二次函数的图象与性质(3)
二次函数的图象和性质3(含答案)
2010年全国各地数学中考试题分类汇编17二次函数的图象和性质3一、选择题 1．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4【答案】C2．（2010湖北省咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定【答案】A3．（2010北京） 将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋2【答案】D4．（2010山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()10y x x=-<；④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 【答案】B5．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）A. 6或－1B. －6或1C. 6D. －1【答案】DyxO yx Oyx O1 －1 yxO1 －16．（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线42-=x y 上的一个点是（ ）（A ）（4，4） （B ）（1，－4） （C ）（2，0） （D ）．（0，4） 【答案】C7．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为 A ．向上平移4个单位 B ．向下平移4个单位 C ．向左平移4个单位 D ．向右平移4个单位 【答案】B8．（2010陕西西安）已知抛物线103:2-==x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位【答案】C9．（2010 福建三明）抛物线772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．47-≥k B ．47-≥k 且0≠k C ．47->k D ．47->k 且0≠k 【答案】B10．（2010 山东东营） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【答案】B二、填空题1．（2010江苏扬州）y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________．x(B)x(A)x(C)(D)【答案】42．（2010山东泰安）将y=2x 2-12x-12变为y=a （x-m ）2+n 的形式，则m·n=. 【答案】-903．（2010湖北襄樊）将抛物线212y x =-向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．．【答案】21(1)22x --+或21322x x -++ 4．（2010江苏 镇江）已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的最大值为 .【答案】45．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20 三、解答题1．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．（1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．【答案】（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． （3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC =5t 5②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD =255t ，∴555t =，解得t =40511-． ③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE =255PC ，∴12t =255（5t ），解得t 32540-（4）当CQ =PC 时，由（3）知t 5P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =12x ，因而有12x =12-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =15OP 与抛物线的交点坐标为（5152）和（5，152）． 2．（2010湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-． ∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==．（2）解：依题意，12b-=，∴2b =-．由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--． ∴二次函数的最小值为4-．3．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+33c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分 （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的 面积875的最大值为． 4．（2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m x x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交与点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧做等等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．【答案】解：（1）∵抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 经过原点， ∴m 2—3m +2=0. 解的m 1=1，m 2=2. 由题意知m ≠1. ∴m =2，∴抛物线的解析式为x x y 25412+-= ∵点B （2，n ）在抛物线x x y 25412+-=，n=4.∴B 点的坐标为（2，4）（2）①设直线OB 的解析式为y =k 1x 求得直线OB 的解析式y =2x ∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点， 可求得A 点的坐标为（10，0），设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）． 根据题意做等腰直角三角形PCD ，如图1.（第24题）可求得点C 的坐标为（3a ，2a ）， 有C 点在抛物线上，得2a =－41x （3a ）2+25x 3a . 即49a 2— 211a =0解得 a 1=922，a 2=0（舍去）∴OP =922②依题意作等腰直角三角形QMN . 设直线AB 的解析式y =k 2x +b由点A (10 ，0)，点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y =－21x +5 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示，可证△DPQ 为等腰直角三角形．此时QP 、OP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、 2t 个单位． ∴PQ = DP = 4t ∴t +4t +2t =10 ∴t=710第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM 为等腰直角三角形．此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位， ∴OQ = 10 － 2t ∵F 点在直线AB 上 ∴FQ =t ∵MQ =2t ∴PQ =MQ =CQ =2t ∴t +2t +2t =10 ∴t =2.第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示，此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位．∴t +2t=10 ∴t =310 综上，符合题意的值分别为710，2，310． 5．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2x y =的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示： 依题意得：2)1(2--=x y=2122-+-x x =122--x x∴平移后图像的解析式为：122--x x （2）当y=0时，122--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x 212121+=-=x x ，∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0） 由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0. 6．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．【答案】解：（1）由题意可知09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的函数关系式为243y x x =-+． （2）把D （7,2m ）代人函数解析式243y x x =-+中，得2775()43224m =-⨯+=．所以155(31)244ABD S ∆=⨯-⨯=． 7．（2010湖北随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1132.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.8．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，则有1640,4,420.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式y =12x 2+x ﹣4（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D .设M 点的坐标为（m ，n ）. 则AD =m +4，MD =﹣n ，n =12m 2＋m －4 . ∴S = S △AMD +S 梯形DMBO －S △ABO =12( m +4) (﹣n )＋12(﹣n ＋4) (﹣m ) －12×4×4 = ﹣2n -2m -8 = ﹣2(12m 2＋m －4) -2m -8 = ﹣m 2-4m (－4< m < 0)∴S 最大值 = 4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4）， （-2+52－25-2－52＋59．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y ＝x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C(0，2)，连接AC ，若tan ∠OAC ＝2． (1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接BC ，M 是线段BC 上(不与B 、C 重合)的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2又∵tan∠OAC=OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0).又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b×1＋2,b=－3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2（2）存在过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,∴x=－332212ba-=-=⨯.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°,∴tan∠PAE= tan∠CPD∴PE CDEA DP=,即12PE322PE=-，解得PE=12或PE=32，∴点P的坐标为（32，12）或（32，32）。
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
2.2 二次函数图象和性质(3)
抛物线y=ax2
向下平移 抛物线 y=ax2－c c个单位
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c 图象 a>0 a<0
c>0
开口
c<0
c>0
c<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
?
