常用基本初等函数求导公式积分公式
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
常用的求导和定积分公式.doc
一．基本初等函数求导公式(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或二、基本积分表（ 1） kdx kx C （ k 是常数）（ 2）x dx x 1C , (u1)1（ 3）1dx ln | x | C xdx（ 4）arl tan x C21 x（ 5）dxarcsin x C 1 x2（ 6）cos xdx sin x C （ 7） sin xdx cos x C（ 8）1dx tan x C 2cos x（ 9）12 dx cot x Csin x（10） secx tan xdx secx C（ 11）cscx cot xdx cscx C（ 12）e x dx e x C（ 13）a x dx a x C ， (a 0, 且 a 1)ln a（ 14）shxdx chx C（ 15）chxdx shx C （16）（17）（18）（19）（20）a 21 2 dx1arc tanxCx a ax2 1 2 dx1ln |x a| Ca 2a x a1 dx arc sinxCa2 x2 a1 dx ln( x a2 x2 ) C a2 x2dxa2ln | x x2 a2 | C x2（ 21）tan xdx ln | cosx | C（ 22）cot xdx ln | sin x | C（ 23）secxdx ln | secx tan x | C（ 24）cscxdx ln | cscx cot x | C注： 1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式， (16)-(24)式后几节证。
初等函数基本积分公式
初等函数基本积分公式在微积分中，函数的积分是一个重要的概念。
积分是反导数的运算，它是微分的逆运算。
通过对函数进行积分，我们可以求得函数的原函数，也可以计算函数在一定区间上的面积或曲线的长度等一些几何问题。
初等函数指的是在初等代数和初等解析几何中常见的、能够用有限次加、减、乘、除、乘方及复合运算得到的函数。
初等函数的基本积分公式是多种基本型的积分公式的总结，可以用来求初等函数的不定积分。
以下是常见的初等函数的基本积分公式：一、幂函数的积分公式：1. 若c不等于-1，则∫x^c dx = (x^(c+1))/(c+1) + C2. 若c等于-1，则∫x^-1 dx = ln，x， + C二、指数函数的积分公式：1. ∫e^x dx = e^x + C2. ∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C三、对数函数的积分公式：1. ∫ln，x， dx = x ln，x， - x + C2. ∫log_a，x， dx = (x log_a，x， - x)/(ln(a)) + C四、三角函数的积分公式：1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C4. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C5. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C6. ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C五、反三角函数的积分公式：1. ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C2. ∫arccos(x) dx = x arccos(x) - sqrt(1 - x^2) + C3. ∫arctan(x) dx = x arctan(x) - ln，1 + x^2， + C4. ∫arccot(x) dx = x arccot(x) + ln，1 + x^2， + C5. ∫arcsec(x) dx = x arcsec(x) - ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C6. ∫arccsc(x) dx = x arccsc(x) + ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C六、双曲函数的积分公式：1. ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C2. ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C4. ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C5. ∫sech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C6. ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C七、反双曲函数的积分公式：1. ∫arcsinh(x) dx = x arcsinh(x) - sqrt(x^2 + 1) + C2. ∫arccosh(x) dx = x arccosh(x) - sqrt(x^2 - 1) + C3. ∫arctanh(x) dx = x arctanh(x) - ln，1 - x^2，/2 + C4. ∫arccoth(x) dx = x arccoth(x) - ln，x^2 - 1，/2 + C5. ∫arcsech(x) dx = x arcsech(x) - ln，sqrt(1 - x^2) + 1/x，+ C6. ∫arccsch(x) dx = x arccsch(x) - ln，sqrt(1 + x^2) + 1/x，+ C上述是常见的初等函数的基本积分公式，它们可以用来求解各种初等函数的不定积分。
积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa a a '= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xa d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+。
