圆锥曲线焦点、焦点三角形类

圆锥曲线焦点、焦点三角形问题

22

xy

13.( 2009 江西卷文) 设 F 1 和 F 2 为双曲线 2 2 1(a 0,b ab P （0,2 b ） 是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为

答案】 B

答案 】 y=x

|PF 1 | |PF 2 | 2a |PF 1 |?|PF 2 | 18 2 2 2

|PF 1 |2

|PF 2 |2 4c 2

故有 b ＝ 3。 答案】 3

40.（2009 年广东卷文 ） （本小题满分 14 分）

3

A ．

2

B ．

5

C ．

2

D ．3

解析】由 tan 6 2b

3

有 3c

4b 2 4(c 2 a 2

),则 e

2,故选 B.

39.（2009 年上海卷理）已知 F 1、 F 2是椭圆

2 C:a

x 2

2

a

2 y

b 2

1（ a >b > 0）的两个焦点， P

为椭圆 C 上一点，且

PF 1

PF 2 . 若 PF 1F 2 的面积为 9， 则b =

0 ）的两个焦点 , 若 F 1，F 2 ，

20.（2009 湖南卷文） 抛物线 y 2

8x 的焦点坐标是（ ）

A ．（2，0）

B ．（- 2，0）

C ．（4，0）

D ．（- 4，0）

解析 】由 y 2

8x ,易知焦点坐标是 ( 2p

,0) ( 2,0) ，故选

B.

【答案】B

29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 AB 的中点为（ 2，

物线 C 相交于 A ，B 两点。若 C 的顶点在坐标原点， 2），则直线

焦点为 F （1，0），直线 l 与

抛 l 的方程为 ________ . 解析】抛物线的方程为 y 2

4x ，

A x 1, y 1 ,

B x 2,y 2

,则有 x 1

x 2，

2 y 1 2

y 2

4x 1 4x 2 两式相减得， y 12 y 22 4

x 1 x 2

y 1 y 2

x 1

x 2

y 1

y 2

直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x

解析】依题意，

，可得 4c 2＋ 36＝4a 2，即 a 2－c 2＝9，

3

G 的中心在坐标原点 , 长轴在 x 轴上 ,离心率为 3

,两个焦点分别为

2

(2)求 A k F 1F 2 的面积

(2 )点 A K 的坐标为 K,2

S

A

K F 1F 2

1

2 F 1F 2 2 1

6 3

2

2 63

3)若 k

0， 由 62

02

12

0 21 15

12

0 可知

点

( 6， 0)在圆 C k 外，

若 k 0，

由

( 6)2 02

12

0 21 15

12

0 可知

点(

-6， 0)在圆 C k 外；

不论 K 为何值圆 C k 都不能包围椭圆 G.

62. (2009 陕西卷文)(本小题满分 12分)

25

。

5

1)求双曲线 C 的方程；

(2)如图， P 是双曲线 C 上一点， A ，B 两点在双曲线 C 的两条渐

上一点到 2

F 1和 F 2 的距离之和为 12.圆 C k : x

2kx 4y 21 0 (k R) 的圆心为

点

A k . (1)求椭

圆

G 的 方

程 2 已知双曲线 C 的方程为 y 2 a

2

2

x

2

1(a 0,b b

0) ，离心率

e 5

，顶点到渐近线的距离为

2

已知椭圆 F 1 和 F 2 ,椭圆 G

(3) 问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由

解( 1)设椭圆 G 的方程为： 2

x 2

a 2 y

b 2

半焦距为 c;

2a 则

c

12

3 , 解得 6

33

b 2

a

2 c

2

36 27 9

所求椭圆 G 的方程为： 2

x

36

1.

1

ab 2 5

c 5

a

由 c 5

得 b

a2

2 2 2

c c a b

所以曲线 C 的方程是 y

x 1

4

Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y 2x 设 A(m,2 m), B ( n,2n),m 0,n 0 由AP PB 得P 点的坐标为( m 1+- n ,

2(m

1+

+ n)

),

因为 AOB 2 , tan( ) 2,tan 1

,sin 2 又 OA 5m, OB 5n

又 S (1)=2， S(1) 8, S(2)

9

近线上，且分别位于第一、二象限，

若 1

[3,2] ，求

方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（ 0，a ）到渐近线 ax AOB 面积的取值范围。 by

0的距离为 25

5 ，

所以 ab a 2 b 2

2 5

所以 ab 5c

25 5

2

y 2 将 P 点的坐标代入 4 x

1,化简得

mn=(1

4

)2

所以

S AOB 2

1

2( 1

2(1

0得 记 S( ) 则

S( )

OA?OB ?sin2 1) 1

2)

1, 2mn 1 (

2

[1

3,2] 由 S( )