y
5
y=2x2
y=2(x+3)2
4. 3. 2. 1.
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
返回
y
5
y=2x2
y=2(x+3)2
4. 3. 2. 1.
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y=2(x+3)2 -1/2
返回
议一议：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与 y=ax2 有什么关系？
(0,k) (h,0) (h,k)
y a (x h) 2 (a 0)
y a(x h) k(a 0)
2
直线X=0 直线X=h 直线X=h
开口向上
延伸题
1) 若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得 到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1 4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质（3）------说课稿六合区竹镇民族中学陆东柱一、教材分析：本节课为九年级（下）第六章第2节内容，研究抛物线的平移变换，抛物线的平移变换是二次函数性质的一个重要内容。
教育教学目标：（1）知识目标：会用描点法画二次函数的图象，能根据图象认识其性质。
（2）能力目标：能从图象间位置变化，发现、归纳图象间的变化规律。
（3）情感目标：通过学生自己动手画图、观察、推测、探索、归纳，让学生体验数学学习方法，感受有收获的快乐。
教学重难点：（1）本课重点是用运动变化的观点，从“坐标数值的变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索抛物线y=ax2+k,y=a(x+m)2的图象与二次函数y=ax2图象的关系。
（2）难点主要是容量大，上下平移与左右平移并存，学生容易混淆。
二、学情分析：本节课创设了轻松的学习氛围，学生画图、观察、归纳抛物线上下平移规律能较轻松完成。
学生归纳左右平移变换时，列表会发现问题，画图也会有问题，教师给适当点拨。
整个教学过程都贯穿在学生操作、学生观察、分析、归纳之中。
三、教学策略：本节课始终是在学生的高度参与下展开的，由简单具体的函数图象的变化特征，去探索一般形式的函数图象的变化的规律，符合中学生的认知水平，学生能较容易的接受。
四、教学程序：（一）课堂结构：1、复习回顾2、新课导学3、练习巩固4、思维拓展5、作业布置（二）教学简要过程：1、复习回顾：通过两个练习复习y=x2的图象与性质，y=x2与y=-x2图象间的关系也是一个变换形式，以引起学生的思考。
2、新课导学：（1）通过列表、描点、画图、探索、归纳，学生能正确得到上下平移图象的特征。
思考中设计了三个问题，对图象的变换有较清晰的认识。
（2）在学习图象左右平移时，老师要给一定的指导，要从列表中的数值变化特点及抛物线对称性角度考虑，画出正确的图象，再观察、分析、类比，得出相关变换规律。
思考中设计了三个问题，它是建立在图象的基础上的。
二次函数的图象与性质(3)同步培优题典(解析版)
专题2.4二次函数的图象与性质（3）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•南岗区校级期中）抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线y＝﹣1D．直线y＝1【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a可求出答案．【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1；故选：B．2．（2019秋•思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为4【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解析】∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，∴C选项正确；故选：C．3．（2019秋•太仓市期中）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=−b2a＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．4．（2018秋•渝中区校级期中）抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为（）A．±2B．4C．2D．﹣2【分析】根据图形可知，函数图象经过原点，然后把（0，0）代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据−b2a＜0，求得m的符号即可得解．【解析】由图可知二次函数图象经过点（0，0），所以，4﹣m2＝0，解得m＝±2，∵−b2a＜0，即−m2×(−1)＜0，解得m＜0，∴m＝﹣2，故选：D．5．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决．【解析】∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +2m ＝﹣（x −m 2）2+m 24+2m ，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴该抛物线的对称轴是直线x =m2，开口向下， ∴m 2≥1，即m ≥2， ∴m 24+2m ＞0，∴该抛物线的顶点（m 2，m 24+2m ）在第一象限，故选：A ．6．（2020•菏泽）一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图象相比较看是否一致．【解析】A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＜0，b ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意． 故选：B ．7．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过点A （m ，y 1），B （m +2，y 2），若点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1B ．0＜m ＜2C ．1＜m ＜2D ．m ＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A 和点B 在对称轴两侧，从而可以得到m 的取值范围，本题得以解决． 【解析】∵抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点A （m ，y 1），B （m +2，y 2）在抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1上，点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2， ∴1＜m ＜2， 故选：C ．8．