基本初等函数公式总结
1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；xy =；1y x -=；/n m y x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，1sin lim 0=→xx x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n x π是无穷小量1sin lim0=→xxx()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(lnln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a aaxxxx 21)(='xxe e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==0 dx c=⎰ dx c = ln xx a a dx c a =+⎰不定积分运算法则：加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 3223dx x c =+x x e dx e c =+⎰ ⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='() ()|()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰() bbbaaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbbaaafg dx fg f gdx ''=-⎰⎰ ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)(用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。
常用基本初等函数求导公式积分公式
常用基本初等函数求导公式积分公式常用的基本初等函数求导公式有：1.常数函数求导公式：对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导函数为f'(x)=0。
2.幂函数求导公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，其导函数为f'(x) =nx^(n-1)。
3.指数函数求导公式：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个大于0且不等于1的常数，其导函数为f'(x) = ln(a) * a^x。
4.对数函数求导公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导函数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数求导公式：a) 正弦函数求导公式：f(x) = sin(x)的导函数为f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数求导公式：f(x) = cos(x)的导函数为f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数求导公式：f(x) = tan(x)的导函数为f'(x) =sec^2(x)。
6.反三角函数求导公式：a) 反正弦函数求导公式：f(x) = arcsin(x)的导函数为f'(x) =1/√(1 - x^2)。
b) 反余弦函数求导公式：f(x) = arccos(x)的导函数为f'(x) = -1/√(1 - x^2)。
c) 反正切函数求导公式：f(x) = arctan(x)的导函数为f'(x) =1/(1 + x^2)。
常用的基本初等函数积分公式有：1.幂函数积分公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，其不定积分为∫x^n dx= (1/(n+1)) x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.反函数积分公式：对于反函数f(x) = F^(-1)(x)，其中F(x)为连续可导函数，其不定积分为∫f(x) dx = x * F(x) - ∫F(x) dF(x) + C，其中C为积分常数。
常用求导与定积分公式
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
3.3导数的基本公式与运算法则
dy 1 sin( e x ) x = ⋅ ( − sin v ) ⋅ e x = − ⋅ e = − e x tan(e x ). dx u cos(e x )
例13
解
y=e
sin
sin
1 x
1 x
, 求 y′.
sin 1 x
1 y′ = (e )′ = e (sin )′ x 1 1 sin sin 1 1 1 1 x x = e ⋅ cos ⋅ ( )′ = − 2 e cos . x x x x
= f ′( u) g′( x ).
例9
解
dy y = e ,求 . dx
x3
y = e 可看作 y = e u , u = x 3复合而成，因此 复合而成，
x3
dy dy du u 2 2 x3 = ⋅ = e ⋅ 3x = 3x e . dx du dx 2x dy , . 例10 y = sin 2 求 dx 1+ x
( uvw )′ = [( uv )w ]′= ( uv )′ w + ( uv )w′ = ( u′v + uv′ )w + uvw′ = u′vw + uv′w + uvw′
特别 ( Cu )′ = C u ′ , 其中 C 是常数 .
y = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 7 , 求 y′ . 例1
所以 在 I x = (−1,1)内有 −
1 1 1 1 = (arcsin x)′ = = = . 2 2 (sin y)′ cos y 1−sin y 1− x
1 (arccos x)′ = − . 2 1− x
例7 求函数 y = arctan x的导数 .
