢？）十分具体的控制措施，中国大量出口商品就可能引起敏感的反应。
（4）接着，这位作者指出在热带殖民地内，年利润往往和总资本相等（真可谓一本万利了！），而黑人的生命总是被残酷地牺牲了。
第二，句外括号中的文句末尾可以使用问号和叹号。
是否使用句号，应根据括号内文句的结构来决定：如果括号中的内容较复杂，文句较长，则末尾应使用句号；如果括号里的内容是词语，不是句子，末尾不用句号。
如：（5）他们带着的这些东西，已经是他们财产的全部了，要不是因为锅里等着米去煮饭，他们未必就肯送进当铺，永远不能再见面。
（他们当了以后永远不能取赎，这也许就是当下当铺营业没有利益的一个原因吧？）（6）同年，他还完成了几首独唱曲、十一首卡农、一首钢琴协奏曲和三首钢琴三重奏。
（一年之内创作这么多乐曲，这种艺术创造力是令我们啧啧赞叹的！）（7）不能把夏朝看作奴隶国家已经完全成立，只能看作原始公社正在向奴隶制国家过渡。
在过渡期中，国家也就不知不觉地发达起来了。
（龙山文化遗址里，也有俯身葬，俯身者很可能就是奴隶。
）（8）问：你对你不喜欢的领导是什么态度？答：感情上疏远，组织上服从。
（笑）括号外点号的用法可以分为句内括号外点号和句外括号外点号两种。
第一，句内括号外的点号是否使用，取决于句内括号所处的位置。
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
惩罚函数法
得到极小点为 x * (λ k )，记为 x k +1 .
step 3 ： , 如果 x * ( λ k ) ∈ D ,即 g j ( x * (λ k )) ≥ ε（j = 1,2,L , m ） 就是问题（ 的最优解， 则 x * (λ k） 就是问题（ A）：min f ( x ) 的最优解， stop;
if x ≥ 2 if x < 2
dϕ k ( x ) 可得： 由 = 0 可得： dx 2 （x − 1） 2λ k ( x − 2) = 0 +
1 + 2λ k 所以 x = x ( λ k ) = ∉D 1 + λk
k *
的最优解。 这就是对于固定的 λ k，问题 min ϕ k ( x )的最优解。
x∈ D
否则转 step 4.
step 4 ： 给定 λ k +1 > λ k（可取 λ k + 1 = αλ k 这里 α > 1 为惩罚 因子的放大系数） 因子的放大系数）, k := k + 1, 转 step 2.
（4）应注意的问题
(a) 在step 2中， 可用无约束优化问题的 算法求解 min ϕ k ( x ) = f ( x ) + λ k p( x ) n
( 3) 算法分析
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题： min f ( x ) s .t . g i ( x ) ≥ 0 , i = 1,L，m
转化为无约束优化问题 : minψ k ( x ) = f ( x ) + µ k q( x )
x∈ R n
µ1 > µ2 > L > µk ↓ 0
不规则曲面上点的分类
不规则曲面上点的分类
不规则曲面上点的分类，可以根据其特征和性质进行区分和归类。
以下是一些常见的分类方法：
1. 点的位置分类：可以根据点在曲面上的位置进行分类。
例如，内点表示在曲面内部的点，边界点表示在曲面边界上的点，外点表示在曲面外部的点。
2. 点的性质分类：可以根据点在曲面上的性质进行分类。
例如，极大点表示曲面上的局部最大值点，极小点表示曲面上的局部最小值点，稳定点表示曲面上的鞍点或平稳点。
3. 点的切平面分类：可以根据点所在的切平面与曲面的相交情况进行分类。
例如，切点表示切平面与曲面的交点，非切点表示切平面与曲面不相交的点。
4. 点的曲率分类：可以根据点所在的位置以及曲率向量的性质进行分类。
例如，拐点表示曲率向量变化方向发生突变的点，过渡点表示曲率向量的变化由正向到负向或由负向到正向的点。
5. 点的表面测量分类：可以根据点在曲面上的测量结果进行分类。
例如，高点表示在曲面上位置最高的点，低点表示在曲面上位置最低的点，等高点表示在曲面上具有相同测量高度的点。
这些分类方法只是一些常见的方法，实际上还可以根据具体的需要和应用场景，选择合适的分类方法对不规则曲面上的点进行分类。
内点法+外点法
1.外点法的约束最优化问题。
（由约束条件作图）解：取()()()00120,0,0.01,10,0.01,0;X C r k εε====== 外点法惩罚函数为：（会转化，并且把握函数值的趋势）（看到了min 就要知道在平面中取什么范围内的点，才可使罚函数达到最小） 対上式求偏导得：()()121122122628264152845x x x r x x r x x x φφ--⎧⎫⎧⎫∂∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬-+--+-∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：()()**12156584242r r x r x r r r ++==++当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。