（2020•稷山县校级一模）已知二次函数y ＝x 2﹣bx +1（﹣1≤b ≤1），当b 从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（ ）A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b ＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案． 【解析】当b ＝﹣1时，此函数解析式为：y ＝x 2+x +1，顶点坐标为：（−12，34）；当b ＝0时，此函数解析式为：y ＝x 2+1，顶点坐标为：（0，1）； 当b ＝1时，此函数解析式为：y ＝x 2﹣x +1，顶点坐标为：（12，34）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动． 故选：C ．9．（2020•岐山县二模）若抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，且过点A （a ，b ），B （a +6，b ），则b 的值为（ ） A ．9B ．6C ．3D ．0【分析】根据抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，可知△＝0，从而可以得到m 与n 的关系，再根据抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a ﹣4，b ），可以得到a 和m 的关系，从而可以求得b 的值． 【解析】∵抛物线y ＝x 2+mx +n 顶点在x 轴上， ∴△＝m 2﹣4×1×n ＝m 2﹣4n ＝0， ∴n =14m 2，∵抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a +6，b ）， ∴b ＝a 2+ma +n ，b ＝（a +6）2+m （a +6）+n ， ∴a 2+ma +n ＝（a +6）2+m （a +6）+n ， 化简，得 a =−6−m2， ∴b ＝a 2+ma +n ＝（−6−m 2）2+m ×−6−m 2+14m 2＝9， 故选：A ．10．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间近似满足函数关系y ＝ax 2+x +c （a ≠0），则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1米B ．32米C ．2米D ．138米【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： {c =1.59a +3+c =0， 解得：{a =−12c =32， ∴函数表达式为：y =−12x 2+x +32， =−12（x ﹣1）2+2，∵a ＜0，故函数有最大值，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•立山区二模）若二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上，则m ＝ ﹣2或23．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可． 【解析】∵二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上， ∴4m⋅m−(m−2)24m=0，解得m ＝﹣2或23． 故答案为：﹣2或23．12．（2020•玄武区二模）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…4664…若点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，则y 1 ＞ y 2．（选填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．【解析】∵x ＝0时，y ＝6；x ＝1时，y ＝6， ∴抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向下，∵点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，且|m 2﹣2−12|＜|m 2+4−12|， ∴y 1＞y 2， 故答案为＞．13．（2020•海珠区一模）抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是 （−12，−94） ．【分析】利用待定系数法确定b 、c 的值，然后求得顶点坐标即可． 【解析】∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，∴{4−2b +c =01+b +c =0， 解得：{b =1c =−2，∴y ＝x 2+x ﹣2＝（x +12）2−94， ∴顶点坐标为（−12，−94）， 故答案为：（−12，−94）．14．（2018秋•顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y 的值，则这个错误的数值是 ﹣5 ． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…﹣11﹣21﹣2﹣5…【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 {a −b +c =−2c =1a +b +c =−2， 解得{a =−3b =0c =1，函数解析式为y ＝﹣3x 2+1 x ＝2时y ＝﹣11， 故这个错误的数值是﹣5， 故答案为﹣5．15．（2020•梁园区模拟）点P 1（﹣2，y 1），P 2（0，y 2），P 3（1，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是 y 1＝y 2＞y 3 ．【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断．【解析】二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的二次项系数a ＝﹣1， ∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．16．（2011秋•越秀区期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是x＝﹣1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【分析】根据二次函数与x轴的交点的坐标（x1，0）、（x2，0）和对称轴方程x=x1+x22，代入求出即可；同样根据二次函数与x轴的交点坐标能求出方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【解析】∵从图象可知，二次函数与x轴的交点的坐标是（﹣3，0），（1，0），对称轴方程是x=−3+12=−1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．故答案为：x＝﹣1，x1＝﹣3，x2＝1．17．（2019秋•南充期末）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为0＜b＜94．【分析】画出图象，利用图象法解决即可．