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导函数的导数是微分学中的一个重要概念，描述了函数在每一点上的变化率。
掌握基本初等函数的导数公式及导数求解方法，对于理解数学和物理等学科中的问题解决具有重要意义。
下面我将详细介绍几个常用函数的导数公式及导数求解方法。
1.常数函数：常数函数的导数恒为零，即对于常数C，其导数为0：f(x)=C，f'(x)=0。
2.幂函数：幂函数指的是形如f(x)=x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的导数公式为：f'(x) = nx^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^3，它的导数为f'(x)=3x^2、这个公式也被称为幂函数的指数法则。
3.指数函数：指数函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。
例如，对于函数f(x) = 2^x，它的导数为f'(x) = 2^x * ln(2)。
其中ln(a) 是以e为底的对数函数。
4.对数函数：对数函数指的是形如f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为正实数且不等于1对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log₂(x)，它的导数为f'(x) = 1 / (x *ln(2))。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数公式为：f'(x) = cos(x)。
余弦函数的导数公式为：f'(x) = -sin(x)。
正切函数的导数公式为：f'(x) = sec^2(x) = 1 / cos^2(x)。
这些公式可以通过三角函数的定义及导数的定义进行求解。
6.反三角函数：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
反正弦函数的导数公式为：f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
基本初等函数的导数公式及四则运算
导数是函数曲线在该点上的切线的斜率。
常见导函数的公式及图像
一次数
导数为常数，图像为直线。
二次函数
导数为一次函数，图像为抛物线。
正切函数
导数为幂函数，图像具有周期性。
指数函数
导数为自身，图像为逐渐增长的曲线。
对数函数的导数
对数函数的导数公式是1/x，其中x是对数函数的底数。对数函数的图像是单调 递增的。
反三角函数的导数
反三角函数的导数与对应的三角函数有关。例如，arcsin(x)的导数是1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数是-1/√(1-x^2)。
初等函数导数的性质
初等函数的导数具有一些规律和性质，包括链式法则、求导法则和反函数求导法则。
四则运算简单例题及求导步骤
通过一些例题和求导步骤，了解如何对简单的四则运算进行求导。
函数复合法则及求导步骤
函数复合法则是求导一个函数由多个函数复合而成时使用的方法。通过一些 例题，了解如何使用函数复合法则求导。
反函数求导法则及求导步骤
反函数求导法则是求导一个函数的反函数时使用的方法。通过一些例题，了 解如何使用反函数求导法则求导。
基本初等函数的导数公式 及四则运算
了解基本初等函数的导数公式和四则运算是学习微积分的重要基础。本演示 将逐步介绍每个函数的导数公式，以及它们的几何和物理意义。
什么是导数及其定义
导数描述了函数在某一点上的变化率。简单来说，它是函数曲线的切线的斜率。定义为函数的极 限。
1 数学定义
导数是函数f(x)在某个点x处的极限lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。
常用的求导和定积分公式(完美版)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在每个点的斜率或变化率。
对于基本初等函数，由于它们是常见的函数形式，我们可以通过一些基本的导数公式来求解它们的导数。
在本文中，我们将介绍常见的基本初等函数以及它们的导数公式。
1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其中c是一个常数，它的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这意味着幂函数的导数是其幂次减1再乘以幂次系数。
3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a ≠ 1，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这意味着指数函数的导数是指数函数自身乘以底数的自然对数。
4. 对数函数：对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a ≠ 1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这意味着对数函数的导数是常数1除以自变量x与底数的自然对数的乘积。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数分别为：正弦函数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)。
其中，sec(x)表示x的余割，即1/cos(x)。
6.反三角函数：常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的导数分别为：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
反余弦函数：f(x) = arccos(x)，f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
反正切函数：f(x) = arctan(x)，f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
积分的定义与基本公式
积分的定义与基本公式积分是微积分学中的一个重要概念，它可以被看作函数的“反导数”，描述了函数在给定区间上的累积变化情况。
积分在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍积分的定义与基本公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、积分的定义在微积分中，对于函数f(x)，其在[a,b]区间上的积分可以定义为如下形式的极限：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分的区间，f(x)是积分的被积函数，dx表示自变量的微元，xi是区间[a,b]上的离散点，Δx为xi的增量。
上述极限表达式表示，当我们将区间[a,b]分割成无穷小的小区间，并将每个小区间上的函数值与该区间的增量相乘求和，随着区间分割的无限细致，得到的极限值即为在整个区间上的积分。
二、基本公式积分的计算通常需要借助一系列的基本公式和技巧。
下面是一些常用的积分公式：1. 基本初等函数积分公式：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中，n为常数，C为常数项。
2. 幂函数积分公式：∫ a^x dx = (1/(lna))a^x + C其中，a为常数。