22121122123142 min ()(3)(4) .. ()50 () 2.50 ()0 ()0f X x x s tg X x x g X x x g X x g X x =-+-=--≥=--≥=≥=≥()()()()()()()()()()()()()()()22222212121212221122123422221122121212min ,34max 0,5max 0, 2.5max 0,max 0,69816(0,0,0,0)698165 2.5(0,0,x r x x r x x r x x r x r x x x x x g x g x g x g x x x x x r x x r x x g x g x g φ=-+-++-+-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-++-+-≤-≤-≤-≤=-++-+++-+-++->->-()()340,0)x g x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬≤-≤⎪⎪⎩⎭则得到最优解()**123.75 1.25min 8.125X X f x ===2用内点法求解：31211221min ()(1)12.. ()10 ()0f X x x s tg X x g X x =++=-≥=≥ 的约束最优化问题。
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1.外点法
的约束最优化问题。
（由约束条件作图）
解：取()()()00120,0,0.01,10,0.01,0;X C r k εε======
外点法惩罚函数为：（会转化，并且把握函数值的趋势）
（看到了min 就要知道在平面中取什么范围内的点，才可使罚函数达到最小） 対上式求偏导得：
()
()
1211221226
28
264152845x x x r x x r x x x φφ--⎧⎫⎧⎫∂∂⎪⎪
⎪⎪
==⎨⎬⎨⎬-+--+-∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭
⎩⎭
无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：
()()**
12156584242
r r x r x r r r ++==
++
22
121122123142 min ()(3)(4) .. ()50 () 2.50
()0
()0
f X x x s t
g X x x g X x x g X x g X x =-+-=--≥=--≥=≥=≥()()()()()()()()()()()()()()()222222
1212121222
112212342222
11
22121212min ,34max 0,5max 0, 2.5max 0,max 0,69816(0,0,0,0)698165 2.5(0,0,x r x x r x x r x x r x r x x x x x g x g x g x g x x x x x r x x r x x g x g x g φ=-+-++-+-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-++-+-≤-≤-≤-≤=-++-+++-+-++->->-()()340,0)x g x ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬≤-≤⎪⎪⎩⎭
则得到最优解()*
*
123.75 1.25
min 8.125X X f x ===
2用内点法求解：
31211221
min ()(1)12
.. ()10 ()0
f X x x s t
g X x g X x =
++=-≥=≥ 的约束最优化问题。
解：取()()()0010,10,0.01,0.1,1,0;X C r k ε===== 外点法惩罚函数为：
()()()()()3
()1212121,ln 1ln()1ln[1()]12
k x r f x r x x x x r x x φ=--+-=++---⎡⎤⎣⎦
対上式求偏导得：
2111122
114241x x r
r
x x x x φφ∂∂=++-
=-∂-∂
令上式等于零：
2111122
10424110x x r
x x r
x x φφ∂=++-=∂-∂=-=∂
即：3
1
241
()x r x r r +=
无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：
*
*
3
12()
41
()x r r x r r +=
当惩罚因子渐减时，由下表可看出收敛情况。
()**
12210
min 3
X X f x ===
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注！）。