【解析】将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）画出函数如图，由图象可知，当直线y ＝x +b 经过原点时有两个公共点，此时b ＝0， 解{y =x +b y =−x 2+4x ，整理得x 2﹣3x +b ＝0， 若直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点， 则△＝9﹣4b ＞0， 解得b ＜94所以，当0＜b ＜94时，直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点， 故答案为0＜b ＜94．18．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 （0，135） ．【分析】首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标． 【解析】{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•大观区校级期中）当x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3，且函数图象与y 轴交于点C （0，1） （1）求此函数解析式；（2）若A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数图象上，且y 1＜y 2，直接写出m 的取值范围 m ＞0 ． 【分析】（1）根据题意设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，然后代入点C （0，1），利用待定系数法即可求得；（2）分别把A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点代入y ＝4（x ﹣1）2﹣3，得到y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，解得即可．【解析】（1）∵x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3， ∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，代入点C （0，1）得，1＝a ﹣3， 解得a ＝4，∴此函数解析式为y ＝4（x ﹣1）2﹣3；（2）∵A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数y ＝4（x ﹣1）2﹣3的图象上， ∴y 1＝4（m ﹣1）2﹣3；，y 2＝4（m +1）2﹣3， ∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，∴m＞0，∴m＞0时，y1＜y2，故答案为m＞0．20．（2019秋•昌平区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）（1）求二次函数的解析式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）把三个点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得出方程组，求出方程组的解即可．（2）化成顶点式即可求得．【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）∴代入得：{a+b+c=04a+2b+c=−1 c=3解得：a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴二次函数的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．21．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x ＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．22．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点坐标（2，2）对称轴方程直线x＝2；（3）用五点法画出二次函数的图象；（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围﹣6＜y≤2．【分析】（1）直接利用配方法写成顶点式的形式即可；（2）根据顶点式即可求得；（3）利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；（4）利用函数图象得出y的取值范围．【解析】（1）y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，故答案为y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点为（2，2），对称轴为直线x＝2，故答案为（2，2），直线x＝2；（3）列表：x…01234…y…﹣6020﹣6…描点、连线，画出函数图象如图：（4）由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y≤2，故答案为﹣6＜y≤2．23．（2020•湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；（2）根据二次函数的最小值即可判断；（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解析】（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．24．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）因为直线经过A 、B 和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A 、B 点，即可判断抛物线只能经过A 、C 两点，根据待定系数法即可求得a 、b ；（3）设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），根据题意得出p 24+q =p 2+1，由抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴交点的纵坐标为q ，即可得出q =p 24−p 2−1=−14（p ﹣1）2+54，从而得出q的最大值．【解析】（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1经过点B （2，3），直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），点（0.1），A （1，2），B （2，3）在直线上，点（0，1），A （1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点 且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1， ∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数y=ax+bx+c的图像与性质完整版本
轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y
都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
2.不同点: ((31))对位称置轴不不同同(2):顶分点别不是同直:线分x别是b 和2bya轴, 4a.c4ab2 和(0,0).