3. 三角函数积分公式：∫ sinx dx = -cosx + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sec^2x dx = tanx + C∫ csc^2x dx = -cotx + C其中，C为常数项。
4. 指数函数与对数函数积分公式：∫ e^x dx = e^x + C∫ log_a x dx = (xlog_a x - x) / (lna) + C其中，e为自然对数的基数，a为对数的底数，C为常数项。
除了上述基本公式外，还存在一些特殊的积分公式，例如分部积分法、换元法等，可以用于解决一些复杂的积分计算问题。
三、积分的应用积分作为微积分的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些典型的积分应用领域：1. 几何学应用通过积分，我们可以求解曲线的弧长、曲线与坐标轴所限定的面积、曲线的旋转体体积等几何学问题。
积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e'= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xa d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+九、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
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基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10)(e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14)211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则 若函数)(y x ϕ=在某区间yI 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：常用积分公式表·例题和点评⑴d k x kx c=+⎰ (k为常数)⑵11d(1)1x x x cμμμμ+≠-=++⎰特别，211d x cxx=-+⎰, 3223x x c=+⎰, x c=⎰⑶1d ln||x x cx=+⎰⑷d ln xxa a x c a=+⎰, 特别，e d e x x x c =+⎰⑸sin d cos x x x c =-+⎰ ⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺221d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰⑻221d sec d tan cos x x x x c x==+⎰⎰⑼arcsin(0)xx c a a=+>,特别，arcsin x x c =+⑽2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，21d arctan 1x x c x=++⎰⑾2211d ln (0)2a x x c a a a x a x +=+>--⎰或2211d ln (0)2x a x c a a x a x a -=+>+-⎰⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀cot d ln sin x x x c =+⎰⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x xc x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩⎰⎰⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x cx x x x c x ⎧++⎪==⎛⎫⎨++ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⒃(0)a x >==ln x c ++⒄2(0)arcsin 2a a x x c a >==+⒅x2(ln 2a a x c >==++⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e axax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩⎰⎰⒇12222212123d ()2(1)()2(1)nn n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰（递推公式） 跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例24⑴2)x x =-[套用公式⒅]1ln (2)2x =-+⑵[1(24)42x x x =-+⎰⎰2145)22x x x =-++=(请你写出答案)⑶2)x x =-ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]⑷12x x =2122x =+=(请你写出答案)⑸2)x x =-232arcsin23x -=+[套用公式⒄]⑹[1(42)42x x x =---⎰⎰214)22x x x =-+-+=(请你写出答案)⑺==[套用公式⑼]2arcsin3x -= ⑻(42)4d 12x x--=-2122=+-=(请你写出答案)例25 求原函数41d 1x x +⎰. 解 因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+所以令411x ++为待定常数）D C B A ,,,(=从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221=-===D C B A . 因此， 41d 1x x+⎰x x =+ 右端的第一个积分为14x x x =22211d 4x x =+⎛++⎝⎭⎰(套用积分公式)21)1)x ++类似地，右端的第二个积分为21)1)x x =-+-⎰所以41d 1x x +⎰1)1)=++-=+（见下注）【注】根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅,则tan1)1)⎡⎤++-===⎣⎦因此,21)1)arctan1x++-=-例26 求d(01)1cosxxεε<<-⎰. [关于d(01)1cosxxεε<<+⎰，见例17]解令tan2xt=(半角替换)，则2222222cos cos sin2cos111222sec1tan22x x xxx x=-=-=-=-+2211tt-=+22d d(2arctan)d1x t tt==+于是，2222d12dd211cos1(1)(1)11x tttx t ttεεεε==--+-++-+⎰⎰⎰22d111ttεεε=-+++⎰c=+2xc=+【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x=的导数或微分可以用一个“构造性”的公式()()()limhy x h y xy xh→+-'=或d()dy y x x'=确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如21e sin ed ,d ,d ,d ln xx xx x x x xxx-⎰⎰⎰⎰等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。