231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)

公式法（一）

【目标导航】

能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．

【复习导入】

把下列各式分解因式：

1．－4m3＋16m2－26m；

2．(x－3)2＋(3x－9)；

3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；

4（2011福建福州）分解因式：225

x-=. 5．y2－25

【合作探究】

1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：

2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：

【合作探究】

练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？

(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；

(4)－x2－y2；(5) 1

4

a2b2－1；(6) x4－y4.

例1 把下列多项式分解因式

(1) 4x2－9；

(2) (x＋p)2－(x＋q)2；

(3) 16－

1

25

m2；

(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．

例2 把下列多项式分解因式

(1) x4－y4；

(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－

9x= ．

(3)－

1

4

xy3＋0.09xy；

(4)a2－b2＋a－b；

(5)(p－4)(p＋1)＋3p.

练习：把下列多项式分解因式

(1) a2－

1

25

b2；

(2) 9a2－4b2；

(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因

式所得的结果是（）

(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）

(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）

(4)－a4＋16；

(5) m4(m－2)＋4(2－m)

例3 在实数范围内分解因式

(1) x2－2；

(2) 5x2－3.

例4(1) 计算：9972－9

(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：

(2n＋1)2－25能被4整除．

(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，

你能求出x、y的值吗？

【课堂操练】

1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).

2．分解因式:4x2－9y2= ；

3x2－27y2= ；

a2b－b3= ；

2x4－2y4= .

3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）

A. x2＋y2

B. x2＋y4

C. x2－y4

D. x2－2x

4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解

因式的结果，这个多项式是（）

A. 4a2－b2

B.4a2＋b2

C. －4a2－b2

D. －4a2＋b2

5．分解因式：

(1)9a2－

1

4

b2；

(2)2x3－8x；

(3)(m＋a)2－(n－b)2.

【课后巩固】

1.把下列各式分解因式：

(1) 9(m＋n)2－(m－n)2

(2) p4－16

(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2

(4)

22 ()() 44

a b a b +-

-

(5) 36a4x10－49b6y8

(6) b2－(a－b＋c)2

(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2

(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2

(9) (

2

113

5

)2－(86

3

5

)2

(10) 9×1.22－16×1.42

(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4

(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)

(13) －4a2＋(2x－3y)2

(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8

(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2

＝．(16) (a－b)2－(b－a)4

(17) (2x－1)3－8x＋4

(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)

(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3

(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y

的正确结果是（）

A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－

4）

C．y（x2－4）D．y（x－2）2

(21) a4－81b4

(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2

(23) (x2－y2)＋(x－y)

(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)

(25) a n＋1－a n－1b4

（26）（2011山东枣庄）若6

2

2=

-n

m，且

2

m n

-=，则=

+n

m．

2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．

3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计

算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确

的结果只可能是（）

A.388947

B.388944

C.388953

D.388949

4.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)

求：m3－2mn＋n3的值．

公式法（一）参考答案

【复习导入】

把下列各式分解因式：

1．解：原式=－2m(m²－8m+13)

2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)

=（x－3）(x－6)

3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)

4.答案:(x＋5)(x－5) .

5．解：原式==(y+5)(y－5)

【合作探究】

1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，

即两项的符号一定是相反的。

2．（a2－b2）=(a+b)(a－b)

【合作探究】

练习：解：（2）、（3）、（5）、（6）都能运

用平方差公式进行因式分解。因为式子是两项，

能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号

一定是相反的。

例1 把下列多项式分解因式

(1)解：原式==(2x+3)(2x－3)

(2)解：原式=[(x＋p)＋(x＋q)][ (x＋p)－(x＋q)]

= (2x＋p＋q) (p－q)

(3)解：原式=(4＋

1

5

m)( 4－

1

5

m)

(4) 解：原式=16(x－1)2－(x＋2)2

=(4x－4)2－(x＋2)2

=[(4x－4)＋(x＋2)][ (4x－4)－(x＋2)]

=(5x-2)(3x-6)

=3(5x-2)( x－2)

例2 把下列多项式分解因式

(1)解：原式=( x2+y2) ( x2－y2)

=( x2+y2) ( x+y) ( x－y)

(2)答案:x ( x－3 )( x+3 )

(3)解：原式=－xy(

1

4

y2－0.09)

= －xy(

1

2

y+0.3)(

1

2

y－0.3)

(4)a2－b2＋a－b；

解：原式=( a－b) ( a＋b)＋(a－b)

=(a－b)(a＋b＋1)

(5)解：原式=p2－4p+p－4＋3p

= p2－4

=(p＋2)(p－2)

练习：把下列多项式分解因式

(1) 解：原式=(a＋

1

5

b) (a－

1

5

b)

(2) 解：原式=(3a＋2b) (3a－2b)

(3) 答案:C

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