(4)最值不同:分别是
4
ac 4
a
b
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(3)
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2 的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
平左 移右
y = a( x – h )2 + k 平上 移下
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
y
y
y
y
o x
A
o
o
x
x
o
x
B
C
D
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下
列各式中是正数的有（
）
①a ② b ③ c
④ a+b+c ⑤ a-b+c
⑤⑥ 4a+b
⑦ 2a+b y y
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
. 1. .2
-1
x
B
?
用总长为60m的篱笆墙围成矩 形场地，矩形面积S随矩形一边 长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
抛物线y=a(x-h)2+k的图像与性质： 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ；
30.2(2016)二次函数的图象和性质(第3课时)
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
1 ,0),C( 2
3 3 已知二次函数图像经过A（ ， 2 ）， 2
3 B( 2
,0)三点，求抛物线的表
达式
互助提高
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的自变量x 和函数y的部分对应值如下表：
… -1 0
1 2
5 4
向下
直线x b 2a
x=
-
b 2a -
时,y最小=
b 2a
4ac b 2 4a
x=
b 4ac b2 最高点（- , ) 2a 4a 4ac b 2 b 最大 2a 4a
时,y
=
增减性
b 当x< 时， 当x< 2a 时, y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。 b b 当x> 2a 时， 当x> 2a 时， y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。
x1 x2 x 2
二次函数y=ax2+bx+c的 图象上有两点A(1，3) 和B(3，3)，此拋物线 的对称轴 直线x=2 。
y
3
O1 3 x
例1：抛物线y=x2+2x-3
(5)当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0? 当x取何值时，y>0?
函数值的正、负性 ---取决图象与x轴的交点坐标
(2)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐 标为（-3,5).
38页B组1、2题
已知二次函数y＝ax2-4x＋c的图像经 过A（-1，1),B（3，-9）. (1)求这个二次函数的表达式. (2)写出这条抛物线的对称轴和顶点 坐标.
《二次函数的图象与性质(3)》课件 (同课异构)2022年精品课件
注意:这个根指数3绝| 对不可省略.
3a
3叫做根指数
a叫做被开方数
求一个数a的立方根的运算叫做开立方 ,a叫做被开方数
求一个数的立方根的运算叫作 "开立方〞. "开立方〞与 "立方〞互为逆运算
逆向思维
与学习开平方运算的过程一样 ,表达着一种 重要的数学思想方法 ,你有体会了么 ?
典例精析
例1 求以下各数的立方根:
（1）y=(x+1)2 （2）y=-(x-5)2
（3）y=2(x-3)2 （4）y=- 2(x-1)2
1
（5）y=- 2 (x+
3)2
2、根据下列函数的解析式回答 当x为何值时，y随x的增大而增大？
（1）y=(x+1)2
（2）y=-(x-5)2
（3）y=2(x-3)2
（4）y=- 2(x-1)2
1
20
16
12
8
-12 - -8 -
10
6
4 2
-4 -2 0 2
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
x 2 4 6 8 10 12
y
O2
两个二次函数的图象 形状相二同次,项可系以数看作是 抛物线相y同= 1ax>2整0, 体 沿x轴开向口右2都平向移上了, 2 x 个单位
函数y
=1
2
(x
-2)2的图象与12y
立方根是它本身的数有 1, -1, 0与立方根的异同
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
二 开立方及相关运算
每个数a都有一个立方根 ,记作 3 a,读作 "三次 根号a〞. 如：x3 =7时 ,x是7的立方根．
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第3课时)》示范教学课件
向上
观看动图，思考抛物线 y＝ax²＋k(a＞0)与抛物线 y＝ax²(a＞0)有什么关系？
归纳
开口方向
顶点坐标
最大（小）值
对称轴
增减性
二次函数 y＝ax2＋k(a＞0)的图象性质
向上
(0，k)
当 x＝0 时，y最小值＝k
y 轴
当 x＞0 时，பைடு நூலகம் 随 x 的增大而增大；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
4
－4
x
y
x
y
O
y＝－2x2－1
y＝－2x2＋1
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
思考
（1）抛物线 y＝－2x²＋1，y＝－2x²－1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
函数
y＝－2x²＋1
y＝－2x²－1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y 轴
x
y
y＝－2x2＋1
O
y＝－2x2－1
2
－2
－4
－6
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y＝－2x²＋1， y＝－2x²－1 的图象．
解：先列表，然后描点，再分别画出它们的图象．
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
O
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
2
－2
－4
－6
二次函数的图象与性质（3）教案
湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（3）教学设计课题 1.2二次函数的图象与性质（3） 单元 第一章二次函数 学科 数学年级九年级学习 目标 1、经历用描点法画二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的过程，并通过图象认识函数的性质．2、经历函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2（a ≠0）图象平移规律的探究过程．3、会运用二次函数的知识解决简单的问题.重点 会用描点法画出二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质．难点理解二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与抛物线y =ax 2的图象的关系．教学过程教学环节 教师活动学生活动设计意图 导入新课1、二次函数y=ax 2与y=a (x-h )2的关系2、二次函数y=a (x -h )2的性质 抛物线y=a (x -h )2的对称轴 ，顶点坐标 ，开口方向 ，最大值（最小值）___．学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予评价． 从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用，另一方面为探究新问题提供研究方式和方法，激发学生探究的欲望． 讲授新课一、探究y =a (x -h )2+k 的图象与性质 1、画出二次函数212y x =，21(1)2y x =- ，21(1)32y x =-+的图象，并探究它们的图象特征和性质．