经济数学CH6差分方程

原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
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yt+1
例3：一阶非线性
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蛛网模型
将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
当价格不变时，供求达到 均衡。
p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
差分方程
yt+1=2yt-yt2
1 y2
首先计算均衡点： y1
y=2y-y2 y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
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稳定性总结
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。
yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满
足方程，则数列｛kyt｝也满足方程。 m阶差分方程：
yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt)
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二、一阶差分方程的解法
解法： 1、作图。 2、解析解。
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余函数的计算：
假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0
消去非零公因子Abt，得到b=-a
因此，余函数为：yc=A(-a)t
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特别积分的计算：
特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。 则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。
p
取决于上期的价格pt-1。 p0
当需求等于供给时，市场 p2
出清。
p1
S斜率=1/d
判断供求均衡是否稳定。 供求模型：
D斜率=-1/b
qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b,c,d>0
q2 q1
q
结论：
当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率， 即d<b时，模型是收敛的。反之则是发散的。 当二者相等时，模型是循环的。
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2、解析法
迭代法
例1：yt+1=yt+2，已知 y0=10。
求解：
y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+2·2 y3=y2+2=y0+2·2+2=y0+3·2
……
yt=y0+t·2=10+2t
例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=b·by0=b2y0 …… yt=bty0
一、离散时间、差分与差分方程
在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个 整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。
现在的变化模式用差商△y/△t来表示。它是导数 dy/dt在离散时间下的对应物。
由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连 续时期的y的变化时， △t=1，差商△y/△t可以简化 为△y，称为y的一阶差分。
一阶差分： △yt=yt+1-yt 二阶差分：
△2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
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一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程
△yt=2→yt+1-yt=2 △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式：
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果 f ( y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果 f ( y*) 1，无法判断。
f ( y*) dyt1 dyt
yt1 yt y*
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练习：蛛网模型
在时间t的需求qtd取决于 当前市场价格pt，供给qts
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练习
求解一阶线性差分方程：
yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A·5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A·5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=2×5t -1/4
将k代入原方程，得到:k+ak=c
特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a≠-1。 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。
特别积分为：yp=kt=ct，a=-1。表示移动均 衡。
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将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。
a≠-1
yt

A(a)t
c 1 a
,a

1
假设t

0时，yt

y0 , 得到A

y0
c 1 a
yt

( y0
c )(a)t 1 a
c 1 a
,a

1
a=-1 yt A(a)t ct A ct, a 1
假设t 0时，yt y0,得到A y0 yt y0 ct, a 1
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1、图解法
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 第一步：计算稳态值或均衡值。
当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统 达到均衡， y*是系统的均衡值。
第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均 衡是否是稳定的。
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例1：yt+1-0.5yt=1 写成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，带入
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b的绝对值小于1，y收敛。 10
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。