列表：自变量x 从顶点的横坐标向右开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后画函数图象，让学生对比分析． 让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会二次函数数量间的关系，从画图中体会位置关系 ．观察上表，对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值与函数21(1)2y x =-的值有何关系？ 从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值都要比函数21(1)2y x =-的值大3． 由此你可以得到什么结论？请与同桌交流你发现的结论． 函数21(1)32y x =-+的图象可由二次函数21(1)2y x =-的图象向上平移3个单位而得到．因此，二次函数21(1)2y x =-的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x =1（与抛物线 21(1)2y x =- 的对称轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物21(1)2y x =-的顶点（1，0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上．2、问题：1、212y x =的图象经过怎样的平移得到21(1)32y x =-+的图像？ 212y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到21(1)32y x =-+的图象．3、若将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是21(1)22y x =--．二、二次函数y =a (x -h )2+k 的性质二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是抛物线，它具有下述性质：三、二次函数y =a (x -h )2+k 的画法1、画y =a (x -h )2+k 的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边学生独立完成再小组合作交流．完成例4、例5．让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊到一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力．培养学生应用数学知识解决问题的能力．2、结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同．。
专题1.3 二次函数的图像与性质(三)(六大题型)(原卷版)
专题1.3 二次函数的图像与性质（三）（六大题型）【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【题型3 二次函数的对称性的应用】【题型4利用二次函数的性质求字母的范围】【题型5 利用二次函数的性质求最值】【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【典例1】关于二次函数y＝（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（ ）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3）C．当x＞2时，y随x的增大而减小D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7）【变式1-1】已知抛物线y＝2（x﹣3）2+1，下列结论错误的是（ ）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝3C．抛物线的顶点坐标为（3，1）D．当x＜3时，y随x的增大而增大【变式1-2】下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（ ）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③B．①④C．①③④D．①②③④【变式1-3】已知点A（a﹣3，﹣3）与点B（2，b+1）关于y轴对称，则下列关于抛物线y＝ax2+bx+1的说法错误的是（ ）A．抛物线开口向上B．a＝1，b＝﹣4C．顶点坐标是（﹣2，﹣3）D．当x＜2时，y随x减小而增大【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【典例2】抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较【变式2-1】已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y3【变式2-2】已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较【变式2-3】已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，0）均在该抛物线上，且x1＜﹣2＜x2＜4，则下列结论正确的是（ ）A．y1＞y2＞0B．0＞y2＞y1C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1【变式2-4】已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝4，点A（1，y1）、B （3，y2）都在该抛物线上，那么y1 y2.（填“＞”或“＜”或“＝”）．【变式2-5】若抛物线y＝﹣x2+2x﹣2，点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线上两点，则y1 y2．（用“＜”或“＞”号连接）【题型3 二次函数的对称性的应用】【典例3】已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，0）和点（﹣3，0），则该抛物线的对称轴为（ ）A．y轴B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2【变式3-1】已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（ ）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定【变式3-2】二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣3B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝0【变式3-3】点A（0，5），B（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ）A．（2，5）B．（2，4）C．（5，2）D．（4，2）【变式3-4】已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（ ）A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5【变式3-5】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为 ．【变式3-6】用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤．以下是小明画二次函数y＝ax2+bx+c图象时所列的表格：x…﹣4﹣3﹣202…y…30﹣1315…根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是 ．【题型4利用二次函数的性质求字母的范围】【典例4】已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A．B．C．D．【变式4-1】二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，m的取值取值范围是（ ）A．m＞1B．﹣1＜m＜1C．m＞0D．﹣1＜m＜2【变式4-2】已知点A（n，y1）、B（n+2，y2）、C（x，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c （a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则n的取值范围是（ ）A．n＞﹣3B．n＜﹣3C．n＜﹣2D．n＞﹣2【变式4-3】已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A．B．C．m≥1D．m≤1【变式4-4】二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1B．m≥﹣1C．m≤1D．m＞1【变式4-5】抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣3B．m＜1C．m＞1D．m＞5【题型5 利用二次函数的性质求最值】【典例5】已知直线y＝2x+t与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有两个不同的交点A （3，5）、B（m，n），且点B是抛物线的顶点，当﹣2≤a≤2时，m的取值范围是 ．【变式5-1】二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是 ．【变式5-2】若实数a，b满足a+b2＝2b+1，则代数式a2﹣4a+2b2﹣4b﹣4的最小值为 ．【变式5-3】当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则m的值为 ﹣ ．【变式5-4】已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．【变式5-5】已知抛物线y＝x2﹣3x+2上任意一点P（m，n），则m﹣n的最大值为 ．【变式5-6】已知实数x，y满足y＝﹣x2+3，则x+y的最大值为 ．【变式5-7】已知实数a，b满足a2﹣3a﹣b+6＝0，则a+b的最小值为 ．【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【典例6】若x2﹣2x+4y＝5，且﹣≤y≤，则x+2y在最小值为 ﹣ ，最大值为 ．【变式6-1】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 ．【变式6-2】函数y＝x2﹣2ax﹣1在1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 ．【变式6-3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．【变式6-4】若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ．【变式6-5】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．【变式6-6】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．【变式6-7】已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为 ．【变式6-8】已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为 ．。
2.2二次函数的图象与性质(3)
当 x＝h 时，y 最大值＝0
2 二次函数的图象与性质
知识点二 二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2 的图象的关系 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全相 同，开口方向也相同，但 y＝a(x－h)2 的图象的对称轴是直 线 x＝h，顶点坐标为(h，0)．实际上，只要把 y＝ax2 的图象 向左(h＜0)或右(h＞0)平移|h|个单位长度，就可以得到 y ＝a(x－h)2 的图象．
2－2－15 所示．
❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 11:44:30 PM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/172021/9/172021/9/17Sep-2117-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/172021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021
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二次函数的图象与性质（3）
[本课知识要点]
会画出2
)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[创新思维]
我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2
ax y =的图象上下平移所得，那
么函数
2)2(21-=
x y 的图象，是否也可以由函数
221
x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =
，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回
对于抛物线
2)2(21
+=
x y ，当x
时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，
函数取得最 值，最 值y= ．
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3
…
221x y =
… 29 2
21
0 21
2 29
… 2)2(21+=x y … 21 0
21
2 225
8 225
… 2)2(21
-=
x y
…
225
8 29
2 21
0 21
…
探索 抛物线
2)2(21+=
x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平
移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=
x y ，应将抛物线
221
x y =作怎样的平移？
例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2
)2(3+-=x y 之间的关系吗?
解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2
)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2
)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴
和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由2
3x y -=向左平移2个单位而得的．
2
)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
[当堂课内练习]
1．画图填空：抛物线2
)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2
x y =向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐
标．
[本课课外作业] A 组
1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2
)1(21--=x y ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2
21x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2
)1(21
--=x y ？
3．函数
2
)1
(3+
-
=x
y，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函
数取得最值，最值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线
2
5x
y=与2)4
(5-
=x
y之间的关系．
B组
5．将抛物线
2
ax
y=向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点
（1，3），求a的值．。